專題01空間向量及其線性運(yùn)算

底內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué);；教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念

1、空間向量的有關(guān)概念

（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模;

如空間中的位移速度、力等.

（2）幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為-。

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

2、空間向量的表示

表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：

（1）幾何表示法：用有向線段A8來(lái)表示，A叫向量的起點(diǎn)，3叫向量的終點(diǎn)；

（2）字母表示法：用a,4c表示.向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作A8,其模記為口

或網(wǎng).

知識(shí)點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算

1、空間向量的加減法

空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法（如下圖）.

2、空間向量加減法運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a結(jié)合律：（a+6）+c=a+（6+c）

小結(jié)：空間向量加法的運(yùn)算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,

即：A4+4A+A4++4-4=44

（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：A4+44+AA+，+AT4+AA=。；

知識(shí)點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)4與空間向量q的乘積2。仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

2：數(shù)乘向量彳。與向量q的關(guān)系

2的范圍Aa的方向2a的模

2>0與向量a的方向相同

2=0Aa=O,其方向是任意的\AaH411al

2<0與向量i的方向相反

3、對(duì)數(shù)乘向量與向量°的關(guān)系的進(jìn)一步理解：

（1）可以把向量a模擴(kuò)大（當(dāng)|刈＞1時(shí)），也可縮小（當(dāng)I刈＜1時(shí)）；可以不改變向量a的方向（當(dāng)幾＞0

時(shí)），也可以改變向量q的方向（當(dāng)2＜0時(shí)）.

（2）實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)2=0時(shí)，Ao=0;當(dāng)/IWO時(shí)，若a=0,則Xa=O.

（3）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，幾+口，2一°沒(méi)有意義,無(wú)法運(yùn)算.

知識(shí)點(diǎn)04：共線向量

1、空間向量共線的充要條件：對(duì)任意兩個(gè)空間向量而B(niǎo)h'6),片分的充要條件是存在實(shí)數(shù)兒使得

a=Ab

2、直線的方向向量：如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量￡則對(duì)于直線/上任意一點(diǎn)P,存

在實(shí)數(shù)丸使得少一人工

與向量片平行的非零向量稱為直線/的方向向量.這樣，直線I任意一點(diǎn)都可以由直線/上的一點(diǎn)和它的方

向向量表示，也就是說(shuō)，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定。

3、證明空間三點(diǎn)共線的三種思路：對(duì)于空間三點(diǎn)P、A、B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線

(1)存在實(shí)數(shù)兒使瓦〉=久而成立.

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有赤=6日+tAB(tGR).

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有蘇=xOA+yOB(x+y=1)

知識(shí)點(diǎn)05：共面向量

1、定義：如圖，如果表示向量片的有向線段87所在的直線OA與直線/平行或重合，那么稱向量最平行與直

線/.如果直線04平行于平面a或在平面a內(nèi)，那么稱向量標(biāo)平行于平面a.平行于同一個(gè)平面的向量，叫

做共面向量.

2、共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)(x,y),使°=xa+

3、空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(尤,y)，使AP=xAB+yAC.

O

或者等價(jià)于：對(duì)空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)尸位于平面ABC內(nèi)（P,A,5c四點(diǎn)共面）的充要條件是存在

有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,^OP=OA+xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表示式，由此可知，空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

4、拓展

對(duì)于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)尸,CA3共面（其中不共線）的充要條件是。尸=xOC+yOA+zO8（其

中x+y+z=l）.

【題型01：空間向量的有關(guān)概念辨析】

一、單選題

1.（23-24高二上?山東日照?階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（）

A.向量筋與加的長(zhǎng)度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

【答案】A

【分析】由于向量的長(zhǎng)度與向量的方向無(wú)關(guān)，相反向量的長(zhǎng)度相等，由此可判斷AD,將空間所有的單位向

量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，由此可判斷B,由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)榭臻g向量AB與明互為相反向量，所以空間向量與BA的長(zhǎng)度相等，所以A正確；

選項(xiàng)B：將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：兩個(gè)空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量AB與副的模相等，所以D錯(cuò)

誤；

故選：A.

2.（23-24高二上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體"CD-4烏64中，下列向量與。是相等向量的是（）

A.ABB.BAC.4與D.DC

【答案】B

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合相等向量的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖所示的長(zhǎng)方體ABC。-中，

A：向量鉆與C。方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；

B：向量以與CD大小相等，方向相同，所以這兩個(gè)向量相等，因此本選項(xiàng)正確；

C：向量A耳與CD方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；

D：顯然向量CD與向量。C方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確，

3.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知正方體A2CD-44GR的中心為0,則下列各結(jié)論中正確的是（）

A.與是一對(duì)相反向量

B.02-0。與-OD］是一對(duì)相反向量

C.OA+OB+OC+OD與。^+^^+^^+^^是一對(duì)相反向量

D.。4,-。4與?！?。。是一對(duì)相反向量

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算法則和相反向量的概念判斷即可

OA=-0^,08=-ODl,OC=~OAi,OD=-OBi

所以O(shè)A-OD=—Oq+OB1=OB1—OG,故A錯(cuò)誤；

OB-OC^-ODi+OAl=OAi-OD1,故B錯(cuò)誤；

OA+OB+OC+OD=-ocx-OR-CM,-04=-（+04+OG+0R），故C正確；

OA1-OA=-oc+oq=oq-oc,故D錯(cuò)誤.

故選：c

二、多選題

4.（24-25高二上?安徽合肥?期中）下列說(shuō)法正確的有（）

A.設(shè)a,4c是空間向量，若￡與6共線，6與c共線，貝以與c共線

B.若兩個(gè)非零向量與CD滿足AB+CD=O,貝！1A8〃CD

C.零向量與任何向量都共線

D.兩個(gè)單位向量一定是相等向量

【答案】BC

【分析】根據(jù)共線向量以及單位向量的定義即可求解.

【詳解】對(duì)于A,若6為零向量時(shí)，則無(wú)法得到“與c共線，A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由AB+CD=O可得AB=-C￡>,故筋〃CD,B正確，

對(duì)于C,零向量與任意向量共線，故C正確，

對(duì)于D,單位向量的模長(zhǎng)相等，但是方向不一定相同，故D錯(cuò)誤，

故選：BC

5.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）下列命題是假命題的是（）

A.若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量

B.A3的充要條件是A與C重合，8與D重合

C.若向量AB，CD滿足且AB與CD同向，則AB>CD

D.若兩個(gè)非零向量AB與CD滿足A8+CD=0，則AB與CD共線

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A,根據(jù)空間向量的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B,根據(jù)相等向量的定義分析判斷，對(duì)于C,根據(jù)

向量的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D,根據(jù)共線向量的定義分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榭臻g中任意兩向量平移之后都可以共面，所以空間中任意兩向量均共面，所以A是

假命題；

對(duì)于B,由AB=CZ）知，?=口4,且與CD同向，但A與C,B與O不一定重合，所以B是假命題；

對(duì)于C,空間向量不能比較大小，只能對(duì)向量的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，所以C是假命題；

對(duì)于D,因?yàn)锳B+CD=O，所以AB=-CD，故筋與共線，所以D是真命題.

故選：ABC

【題型02：空間向量的線性運(yùn)算】

一、單選題

1.（24-25高二上?浙江紹興?期中）在平行六面體A3。-44G2中，（BC+胡）-運(yùn)算的結(jié)果為（）

UUL1

A.AQB.BDC.D.D、B

【答案】C

【分析】應(yīng)用空間向量加減的幾何意義及運(yùn)算律化簡(jiǎn)求結(jié)果.

【詳解】如下圖，結(jié)合向量加法幾何意義有=3。.

2.(23-24高二下?甘肅?期中)在空間四邊形ABCO中，E,歹分別為8C,CO的中點(diǎn)，貝|+AC)=

()

A.-EFB.BDC.EFD.-BD

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量運(yùn)算計(jì)算即得.

【詳解】在空間四邊形A8C。中，E為5c的中點(diǎn)，則AB+AC=2AE，

所以AP-；(AB+AC)=A/一AE=EF.

故選：C

3.(24-25高二上?河北?階段練習(xí))如圖，在空間四邊形ABC。中，E,M,N分別是邊8C,BD,。的中

點(diǎn)，DE,MN交于F點(diǎn)、,則[AB+[AC+跖=()

22

A.ADB.A戶C.FAD.EM

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的加法的三角形法則和平行四邊形法則計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)镋是邊3C的中點(diǎn)，貝！|；M+gAC=A￡,^AB+^AC+EF=AE+EF=AF.

故選：B

4.（24-25高二下?安徽六安?階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為

ULILI

向量AC1的個(gè)數(shù)是（）

①（AB+3C）+CC1；②（M+AQJ+RC]③（AB+83]）+B]G；④（胡+A4）+4G.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加法法則判斷.

【詳解】由正方體A&,空間向量的加法法則可得.

（AB+BC）+CCj=AC+CC）=AC1；（AA]++DlC1=AD1+DXCX=ACt；

（+）+BxCi=ABj+BiCi=AC]；（A4,+4旦）+耳G=AB】+BiCl=ACt.

故選：D.

5.（24-25高二上?廣東深圳?期末）如圖，在四面體ABC。中，E是3c的中點(diǎn)，AE=4AF，則（）

C

A.DF=i-AB+-AC-AD

44

B.DF=-AB+-AC-AD

88

C.DF=--AB--AC+AD

44

D.DF=--AB--AC+AD

88

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可得出AF=!(AB+AC),然后根據(jù)空間向量的減法即可得解.

【詳解】AE=4AF>AF=^-AE,

4

E是5c的中點(diǎn)，

:.AE=^AB+AC）,

AF=1（AB+AC）,

■,DF=AF-AD=-AB+-AC-AD.

88

故選：B.

【題型03:共線向量及其求參數(shù)問(wèn)題】

一、單選題

1.（24-25高二上?湖南永州?期中）下列條件中，能說(shuō)明空間中不重合的三點(diǎn)A、3、C共線的是（）

A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACC.AB=-2BCD.|AS|=|BC|

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算可判斷A,根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B,根據(jù)共線向量的定義可

判斷C,向量的模長(zhǎng)相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,對(duì)于空間中的任意向量，都有+不能說(shuō)明三點(diǎn)共線，說(shuō)法A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,^AB-BC=AC，則AC+8C=A8,1^AC+CB=AB,據(jù)此可知8C=C8,即3,C兩點(diǎn)重合，

選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,AB=-2BC，則A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,卜臺(tái)卜則線段42的長(zhǎng)度與線段8C的長(zhǎng)度相等，不一定有A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯(cuò)

誤；

故選：C.

2.（24-25高二下?福建龍巖?期中）已知q,e2,63不共面，若AB=q+2e2-e?,BC-Xex++e3,S.A,B,C

三點(diǎn)共線，則/+M=（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由=列出方程求解即可.

【詳解】因?yàn)锳B,C三點(diǎn)共線，

所以

即G+2/-e3=mA.e{+?z/ze2+me3,

mA=1

A=-1

所以,〃卬=2,解得

〃=-2

m=-1

所以X+〃=-3,

故選：A

3.（24-25高二上?天津河西?期中）設(shè)空間四點(diǎn)0,4民尸滿足02=m04+〃08,其中加+〃=1,則（）

A.點(diǎn)尸一定在直線A3上B.點(diǎn)尸一定不在直線A3上

C.點(diǎn)P不一定在直線相上D.以上答案都不對(duì)

【答案】A

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間三點(diǎn)共線的向量表示法求解即可.

【詳解】因?yàn)樽?九=1,所以〃/=1一”，l^OP^mOA+nOB，

故。尸=（1一”）04+nOB,所以。尸一。4=n（OB-OA）,

所以AP="A8,則點(diǎn)P一定在直線43上，故A正確.

故選:A

921

4.（24-25高二上?四川?期中）平行六面體ABC。-A8iG2中，A'=2MC,AM=,A2+?AD+3AA，則

實(shí)數(shù)2的值為（）

A.1B.；C.2D.3

【答案】C

..2

【分析】將A/，AC都用基底AB，ADA4,表示出來(lái)，得到AM=§AC,即可得到&W=2MC.

.7-212-2-2

【詳解】\M=AM-A\=-AB+-AD+-AAl-AAl=-AB+-AD--AA.

2.?2-2.

=-（AB+AD-A4i）=-（AC-A41）=-AiC=-（.AiM+MC）,

所以AM=2MC,

5.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知A,B,C三點(diǎn)共線，。為空間任一點(diǎn)，貝!j①。4=2O3+〃OC；②

存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)彳，利,%使力。4+相OB+〃OC=0，那么使①②成立的〃與彳+〃z+〃的值分別為（）

A.1,-1B.-1,0C.0,1D.0,0

【答案】B

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的推理即可求得〃=T,Z+m+n=0.

【詳解】A,B,C三點(diǎn)共線，OA=2O8+〃OC,=2+〃=1,解得〃=-1,

又由++=0,得OA=—~-OB--OC,

XA

mYI

由A,B,C三點(diǎn)共線知，-不一丁=1，貝!j4+7"+〃=0.

AA

故選：B

【題型04:共面向量及其求參數(shù)問(wèn)題】

一、單選題

1.（23-24高二上?浙江杭州?期末）對(duì)于空間一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)AB,C,J.W2OP=-OA+OB+2OC,則

（）

A.O,A,8,C四點(diǎn)共面B.P,A,民C四點(diǎn)共面

C.O,AB,C四點(diǎn)共面D.o,尸,48，。五點(diǎn)共面

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得至1）8尸=2PC+A尸，得至（JAP,BP,PC共面，進(jìn)而得到RA氏C四點(diǎn)共面，即可求

解.

【詳解】由20尸=-04+03+20。，可得OP-O8=2（OC-OP）+OP-QA,

即2尸=2尸。+4尸，根據(jù)平面向量的基本定理，可得AP,BP,PC共面，

又因?yàn)槿齻€(gè)向量有公共點(diǎn)尸，所以P,A,民C四點(diǎn)共面.

故選:B.

2.（23-24高二上?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M,A,B,C共面的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=|oA+!（?B+|oC

C.MA+2MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【分析】根據(jù)共面向量基本定理及其推論判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)：2-1—1=0片1,所以A錯(cuò)；

B選項(xiàng):所以B錯(cuò);

C選項(xiàng)：原式可整理為K4=-2Affi-MC,所以C正確；

D選項(xiàng)：原式可整理為OM=—OA—O8—OC,-1-1-1=-3^1,故D錯(cuò).

故選：c.

3.（24-25高二上?江蘇無(wú)錫?期中）設(shè)｛。,萬(wàn),右｝為空間的一個(gè)基底，OA=2a+3b+5c>OB=a+2b-2c，

OC=ka+b+3c，若。A，OB-OC共面，貝1U=（）

A.-B.4C.-D.-

4234

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共面定理列方程，解方程組即可.

【詳解】由已知OB，0c共面，

則可設(shè)0c=xOA+yO8,

即faz+6+3c=x（2a+36+5c）++26-2c）,

f1

x=—

2x+y=k2

解得<

即<3x+2y=l,）二一

5x-2y=3

,3

k=-

4

故選：D.

4.（24-25高二上?湖南婁底?期末）已知。為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若

0P=m0A-』08+0C,貝!）加的值為（）

4

495

A.—B.—C.—D.1

544

【答案】c

【分析】借助空間向量的線性運(yùn)算及四點(diǎn)共面的充要條件即可判斷選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，OPnnOA-aOB+OC,

4

又因?yàn)锳,B,C,尸滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，

所以加-1+1=1,解得m=：.

故選：C.

5.（24-25高二上?廣東?期中）己知42,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。不在平面ABC內(nèi)，OD=；OA+xO2+yOC（x,y>0）,

若A,B,C,。四點(diǎn)共面，則孫的最大值為（）

A.—B.—C.1D.2

816

【答案】B

【分析】先利用已知條件求得x+y=/，再利用均值定理即可求得沖的最大值.

【詳解】由OD=：OA+無(wú)。2+>。。。,>>0）及4,B,C,。四點(diǎn)共面得：；+x+y=l,

即x+y=4,又x>0,>>0,

所以孫4晝］=>當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)等號(hào)成立，

故選：B

空間向量的定義

一、空間向量的有關(guān)概念空間向量的表示

幾類特殊向量

定義

加減法運(yùn)算律

記憶技巧

空間向量及其線性運(yùn)算

定義

數(shù)乘運(yùn)算律

幾何意義

一、單選題

1.（24-25高二上廣東梅州.期末）如圖，在平行六面體ABC。-A瓦GR中，下列說(shuō)法埼誤的是（）

A.A4i=BBXB.CR=_ABC.DB=-\CXD.AB+AD+AAl=ACl

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量相等及線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】由向量相等可知：

AAi=BB],故A正確；

CR=BA=-AB,故B正確；

DB=AB-AD>AG=AC=AB+=-AB-AD,所以。8工一4弓，故C錯(cuò)誤；

AB+AD+AA[=AC+AAI=AC],故D正確；

故選：C.

2.（24-25高二上?浙江杭州?期末）已知M,A,8,C為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且0M=04+2x08+yOC,

若M,A,B,C四點(diǎn)共面，則2元+y的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】利用共面向量定理的推論求解即可.

【詳解】依題意，l+2x+y=l,所以2x+y=0.

故選：A

3.（24-25高二下?浙江?階段練習(xí)）三個(gè)非零向量a,b,c則“a,b,c共面"是“=布+〃。（4〃€1<）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共面的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由共面向量的基本定理可知，若三個(gè)非零向量。也c滿足C=+則。也c共面，

反之，若三個(gè)非零向量a,b,c共面，當(dāng)a,6共線，c與a,）不共線時(shí)，就不存在實(shí)數(shù)使得c=2a+〃b,

故共面是d=Xa+W（4〃eR）的必要不充分條件，

故選：B

4.（24-25高二上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）如圖，在四面體ABC。中，E是棱上一點(diǎn)，且AE=；AB,尸是

棱CD的中點(diǎn)，則收=（）

A.--AB--AC+-ADB.-AB+-AC--AD

322322

C.-AB--AC--ADD.--AB+-AC+-AD

322322

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加減法進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】由題意，^EF=EA+AF=^BA+AC+CF

^--AB+AC+-CD^--AB+AC+-(AD-AC}^--AB+-AC+-AD.

3232、,322

故選：D.

5.（24-25高二上?遼寧丹東?期末）在四面體O—ABC中，=OB=b，0C=°，點(diǎn)。滿足5。=兀5。，

E為AD的中點(diǎn)，且OE=1a+:6+，c,則工=（）

236

A.-B.-C.yD.-

6323

【答案】B

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由題意。￡=4。4+00」。&+4。8+町」04+，（。8+??）

［叫叫（…

1r17rriririr1

所以：Q+一"江x=力+"+%，解得x

2222363

B

故選：B

6.（24-25高二上?上海青浦?期末）已知點(diǎn)。在VA3C確定的平面內(nèi)，。是平面ABC外任意一點(diǎn)，滿足

21

CD=2OC-xOA-yOB,且%>0,y>0,則一+一的最小值為（）

4y

A.3B.1+V2C..羋D.3+20

42242

【答案】B

【分析】由四點(diǎn)共面可知x+y=2,結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可求解.

［詳解］CD=CO+OD=2OC-xOA-yOBnOD=3OC-xOA-yOB,

因?yàn)锳,民C,。四點(diǎn)共面，所以3—x—y=l=>%+y=2,

八八“=21(2l^x+y3yx3-IT3nr

注意至y>0,從而—?———■?——~~——-H!■——>—+2./—=—+v2.

xyyj22x2y2\22

當(dāng)且僅當(dāng)x=4-20,y=20"-2時(shí)等號(hào)成立，

213r-

所以一+一的最小值為9+0.

x_y2

故選:B.

二、多選題

7.（24-25高二上?廣東廣州?期中）給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若卜m則4=6或°=-匕

B.若向量a是向量萬(wàn)的相反向量，則W=W

C.在正方體ABCD-AAGR中，AC=AIC1

、、Uiuui

D.若空間向量小n>p滿足m//n，n〃P，貝!1加〃0

【答案】BC

【分析】根據(jù)空間向量的概念可判斷A選項(xiàng)；利用相反向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用相等向量的概念可

判斷C選項(xiàng)；利用共線向量的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：模相等的兩個(gè)向量，它們的方向是任意的，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：向量”是向量6的相反向量，則卜|=W，B正確；

對(duì)于c：在正方體ABC。-A與G2中，四邊形ACG4是矩形，故AC=AG，c正確；

對(duì)于D：若〃=0,則）〃々，"〃。，但加、p不一定共線，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

8.（23-24高二?全國(guó)裸堂例題）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCA-ABCQ中，AB=3,AD=2,9=1,則

在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中（）

A.單位向量有8個(gè)B.與AB相等的向量有3個(gè)

C.朋的相反向量有4個(gè)D.模為q的向量有4個(gè)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)單位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐項(xiàng)分析可得答案.

UUU

【詳解】由題可知單位向量有"，AA,BB],B[B,CCX,GC,DDt,DtD,共8個(gè)，故A正確;

與AB相等的向量有A片，RG，DC，共3個(gè)，故B正確；

UUU

向量A4,的相反向量有AA,B\B,C,C,DR,共4個(gè)，故C正確；

UUU

模為舊的向量分別為D,A,\D,D\,BQ,CXB,BQCBX,共8個(gè)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

9.（23-24高二上?重慶萬(wàn)州?階段練習(xí)）以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）

A.向量。，b,若。.￡>=（）,則々_/,6

UUI

B.若空間向量相、n,p,滿足加〃〃，n//p,則加〃0

C.對(duì)于空間向量機(jī)、〃、P,滿足m=","=0,則機(jī)

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A、B、C,^OP=2OA-2OB-OC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面

【答案】ABD

【分析】根據(jù)零向量的性質(zhì)判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)相等向量的定義判斷C選項(xiàng)；根據(jù)共面向量的推論判斷D

選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)a為零向量時(shí)，滿足夕6=0,但是a與〃不垂直，故A錯(cuò)；

當(dāng)"為零向量時(shí)，加與P不一定共線，故B錯(cuò)；

相等向量具有傳遞性，故C正確；

因?yàn)?-2-1=-1工1,所以P,43,C不共面，故D錯(cuò).

故選：ABD.

三、填空題

10.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）在空間四邊形ABCL（中，連接AC、BD若△BCD是正三角形，且E為

13

其中心，則AB+'BC-gDE-A。的化簡(jiǎn)結(jié)果為.

【答案】0

3

【分析】取BC的中點(diǎn)P,連接DF,可得出=利用空間向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】如圖，取的中點(diǎn)尸，連接。尸，

3

因?yàn)镋為等邊△38的中心，廠為的中點(diǎn)，則=]。石，

13

故AB+—BC--DE-AD=AB+BF-DF+DA=AF+FD+DA=O.

22

11.（24-25二上?陜西渭南?階段練習(xí)）設(shè)61,02是空間兩個(gè)不共線的向量，已知A