專題06導數(shù)及其應用(解答題)

8種常見考法歸類

知識五年考情(2021-2025)命題趨勢

知識1導數(shù)的兒考點01導數(shù)的幾何意義

何意義2025?北京2023?全國乙卷2022?全國甲卷2021?北

15年4考)京2021?全國乙卷

知識2導數(shù)在研考點02利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

究函數(shù)中的應用2025?上海2024,新課標2卷2023,北京

15年3^02023?新課標II卷2023?全國乙卷

1.含參的函數(shù)利用導數(shù)求參數(shù)問

考點03利用導數(shù)研究不等式恒成立問題

題是高考中的一個高頻考點，也是

2025?全國一卷2024?全國甲卷

必考點，通過函數(shù)單調(diào)性轉化成為

2024?新課標I卷2023?全國甲卷2021?天津

恒成立問題或者存在使成立問題

考點04利用導數(shù)證明不等式

以及其他問題，可直接求導或者是

2025?天津2024?天津2023?天津利用分離參數(shù)去轉化，

2023?新課標I卷2022?天津2022?浙江2.導數(shù)綜合類問題一直是高考數(shù)

2022?北京2022?新高考全國II卷2021?全國乙卷

學的壓軸題一般牽扯到不等式的

2021?新高考全國I卷證明問題，極值點偏移問題，拐點

知識3導數(shù)的綜考點05利用導數(shù)研究函數(shù)的零點偏移問題，隱零點問題，函數(shù)放縮

合應用2025?全國二卷2022?全國甲卷2022?全國乙卷問題。未來也是高考.重.難點。

15年5考)2021?全國甲卷2021?新高考全國II卷2021?浙江3.隨省?周考數(shù)學新結構的形式出

2021?全國甲卷現(xiàn)。導數(shù)新定義問題將成為高頻考

考點06導數(shù)與數(shù)列的綜合點

2023?上海2022?新高考全國I卷

考點07導數(shù)與概率的綜合

2021?新高考全國II卷

考點08導數(shù)新定義

2024?上海

分考點?精準練

考點01導數(shù)的幾何意義

1.(2023?全國乙卷?高考真題)已知函數(shù)/(x)平+/ln(l+x).

⑴當a=-1時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程.

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+。)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【答案】(l)(ln2)x+y-ln2=0；

【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后

求解切線方程即可；

(2)原問題即/'(x)NO在區(qū)間(0,+。)上恒成立,整理變形可得g(x)=a』+x-(x+l)ln(x+l)N0在區(qū)間

(0,+8)上恒成立，然后分類討論】〈0,423,0<。<；三種情況即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)當〃=一1時，/(x)=^-ljln(x+l)(x>-l),

?1\1

則rW=_=xln(x+l)+--1x—,

XX)XI1

據(jù)此可得/(l)=0,/'(l)=—ln2,

所以函數(shù)在(1J⑴)處的切線方程為N-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得了'(x)=--^(x+Q+f—+c/lx--(x>-1),

滿足題意時/'(x)之o在區(qū)間(0,+8)上恒成立.

令(--In(x+1)+(，+a)-ND，則一(X+1)In(x+1)+(x+a/)之0,

令g(x)=or2+x-a+l)ln(x+l),原問題等價于g(x)20在區(qū)間(0,+/)上恒成立,

則小)=2aln(x+l),

當時，由于2G?0,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞減,

此時g(x)<g(O)=O,不合題意;

令"(x)=g'(x)=2以一ln(x+l),則〃'(x)=2a——,

當2azi時，由于匕<1，所以〃(x)>0，Mx)在區(qū)間(0，+功上單調(diào)遞增，

即g'(x)在區(qū)間(0，+“)上單調(diào)遞增，

所以g")>g'(o)=o,g(x)在區(qū)間(0，+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(o)=o,滿足題意.

當0<a<L時，由〃'(x)=2a——!一=0可得x=-!--1,

2''A-+I2a

當“（°弓7時'在區(qū)間n上單調(diào)遞減，即g'（x）單調(diào)遞減,

I2a）

注意到g'（（））=（）,故當時，g'（x）＜g'（O）=O，g⑺單調(diào)遞減,

由于g（O）=。，故當或T時，g（x）＜g（O）=O

不合題意.

綜上可知：實數(shù)。得取值范圍是卜

【點睛】方法點睛：

（1）求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的

和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.

（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

①函數(shù)在區(qū)間（。/）上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上/‘（x"o（或/'a）wo）恒成立.

②函數(shù)在區(qū)間m與上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是/'（X）之。（或/'（x）KO）在該區(qū)間上存在解集.

2.（2022?全國甲卷?高考真題）已知函數(shù)/（.丫）=.-7依。）=』+。，曲線），=/（外在點（*,/（8））處的切線

也是曲線y=g&）的切線.

（1）若X]=-1,求4；

（2）求。的取值范圍.

【答案】（1）3

⑵卜L+8）

【分析】（1）先由/*）上的切點求出切線方程，設出g（外上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)

值求出。即可；

（2）設出gQ）上的切點坐標,分別由/（x）和g（x）及切點表示出切線方程,由切線重合表示出明構造函

數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得。的取值范圍.

【詳解】（1）由題意知，-1-（-1）=0,r（x）=3x2-l,r（-D=3-l=2,則y=/（x）在點（―1,0）處的

切線方程為），=2（x+l）,

即y=2x+2,設該切線與g（x）切于點（號,g（a）,gtr）=2.r,貝l]g'（.q）=2/=2,解得吃=1,貝lj

g（l）=l+a=2+2,解得。=3；

（2）/'（x）=3/_l,貝ijy=/（x）在點（8/a））處的切線方程為y—（x；—xj=（3x；—l）（x—xj,整理得

y=（3x^-\）x-2x^,

設該切線與g（x）切于點伍次（々）），g'（x）=2x,則8'（勺）=24，則切線方程為曠-代+。）=2.*2（工一N2），整理

得y=2X2X-X：+G,

(u11、c394c3321

則,整理得a=J-2x；=一22=-x-2x)--X)+-?

'I22j1

令力(％)=2/一2工3-3/+L則〃'(》)=9,/-6/_3x=3x(3x+l)(x_l),令"(x)>0,解得」<戈<0或x>1,

4243

令力'（x）＜0,解得x＜_；或0＜工＜1,則x變化時，力'（尤）,〃&）的變化情況如下表:

（01）(L+8)

X-3(4-°)01

“（X）—0+0一0+

5

g)/-1/

274

則力（外的值域為卜1,+8）,故。的取值范圍為［-1,+8）.

3.（2021?北京?高考真題）已知函數(shù)/（"=方言.

（1）若〃=0,求曲線y=/（x）在點（1,/⑴）處的切線方程；

（2）若/（X）在x=-l處取得極值，求/（x）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

【答案】（1）4x+y-5=0；（2）函數(shù)/（文）的增區(qū)間為（-8,-1）、（4,伏），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,4）,最大

值為1,最小值為-

4

【分析】（1）求出/（1）、/'（1）的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

（2）由/'（-1）=0可求得實數(shù)。的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)“X）的單調(diào)性與極值，由此可得出結果.

【詳解】（1）當。=0時-，/（”=士W，則/（x）=2（^m，.?./⑴=i,/"⑴=一4,

XX

此時，曲線y=/（x）在點（以⑴）處的切線方程為jT=-4（x-l）,即4x+y-5=0；

22

19r-2（X+?）-2X（3-2X）2（x-3x-a）

（2）因為/（力=導，則&）=i］一乙；

+alx2\a\Lr2IaJ

2（4—a）

由題意可得/（T）=亍」望=。，解得。=4,

（。+1）

故""='一（犬+4）2'列表如下：

X（-00,-1）-1（-1,4）4（4,+8）

+0一0+

〃x)增極大值減極小值增

所以,函數(shù)/（x）的增區(qū)間為（-8,為）、（4,+00）,單調(diào)遞減區(qū)間為（7,4）.

當工時，〃切＞0;當時，/（x）＜0.

所以，/。濡一/（一1）-1，/（，”/（4）=一；.

4.（2021?全國乙卷?高考真題）已知函數(shù)/（幻=/一/+妙+1.

（1）討論/（X）的單調(diào)性；

（2）求曲線卜=/（力過坐標原點的切線與曲線y=/（x）的公共點的坐標.

【答案】⑴答案見解析；⑵（1M+1）和（一1，一1一。）.

【分析】（1）首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性：

（2）苜先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.

【詳解】⑴由函數(shù)的解析式可得：/'（力=3/-2工+〃，

導函數(shù)的判別式△=4-12〃,

當A=4-12〃K(),aNg時，/'(X)>0,/(x)在R上單調(diào)遞增,

當A=4-12〃>0,a時，/'(*)=0的解為:3a

~T~

當了€卜8,上午電）時，/，（x）＞0,/（x）單調(diào)遞增；

當門（匕牛豆，上經(jīng)3時，/'（x）＜0J（.r）單調(diào)遞減;

當工毛豆,+8）時，/1力＞0,/（X）單調(diào)遞增；

當a2'時,

綜上可得:/（1）在R上單調(diào)遞增,

3

業(yè)ri\f1-J1-3a)I+3a).

當“<3時，/(X)在1ro,---------J,---------,+8j上

1-yJ\-3a1+\l\-3a

單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

，3

⑵由題意可得：/(X0)=X^-XQ+ar0+l,/'(.")=3x：-2x0+4,

x

則切線方程為：V-（x；~（）+a%+1）=（3%；-2x0+rz）（x-x0）,

切線過坐標原點，則：0-（上一片+a%+l）=（3x；-2/+a）（0f）,

整理可得：2片-"=0,即：|xo-l）（2x^+xo+l）=O,

解得：x0=1,則/（.%）=/（1）=1-1+4+1=。+1,/'（%）=/11）=1+。

切線方程為：y=（a+\）x,

與/（、）=./-X2+ax+1聯(lián)立得戈3-x2+ax+i=（a+l）x,

化簡得/一/一、+］=0,由于切點的橫坐標|必然是該方程的一個根，.??（工-1）是/一/一式+［的一個因式，

???該方程可以分解因式為"-。任―］）=0,

解得X=1戶2=T,

/（-1）=-1-67,

綜上，曲線y=/（x）過坐標原點的切線與曲線》=/（工）的公共點的坐標為（1M+1）和

【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注

意單調(diào)性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論：再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時,

要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點（交點），要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解

時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考

壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.

5.（2025?北京?高考真題）已知函數(shù)/*）的定義域是（T+e）J（0）=0,導函數(shù)/（力=1^1片°,設《是曲

線?=/（x）在點工0）處的切線.

⑴求/'"）的最大值：

（2）當時，證明：除切點力外，曲線J=/（x）在直線4的上方；

⑶設過點4的直線4與直線4垂直，4,4與X軸交點的橫坐標分別是須，為，若4>0,求2"：一再的

X2~X\

取值范圍.

【答案】⑴，

e

（2）證明見解析

【分析】（1）利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；

（2）求出直線4的方程，再構造函數(shù)”力，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可;

（3）求出直線，2的方程，即可由題意得到演，當?shù)谋硎?，從而用字母。表示出—?—?從而求出范圍.

馬一演

【詳解】（I）設g（》）=/'（x）,g'Q）二+

㈠（1+J（1+xf

由g'（x）=O可得x=e-l,當工￡（-13-1）時，g'（x）＞0,g（x）單調(diào)遞增,

當He（e-l,+oo）時，gr（x）＜0,g（x）單調(diào)遞減,

所以/'（"）的最大值為了'（e-1）=L

C

（2）因為/'⑷=，；；"）,所以直線）的方程為y-/（4）Jn，；a）（x-4）,即y日心）,

設力3=/（力［叱:"）（…）+/（〃）］,/（》）=邛辿-羋?=r（x）-rs），

由（1）可知,/'（X）在xe（-Le-l）上單調(diào)遞增,而-1＜4＜0,

所以，當T＜x＜a時，/f（x）＜0,Mx）單調(diào)遞減,

當0＞x＞〃時，/?'（力＞0,”x）單調(diào)遞增，且/'（“）＜/'（（））=（）,

而當xNO時，=所以總有廣（工）之/'（。），〃（文）單調(diào)遞增

故力（x）2"a）,從而命題得證；

（3）解法一：由題意，直線4：＞=廣（。）（工一。）匹（。），直線4：V=-；7濡（工一。）貨（。）,

f（a\....

所以再=一萬、+。，々，

，IS

當工＞0時，/（V：x）＞0,/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以/（。）＞〃0）=0/（。）＞0,

_2〃—［/（"僅）+〃］一需+a

所以2…廣覆=-------------I/（乙」

占$/（。）/'（。）也―也

--［/'（疥+匚山2

7（。）］2+1［/'（叫M

由⑴可得當。＞0時，八研0（，

所以[，(明屋[。塌，潟H堯,2,,

所以2f.

七一再]e-+lJ

解法二：由/'(X)J".+')可設f(x)="0+@+c，又〃0)=0,所以。=0,即/(x)」，(l+x),

1+x22

囚為直線/,的方程為y=叱；“)(、-0)+嗎+。易知a工0,

所以直線L的方程為

ln(l+a)2

(l+a)ln(l+a)_ln''(l+a)

…2，22(l+a)/

(l+a)ln(l+?)In?(1+a)

2fr=—2-2(l+a)=(1+鎮(zhèn)-明1+。)

2

x2-x]加3(1+4)?(1+a)ln(1+a)In(l+a)+(1+a)

2(1+67)T

”(1+?

(謂)=導瑞=T+T7^,由(，)知，當x＞。時，8(小(。中，所以g()e(00],

(1+4”

P；^..2a—x—x.e"-1

所以----:一2Le-1―-,1.

/一演|_e~+l)

考點02利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

6.(2025?上海?高考真題)已知-(加+2)x+加lnx,〃?€R.

(1)若/(1)=0,求不等式/*)4/-1的解集；

(2)若函數(shù))，=/(')滿足在(0,位)上存在極大值，求機的取值范圍；

【答案】(1)[1.+8)

⑵〃？>0且，〃=2.

【分析】(1)先求出〃?，從而原不等式即為x+lnx>l,構建新函數(shù)s(x)=x+lnx,x>0,由該函數(shù)為增函

數(shù)可求不等式的解.；

(2)求出函數(shù)的導數(shù)，就〃三0,0<〃?<2,〃?=2,〃>2分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)因為/⑴=0,故1-加-2+0=0,故加=-1,故f(x)=x2—x—Inx,

故〃切4/_]即為x+]nxNi,

設s(x)=x+lnx,x>0,則*x)=l+,>0,故s(x)在(0,+8)上為增函數(shù),

而x+lnx21即為s(x)2s⑴，故.1之1,

故原不等式的解為[1,+8).

(2)〃力在(0,+句有極大值即為有極大值點.

?)=2…+2)+*史士生士0一〃?)(1),

XXX

若加40,則工￡(0,1)時，/'(x)<0,x?l,+8)時，,r(x)>0,

故工=1為〃x)的極小值點，無極大值點，故舍；

若0<‘<1即0<〃？<2,則工€r（x）<o,

2

X€[0,yU(L+8)時，/'(X)>O.

\乙)

故工=1為/(x)的極大值點，符合題設要求：

若陽=2,則工￡(0收)時,/(X)無極值點，舍；

若三>1即小>2,則時，/'3<0,

/\

xe(0,l)Uy,-H?時，")>0,

故工=1為/(X)的極大值點，符合題設要求；

綜上,>0且加工2.

7.(2024?新課標II卷?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e*-G-/.

(1)當。=1時，求曲線，=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

⑵若/(x)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

［答案］⑴(e—l)x_y_］=0

(2)lJ，+8)

【分析】(1)求導，結合導數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導，分析利。>0兩種情況，利用導數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

構建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導，可知/<x)=ex-a有零點，可得〃>(),進而利用導數(shù)求/(力的單

調(diào)性和極值，分析可得Y+ina-l〉。，構建函數(shù)解不等式即可.

【詳解】(1)當。=1時，則/(x)=e'-x-l,/,(x)=er-l,

可得/6=e-2,r(l)=e-l,

即切點坐標為(l,e-2),切線斜率上=e-l,

所以切線方程為尸(e-2)=(e-le-1),即(e-l)x-y-1=0.

(2)解法一：因為/(%)的定義域為R,且/'(x)=e'-a,

若。40,則/'(》)？0對任意xeR恒成立，

可知/*)在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意;

若q>0,令/'(無)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/⑴在(-%In”)內(nèi)單調(diào)遞減，在(hw,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(X)有極小值/(Ina)=a-alna-a\無極大值，

由題意可得：/(ln4)=a-alnq-a'<0,即/+ina_l>0，

構建g(a)=〃2+lna-l,a>0,則g'(a)=24+,>0,

可知g(a)在(0,田)內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式儲+ma-l>0等價rg(")>g⑴，解得。>1,

所以a的取值范圍為(L+8)；

解法二：因為/(X)的定義域為R，且/'(x)=e，-a,

若f(x)有極小值,則/'(X)=e*-。有零點,

令(")=/-4=0,可得e、a,

可知y=e、與N=a有交點，則a>0,

若〃>0,令/L。，解得x>lna；令/，(x)<0,解得xvlna；

可知/(用在(-叫Ina)內(nèi)單調(diào)遞減,在(lno,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

則/W有極小值=無極大值，符合題意，

由題意可得：/(ln4)=4—alna-/<0,即/+hw—1>0，

構建g(Q)=/+lnt/-l,a>0,

因為則y=a:y=ln4-l在(0,+??)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知g(a)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式/+lna-l>0等價于g(a)>g⑴，解得。>1，

所以a的取值范圍為(1,+8).

8.(2023?北京?高考真題)設函數(shù)/(x)=x-工%卬=曲線，=/?在點(1J⑴)處的切線方程為歹=-x+l.

(1)求〃的值；

(2)設函數(shù)g(x)=f\x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求/'a)的極值點個數(shù).

【答案】

(2)答案見解析

(3)3個

【分析】(1)先對/(力求導，利用導數(shù)的幾何意義得到/⑴=0,/'⑴=-1,從而得到關于。力的方程組,

解之即可；

(2)由⑴得g(x)的解析式，從而求得g'(%),利用數(shù)軸穿板法求得g'(x)<。與g'(x)>0的解,由此求

得g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)結合(2)中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間(-8叫，(。,再)，(玉，々)與伍，+8)上/'(X)

的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關系求得/(x)的極值點個數(shù).

【詳解】(1)因為/(xXx-dy'xeR,所以/'(戈)=1-(3/+小卜。"，

因為/(x)在(1J⑴)處的切線方程為歹=r+1,

所以〃1)=-1+1=0,/'⑴=-1,

l-l3xea+/,=0\a=-\

則Jid]，解得匕],

l-(3+a)e=-1[D=I

所以a=_[6=l.

⑵Fh(1)得g(x)=/'(x)=l—(3x273)cF(xeR),

貝|Jg<x)=-6x+6)e,

令V-6x+6=0，解得x=3±\/J，不妨設X]=3-石，x2=3+V3,則0<±<七,

易知e-z>0恒成立，

所以令g'(x)<0，解得0<x<X]或ex?；令g'(x)>0,解得x<0或$：

所以g(x)在(0,再),(孫加)上單調(diào)遞減,在(Y?,0),(再/2)上單調(diào)遞增，

即g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3-3)和(3+6+00),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(3-6,3+⑹

(3)由(1)得/(幻二工一人向口二)，/'(x)=l—(3/-/)。山，

由(2)知/'(X)在(0,再)，(X2,+9)上單調(diào)遞減，在(-8,0),(%,%2)上單調(diào)遞增，

當工<0時，r(-l)=l-4e2<0,r(0)=l>0,即八-1)八0)<0

所以/'")在(-8,0)上存在唯一零點，不妨設為演，則

此時，當時，r(A-)<o,則/(X)單調(diào)遞減；當事<“<0時，/Z(A-)>O,則/(X)單調(diào)遞增；

所以/(x)在(-8,0)上有一個極小值點；

當）w（0,再）時，/'（x）在（O,xJ上單調(diào)遞減，

則r（xJ=/'（3-G）＜/'（l）=l-2＜0,故/"（。）/'（須）＜0,

所以/'（X）在（0，修）上存在唯一零點，不妨設為甚,則。＜/＜玉，

此時,當Ovx—4時，/'（力＞0,則/（力單調(diào)遞增:當七時，/'3＜0,則〃力單調(diào)遞減；

所以/（x）在（0，演）上有一個極大值點；

當aw（演,電）時，/（x）在（》,電）上單調(diào)遞增,

則（仁）=/'（3+百）＞/'⑶=1＞0,故/'（』）/'?）＜0，

所以/‘（工）在a，與）上存在唯一零點，不妨設為毛，則玉＜七V4，

此時,當再時，/'（x）＜0,則/（X）單調(diào)遞減;當/＜x＜當時，f（x）＜0,則f（x）單調(diào)遞增;

所以/（X）在（x”》2）上有一個極小值點；

當*＞%2=3+G＞3時，3X2-X3=X2（3-X）＜0,

所以/'（x）=1-（3/-/＞（）,則/（力單調(diào)遞增，

所以/"）在（當，位）上無極值點；

綜上：“X）在（-8,0）和（西,馬）上各有一個極小值點，在（0,內(nèi)）上有一個極大值點，共有3個極值點.

【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷/'（須）與/'（工）的正負情況，充分利用/'（X）的單調(diào)性,

尋找特殊點判斷即可得解.

9.（2023?新課標H卷?高考真題）（1）證明：當0vx＜l時，x-x2＜sinx＜x：

（2）已知函數(shù)/（x）=cosar-ln（1-Y）,若.”（）是的極大值點，求。的取值范圍.

【答案】（1）證明見詳解（2）（―,-板）U（6內(nèi)）

2

【分析】（1）分別構建尸（x）=x-sinx,xe（（）,l）,G（x）=x-x+sinx,xG（0,1）,求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)

的單調(diào)性，進而可得結果；

（2）根據(jù)題意結合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研窕/（戈）在（0,1）二的單調(diào)性，求導，分類討論（）＜〃2＜2和

/之2,結合（1）中的結論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.

【詳解】（1）構建戶（x）=x-sinx,xw（0,l）,則尸（x）=l-cosx＞0對Vxe（（U）恒成立，

則產(chǎn)（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，可得色（力＞產(chǎn)⑼=0,

所以了＞$伺》,工€（0,1）：

2

構建G（x）=sinx-1一./）=x-x+sin.r,xG（0,1）,

則G'(r)=-1+cos%T<=(0,1),

構建g(x)=G<x),xw(O,l),則g'(x)=2-sinx>0對Vxw(O,l)恒成立，

則g(x)在(01)上單調(diào)遞增，可得g(x)>g(O)=O,

即G'(x)>0對Wxw(O,l)恒成立，

則G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，可得G(x)>G(0)=0,

所以sinx>x-x2,xe(0,1)；

綜上所述：x-fvsinxvx.

(2)令解得T<x<l,即函數(shù)/(x)的定義域為(-L1),

若q=0,則=,

因為y=-ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，歹=1-/在(_i,o)上單調(diào)遞增，在(0/)上單調(diào)遞減,

則=在(_],0)上單調(diào)遞減,在(0/)上單調(diào)遞增，

故工=0是的極小值點，不合題意，所以"0.

當〃00時，令8=問>0

因為/(x)=cos6?x-ln(l-x2)=cos(|^|x)-In(1-x2)=cosZ>x-ln(l-x2),

且f(-x)=cos(-bx)-ln[1-(-x『]=cosbx-In^-.v2)=/《)，

所以函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，

由題意可得：/'(x)=—bsin瓜—含

(i)當0<從42時，取根=min<0,l，，xe(0,〃?)，則bxw(0,l),

b

由(I)可得/(力=一加由(聞一￡^>一81—^J伍：十丁)

且戶屋0,2-〃20,12>0,

所以/”)>小若9>0，

即當xe(O,〃?)q(O,l)時，f'(x)>Qt則/⑺在(0,洲)上單調(diào)遞增,

結合偶函數(shù)的對稱性可知：/(x)在(-",0)上單調(diào)遞減，

所以》=0是/(力的極小值點，不合題意；

(ii)當從>2時，取xw0,^1CI0,1),則隊e(0,l),

由(I)可得/'(x)=-bsinbx-^^<-b(bx-〃x2)_=±f^x3+b2x2+b^x+2_b2\

x—1x“一11—

構建力(x)=-力%3+〃/+/x+2-/j2,xe0,q),

則力'(x)=-3b3x2+2b2x+b\xek,

且'⑼=/>o,/(W=/一、>0,則/(X)>0對立w(0,)恒成立,

可知力⑴在(0,()上單調(diào)遞增，且萬(0)=2-〃<0,《；/2>0

所以〃(x)在(0,￡|內(nèi)存在唯?的零點T畤

當xw(0,〃)時，則A(x)<0,月>o,

則r(x)<-^T(-^3+b2x2+Z/x+2-/<0,

即當xe(0,〃)q((M)時，/(%)<0,則/(x)在(。,〃)上單調(diào)遞減,

結合偶函數(shù)的對稱性可知：/(x)在(-〃，。)上單調(diào)遞增，

所以x=0是/(力的極大值點，符合題意；

綜上所述：/>2,即/>2,解得〃>也或拒，

故〃的取值范圍為(-00,-旬U(后,+00),

【點睛】關犍點睛：

1.當0</?2時，利用sinx<x,xe(o,l),換元放縮：

2.當/之2時，利用<sinx,xw(0,l),換元放縮.

10.(2023?全國乙卷?高考真題)已知函數(shù)/(%)=&+。[1]](1+現(xiàn)

⑴當。=-1時，求曲線P=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)是否存在小b,使得曲線)，=/(/)關于直線x=b對稱，若存在，求小力的值，若不存在，說明理由.

(3)若/(x)在(0,+8)存在極值，求°的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+y_ln2=0：

(2)存在。=3力=-3滿足題意，理由見解析.

⑶闖.

【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求

解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)6的值，進一步結合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可

得關于實數(shù)〃的方程，解方程可得實數(shù)。的值，最后檢驗所得的。力是否正確即可；

(3)原問題等價于導函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構造新函數(shù)g(x)=〃x2+x-(x+l)ln(x+l),然后對函數(shù)求導，

利用切線放縮研究導函數(shù)的性質(zhì)，分類討論。＜0，和()＜&＜2一中情況即可求得實數(shù)。的取值范圍.

22

【詳解】(1)當a=—1時，〃％)=6-1)皿％+1),

則r(x)=+*g+i)+&-ib《，

據(jù)此可得/⑴=0/⑴=-仙2,

函數(shù)在(1,/。))處的切線方程為尸()=-ln2(x-l),

K|J(ln2)x+j-ln2=0.

(2)令8(x)=/(目=卜+〃)1《41,

函數(shù)的定義域滿足上1+1=士yI＞10,即函數(shù)的定義域為(-'-1)“0,+8),

XX

定義域關于直線》=-g對稱，由題意可得6=-!，

22

由對稱性可知且(-；+〃?)=8(-9m)(?。?,

取陽=I"可得且⑴=g(-2),

即(a+l)ln2=(a—2)hig,則a+!=2-a,解得a=；,

經(jīng)檢驗〃=:力=一:滿足題意，故a=

2222

即存在〃=:力=-2滿足題意.

22

(3)由函數(shù)的解析式可得/'&)=(一3卜小+1)+((+。］缶.

由/'(x)在區(qū)間(0,+3)存在極值點，則/"(X)在區(qū)間(0,+。)上存在變號零點;

令卜撲(x+l)+g+a層=0,

!?!iJ-(x4-l)ln(A+l)+(x+av2)=0,

令g(x)=a42+x-(x+l)ln(x+l),

/(X)在區(qū)間(0,+8)存在極值點，等價于g(1)在區(qū)間(0,+。)上存在變號零點,

1

g")=2aln(x+l),g"a)=2。-

x+i

當q?0時,/(》)<(),g("在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞減,

此時g(x)<g(0)=0,g(x)在區(qū)間(0,+的上無零點，不合題意;

當。2，2。21時，由于占<1，所以g"(x)>0，g'(x)在區(qū)間(。，+8)上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=O，g(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>g⑼=0,

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)上無零點，不符合題意；

當0時，由g"(x)=2o--!—=0可得x=-!--1,

2'/x+12a

當工￡(0,*-1)時，g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，

當工€(；-1,十8)時，g"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增，

故g'(x)的最小值為g'(5—1)=1-2。+In2。，

令陽(x)=l-x+lnx(0<x<l),貝!M(x)=""I>0,

X

函數(shù)m(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，〃?(x)<加⑴=0,

據(jù)此可得17+仙工<0恒成立，

(1、

則g'---1=1-2〃+In2。<0,

由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當xf+8時，

x

g(.r)=lax-In(x+1)-?4-OD,

且注意到g'(0)=0，

根據(jù)零點存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點一”.

當Jee?,%)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)減,

當不?.%,+8)時，gf(x)>0,g3單調(diào)遞增,

所以g(/)<g(0)=0.

n(x)=lnx-Vx,則〃<x)」一^==2,

則函數(shù)〃(x)=lnx-4在(0,4)上單調(diào)遞增,在(4,+oo)上單調(diào)遞減,

所以〃（同工〃（4）=1114-2<0,所以lnx<4,

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0,+8）上存在變號零點，符合題意.

（1、

綜合上面可知:實數(shù)。得取值范圍是.

【點睛】（1）求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等

函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.

（2）取據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利

用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.

考點03利用導數(shù)研究不等式恒成立問題

11.（2025?全國一卷?高考真題）（1）設函數(shù)/（x）=5cosx-cos5x,求/⑴在0。的最大值；

4

（2）給定06（0,兀），設4為實數(shù)，證明：存在+,使得cosy《cos。；

（3）設若存在QCR使得5cosx-cos（5x+s）工〃對xwR恒成立，求力的最小值.

【答案】（1）3百

（2）證明見解析

（3）30

【分析】（1）利用導數(shù)結合三角變換得導數(shù)零點，討論導數(shù)的符號后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利

用均值不等式可求最大值.

（2）利用反證法可證三角不等式有解；

（3）先考慮8=0,兀時力的范圍，對于。七（0,兀）時，可利用（2）中的結論結合特值法求得623石，從而可

得b的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得620,再結合特值法可得623石，結合（1）的結果可得6的

最小值.

【詳解】(I)法1：/"(x)=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x,

因為xw0,：兀,故2XW0弓,故…。,

4

jr.

當0cx■時，cos3x>0即/'(x)>0,

當;<x<：時，cos3x<0即f\x)<0,

故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù),

64

故小)在［。制上的最大值為嗚尸嶗-cos—=3\5".

466

法2：我們有cos5x=cos(x+4x)=cosxcos4x-sin,vsin4x

=cosx(2cos22x-lj-sinx-2sin2JCOS2X

2

=cosX(2(2COSX-1)-1j-sinx-2-2sinxcosxcos2x

=cosx(8cos4x-8cos2x+l)-4cosxcos2xsin2x

=8cos5x-8cos'x+cosx-4cosx(2cos2-cos2x)

=16cos5x-20cos3x+5cosx.

所以:

/(x)=5cosx-cos5x=5cosx-(16cos'x-20cos'x+5cosx)=20cos3x-16cos'x

4cos3x(5-4cos2x)<4|COSJV|3(5-4卜05乂1=4|cosx『(V?-2|cosx|)(>/5+2kosx|)

32

cosx|-|cosx|-|cosx|-石-21cos石+2]cosx|)

T

cosx|+|cosx|+|cosx\+'厄+3(石一21cosx"+--(,5+2|cosx|j

35//

《圖二6

這得到/(x)W3石，同時又有/信

故"X)在0，：上的最大值為36,在R上的最大值也是36.

(2)法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得cosxWcos。的解為［2履+。,2妊+2兀-句，kwZ,

若任意［2瓜+42A兀+2兀與+句交集為空,

則a—0>2kit+2兀一。-且(7十0<2ATC+2兀十。，廿匕時a無角聿,

矛盾，故無解；故存在AwZ,使得［2E-H2反+到小（。-4。+6）工0,

法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知cosyVcosO的解為［2E+0,2（左+1）兀一。］（左eZ）,

若每個［2E+6,2（A+1）兀一。］與,一仇。十可交集者B為空，

則對每個/€Z,必有2（k+1）加一。<。一?；?攵兀+0>4之一成立.

此即攵<二-1或&>*,但長度為1的閉區(qū)間￡-1,￡上必有一整數(shù)〃，該整數(shù)左不滿足條件，矛盾.

27r2兀|_2兀2兀一

故存在ye［。一使得cosyKcosO成立.

（3）法1：記/i（x）=5cosx-cos（5x+0）,

|大I為/?（x+2兀）=5cos（x+2兀）一cos（5.r+10兀+勿）=力（x）,

故》（x）為周期函數(shù)且周期為2小故只需討論工€［0,2n］,0?0,兀］的情況.

當夕=兀?時，h（X）=5cosx-cos（5x+n）=5cosx+cos5x<6,

當夕=0時，h（x）=5cosx-cos5x,

此時〃（x）=—5sinx+5sin5x=1。8S3xsin2x,xw（0,2TT）,

人］,/、八..I7t7t5兀77137t117T

令力（x）=0,則x=：,不丁,兀,L，刀,丁，

626626

而吟=〃（孚）=3收力g）=A（V）=°，力（當=啟）=-3底人⑴=-4,

662266

"。）=h（2n）=4,故"（x）a=/*）=力（與）=3百，

當夕e（0,7t）,在（2）中取W=/,則存在歹?。一43+句，使得cosyWcos。，

加，57t百廣y-（p（0y一中（萬乃1

取6=丁，Mnilcosy<--?取x=-7,7即x=-，

6，25k55J5V66J

故5cos，故5cosx-cos（5x+e）之3G,

綜上6236，可取x=g8=0使得等號成立.

6

綜上，%-36

法2：設g@（x）=5cosx-cos（5x+e）.

①一方面，若存在*,使得&（"=5（：001-（：0§（5工+勿）《人對任意工恒成立，則對這樣的9,同樣有

g/x）=-g@（x+7C）N-b.

所以L（X）伯力對任意X恒成立，這直接得到此0.

設，"機，則根據(jù)卜⑺山恒成立，有

4=6cos--=pcos

?66jr

b>1

所以|cos小cosm+—

再結合cos2x=2|cosx『-1,

就得至此0$2小,85(2〃?+與，cos(2〃?一方均不超過2(.)-1=y^-1

假設6<3百，則〃KA-