專題25雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

塞內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

R教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

io大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升二小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

。析教材學(xué)知識

知識點01：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

二—q=1￡_^

標(biāo)準(zhǔn)方程?2b2-a2b2-=1

(a>0,b>0)(a>0,b>0)

圖形MT/

范圍x>a^x<—ay<-a^y>a

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點

頂點坐標(biāo)A(―Q,0),^20)A(0,—a),A2(0,ci)

性質(zhì)

?b,a

漸近線y=±—xy-±—x

ab

c

離心率e=一,^e(l,+oo),

a

a,b,c間的關(guān)系c2=a2+b2

2、等軸雙曲線

22

二—二=1(?>0,/?>0)當(dāng)a=b時稱雙曲線為等軸雙曲線

/b-

性質(zhì)：

@a=b；

②離心率e=VI；

③兩漸近線互相垂直，分別為y=±x；

④等軸雙曲線的方程/—儼=入，2*0；

3、對雙曲線離心率的理解

22

在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度.在雙曲線二-二=1（。〉0］〉0）中，雙曲線的“張

ab

口”大小是圖象的一個重要特征.因為e=￡==Jl+耳，所以當(dāng)白的值越大，漸進線y=

aa\aQ

的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，e也就越大，故e反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率

越大，它的“張口”越大.

【常用結(jié)論】

22

①若漸近線方程為y=+-x,則雙曲線方程可設(shè)為f—二=2（2豐0）,

mmn

2222

②若雙曲線與J-2=1有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為二-二=九（九>0,焦點在X軸上,

a2b2a2b-

九<0,焦點在y軸上）

知識點02：直線與雙曲線的位置關(guān)系

22

設(shè)直線/：y=Ax+m,雙曲線三一%=1（。〉0］〉0）聯(lián)立解得：

（Z72-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0

bb

（1）加=0時，—<左<一,直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；

aa

bb

kN—,k<—,或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；

aa

b

（2）加wO時，上存在時，若b?—a2k2=0,k=±—,直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于

a

-'點；

若芹-儲左2w0,小=（-2a2mk）2-4（Z?2-a2k2\-a2m~-a2b2）=4a2b2（m1+b2-a2k2）

△>0時，//+尸―/左2>o,直線與雙曲線相交于兩點；

△<0時，m2+b2-a2k2<0,直線與雙曲線相離，沒有交點;

△=0時m2+/?2—/左2=0，k2=_耳_直線與雙曲線有一個交點；相切

當(dāng)人不存在，-。＜機＜。時，直線與雙曲線沒有交點；m＞a或機＜-a直線與雙曲線相交于兩點；

注：直線與雙曲線有一個公共點時，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與

雙曲線相交，只有一個交點.

知識點03：弦長公式

1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于AOi，%）,^（々，為）兩點，左為直線斜率

知識點04：雙曲線中點弦與點差法

222

Vvh

設(shè)"（%,%）為雙曲線與―2T=1弦A3（A5不平行V軸）的中點，則有左AB?40"=彳

y—y〃

證明：設(shè)4（和以），3?,%）,則有,

M廿一

兩式相減得：=名-五＞=o

4b2

整理得：W=工,即詈土2等二22=4，因為?（%,%）是弦AB的中點,

（玉+%2）（玉一%2）a

%=2%

所以：k（）M=M+%

所以左AB,左OM==

西型強知識

【題型01：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)】

一、解答題

1.（24-25高二上?陜西渭南?期末）已知雙曲線方程9/-16/=144,寫出它的頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)，計算

它的焦距，實軸長，虛軸長，漸近線方程以及離心率.

二、單選題

2.（24-25高二下?廣東揭陽?月考）若雙曲線/—-y2=i的實軸長為明則加的值為（）

蘇+1

A.±>/3B.73C.±715D.V15

2222

3.（23-24高二上.江蘇揚州.期中）若雙曲線工一匕=1的焦點與橢圓上+匕=1的長軸端點重合，則a的

m243

值為（）

A.2B.4C.-2D.-4

4.（24-25高二上?江蘇常州?期中）雙曲線/+/町？=1實軸長是虛軸長的2倍，則實數(shù)的值為（）

A.—B.—C.—2D.—4

24

2222

5.（24-25高二上?云南紅河?期末）雙曲線上-2-=1與雙曲線------=1（-4＜%＜12）的（）

12412-k4+k

A.實軸長相等B.虛軸長相等

C.離心率相等D.焦距相等

三、多選題

2222

6.（24-25高二下?湖南?月考）已知雙曲線C|：\-方=1和C?：y1,其中。＞0力＞0,且"2,則

（）

A.G與a虛軸長相等B.a與c?焦距相等

c.G與G離心率相等D.G與g漸近線相同

【題型02：由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】

一、單選題

1.（23-24高二下.湖南.期中）已知雙曲線后的實軸長為6,焦點為（0,±5）,則￡的漸近線方程為（）

A.3x±4y=0B.5%±4y=0

C.4x±5y=0D.5x±6y=0

22

2.（24-25高二上.江蘇徐州.期中）以橢圓工+乙=1長軸的兩個端點為焦點，以橢圓的焦點為頂點的雙曲

259

線的方程為（）

22

Ax2y2Rx2y2x/n%/1

2591625169916

3.（24-25高二上?寧夏銀川?期中）已知雙曲線C：±-《=1（。＞0力〉0）的一條漸近線方程是y=-中工，

a

實軸的長度為2VL則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（)

A.——y2=1B.--/=1

32

23

4.（24-25高二上?四川宜賓?期中）已知等軸雙曲線過點（2,1）,則該雙曲線方程為（）

A.x2-y2=lB.%2+y2=5

C.x2-y2=3D.y2-x2=3

22

5.（23-24高二上?四川成都?期末）已知雙曲線的虛軸長是實軸長的6倍，且與橢圓方+1=1有公共焦點，

則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A丫2y2[Bx2?1cx2y21dy2,

A.x------=1o.-------y=1C.----------=1L）.----------=1

332662

二、解答題

6.（24-25高二上?陜西西安?月考）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為:，且經(jīng)過點舷卜3,2A）；

⑵漸近線方程為y=±：x,且經(jīng)過點4（2,-3）.

7.（24-25高二?上海?假期作業(yè)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（l）a=4,經(jīng)過點A）,-孚）；

22

⑵與雙曲線器-\=1有相同的焦點，且經(jīng)過點（30,2）；

⑶與雙曲線1-產(chǎn)=1有公共的漸近線，且過點（后,0）.

【題型03：求雙曲線離心率的值】

一、單選題

22

1.（24-25高二下?山西?開學(xué)考試）已知雙曲線六-a=13>0）的焦距為12,則該雙曲線的離心率為（）

A.*B.72C.V3D.2

22

2.（24-25高二下.貴州六盤水?月考）設(shè)雙曲線C:與-與=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳B，過^

ab

作X軸的垂線交雙曲線C于兩點，若是正三角形，則C的離心率為（）

A.y/2B.73C.A/6D.25/2

22

3.（24-25高二下?河南商丘?月考）已知我|,與是雙曲線°:=-2=1（。>0力>0）的左、右焦點，以線段月8

ab

為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點P,若怛匐=3戶閭，則雙曲線C的離心率為（）

A.—B.-C.2D.y/s

42

4.（24-25高二上?湖北武漢?期末）雙曲線C的兩個焦點為耳、F2,以C的實軸為直徑的圓記為。，過月作

3

圓。的切線與。的兩支分別交于M、N兩點，且cosN^NB=g,則雙曲線C的離心率為（）

A.巫B.畫C.6D.近

2313

二、填空題

22

5.（24-25高二上?湖北襄陽?期末）已知耳，鳥分別為雙曲線E:=-谷=1的左，右焦點，點M在雙曲線E

ab

上，閨閶：匡閨A1|=2:3:4,則雙曲線￡的離心率為.

22

6.（24-25高二下?四川瀘州?月考）設(shè)雙曲線C:二-q=1的左，右焦點分別是憶F?,點〃是C上的點，

ab

若是等腰直角三角形，則C的離心率是—.

22

7.（2025?福建廈門?模擬預(yù)測）已知雙曲線E:二-夫=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別為印工，過點耳的

ab

直線/交E的左支于A,8兩點.|。到=。耳|（。為坐標(biāo)原點），點。到直線/的距離為:"，則該雙曲線的離

心率為.

22

8.（24-25高二下?浙江杭州?期中）已知居，月是雙曲線二-2=1（。＞0,6＞0）的左，右兩個焦點，若雙曲線

ab

上存在一點P滿足|閡=3隹-缶，則該雙曲線的離心率為.

【題型04：求雙曲線離心率的取值范圍】

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東江門?期末）設(shè)雙曲線5-q=1（。＞6＞0）的離心率為e,雙曲線漸近線的斜率的絕

ab

對值小于且，則e的取值范圍是（）

2

Y2-V271

2.（24-25高二上?天津?期末）已知雙曲線4=1（。＞0力＞0）的兩條漸近線之間的夾角小于丁則雙曲

ab3

線的離心率的取值范圍是（）

A.（1,3）B.[1，歆]C.（2,+oo）D.^l,^p（2,+?）

22

3.（24-25高二上?江蘇南通月考）若直線y=3x與雙曲線2T=i?/,>o）無公共點，則雙曲線離心率的

ab

取值范圍為（）

A.（1,河B.（1,710）C.即,D.5,+可

22

4.（24-25高二上?遼寧大連?期末）已知點不工是雙曲線鼻-2=1（“>0,人>0）的左、右焦點，若雙曲線

cib

上存在一點尸滿足「石孑6二-片，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）

A.[V§\+8）B.[2,+oo）C.|^A/5—1,+cojD.^A/2,+ooj

22

5.（24-25高二下?湖北?開學(xué)考試）已知雙曲線u5—2=1（〃〉0,。>0）的左右焦點分別為月，F(xiàn)2,過用

ab

的直線與雙曲線的左支交于A,5兩點，若g的周長為8”，則雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.[6,+8）B.["+8）C.（1,0]D.（1,6]

22

6.（24-25高二上?湖北?月考）已知小瑞是雙曲線E:1T-3=1（°>6>0）的左、右焦點，以F?為圓心，

。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于A、8兩點，若仙網(wǎng)>2用，則雙曲線E的離心率的取值范圍是

二、填空題

22

7.（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）如果雙曲線「-斗=1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等

ab

的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是.

22

8.（23-24高二上?貴州銅仁?月考）已知雙曲線C：之-2=1（。>0,6>0）的左，右焦點分別為3、F2,焦

ab

距為2c.若以線段耳耳為直徑的圓與直線ax-勿+2ac=。有交點，則雙曲線C的離心率取值范圍為

22

9.（24-25高二上?內(nèi)蒙古包頭?期末）已知雙曲線，-與=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為《，后，點、P

ab

在雙曲線的右支上，且歸耳|=5|尸閶，則雙曲線離心率的取值范圍是—.

【題型05：雙曲線離心率中的參數(shù)問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?湖北武漢?月考）已知雙曲線;戶1（a>6>0）的離心率為華貝I］橢圓捺+*1的

離心率為（）

A.變B.正C.近D.1

2322

22

2.（24-25高二上?河南?月考）設(shè)雙曲線G：土-y2=i,c,:/一匕=1的離心率分別為"，氣.若4二近/

m2

則m=（）

A.1B.2C.4D.8

22

3.（2025?江西?三模）已知雙曲線C:\-==l（a>0/>0）的右焦點為八左頂點為A,離心率為3,B為

cib

C上一點，且位于第一象限，若班■垂直于X軸，則直線A3的斜率為（）

A.1B.2C.3D.72

22

4.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）點P是雙曲線［-斗=1（°>0,6>0）上的點，耳,尸2是其焦點，雙曲線

ab

的離心率是。，且尸片，尸耳，若￡尸耳的面積是9,則的值等于（）

4

A.4B.5C.6D.7

5.（23-24高二上.江蘇常州?期中）已知雙曲線C的中心為0,離心率為血，焦點為耳，工，M為C上一

點，|肛卜|"42=8,則10Ml=（）

A.20B.3C.4D.8

二、填空題

22

6.（23-24高二上?安徽?期中）已知雙曲線C:=-與=1的離心率是若，片,名分別為雙曲線C的左、右焦點，

ab

過點F?且垂直于x軸的垂線在x軸上方交雙曲線C于點M,則tan/M￡入的值為.

22

7.（24-25高二上?上海?期末）已知雙曲線C:二-與=l（a>0,b>0）的離心率為百，左、右焦點分別為小

ab

F2,F?關(guān)于c的一條浙近線的對稱點為尸.若|尸胤=2,則P//的面積為.

【題型06：雙曲線的漸近線】

一、單選題

22

1.（2025?福建南平?三模）已知雙曲線C:二-二=1（。>0,6>0）的一條漸近線為了=岳，則C的離心率

ab

為（）

A.與B.72C.2D.73

22

2.（24-25高二下?云南文山?月考）已知雙曲線-—2=1（。>0,6>0）的一條漸近線的斜率6，一個焦點

cib

為（-6,0）,則雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）

A.3A/3B.述C.3D.6

2

22

3.（2025?山東濟寧?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：5一上=1（°>0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,M為C上

a16

一點，c的兩條漸近線方程為y=±gx,若|崢卜7,貝1」班卜（）

A.1B.13C.1或13D.2或14

22

4.（24-25高二下?湖南長沙?期末）設(shè)/為雙曲線C:「-與=1（a>0,b>0）的右焦點，?,夕分別為

ab

C的兩條漸近線的傾斜角，且滿足P=5c,已知點P到其中一條漸近線的距離為白，則雙曲線C的焦距為

（）

A.2月B.2C.4A/3D.4

22

5.（2025?四川瀘州?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:，-方=1（。〉0力>0）的左焦點為八直線>=近住/0）與C

的左、右兩支分別交于點A2,若E4-FB=0,|E4|=g,則C的漸近線方程為（）

A,272J2

33

R.3A/2X3A/2X

42

6.（2025?山東聊城?二模）雙曲線C的方程為Y-y2=44>0）,直線x-2y+3=0與雙曲線左右兩支分別

交于A,B兩點，與兩條漸近線分別交于E,尸兩點，若E,E是線段AB的三等分點，則彳的值為（）

A.4B.8C.12D.24

二、填空題

2

7.（24-25高二下?上海楊浦?期末）雙曲線C:/一,=1的兩條漸近線的夾角是；，則該雙曲線的焦距長

是.

22

8.（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測）過原點。的直線/與雙曲線C:J-3=l（a>0,b>0）交于A,B兩點，。為

ab

C的右頂點，直線D4與直線的斜率之積為3,則C的漸近線方程為一.

v-2Y2九2

9.（24-25高二下?湖南長沙?月考）已知設(shè)橢圓c：2+3=l的離心率為6,雙曲線￡：々一二=1

baba

的離心率為e2,且?＞2=半，則雙曲線E的漸近線的方程為.

22

10.（24-25高二下?上海?月考）已知片、月是雙曲線「：5-2=1（。＞0,6＞0）的左右焦點，/是:T的一條漸

ab

近線，以F?為圓心的圓與/相切于尸.若雙曲線「的離心率為VL則sinNP18=.

【題型07：直線與雙曲線的位置關(guān)系】

一、解答題

1.（23-24高二上嚏國?課后作業(yè)）已知雙曲線V-9=4,直線/：丁=發(fā)食-1）,試確定實數(shù)左的取值范圍，

使：

（1）直線/與雙曲線有兩個公共點；

（2）直線/與雙曲線有且只有一個公共點；

⑶直線/與雙曲線沒有公共點.

22

2.（23-24高二上?上海?月考）已知點D（l,虛）在雙曲線-方=1（°＞。力＞。）上，且雙曲線的一條漸

近線的方程是石x+y=0.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）若過點（0,1）且斜率為左的直線/與雙曲線C僅有一個交點，求實數(shù)上的值.

22_

3.（24-25高二上?河南駐馬店?期中）已知雙曲線E:5-與=1（。＞0,6＞0）的離心率為血,焦點廠到漸近

ab

線的距離為1.

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線/：y=履-1與雙曲線￡的左支交于不同兩點，求實數(shù)k的取值范圍.

【題型08:弦長及三角形面積問題】

一、解答題

1.（24-25高二上?天津和平?期中）已知雙曲線C：提-廠但叫的焦距為坊且左右頂點分別為4，&,

過點7（4.0）的直線/與雙曲線C的右支交于M,N兩點.

⑴求雙曲線的方程；

（2）若直線MN的斜率為弓，求弦長囚網(wǎng).

2.（24-25高二上?福建福州?月考）已知雙曲線C:，-方=1,>0/>0）的實軸長為2,右焦點尸到漸近線

的距離為VL

⑴求雙曲線C的方程；

（2）若直線y=x+a被雙曲線C截得的弦長為8后，求實數(shù)，"的值.

3.（24-25高二下?上海?月考）已知點P（x,y）到點A（-2,0）和B（2,0）的距離之差的絕對值等于2近,0

為坐標(biāo)原點，

（1）求點P的軌跡及軌跡方程；

⑵若過點。（。,2）的直線I與點P的軌跡交于M,N兩點，OMN的面積為2后，求直線I的

方程.

22

4.（2025?云南?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:「-與=l（a>0,6>0）的左、右頂點分別為A,B,尸（20,1）在

ab'/

。上，滿足左PA,左心=^.

⑴求。的方程；

（2）過點。（3,0）的直線/（與x軸不重合）交C于M,N兩點.若|〃%|=半，求直線/的方程.

5.（23-24高二上?河南周口?期中）已知直線了=履+<（左二0）與雙曲線/-y2=i交于人，B兩點，。為坐

K

標(biāo)原點.

（1）求右的取值范圍；

（2）記VA05的面積為S,試問S是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.

22

6.（24-25高二上?山西太原?月考）已知雙曲線C:\-2=l（a>0/>0）與橢圓5/+9/=45有相同的焦

ab

點，其中一條漸近線的傾斜角為60。.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）C的左、右焦點分別為可,歹2,若過目的直線與C交于A,B兩點.當(dāng)AB兩點均在C的左支上時，求VA03

面積的取值范圍.

【題型09：中點弦問題】

一、單選題

1.（2025?內(nèi)蒙古包頭?二模）直線/與雙曲線?-丁=］交于p,。兩點，線段PQ的中點為M（4,1）,則直線/

的方程為（）

A.y=x-3B.y=-x-3

C.y=x+5D.y=-x+5

22

2.（24-25高二上.貴州貴陽.期末）已知雙曲線3-2=1與直線y=x-l相交于A,B兩點，其中A8中點

ab

的橫坐標(biāo)為-2,則該雙曲線的離心率為（）

A.叵B,-C.&D.-

2222

3.（2025?湖南邵陽?三模）已知直線/：y=3x+l與雙曲線￡：=一5=1（。>0/>0）相交于八，B兩點,且

ab

弦A8的中點是則此雙曲線E的漸近線方程為（）

A.y=±y/2xB.y=±gxC.y=±2xD.y=±45x

22

4.（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期末）已知雙曲線E:二-與=1（。>0,6>0）的右焦點為尸（5,0）,過點尸的

ab

直線交雙曲線E于M、N兩點.若MN的中點坐標(biāo)為（6,-2）,則雙曲線E的實軸長為（）

A.V15B.2^/15C.回D.2M

2

5.（24-25高二上?四川成都?期末）設(shè)A,3為雙曲線/-'=1上的兩點，線段.的中點為"（2,2）,則卜理=

（）

A.75B.26C.710D.2A/10

二、填空題

22

6.（24-25高二下?上海?月考）已知雙曲線土-斗=1的左、右焦點分別為月,工，過左焦點寫作斜率為2的

直線與雙曲線交于A3兩點，尸是A3的中點，0為坐標(biāo)原點，若直線。尸的斜率為:，則6的值是.

【題型10：雙曲線中的定點、定值問題】

一、解答題

22

1.（23-24高二上?陜西西安?月考）已知雙曲線5-2=1（。>0,6>0）,O為坐標(biāo)原點，離心率e=2,點

ab

V(若，道)在雙曲線上.

(1)求雙曲線的方程;

11

(2)如圖，若直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于點。，P,且。尸-。。二。.求證:畫T+”才為定值;

2222

2.(24-25高二下廣東清遠(yuǎn)期末)已知雙曲線6言-白二：!.〉。/〉。)與橢圓Cz：『髭=1的焦點相同,

且離心率之比為3:1.

⑴求雙曲線C1的方程；

⑵若直線/：尤-孫+3=0與雙曲線G的左、右兩支分別交于P，Q兩點，記點P關(guān)于x軸的對稱點為尸'，證明:

直線尸'。過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

3.(24-25高二上?江蘇南通?月考)已知動點尸(％y)分別與定點A(-l,0)和5(1,0)連線的斜率乘積kPA-kPB=3.

(1)求動點尸的軌跡方程E；

(2)尸是E的右焦點，若/過點尸，與曲線E交于C,。兩點，是否存在x軸上的點T&0),使得直線/繞點產(chǎn)

無論怎么轉(zhuǎn)動，都有TC.")=O成立？若存在，求出T的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

4.(24-25高二下.貴州遵義.月考)已知P為雙曲線C：1-丁=1(4>0)的左頂點，尸為雙曲線C的右焦點，

\PF\=2+^>.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)已知直線/：X=叼-1與雙曲線C交于A,3兩點.

(i)求相的取值范圍.

(ii)設(shè)直線上4的斜率為左，直線尸3的斜率為心，試問上他是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說

明理由.

5.（24-25高二下糊北荊州?月考）已知雙曲線上-9=1.

4-

⑴過P（-I,O）的直線k與雙曲線有且只有一個公共點，求直線%的斜率；

⑵若直線4：丫=履+%與雙曲線相交于A，B兩點（A,8均異于左、右頂點），且以線段A3為直徑的圓過

雙曲線的左頂點C試問：直線4是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由.

22（44、

6.（2025高二下?遼寧沈陽?專題練習(xí)）已知雙曲線C:=r-2v=l（a>0,b>0）經(jīng)過必-三一』，N（4,-3）兩

abI3,

點，

⑴求C的方程；

⑵若直線/：'=丘+6交C于P,Q兩點，點44,3）（異于點。2）,NPAQ的平分線與X軸垂直，求證：

/的傾斜角為定值.

范圍

對稱性

長軸、短軸長

一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)

漸近線

離心率

在同一支

有兩個交點

在左右兩支

相切

雙曲線的簡單幾何唾二、直線與雙曲線的位置關(guān)系有一個交點

直線與雙曲線漸近線平行

沒有交點

弦長公式一曲|=J1+爐J（再+巧）2-4甬巧=.M+必）2-4、

三、直線與雙曲線相交

中點弦問題

一、單選題

1.（24-25高二上?云南昆明?期中）已知雙曲線y2=iQ〃>0）的實軸長是4,則實數(shù)機的值為（）

m

A.-4B.4C.-D.--

44

fd丫2^.2

2.（24-25高二上.天津.期末）已知雙曲線C:—-方=l（a>0/>0）與橢圓主+（■=：!有相同的焦點，且離

心率為g,則雙曲線C的方程為（）

22_

3.（24-25高二上?廣東汕尾?期末）雙曲線C:=-1=l（a>0,b>0）的一條漸近線為y=則C的離心

ab

率為（）

A.72B.y/3C.2D.4

22

4.（23-24高二上?上海?期末）方程^—+上一=1表示焦距為26的雙曲線，則實數(shù)7的值為（）

A2-43-2

A.1B.T或1C.一2或TD.—2或1

2222

5.（23-24高二上.重慶?月考）曲線^^+二―=1（Wi<6）與曲線，+工=1（5<〃<9）的（）

10-m6-m5-n9-n

A.焦距相等B.離心率相等

C.焦點相同D.頂點相同