專題20點與圓的位置關(guān)系（9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）

取內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識:教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

9大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

:思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升；小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

析教材學(xué)知識

知識點1.點和圓的位置關(guān)系

（1）點與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點尸到圓心的距離。尸=d,則有：

①點尸在圓外=d>r

②點尸在圓上=d=r

①點P在圓內(nèi)QdO

（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該

點與圓的位置關(guān)系.

（3）符號“o”讀作“等價于”，它表示從符號“o”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識點2.圓的確定條件

不在同一直線上的三點確定一個圓.

要點歸納：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個

點不能畫一個圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，

過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓.

方法總結(jié)：破“鏡”重圓問題一確定圓心的方法

對于已知圓上的某段孤，作出全部圓的問題，實質(zhì)上屬于確定圓心的問題.解決此類問題的方法是在圓

孤上任意找三，點，形成兩條線段，則這兩條線段垂直平分線的交點就是圓心，圓心到圓孤上任意點的距

離就是半徑圓心和半徑確定了，圓就可以輕松畫出來了：

知識點3.三角形的外接圓

（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

知識點4.反證法

1.反證法

假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命

題成立.這種方法叫做反證法.反證法是一種間接證明命題的方法.

2.用反證法證明命題的一般步驟

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證，得出矛盾

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定原命題的結(jié)論正確

8練題型強知識

【類型1】點與圓的位置關(guān)系

1.(2025?廣東廣州?二模)已知等邊三角形ABC的三個頂點均在。。上，BC=3,。。所在的平面內(nèi)有一

點P,若。尸=1,則點P與。。的位置關(guān)系是()

A.點尸在。。上B.點P在0。內(nèi)C.點尸在。。外D.無法確定

【答案】B

【分析】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及垂徑定理，熟練掌握點與圓的

位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及垂徑定理是解題的關(guān)鍵;過點。作OD13c于點連接。氏。。,

由題意易得=8==ZBOD=NCOD,然后可得。8=.…=6，進而問題可求解.

22sinNBOD

【詳解】解：如圖，過點。作OD，于點。，連接。氏OC,

A

13

:.BD=CD=-BC=—,ZBOD=ZCOD,

22

???VABC是等邊三角形，

JNA=60。，

???ZfiOC=2ZA=120°,

ZBOD=ZCOD=6Q1

33=5

?.,QP=1<5

.?.點尸在。。內(nèi);

故選B.

2.（2025?云南?中考真題）已知。。的半徑為5cm,若點尸在。。上，則點尸到圓心。的距離為cm.

【答案】5

【分析】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，根據(jù)點到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，即可判斷點和

圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解設(shè)點到圓心的距離為〃，圓的半徑為「，若點在圓外，則d>「時，當(dāng)點

在圓上時，則d=r時；當(dāng)點在圓內(nèi)時，則d<r.

【詳解】解：???點P在。。上，

點P到圓心。的距離為5cm,

故答案為：5.

3.（24-25九年級上?江蘇無錫?期中）00的直徑為8cm,點P到圓心。的距離為5cm,點尸與。。的位置

關(guān)系是.

【答案】點P在。。外

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系.若點與圓心的距離d,圓的半徑為廠，則當(dāng)d>r時，點在圓

外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：:。。的直徑為8cm,

???0。的半徑為4cm,

???點尸到圓心。的距離為5cm,4<5,

點P與。。的位置關(guān)系是點P在。。外.

故答案為：點尸在。。外.

4.（24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）設(shè)0。的半徑為2,點尸到圓心的距離OP=〃z,且相使關(guān)于x的

方程2/一2亞X+771-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，試確定點尸與。。的位置關(guān)系.

【答案】點P在。。內(nèi)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，點與圓的位置關(guān)系兩個知識點；先由一元二次方程根的判

別式確定出機的范圍，再與半徑比較即可判斷點與圓的位置關(guān)系.

【詳解】解：?.加使關(guān)于x的方程2/-2&》+機-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

/.（-2V2）2-4x2x（m-l）>0,

解得：m<2,

???圓的半徑為2,

點P在。。內(nèi).

【類型2】已知點與圓的位置關(guān)系求半徑

5.（23-24九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點0為圓心，5為半徑作00,

已知AB、C三點的坐標(biāo)分別為A（3,4）,3（-3,-3）,C（4,-M）.試判斷AB、C三點與。。的位置關(guān)

系.

【答案】點A在。。上，點B在0。內(nèi)，點C在。。外

【分析】本題考查了平面內(nèi)兩點之間的距離、點與圓的位置關(guān)系，先根據(jù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式求出Q4、

03、OC的長度，再與半徑進行比較，即可得出答案.

【詳解】解：：。4=打+42=5,OB=J（-3）2+（-3）2=3也<5,0C="+卜呵2=底>5,

二點A在。。上，點B在。。內(nèi)，點C在。。外.

6.（24-25九年級上?陜西延安?期末）點尸到圓心。的距離為7,若點尸在圓。內(nèi)，則圓。的半徑r滿足（）

A.0<r<7B.0<r<7C.r>7D.r>7

【答案】C

【分析】本題考查對點與圓的位置關(guān)系的判斷.解題的關(guān)鍵：要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓

心的距離與半徑的大小關(guān)系，若點到圓心的距離為d,圓的半徑/，則d>/?時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點

在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi)，反過來與成立.據(jù)此解答即可.

【詳解】解：：點尸到圓心。的距離為7,點尸在圓。內(nèi)，

/.OP<r,即r>7.

故選：C.

7.（24-25九年級上?浙江杭州?期末）數(shù)軸上有點A、點8,點A表示實數(shù)6,點B表示實數(shù)6,。3半徑為

4,若點A在內(nèi).則實數(shù)6的取值范圍是（）

A.b<2B.Z?>10C.人<2或6>10D.2cb<10

【答案】D

【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點

到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.首先確定48的取值范圍，然后根據(jù)點A所表示的

實數(shù)寫出b的取值范圍，即可得到正確選項.

【詳解】解：?；。8半徑為4.若點A在。8內(nèi)，

二AB<4,

???點A所表示的實數(shù)為6,

2<b<10,

故選：D.

8.（24-25九年級上?江西宜春?階段練習(xí)）已知點尸不在半徑為8的0。內(nèi)，如果設(shè)=那么x的取值

范圍是.

【答案】尤28

【分析】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，根據(jù)點不在圓內(nèi)，可知點在圓上或圓外，即得點到圓心的距離公廠，

據(jù)此解答即可求解，掌握點到圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???點P不在半徑為8的。。內(nèi)，

二點戶在上或。。外，

/.OP=x>8,

故答案為：x>8.

9.（21-22九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）在用AABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,

（1）斜邊A8上的高為;

（2）以點C為圓心，r為半徑作。C

①若直線A3與。C沒有公共點，直接寫出廠的取值范圍；

②若邊與。C有兩個公共點，直接寫出廠的取值范圍；

③若邊AB與。C只有一個公共點，直接寫出廠的取值范圍.

一,1?1212

【答案】（1）2.4；（2）@0<r<-^;<r<3；?r=—^3<r<4

555

【分析】（1）勾股定理求得斜邊AB,進而根據(jù)等面積法求得斜邊上的高；

（2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑比較，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系以及點與圓的位置關(guān)系，即可求得「的

取值范圍.

【詳解】（1）MAABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,

.-.AB=VAC2+BC2=5

設(shè)斜邊AS上的高為心

-ABh=-ACBC,

22

12

故答案為：—

10

(2)①若直線A3與。C沒有公共點，則A8OC相離，則r的取值范圍是0<「<不；

②若邊與。C有兩個公共點，A點在圓外或者圓上，則廠的取值范圍是?<rW3；

_12

③若邊AB與OC只有一個公共點，貝ijABOC相切，或者A點在圓內(nèi)，則廠的取值范圍是廠=-不或3<r44

【點睛】本題考查了勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系以及點與圓的位置關(guān)系，理解直線與圓的位置關(guān)系以

及點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【類型3】利用點與圓的位置關(guān)系求最值

10.(22-23九年級上?江蘇淮安?期中)在矩形458中，AB=6,AD=8.

(1)若以A為圓心，8長為半徑作?A,則3、C、。與圓的位置關(guān)系是什么？

(2)若作。A,使8、C、O三點至少有一個點在內(nèi)，至少有一點在外，則0A的半徑廠的取值范圍

是一

【答案】(1)點B在0A內(nèi)，點C在外，點。在?A上

⑵6<r<10

【分析】(D根據(jù)點到圓的位置關(guān)系，比較A氏AC,A。與圓的半徑之間的大小關(guān)系，即可得解;

(2)根據(jù)題意，和點到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，即可得解.

AD=8,

AC=y/AB2+BC2=A/62+82=10-

QeA的半徑為8,

AB<8,AD=8,AC>8

，點3在。4內(nèi)，點C在。4外，點。在。4上；

(2)解：?1-AB=6,AD=8,AC=10,

又,?,以點A為圓心作使3,C,D三點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，

的半徑廠的取值范圍是6<r<10.

故答案為：6<r<10.

【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系.熟練掌握點到圓心的距離d與圓的半徑「之間的關(guān)系，判斷點與圓的

位置關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

11.(23-24九年級上.河北邢臺?期中)在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為4,圓心。到直線/的距離為6,P

為圓上的一個動點，則點P到直線/的距離不可能是()

A.2B.6C.10D.14

【答案】D

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意可知圓上的點尸到直線/的最短距離為2,最長距離為10,

據(jù)此判斷即可，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

由題意得，OA-4,OB=6,

當(dāng)點尸在20的延長線與。。的交點時，點尸到直線/的距離最大，

此時，點尸到直線/的最大距離是6+4=10,

當(dāng)點尸在2。與。。的交點時，點尸到直線/的距離最小，

此時，點尸到直線/的最小距離是6-4=2,

點尸到直線/的距離2WdW10,

故點P到直線I的距離不可能是14,

故選：D.

12.(22-23九年級下?北京?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，點A(0,6)、點B(0,2),點C(4,0)、

點0(5,0),NA￡B=90。，點尸為DE中點，則CF長度的最小值為()

D.回一1

C.叵一2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)NAEB=90。，得出點E在以N（4,0）為圓心，2為半徑的圓上運動，由點產(chǎn)為DE中點，取點

M（3,0）,連接上河，根據(jù)點到圓的距離的最值問題求得N,瓦M三點共線時㈤II取得最小值，進而根據(jù)中位

線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示,取點N（4,0）,點M（3,0）,連接EM,NE

VZAEB=90°,得出點E在以N（4,0）為圓心，2為半徑的圓上運動,

N,E,M三點共線時取得最小值，最小值為必審=5,

ME=5—2=3,

13

???FC=—EM=—,

22

故選：B.

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角相等，中位線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，點到圓的最值問題,

兩點之間線段最短，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

13.(2025九年級下?全國?專題練習(xí))如圖，點A的坐標(biāo)為(-3,3),點尸的坐標(biāo)為(1,0),點B的坐標(biāo)為(TO),

OA的半徑為1,C為圓上一動點，。為BC的中點，連接尸C,OQ,則。。長的最大值為()

【答案】D

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的中位線，點與圓的位置關(guān)系.掌握三角形的中位線定理，

點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.由點尸、點B的坐標(biāo)得。是3尸的中點，則。。是ACBP的中位線，

OQ=^PC,當(dāng)PC的長最大時，OQ的長最大，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得PC長的最大值為"+1,求出

AP=^(1+3)2+32=5,即可求解.

【詳解】解：,點尸的坐標(biāo)為。,0),點B的坐標(biāo)為(TO),

二。是取的中點，

為的中點，

二。。是ACBP的中位線，

:.OQ=^PC,

???當(dāng)PC的長最大時，OQ的長最大，如圖，

.-.AP=7（l+3）2+32=5,

PC長的最大值為”+1=6,

OQ長的最大值為OQ=^PC=3,

故選：D.

【類型4】三角形的外心

14.（24-25九年級下?四川遂寧?階段練習(xí)）下列四個命題中，正確的有（）

①圓的對稱軸是直徑；②經(jīng)過三個點確定一個圓；③三角形的外心到三角形各邊的距離都相等；④半徑相

等的兩個半圓是等弧.

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】D

【分析】此題考查了圓中的有關(guān)概念和性質(zhì).根據(jù)相關(guān)知識進行解答即可.

【詳解】解：①圓的對稱軸是直徑所在的直線，故原說法錯誤；

②當(dāng)三點共線的時候，不能作圓，故原說法錯誤；

③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故

原說法錯誤；

④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個半圓是等弧，故原說法正確.

故選：D.

15.（24-25九年級上?山東聊城?期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點

AB,C,D,E,F,G在小正方形的頂點上，則VABC的外心是（）

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的外心的定義，根據(jù)三角形三邊垂直平分線相交于一點，這一點叫做它的外心,

據(jù)此解答即可求解，掌握三角形的外心的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接AF、BF、CF,

由勾股定理得，F(xiàn)A=sj^+22=y[5，F(xiàn)B=加+12=舟旦C=j2?+f=技

FA=FB=FC,

.??點f是VABC的外心，

故選：C.

16.（24-25九年級上?湖北恩施?階段練習(xí)）如圖，點。是VABC的外心，若NA=70。，則=

A

【答案】140。

【分析】本題考查了三角形外心，圓周角定理，熟練掌握三角形的外心，圓周角定理是解題的關(guān)鍵.利用

三角形的外心的得出為圓心角，NA為圓周角，根據(jù)圓周角定理得出N3OC=2/A即可.

【詳解】解：：點。是VA3C的外心，NA=70。，

ZfiOC=2ZA=140°,

故答案為：140。.

17.（24-25九年級上?河北石家莊?期末）如圖，VABC外接圓的圓心坐標(biāo)為.

【答案】（5,0）

【分析】本題考查了線段的垂直平分線及三角形的外心.三角形三邊的垂直平分線的交點是三角形的外

心.解決本題需仔細(xì)分析三條線段的特點.利用網(wǎng)格，作線段線段的垂直平分線相交于。，再根據(jù)

圖形寫出點。的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：作線段2C、線段A8的垂直平分線相交于點如圖，

由圖可得點。的坐標(biāo)為：（5,0）,

故答案為：（5,0）.

18.（24-25九年級上?云南玉溪?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,3的坐標(biāo)分別是（2,0）,（2,3）,QM

是AOAB的外接圓，則圓心M的坐標(biāo)為

【答案】（1,L5）

【分析】本題考查了特殊三角形外心，根據(jù)直角三角形的外心為斜邊的中點，即可求解.

【詳解】解:如圖所示，

：.AB±OA

...VAOB是直角三角形，

,/OM是AOAB的外接圓，

/.MA=MB=MA

在08上，且為08的中點

故答案為：（1,1.5）.

19.（23-24九年級上?福建福州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC的三個頂點分別三個是4（4,0）,

B（l,3）,C（3,3）.

（1）把VABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180。后得到對應(yīng)的AAEC,請畫出旋轉(zhuǎn)后的AAEC；

⑵若點P為VABC的外心，請直接寫出點P的坐標(biāo)

【答案】（1）見解析

⑵（2,1）

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的作圖，三角形的外心，掌握旋轉(zhuǎn)的作圖方法，以及三角形的外心是三邊垂直平

分線是交點，是解題的關(guān)鍵.

（1）連接49,80,C。并延長，AO=AO,BO=B'O,CO=CO,再依次連接點A',5'C即可；

（2）找出BC,A8垂直平分線的交點，即可解答.

【詳解】（1）解：如圖1所示：AAMC'即為所求；

5

圖1

MN為AB的垂直平分線，

???8（1,3）,C（3,3）,

；?BC的垂直平分線為直線x=2,

由圖可知，BC的垂直平分線與AB的垂直平分線相交于點（2,1）,

???點（2,1）為VA2C外心，

點P坐標(biāo)為（2,1）.

故答案為：（2,1）.

【類型5】三角形的外接圓的有關(guān)計算

20.（24-25九年級上?云南昆明?期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=9O°,AC=3cm,BC=4cm,則它的

外心與頂點C的距離為（）

A.5cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

【答案】B

【分析】直角三角形的外心與斜邊中點重合，因此外心到直角頂點的距離正好是斜邊的一半；由勾股定理

易求得斜邊的長，進而可求出外心到直角頂點C的距離.

【詳解】解：,.?口△ABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

AB=yjAC2+BC2=732+42=5（cm）,

斜邊上的中線長gA8=2.5（cm）,

因而外心到直角頂點C的距離等于斜邊的中線長2.5cm.

故選：B.

【點睛】本題考查了直角三角形的外接圓半徑的求法，熟記直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，以

斜邊的一半為半徑的圓是解題關(guān)鍵.

21.（24-25九年級下?廣東汕頭?階段練習(xí)）一個直角三角形的兩條直角邊長是方程Y-14x+48=0的兩個

根，則此直角三角形外接圓的半徑等于（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，

斜邊長的一半為半徑的圓.根據(jù)題意可知，直角三角形的兩條直角邊長是方程Y-14x+48=0的兩個根，解

可得方程Y-14x+48=0的兩個根為6與8；故直角三角形外接圓的直徑即斜邊邊長為10；故半徑等于5.

【詳解】解：X2-14.X+48=0,

解得：網(wǎng)=6,x2=8,

斜邊邊長為762+82=10-

即直角三角形外接圓的直徑是10,

.?.半徑等于5.

故選：c

22.（2023?江蘇揚州?三模）在VABC中，AB=4,NC=60。，,則8C的長的取值范圍是.

【答案】4<BC4還

3

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；作出VA5C的外接圓進

行推理計算是解題的關(guān)鍵.作VABC的外接圓，求出當(dāng)N54C=90。時，BC是直徑最長為生叵；當(dāng)

3

々AC=NABC時，VABC是等邊三角形，BC=AC=AB=4,ZBAC>ZABC,即可得出答案.

【詳解】解：作VA5C的外接圓，如圖所示：

C1

VZBAC>ZABCfAB=4,

當(dāng)NA4C=90。時，5c是直徑最長，

???ZC=60°,

JZABC=30°,

??BC=2AC,AB=y/3AC=4,

AC=逑,

3

-8君

,?BC------;

3

當(dāng)44C=ZABC時，VABC是等邊三角形，BC=AC=AB=4,

9：ZBAC>ZABC,

???BC長的取值范圍是4VBC<—;

3

故答案為：4<BC?.

3

23.（19-20九年級上?江蘇南京?期末）如圖，在VABC中，AB=AC=2y/10,BC=4,。。是VA5C的外

接圓.

A

（D求0。的半徑；

（2）若在同一平面內(nèi)的0P也經(jīng)過B、C兩點，且PA=2,請直接寫出。P的半徑的長.

【答案】（l）g

⑵2君或2同

【分析】（1）過點A作垂足為O,連接08、OC,根據(jù)勾股定理即可求解;

（2）分點P在點A的上方和下方，兩種情況，進行求解即可.

【詳解】（1）過點A作23C,垂足為。，連接08、OC,

■.AB=AC,ADJ.BC,

.〔AD垂直平分BC,

-.OB=OC,

...點。在BC的垂直平分線上，即。在AD上,

???BC=4,

:.BD=-BC=2,

2

?.,在Rt"3Z）中，/AD3=90°,AB=2710,

:.AD=-jAB2-BD2=6>

設(shè)。4=OB=r,則OD=6—r.

?.?在Rt^O即中，/0DB=9Q°,

OD2+BD2=OB2,即（6-+22=r2.

解得r=g，

即。。的半徑為個；

（2）當(dāng)0P也經(jīng)過B、C兩點，且B4=2,如圖:

設(shè)PB=r,

VPA=2,則PD=6-2=4或6+2=8,

BD=2,

PB="2+2：=2后或PB=A/82+22=2A/17.

二QP的半徑的長為2后或2a.

【點睛】本題考查了三角形外接圓、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確

定點尸的兩個位置.

【類型6】確定圓的條件

24.（22-23九年級下?江蘇南通?開學(xué)考試）下列命題正確的是（）

A.三個點確定一個圓

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C.圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形

D.在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等

【答案】C

【分析】利用確定圓的條件、垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選

項.

【詳解】A、不在同一直線上的三個點確定一個圓，故原命題錯誤，不符合題意；

B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故原命題錯誤，不符合題意；

C、圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形正確，符合題意；

D、在同圓或等圓中，弦相等則所對的優(yōu)弧相等，所對的劣弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接多

邊形的性質(zhì)，難度不大.

25.（18-19九年級下?全國?單元測試）如圖的矩形4BC。中，E為的中點，有一圓過C、D、E三點，

且此圓分別與AD,BC相交于尸、。兩點.甲、乙兩人想找到此圓的圓心O,其作法如下：

（甲）作/DEC的角平分線L作。E的中垂線，交L于。點，則。即為所求;

（乙）連接PCQD,兩線段交于一點。，則。即為所求

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

B.兩人皆錯誤

D.甲錯誤，乙正確

【答案】A

【分析】證明。為ADEC的兩邊中垂線的交點，判斷甲，根據(jù)90。的圓周角所對的弦是直徑判斷乙，從而可

得答案.

【詳解】解：甲，???矩形ABC。，E為A2的中點,

：.AE=EB,ZA=ZB=90°,AD=BC,

：.AADE^/\BCE(SAS),

：.ED=EC,

.?.△OEC為等腰三角形，

射線L為NDEC的角平分線，

；?射線L為線段CO的中垂線，

???O為兩中垂線之交點，即。為ACDE的外心,

為此圓圓心.

乙，VZADC=90°,NDCB=90°,

:.PC、。。為此圓直徑，

；.PC與。。的交點。為此圓圓心，因此甲、乙兩人皆正確.

故選：A.

【點睛】本題考查的是確定圓的條件，涉及到矩形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

圓周角定理、垂徑定理的推論，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

26.（24-25九年級上?江蘇南京?期末）若在平面直角坐標(biāo)系中的點C（八3）不能確定一

個圓，則機的值是.

【答案】3

【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用.熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，確定圓的條件，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)不在同一直線的三個點確定一個圓，得到當(dāng)點C在直線上，三個點不能確定一個圓，進行求解即可.

【詳解】解：設(shè)直線A3的解析式為廣乙+6,

把4（1,1）,3（—1,-1）代入，

[k+b=1

得77-

[-k+b=-l

[k=l

解得％n'

[匕=0

/.y二犬，

C（狐3）代入，

得〃z=3，

，當(dāng)=3時，

平面直角坐標(biāo)系中的三個點A（L1）,C（m,3）不能確定一個圓.

故答案為：3.

【類型7】反證法

27.（24-25九年級上?浙江金華?開學(xué)考試）用反證法證明命題“在同一平面內(nèi)，若直線a則〃〃6"

時，應(yīng)假設(shè)（）

A.aPcB.a與6不平行C.bPcD.

【答案】B

【分析】本題考查的是反證法、兩直線的位置關(guān)系，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設(shè)結(jié)論

不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情

況，則必須一一否定.反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷.

【詳解】解：反證法證明“在同一平面內(nèi)，若bVc,則時，應(yīng)假設(shè)a與b不平行，即。與b相

交.

故選：B.

28.（24-25九年級上?福建廈門?期中）用反證法證明：在同一直線上的三點不能確定一個圓，首先應(yīng)假

設(shè).

【答案】在同一直線上的三點能確定一個圓

【分析】本題考查反證法，根據(jù)反證法的步驟，第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論的反面成立，作答即可.

【詳解】解：用反證法證明：在同一直線上的三點不能確定一個圓，首先應(yīng)假設(shè)在同一直線上的三點能確

定一個圓；

故答案為：在同一直線上的三點能確定一個圓

29.（24-25九年級上?陜西渭南?期中）如圖，在VABC中，點。、E分別在AC、ABh,連接班）、CE,

BD、CE相交于點。用反證法證明：和CE不可能互相平分.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查反證法的證明方法，反證法的步驟：首先假設(shè)反論題正確，然后依據(jù)規(guī)則進行推理,

若出現(xiàn)與已知條件不符或與公理定理相矛盾的情形，即可證明反論題不成立，原命題正確.

第一步先假設(shè)和CE互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得到BEII即A5〃AC,與已知矛盾,

從而證明原命題正確.

【詳解】證明：連接DE.假設(shè)5。和CE互相平分.

Q8D和CE互相平分，

二四邊形EBCD是平行四邊形，

BE//CD.

?.,在VA2C中，點、D、E分別在AC、AB上，

AB與AC不可能平行，與已知矛盾，

故假設(shè)不成立，.?.3。和CE不可能互相平分.

【類型8】基本作圖問題

30.（24-25九年級下?吉林長春?期中）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的8x8網(wǎng)格，每個小正方形的頂

點叫做格點，圓上三點A、氏C均為格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，完成下列各題：

?______I_____J._____I_____J._____I______L_____I______??______I_____1_____I_____J._____I_____1_____I______i?______I_____1_____I_____J._____I_____J._____I______?

圖1圖2圖3

⑴在圖1中，畫出圓心0.

(2)在圖2中，點D為圓上任意一點，在圓上找一點E,使得。E是圓上最長的弦.

(3)在圖3中，點M是圓上任意一點(不與點A重合)，作一條弦P。，使得尸Q=

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題是圓的綜合題，考查作圖，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

(1)分別作A氏AC的垂直平分交于點0,即可求解；

(2)連接。0,并延長。。交圓。于點E,即可求解；

(3)分別連接MO,AO,并延長MO,AO分別交圓。于點0,P,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，點。即為所求；

（3）解：如圖，尸。即為所求.

31.（2025?吉林長春?一模）圖①、圖②均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形

的邊長為1,點A、3均在格點上.只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按要求作圖，不要求寫出畫法，

⑴在圖①中作出直線AP,使點尸為格點；

（2）在圖②中作出以線段為腰的等腰三角形A3C,點C為格點，且VA3C的面積為8；

（3）在圖②中作出VABC的外接圓圓心。（不要求畫。。）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）見解析

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，等腰三角形的定義，勾股定理與網(wǎng)格問題，三角形的外接圓圓心的定義,

數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵；

（1）找到1x2的格點尸，作直線AP即可求解；

（2）根據(jù)等腰三角形的定義以及軸對稱的性質(zhì)，作出等腰三角形VABC,

（3）根據(jù)三角形的外接圓圓心的定義，找到ACA3的垂直平分線的交點。，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，直線AP即為所求；

如圖,

ZC=ZD=90°,tanZAPC=tanZDAB=-

2

ZAPC=ZDAB

又：ZCAP+ZAPC^90°

：.Z.CAP+ZDAB=90°,即ZPAB=90°

（2）解：如圖，VA3C即為所求；

AB=BA=2A/5

：.VABC是等腰三角形，

VAC=4,3到AC的距離為4

...VA5C的面積為8；

（3）解：如圖，點。即為所求,

同（1）作出的垂直平分線與AC的垂直平分線交于點0,

A。到A8,C的距離相等，即。是VA3C的外接圓圓心.

32（2025?河南信陽?二模）學(xué)校耕讀園里有一塊空地，空地上有三棵樹A,B,C,學(xué)校想修建一個圓形苗圃,

使三棵樹都在苗圃的邊上.

B.

c??/

(D請你把苗圃的位置畫出來(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)若VABC中，3c=4米，AC=6米，ZC=90°,試求圓形苗圃的面積.

【答案】⑴見解析

(2)圓形花壇的面積為13兀平方米

【分析】本題考查了作垂直平分線，畫三角形的外接圓，勾股定理，直角所對的弦是直徑;

(1)根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)，求三角形的外接圓；

(2)根據(jù)勾股定理求斜邊，斜邊的一半就是圓的半徑，即可求圓的面積.

【詳解】(1)解：如圖，0。即為苗圃的位置.

**-AB=^BC2+AC2=A/42+62=2/米，

???VABC外接圓的半徑為713米.

，圓形花壇的面積為13兀平方米.

【類型9】新定義材料問題

33.(2025?江西撫州?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，。。的半徑為1.對于的弦48和不在直線

上的點C,給出如下定義：若點C關(guān)于直線AB的對稱點C’在。。上或其內(nèi)部，且/AC8=(z,則稱點C

是弦AB“a可及點”.

⑴如圖，點A(O,1),8(1,0).在點G(2,0),C2(l,2),Csgo］中，點是弦AB的“a可及點"，其中"

(2)若點。是弦A3的“90。可及點”，求點D的橫坐標(biāo)的最大值.

【答案】(DG,45

⑵電

2

【分析】(1)作出。。關(guān)于的對稱圓O。'，根據(jù)題意可得點C'應(yīng)在。O,的圓內(nèi)或圓上，可證明O'CU),

利用勾股定理分別求出三個點到的距離即可得到答案；

(2),取48中點為X,連接可證明點。在以H為圓心，為半徑的43上方半圓上運動(不包括

端點A、B),則當(dāng)DH〃x軸時，點O橫坐標(biāo)最大，求出的長和即可得到答案.

【詳解】(1)解：作出。。關(guān)于A3的對稱圓OO',

匕

：0/???若點C關(guān)于直線AB的對稱點C'在。。上或其內(nèi)部,

且=則稱點C是

/\\!/

_0~X

弦AB的“a可及點”，

???點C應(yīng)在0O,的圓內(nèi)或圓上，

?.?點4(0,1),3(1,0),

.-.OA=OB=1,

QZAOB=90°,

ZABO=ZOAB=45°,

由對稱得：NO'A8=NQ4B=45。，0fA=(M=1,

NO'AO=90°,即辦_LOA,

???G(2,o),G(1,2),Csf

,22

C1O=^(l-2)+(l-0)=A/2>1,故G在0O'外,不符合題意;

C2O'=2-1=1,故G在0O,上，符合題意；

C3O'=^1-^+(1一0『=當(dāng)>1,故G在OO,外,

不符合題意，

.??點g是弦AB的“a可及點”,

；B,O,,g三點共線，

(2)解：如圖所示，取A8中點為H,連接

-,?ZADB=90°,

.??點。在以H為圓心，為半徑的A3上方半圓上運動(不包括端點A、B),

.?.當(dāng)DH〃x軸時，點D橫坐標(biāo)最大，

:.AB=ylO^+OB2=忘，

:.HD=-AB=—,

22

?.?點A(O,1),5(1,0),

H

?%—X+DH-]+3

??人"O—人丁1-yL1—2

???點D的橫坐標(biāo)的最大值為匕變,

2

故答案為：小住；

2

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形，兩點距離計算公式，圓周角定理，直角所對的

弦是直徑等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

34.（2025?北京順義?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為2.對于。。的弦A3和點C（C可以

與A,B重合）給出如下定義：若直線CO經(jīng)過弦A3的一個端點，另一端點與點C之間的距離恰好等于CO,

則稱點C是弦A8的“關(guān)聯(lián)點”.

（1）如圖，點4（2,0）.

①點8（應(yīng),a）,在點G（1，D，。2（0，°），C3（-l,0）中，弦48的“關(guān)聯(lián)點”是

②點C（4,0）,若點C是弦AD的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出點。的坐標(biāo)；

（2）已知點M（0,4）,N（-苧,0）.線段上存在弦的“關(guān)聯(lián)點”，記尸。的長為f,直接寫出，的取值范

圍.

【答案】⑴①C2（V2,O）；②g,半），g,_孚）；

（2）2<i<76,V10<r<2A/3.

【分析】（1）①如圖所示，通過題中關(guān)聯(lián)點的定義，分別分析點C1、6、G即可判斷；②根據(jù)題意分析可

得8=4,以點C為圓心，半徑為4作圓，交圓。于點2、點Q，過點2作軸于點H,連接。。、

CDlt設(shè)點R的坐標(biāo)為（x,y）,則。"一即2?-/=42-（4一到2,解得x=g,進而求出

點2的縱坐標(biāo)，考慮軸對稱的性質(zhì)，可得點2與點2關(guān)于x軸對稱，即可求出點2、2的坐標(biāo)；

（2）通過分析可得線段MN與圓。相切，設(shè)線段MN與圓。相切于點連接OH,設(shè)線段MV上的“關(guān)聯(lián)

點”為點C,當(dāng)點C在點H時，C。取最小值，最小值為2,當(dāng)點C在點M時，CO取最大值，最大值為4,

2<CO<4,第一種情況，連接OC交圓。于點P,以點C為圓心，CO長為半徑作圓，交圓。于點。、點。'

（PQ=PQ',點Q'不用考慮），過點。作QELOC于點E,連接。。、CQ、PQ,設(shè)CQ=CO=加，根據(jù)

勾股定理，得,第二種情況，連接OC,延長C。交圓。于點P,以點C為圓心，C。長為半徑

Vm

作圓，交圓。于點。、點Q'(尸。=尸。'，點。'不用考慮),過點。作QELOC于點E,連接0Q、02、PQ,

設(shè)CQ=CO="Z，根據(jù)勾股定理，得尸。=8+烏，即可確定f的取值范圍.

Vm

【詳解】(1)解：①由點G(U)可得，0G所在直線的解析式為y=x,

???直線。G經(jīng)過點8(0,0)，

1??點4(2,0)與點G(1，1)之間的距離為7(2-1)2+(0-1)2=0,C0=6，

ACX=CXO,

???點G(1,1)是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”；

由題中圖像可得，直線。C2經(jīng)過點4(2,0),

??,點B(V2,&)與點G(血,0)之間的距離為四，C2O=V2,

BC2=C2O,

???點C2(A/2,0)是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”；

由題中圖像可得，直線。C3經(jīng)過點4(2,0),

2

,點3(0,應(yīng))與點C3(-l,0)之間的距離為“應(yīng)+1)+(0_0『=,5+20,C3O=1,

BC3wC3O,

???點C3(-l,0)不是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”；

故答案為：GCU),G(V2,0)；

②?.?點C(4,0)是弦AD的“關(guān)聯(lián)點”，直線OC經(jīng)過點4(2,0),

:.CD=CO,

?.?CO=4,

/.CD=4,

如圖所示，以點。為圓心，OC長為半徑作圓，交圓。于點2、點。2,過點2作軸于點H,連接

。2、CDX,

y\

5-

4-

—?--------1------^441~~、??----11+

-3戈-1。目123456789土

rA----：-1............................:;

設(shè)點2的坐標(biāo)為(%,y),貝IJ。。：—O52=C22—。"2,

即22-X2=42-(4-X)\

解得x=!，

2

2而

:.DtH=y=^OD;-OH=抬-芽

二點2的坐標(biāo)為

?.?點2與點2關(guān)于x軸對稱,

<i/|7>

.??點2的坐標(biāo)為3，-彳，

故答案為

22

(2)如圖所示，在直角坐標(biāo)系中作出點Af(O,4),N(-*,0),連接跖V,

II----1-------1---)---i_>

-4-3-t-lOl1i3x

；3—''"

根據(jù)題意得，ta"OMN=￡^=B,

OM3

...4OMN=30°,

???OMxsinZOMN=OMxsin30°=4x1=2,

2

即OMxsinZ.OMN等于圓0的半徑，

ZOHM=90°,即用_L腑，

:?線段MN與圓。相切，

設(shè)線段MN與圓。相切于點連接0”,

,??線段上存在弦尸。的“關(guān)聯(lián)點”，設(shè)此“關(guān)聯(lián)點”為點C,點C為線段"N上的動點，

當(dāng)點C在點H時，C。取最小值，最小值為2,當(dāng)點C在點M時，CO取最大值，最大值為4,

設(shè)co=機，

:.2<m<4,

第一種情況，如圖所示，連接OC交圓。于點尸,以點C為圓心，C。長為半徑作圓，交圓。于點Q、點。

（PQ=PQ',點。’不用考慮），

過點。作QELOC于點石，連接OQ、C。、PQ,設(shè)CQ=CO=7",

根據(jù)勾股定理，^CQ2-CE2=OQ2-OE2,

即加2-（加一OE）2=2?-OE2,

PQ=yJPE2+EQ2=^P