專題02空間向量的數(shù)量積運算

力內(nèi)容導航一預習三步曲

第一步：學

析教材學;；教材精講精析、全方位預習

練題型強知識6大核心考點精準練

第二步：記

思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

知識點01：空間兩個向量的夾角

1、定義：如圖已知兩個非零向量點孔在空間任取一點。，作西=￡，OB=b＞則么NAO3叫做向量點坂

的夾角，記＜Z,B＞.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）

2、范圍：＜a,b＞e[0,7r].

特別地，（1）如果〈a,?！担?，那么向量。力互相垂直，記作

（2）由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為乃,故＜￡]〉=0（或

＜a,b〉="）o為非零向量）.

（3）零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定。與任何向量Z都是共線的，即。||￡.兩非零向量的夾角是

唯一確定的.

3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）

若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為。，

—.—._TT

（1）向量夾角的范圍是0?a,b＞＜兀,異面直線的夾角。的范圍是

_?—TT

⑵當兩向量的夾角為銳角時，O=＜a,b＞；當兩向量的夾角為彳時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為

鈍角時，0=7r-<a9b>-

知識點02：空間向量的數(shù)量積

1、定義：已知兩個非零向量Z，b1則|Z||B|cos<Z,Y>叫做％］的數(shù)量積,記作7B；即

a-b^a\\b\cos<a,b>.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零；

2、空間向量數(shù)量積的應用

(1)利用公式|吊=后了可以解決空間中有關距離或長度的問題；

(2)利用公式cos<a,b>=可以解決兩向量夾角，特別是兩異面直線夾角的問題；

\a\\b\

3、向量Z的投影

(1)如圖(1),在空間，向量％向向量B投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面

-*-?-?-?1^)

a內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量B共線的向量入c=|a|cos<a,A>b向量"稱為向量％

在向量B上的投影向量.類似地，可以將向量￡向直線/投影(如圖(2)).

(2)如圖(3),向量々向平面(3投影，就是分別由向量％的起點A和終點B作平面B的垂線，垂足分別為A',

B',得到Z百，向量H斤稱為向量"在平面夕上的投影向量.這時，向量的夾角就是向量Z所

在直線與平面夕所成的角.

4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量B的數(shù)量積等于￡的長度|￡|與坂在￡方向上的投影

Ib|cos<a,b>的乘積或等于B的長度IB|與Z在B方向上的投影|a|cos<a,b>的乘積.

5、數(shù)量積的運算：

(1)(2c)=A(a-b),2e7?.

(2)交換律).

(3)a-(B+c)=+(分配律).

知識點03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

設坂是非零向量，"是單位向量，則

@a-e=e-a=|a|cos（a,，；②a_L〃oa?6=0；

?/-\a-b

③=a?a或卜|=G-a；④（：05（。/7）=曰『⑤阿第.同

''\a\-\b\

【題型01：空間向量的數(shù)量積運算】

一、單選題

1.（23-24高二下?浙江杭州?期中）正方體A2C￡?-a4GR的棱長為1,則（荏+布）?（亦+隨）=（）

A.1B.0C.-1D.2

2.（24-25高二上?四川成都?階段練習）如圖，在棱長為2的正四面體（四個面都是正三角形）MCD中，

M為棱BC的中點，則法蠲的值為（）

3.（24-25高二上?四川宜賓?期末）如圖所示，在平行六面體ABCD-A與GR中,

AB=AD=AAl==AA.AD=ABAD=60°,則函.正的值為（）

AB

A.1B.72C.6D.-1

4.(2024高二.全國.專題練習)在正三棱錐P-ABC中，。是VABC的中心，PA=AB=2,^PO(PA+PB)

等于（）

A.3B.巫C.￡1D.3

9333

5.（24-25高二下?福建漳州?期中）已知棱長為2的正四面體A-BCD中，E是AB的中點，尸是CD上一點，

則超需=（）

A.JB.1C.2D.4

6.（24-25高二下?江蘇鹽城?期中）已知正四棱錐尸-MCD的所有棱長均為1,。為底面ABC。內(nèi)一點，且

PO=lpA+2PB+|pC（AeR）,貝!|稱而=（）

【題型02：空間向量的夾角運算】

一、單選題

1.（23-24高二上?江蘇南京?期末）已知空間向量B的夾角為三，且同=2,欠=1,則￡+25與B的夾

角是（）

71「5兀-兀-3兀

A.-B.—C.-D.—

6644

2.（23-24高二下?江蘇?課前預習）如圖，在直三棱柱A8C-A4G中，AC=AB==42,BC=2AE=2,

則向量荏與衣的夾角是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.（24-25高二上?廣東?期中）已知空間向量第5,1滿足五+2萬+血1=0,同=忖=同=1,則玄與5的夾角為

A.30°B.150°C.60°D.120°

4.（24-25高二下?浙江溫州?開學考試）如圖，在平行六面體ABCD-AB'C'D中，底面A8CD是正方形,

AA=2AB,M是CD中點，ZAAB=ZAAD=120°,則直線AC與所成角的正弦值為（）

口

A/15^r[n3A/21

514

5.（24-25高二上?湖南?階段練習）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面A5CD是邊長為2的菱形,

兀1

PA=3,ZABC=ZBAP=-,且cos/PA￡>=-,貝Ucos/P8C=()

P

A2A/7口2占03幣C3幣

771414

【題型03：空間向量模長的運算】

一、單選題

1.（23-24高二上.重慶九龍坡.階段練習）已知空間單位向量入b，2兩兩垂直，則|Z+B+q=（）

A.73B.屈C.3D.6

2.（24-25高二上?福建泉州?期中）平行六面體AB。-A瓦G2的底面ABC。是邊長為2的正方形，且

NAA￡>=NAAB=6O°,相=3,則線段AG的長為（）

A.5B.2yjC.V29D.同

3.（24-25高二上?江蘇鹽城?階段練習）已知b，"均為單位向量，且若不2=1,則,W=（）

A.立B.-C.-D.-

4545

4.（24-25高二上?河南信陽?期末）如圖，在三棱錐ABC。中，

AB=AC=AD=2,ZBAC=90。,ZBAO=NC4D=60。,分別為BC,AD的中點，貝！||MN|=（）

A.20B.2C.&D,1

5.（24-25高二上?四川成都?期末）如圖，二面角夕-/-乃的棱上有兩個點48,線段AC與分別在這個

71

二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱/.若AB=1,AC=2,BD=3,二面角夕-/-乃的平面角為鼠則8=

C.2A/3D.275

【題型04：投影向量的運算】

一、單選題

27r

1.（23-24高二上?寧夏銀川?階段練習）已知同=4,空間向量。為單位向量，=則空間向量4在

向量。方向上的投影向量的模長為（）

A.2B.—2C.—D.—

22

2.（24-25高二下?全國?隨堂練習）在標準正交基｛；：/｝下，己知向量Z=7+2/+3t,b=2i+3k，則向量

而=在丁上的投影數(shù)量為（）

A.3B.2C.6D.4

3.（23-24高二上.河北唐山?期中）在空間四邊形9CD中，NABD=/BDC=90o,AC=28。，則麗在女

上的投影向量為（）

1—.1.1―.1―.

A.—ACB.-ACC.—BDD.一BD

2424

4.（24-25高二上?河南洛陽?階段練習）如圖，在八面體A3CDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底面ABC,

且M===則下列向量中與向量而在平面ABC上的投影向量相等的是（）

1—.1-,1―.

A.—ABB.—ACC.—BCD.—BC-AC

222

二、填空題

5.（2024高二?全國?專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量通在向量而上的

投影向量是,向量通在平面瓦兀）由上的投影向量是.

6.（23-24高二下?浙江寧波?期末）平面內(nèi)的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，數(shù)學中我們經(jīng)常

會用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點、直線、平面等基本元素，經(jīng)

過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐尸-MCD中，

已知ABC。是平行四邊形，ZABC=120°,AB=2,BC=3,且24,面ABC。，則向量定在向量而方向上的

投影向量是―（結(jié)果用前表示）.

【題型05：空間向量中的垂直關系的運算】

一、單選題

1.（2024高二?全國?專題練習）已知空間向量51滿足|￡|=也,囚=1,￡，（￡+2垃，則向量之石的夾角為（）

TT

2.(23-24高二上?河北石家莊?期中)三棱錐。―ABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC=-,OA=2OB=2,若

CBLOA,則OC=()

A.1B.2C.也D.百

3.（23-24高二上.新疆和田?期中）已知人>"均為單位向量，瓦。=90。，0?=60。，貝胴-石+《=

（）

A.4B.72C.2D.73

TT

4.（2025高二?全國?專題練習）在三棱錐尸—ABC中，PA=PB=2,PC=3,ZAPB=~,PA1BC,則

4

cosZAPC=（）

A.立B.也C.—D.-

3333

5.（24-25高二上?貴州貴陽?階段練習）在正四棱錐P-AfiCD中，PA=AB,M為上4的中點，而=〃麗.

A.2B.3C.4D.5

【題型06:空間向量中的最值與范圍問題】

一、單選題

1.（24-25高二上.海南.期中）已知府是空間中的三個單位向量，若無B=-",則的最大

值為（）

A.-B.-C.1D.-

8828

2.（24-25高二下?浙江?開學考試）己知P，。，氏是長方體A8CZ）-ABC。表面上任意三點，且

AB=6,AD=4,4^=2,則麗.下的最小值為（）

A.-14B.-13C.-ioD.-5

3.（2025?安徽安慶?模擬預測）在直棱柱ABCD-AAG2中，AM,且AC=3若，N是棱上的

一點，且滿足而7?醞'=（）,則AA的最小值為（）

A.3乖＞B.6C.3D.65/3

4.（24-25高二下?河南新鄉(xiāng)?期中）記棱長為2的正方體A8CD-A4GR的內(nèi)切球為球O,E尸是球。的一

條直徑，尸為該正方體表面上的動點，則而.而的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（23-24高二下.福建漳州?期末）正方體的棱長為1,是正方體外接球的直徑，P為

正方體表面上的動點，則網(wǎng)0.兩的取值范圍是（）

1I「11「31「3一

A.--,0B.0,-C.—,1D.L—

L2JL2」\_4JL2」

6.（23-24高二上.黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB±BC,平面ABC,AE±PB

于點E,M是AC的中點，PB=1,則麗.兩的最小值為（）

c-4D-4

定義

一、空間向量的夾角范圍

兩種方法求夾角

/定義

投影向量的概念

空間向量的數(shù)量積運算二、空間向量的數(shù)量積

幾何意義

\\運算律

夾角

\三、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)*模長

垂直

過關測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（2024?上海長寧?一模）已知非零空間向量扇5和入則下列說法正確的是（）

A.若乙，則5〃1B.若訝己則5H

c.若a工5,a〃召,則BD.若苕_1_及日〃不，則Bn

2.（24-25高二上?貴州畢節(jié)?階段練習）在棱長為1的正方體中，設通=口而=反忌=1,

則灑（乎①的值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

3.（24-25高二上?江蘇南通?期末）已知平行六面體ABC。-44G2的所有棱長均為1,

Z^AB=A\AD=ABAD=60°,則對角線A。的長為（）

A.瓜B.2C.V3D.72

4.（24-25高二上?安徽?期中）己知四面體A28的所有棱長都等于。，棱A8,CD的中點分別是M,N,則

AN-MC=（）

1

A.a2B./C.-a2D.-a2

34

5.（24-25高二上.重慶.期末）已知空間向量M+B+穌6，且同=2,網(wǎng)=4,同=3,則cos低寸=（）

心

11C也

A.2-B.4-2D.2

6.（24-25高二下?江蘇揚州?期中）在平行六面體ABC。-中N54D=90。，AB=AD=AAi=l,

NR4A=ND4A=60。.取棱3c的中點M,貝"磁|=（）

A.叵B.姮

32

?J-X?

23

7.（24-25高二上?江蘇南通?階段練習）已知平行六面體ABC。-A瓦GR中

的=3,80=4,幽.反-葩.配=5,則儂的,網(wǎng)=（）

A.—B.--C.—D.--

12121515

8.（24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）如圖，設動點尸在棱長為1的正方體ABC。-4與；。的對角線BR上

（不含端點），圣|=4，當ZAPC為直角時，彳的值是（）

2?3

9.（24-25高二上?陜西榆林?階段練習）如圖，已知A,B,C是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個

格點，點尸為平面ABC外一點，且而，而=”，正=120。，網(wǎng)=3,^AO=AB+AC,則由=（）

A.40B.735C.6D.由

10.（24-25高二上?安徽阜陽?階段練習）斗拱是中國建筑上特有的構(gòu)件，是較大建筑物的柱與屋頂之間的

過渡部分，用于支撐上部突出的屋檐，如圖（1）,其簡化結(jié)構(gòu)如圖（2）,其中。氏OGOD是兩兩互相垂直

的線段，為斗排,滿足QB=OC=OD,且和NAOD都為鈍角.若cos〈OA,O3〉=一§,

cos（OA,OC）=-^

,則cos〈的兩=（）

圖（1）圖⑵

A.--

4

11.（23-24高二上?河南?階段練習）如圖，在三棱錐尸―ABC中，AB=AC=2,AP=3,

cosZBAP=cosZCAP=^~,cosZBAC=y,E為BC的中點，歹為AE的中點，。為ABCP的重心，AOPF

34

D.更

5

12.（24-25高二上?安徽蚌埠?期末）如圖，已知以，平面ABC,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,則向

量定在就上的投影向量為（）

p

2.2.3_3

A.——BCB.-BCC.——BCD.-BC

332