專題25旋轉(zhuǎn)（9大考點(diǎn)，精選30題）

考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形

考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)

考點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)問(wèn)題

考點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究問(wèn)題

考點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)與最值問(wèn)題

考點(diǎn)6旋轉(zhuǎn)與反比例函數(shù)

考點(diǎn)7旋轉(zhuǎn)與線段及數(shù)量關(guān)系問(wèn)題

考點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)與面積綜合問(wèn)題

考點(diǎn)9二次函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

考點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)對(duì)稱畫(huà)形

1.（2025?吉林?中考真題）如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能.圖中的三個(gè)葉

片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角a后，能夠與它本身重合，則角a的大小可以為（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

【答案】B

【分析】本題主要考查了求旋轉(zhuǎn)角，把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，馬初始圖形重合，這種圖

形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，據(jù)此求解即可.

【洋解】解：由題意得，整個(gè)圖形由三個(gè)葉片組成，則相鄰葉片之間的夾角為360。+3=120。，

團(tuán)該葉片圖案繞中心至少旋轉(zhuǎn)120。后能與原來(lái)的圖案重合，

團(tuán)角a的大小可以為120。，

故選:B.

考點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)

2.12025?天津?中考真題）如圖，在△48C中，Z-ACB=90°,將△4BC繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C',點(diǎn)8,

C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B1C］夕C，的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)。，連接CC'.若4c=4,CD=3,則線段CC'的長(zhǎng)為

A12c16cAc24

A.-B.-C.4D.—

【答案】D

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，

熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.連接4。，交CC'于點(diǎn)。，先證出RtA4C，0三口△4CD,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)可得C'D=CD=3,再證出4D垂直平分CC',則可得CC'=20C,AD1CC,然后利用勾股定理和

三角形的面積公式求出0C的長(zhǎng)，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接/W,交CC'于點(diǎn)。，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=AC=4,Z-ACB'=Z.ACB=90°,

PLAC'D=900,

在RtA4C'D和Rt^ACD中，

(AD=AD

=AC>

三Rt△4C0(HL),

(3C7)=CD=3,

團(tuán)4D垂直平分CCM

^CC=2OC,AD1CC',

^AACB=90°,AC=4,CD=3,

(MD=>/AC2+CD2=5,

又RS“c。=.

ACS4X312

國(guó)oc==

ADTT

回CC'=2x￡=募，

故選：D.

3.（2025?四川南充?中考真題）如圖，"為正方形/WCD的對(duì)角線，CE平分乙4。氏交于點(diǎn)￡,把△CBE繞

點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到△ABF,延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)M,連接DM,交AC于點(diǎn)N.給出下列結(jié)論:①CM14F；

@CF=AF；③“MD=45。；④翳=&-1.以上結(jié)論正確的是.（填寫(xiě)序號(hào)）

【答案】①③④

【分析】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，角平分線定義，圓周角定理，勾股定

理解三角形，等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答

的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△CBEABF,可得CE=AF,乙BCE=4FAB,BE=BF,進(jìn)而由4BEC+乙BCE=乙FAB4-

乙4EM=90°即可判斷①；由。?=8。+8尸=力8+8/>/?即可判斷（2）；由4、M、B、C、。在以24c為

直徑的圓上，可以證明/CAO=4?MD=45。，即可判定③，設(shè)A0=C0=8C=a,由勾股定理解三角形

可得AN=（V2-l）a,CN=AC-AN=V2a-（>/2-l）a=a,即可判斷④.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：ACBE"ABF,

（3CE=AF,Z.BCE=^FAB,BE=BF,

團(tuán)在正方形48CD中，

^ABC=90°,AB=BC,

又R44EM=乙BEC,

團(tuán)NBEC+乙BCE=4FAB+Z-AEM=90°,

^AMC=90°,即CMJ.AF,故①結(jié)論正確，

團(tuán)4B+BF>AF,CF=BC+BF=AB+BF,

^CF>AF,故②結(jié)論錯(cuò)誤；

團(tuán)在正方形A8C0中,

根據(jù)CE=GE,可推出“EC為直札從點(diǎn)、F為EG中點(diǎn),可推出,,=會(huì)接著再證明△E"一△CDE,

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.

【詳解】解：團(tuán)四邊形"CD是矩形，

QUA=Z.D=Z-ABC=乙BCD=90°,

???/G為此所對(duì)的圓周角，品所對(duì)的圓心角為乙48C,

.%乙G=-Z-ABC=45°,

2

?.?將線段CE繞點(diǎn)6順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EG,

:.CE=GE,

???Z.ECG="=45°,

Z.GEC=180°一4G—(ECG=180°-45°-45°=90°,

AZ.AEF+乙DEC=Z.AEF+Z.AFE=90°,

???Z.DEC=Z.AFE,

又/D=￡A=90°,

(?!△EAFCDE,

噬=笫

???點(diǎn)/為EG中點(diǎn)，

EFEF1

二E=豆=1

???AE=3,

.AS—1—3

"O-2—訪‘

CD=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角

形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)問(wèn)題

5.(2025?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為5,48邊在、軸

上.6(0,-2).若將正方形A6C0繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋話90c.得到正方形460.則點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(-3,5)B.(5,-3)

C.(-2,5)D.(5,-2)

【答案】A

【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，由正方形與旋轉(zhuǎn)可得Ae在X軸上,4"liuzr,

結(jié)合8(0,-2),可得反(2,0),。(2,5),進(jìn)一步可得答案.

【詳解】解：團(tuán)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,邊在y軸上，將正方形力8CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。.得到正方形

A'B'C'D'.

^AB=BC=A'B'=B'C=CD'=5,4’夕在不軸上，A,B,\\C,D,,

I?1A?(O,-2),

13夕(2,0),C'(2,5),

團(tuán)。'(-3,5),

故選：A

6.(2025?山西?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),將線段。4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，

則點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】(3企,3企)

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，將線段0A繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到。兒，過(guò)為

作為%軸于點(diǎn)氏則乙。乙然后通過(guò)。，

B14/=90°,OA=0A1=6,=450,08=O&cos45A1B=

04sin45。，即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，將線段0A繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到。為，過(guò)4作為81%軸于點(diǎn)8,則乙4$。=90。,

團(tuán)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),

00。=6?

由題意得，

04=04i=6,Z.AOA1=45°,

或，。

130B=04cos450=3ArB=04sin45=3VL

0點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3企,3&),

故答案為：(3&,3&).

7.(2025?黑龍江?中考真題)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角

坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為題2,-1),8(l,—3),C(3,—4).

⑴將△ABC向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△&B1Q,畫(huà)出兩次平移后的△

并寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

⑵畫(huà)出△/11當(dāng)。1繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△4/G，并寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，求點(diǎn)g旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C2的過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留n).

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，G(4,l)

⑵作圖見(jiàn)解析，Q(-L4)

(3)—7T

【分析】本題考查了平移作圖，旋轉(zhuǎn)作圖，弧長(zhǎng)公式，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用

是解題的關(guān)鍵.

(1)分別描出平移后的點(diǎn)為,當(dāng),C],再順次連接即可得到根據(jù)點(diǎn)的平移方式即可求解Cl：

(2)將點(diǎn)%G分別繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)怎外。2,再順次連接即可△42%。2,即可寫(xiě)出點(diǎn)G

的坐標(biāo)；

(3)先由勾股定理求出OG，再由弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，即為所求：

團(tuán)。(3,-4),

團(tuán)向_L平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到Ci(3+1,-4+5),即g(4,l)；

（2）解:如圖，△A282c2即為所求，c2（-l,4）;

（3）解：0cl=Vl2+42=V17.

團(tuán)點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為喘亙=存

考點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究問(wèn)題

8.（2U25?四川達(dá)州?中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，再繞原點(diǎn)按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的y（a,。）變換.現(xiàn)將斜邊為1的等腰直角三角形43C放置

在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，△48C經(jīng)y（l,180。）變換后得4為第一次變換，△4181cl經(jīng)y（2,180。）變

換得△&82C2為第二次變換，…，經(jīng)y（n,180。）變換得△4“8nCn，則點(diǎn)C2025的坐標(biāo)是.

另i

。平移

B'、個(gè)上

。力夕；1

C'、；二］/

轉(zhuǎn)

【答案】（-等，心）

【分析】本題考查坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究，過(guò)點(diǎn)C作CD1xlllb根據(jù)斜邊上的中線，得到。=\AB=AD=l，

進(jìn)而得到C根據(jù)變化規(guī)則,得到C2G+1-2*）。3（-：-1+2-3,—：）,。46+1-2+3—4*）,

^5（—1+2—3+4—5,—0,-?,進(jìn)而得到G（一：-1,_｝），。3（-1-2,-g）,C5—3；-0…推出

C2n-i（-1-n,-1）,根據(jù)2025=2x1013—1，求出點(diǎn)C2025的坐標(biāo)即可?

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作CDJ?無(wú)軸，

[34/9C為斜邊為1的等腰直角三角形，

團(tuán)CD=jB5D=}

叫浦，

回G是由。弓，)先向右平移1個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。，即根據(jù)平移后的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得

到的，

團(tuán)G

同理：C2Q+1-2,i),C3(-i-1+2-3,-1),C4Q+1-2+3-4,0,Cs-1+2-3+4-5,-i)

團(tuán)加(一3-1,-3,C(-^-2,-1),

3CS(-1-3,-1)-

0C2n-l(一?%—：)'

02025=2x1013-1,

回。2025(-?1013,-[)，即：C2c2S(一^^，一》

故答案為：(一等,一3.

9.(2025?四川德陽(yáng)?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(2,0),8(0,2⑹，點(diǎn)C在直線m:)，=梟-零

上，且力C=3,連接AB,BC,將△A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△4&G，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)以落在直線m上，再將

△4當(dāng)。1繞點(diǎn)當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△4為。?，點(diǎn)兒的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4也落在直線m上.如此下去，…，則Ai。。]的縱半

【分析】本題考直了解直角三角形，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，設(shè)直線m與y軸

交于點(diǎn)D,分別過(guò)4、45作4E1X軸，魚(yú)打"Lx軸，垂足分別為點(diǎn)E、F,求出點(diǎn)。（0,一手）由tan4O/m=

2s/3、1_

竺二工=y，tanz?。力8=絲=2=再，則404。=4cAE=30。，LOAB=60°,則有484C=90。，由

07123OA2

勾股定理得BC=，4加+心=、/42+32=5,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知和a=BC=S,BIA2=AB=4,所以A/=

12,故有心七二:人力二6,即力2143）的縱坐標(biāo)為6，同理力5（力6）的縱坐標(biāo)為12,由&001=43x333+2，可判

斷4001在直線m上，所以4001（41002）的縱坐標(biāo)為334、6=2（）。4,從而求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)以分別過(guò)42、4作42E1X軸，公尸上萬(wàn)軸，垂足分別為點(diǎn)心F,

團(tuán)點(diǎn)D（0,—

團(tuán)OD=迪，

3

(34(2,0),F(0,2x/3),

00/4=2,08=2遍，由勾月殳定理得「8=7OB?十。42=%

麗血D*=3=今tan/OAB=何=萼=后

^OAD=^-CAE=30°,/-OAB=60°,

^BAC=90°,

回BC=yjAB2+AC2=<42+32=5,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：

CB]=BC=5,B1A2=AB=4,

^AA2=AC+CBi+BVA2=12,

團(tuán)4*=j^2=6，即&(4)的縱坐標(biāo)為6,

同理4(4)的縱坐標(biāo)為12,

團(tuán)41001=43x333+2'

團(tuán)4]ooi在直線m上，

團(tuán)4OOI(A】OO2)的縱坐標(biāo)為334x6=2004,

故答案為:2004.

考點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)與最值問(wèn)題

10.（2025?安徽?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，LA=乙4BC=90°,AB=4,BC=3,AD=1,點(diǎn)E為

邊4B上的動(dòng)點(diǎn).將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連接『8,FC,EC,則下列結(jié)論惜誤的是（）

A.EC-￡。的最大值是2遮B.F8的最小值是國(guó)

C.EC+EC的最小值是42D.FC的最大值是履

【答案】A

【分析】本題主要圍繞四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題展開(kāi)，解題思路是先通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相關(guān)線段和角的關(guān)系，

再利用勾股定理建立線段之間的聯(lián)系，最后根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)來(lái)分別判斷各個(gè)結(jié)論

的正確性.

【詳解】解：國(guó)將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。凡

0DF=D尸，乙EDF=90°.

又住乙4=乙ABC=90°,AB=4,BC=3,AD=1,

過(guò)點(diǎn)。作OG1BC丁點(diǎn)G,在DG上取一點(diǎn)H,使得OH=AD=1,延長(zhǎng)F"交48于點(diǎn)/,則四邊形4BGD是矩形，

^GDA=Z.ADE+乙EDG=90°=乙EDG+乙HDF.

^ADE=乙HDF,

0ADWFDAE(SAS),

0ZDHF=ADAE=90°,

0F//1DG,即點(diǎn)尸在FH上運(yùn)動(dòng)，

回四邊形和四邊形BGH/是矩形，

Wl=AD=BG=1,AI=DH=1,B/=4—1=3,

0Z4=Z.ABC=90°,AB=4,BC=3,AD=1,

回0E=VI2+(4-BE)2,CE=V32+BE2,

(3EC-ED=V324-BE2-y/12+(4-BE)2,

回BE最大時(shí)，EC-ED最大,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)4重合時(shí)，足與H重合時(shí),8F最小，此時(shí)EC=V42+32=5,ED=1,EC-ED=5-1=4*2圾,

故A錯(cuò)誤，符合題意；BF=2+B/2=,/+32=屈，故B正確,不符合題意；

作點(diǎn)。關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MC,則EO=EM,AD=AM=1,48力M=乙8力0=90。,過(guò)M作MN_LCB于

點(diǎn)M此時(shí)EC+EDNCM，當(dāng)C、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，EC+ED最小，

0M/V1CB/ABN=180°-90°=90°,

團(tuán)四邊形4MN8是矩形，

國(guó)BN=AM=1,CN=3+1=4,AB=MN=4,

國(guó)EC十的最小值=AC=V42+42=4^2，故C正確，不符合題意；

當(dāng)E與4重合時(shí)，CF=y/GH2+CG2=7(3-I)2+(4-I)2=V13,

當(dāng)E與8重合時(shí)，過(guò)C作CQ1FH,則四邊形CQ/8是矩形，如下圖，

團(tuán)僅==4—1=3,QI=BC=3,

0ADHFDAE,

0F//=AE=4,

團(tuán)QF=FH+H/—Q/=4+1—3=2,

0FC=yjCQ2+FQ2=V224-32=713,

綜上，F(xiàn)C最大值為g.故D項(xiàng)正確，不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理以及幾何

最值問(wèn)題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，并能根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)準(zhǔn)確分析線段之間的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

11.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，在RtAOBC中,/-ABC=90°,BC=6.將射線繞點(diǎn)C順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。到C4,在射線&41上取一點(diǎn)連結(jié)力。，使得△4CO面積為24,連結(jié)8D,則8。的最大值是.

【答案】2V13+4

［分析］先整理得4cxCO=48,過(guò)點(diǎn)C向上作線段CE18C,使得CE=8,則胃=胎結(jié)合MCE=^ACD=

C/lCD

90。,整理得乙4cB=乙ECD,證明△CEO八CAB,即4EDC=^ABC=90°,運(yùn)用即定角定弦，故點(diǎn)。在以CE

為直徑的圓上，連接。B,并延長(zhǎng)與。。交于一點(diǎn)，即為以，運(yùn)用勾股定理得B。=/BC?+0a=2VH,

即可作答.

【詳解】解：團(tuán)射線&4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到C4,在射線Gh上取一點(diǎn)。，連結(jié)4D,

SCD=90°,

國(guó)△ACD面積為24,

0/4CxCDX|=24

回ACXCD=48,

過(guò)點(diǎn)C向上作線段CE18C,使得CE=8,

團(tuán)BC=6

麗xCE=6X8=48

即HCxCD=BCxCE

解="，

CACB

連接。E，

0CF1BC,

團(tuán)/BCE=LACD=90°,

團(tuán)4BCE-Z.ACE=Z,ACD-/.ACE,

OzJCB=乙ECD,

腐=絲.

CACB

0ACEDCAB,

^EDC=乙ABC=90°,

故點(diǎn)。在以CE為直徑的圓上,

0CF=8,

記圓心為直徑CE的中點(diǎn)。，

即0。的半徑OD=4

連接OB,并延長(zhǎng)與。0交于一點(diǎn)，即為

此時(shí)。劣為的最大值，

故B。=yjBC2+OC2=V364-16=2/13

團(tuán)叫=B。+皿=2V134-4

故答案為：2-713+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確分析出點(diǎn)。在

以CE為直徑的圓上是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)6旋轉(zhuǎn)與反比例函數(shù)

12.(2025?河南?中考真題)小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中含30。角的三

角校0A8的直角邊。力落在y軸上，含45。角的三角板。力。的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),反比例函數(shù)y=：(%>

0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

⑵將三角板。48繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。)8邊上的點(diǎn)D恰好落在反比例函數(shù)圖象上，求旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=；

⑵D(-l,4)

【分析】(1)把C的坐標(biāo)為(2,2)代入反比例函數(shù)丫=￡(%>0)即可得到答案；

(2)求解。。2=22+22=8,證明4C=C。，求解力。=+心=4,如圖，連接。0,△。4B旋轉(zhuǎn)到

△OEF的位置；可得。￡=。4=4,結(jié)合D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G在y=￡的圖象上，可得EG=1,進(jìn)一步求解即可.

【詳解】(1)解：色含45。角的三角板。力C的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為［2,2),反比例函數(shù)y=；(x：>0)的圖象經(jīng)過(guò)

點(diǎn)C.

0k=2X2=4,

(3反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-；

X

(2)解：0C(2,2),

^CO2=22+22=8,

回含45。角的三角板。"為等腰直角三角形，^ACO=90%

(371C=CO,AO=>/CO2+AC2=4,

如圖，連接。。，△。48旋轉(zhuǎn)到△OEF的位置；

00￡=OA=4,

回。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G在y=:的圖象上，

團(tuán)YG=1，

團(tuán)EG=1,

由旋轉(zhuǎn)可得：AD=GE=1,

孫一1,4).

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解

題意是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)7旋轉(zhuǎn)與線段及數(shù)量關(guān)系問(wèn)題

13.(2025?北京?中考真題)在△48C中，LACB=90°,乙IBC=a，點(diǎn)。在射線BC上，連接力以將線段力。繞

點(diǎn)W逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-2a得至IJ線段力E(點(diǎn)E不在直線上)，過(guò)點(diǎn)E作EF||力氏交直線BC于點(diǎn)F.

DFB

C(D)BFNX

圖1圖2￡

(1)如圖1,a=45。，點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，求證：BF=AC；

⑵如圖2,點(diǎn)。，F(xiàn)都在8c的延長(zhǎng)線上，用等式表示。r與8C的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見(jiàn)解析

[2}DF=2BC

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)

用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)a=45°,得出NB4C=LABC=45。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得4E=AD=AC,Z.EAB=900-Z.BAC=45°,

進(jìn)而訐明四邊形力是平行四邊形,得出/??=//?.BF=AC：即可得訐：

(2)在08上取一點(diǎn)G,使得4G=4B,證明△ZMG三△EAB(SAS)得出OG=3E,LAGD=LABE=180°-

^AGC=180°-a,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出乙FBE=180。-2a,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NBFE=

乙ABF=a,進(jìn)而得出NBEF=a,根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=BF,則DG=8凡根據(jù)三線合一可得GC=BC,

進(jìn)而根據(jù)。F=BD-BF=BD-DG=BG=2BC,即可得證.

【詳解】(1)證明：回乙4c8=90>,Z.ABC=45°

0ZF/4C=Z.ABC=45°

團(tuán)線段AO繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-2X45。=90。得到線段AE,點(diǎn)。與點(diǎn)C重合

團(tuán)4E=AD=AC,Z,EAB=90°-Z,BAC=45°,

^Z-EAB=Z.ABC

^BCWAE

0FF||AB,

團(tuán)四邊形485E是平行四邊形，

WF=AE,

WF=AC；

(2)DF=2BC,

證明：如圖，在CD上取一點(diǎn)G,使得CG=CB

^ACB=90°

團(tuán)4G=AB

^Z-AGB=Z.ABG=a,

4G=180°-2a

團(tuán)將線段力。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-2a得到線段力￡

0D4=EA

^DAE=Z-GAB=180°-2a

回乙DAG=乙EAB

0ADAG=△EAB（SAS）

WG=BE,Z-AGD=乙ABE=183°-^AGC=180°-a

又住乙48C=a

0ZFFE=/.ABE-乙ABC=180°-a-a=180°-2a

0FFIIAB,

^LBFE=乙ABF=a

0ZFEF=180°-Z-FBE-乙BFE=a

OBE=BF

WG=BF

^AG=AB,AC1BC

（3GC=BC

0DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC

14.（2025?甘肅蘭州?中考真題）【提出問(wèn)題】數(shù)學(xué)討論課上，小明繪制圖1所示的圖形,正方形4BC0與正

方形BEFGCAB＞BE）,點(diǎn)、E,G分別在48,8c上，根據(jù)圖形提出問(wèn)題：如圖2,正方形8EFG繞點(diǎn)笈順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。＜。＜180。），直線4E與CG相交于點(diǎn)”，連接探究線段力“，BH,C”之間的數(shù)

量關(guān)系.

【解決問(wèn)題】（1）小明將上述問(wèn)題特殊化，如圖3,當(dāng)點(diǎn)G,，重合時(shí)，請(qǐng)你寫(xiě)HZH,BH,之間的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）小明借鑒（1）中特殊化的解題策略后，再解決圖2所示的一般化問(wèn)題，當(dāng)點(diǎn)G,”不重合時(shí)，請(qǐng)你寫(xiě)

出HH,BH,CH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展問(wèn)題】（3）小明將圖2所示問(wèn)題中的旋轉(zhuǎn)角a的范圍再擴(kuò)大，正方形8EFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

角為或180。＜。V360。)，直線AE與CG相交于點(diǎn)兒連接B”，請(qǐng)直接寫(xiě)出AH,BH,C”之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【答案】=CH+V2BH,理由見(jiàn)解析；(2)AH=CH+y[2BH,理由見(jiàn)解析；(3)CH=AH+五BH,

理由見(jiàn)解析

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)求得EH=aBH,證明△ABE=△CFG(SAS),推出力E=CG,根據(jù)/IH=/IE+

EH即可求解；

(2)在AE1?.截取AM=C"，證明△MHB三△HCB(SAS),推出乙3=乙4,BM=BH,證明△M8H是等腰直

角三角形，求得=根據(jù)4H=AM+MH,即可求得AH=CH+遮BH；

(3)在CG上截取CM=AH,證明aABH三△CBM(SAS),得到B”=BM,43=匕4,同理，得到△MB"是

等腰直角三角形，求得MH=&EH,根據(jù)CH=CM+MH,即可求得CH=4〃+VlBH.

【詳解】解：(1)AH=CH+&BH,理由如下，

如圖，當(dāng)點(diǎn)G,〃重合時(shí)，

團(tuán)正方形與正方形5EFG,

^AB=BC,BE=BH,448c=90。，Z.EBH=90°,

團(tuán)EH=V2BH,Z.ABE=90°-乙EBC=乙CBG,

^ABEdCBG(SAS),

(ME=CG,

團(tuán)4H=AE+EH=CH+立BH；

(2)AH=CH+理由如下,

由(1)得A/BE三△CBG(SAS),

0Z.1=42,

在上截取4M=CH,

0Z.1=z2,AB=BC>

0AMAB工△HCB(SAS),

□Z.3=Z.4,BM=BH,

0Z5=90°-Z4-乙EBC,z6=90°-z3-乙EBC,

團(tuán)乙5=46,

⑦乙MBH=Z6+乙EBC+Z4=Z5+乙EBC+Z4=乙EBG=90。,

0AMBH是等腰直角三角形，

團(tuán)=V2BH,

團(tuán)AH=AM+MH,

財(cái)，=CH+V2BH；

(3)CH=AH+&BH,理由如下，

由(1)得△力BE三△CBG(SAS),

團(tuán)4E=CG?Z.1=42,

在CG上截取CM=AH.

團(tuán)Z.1=42,BC=AB,

田△力B”=△CBM（SAS）,

團(tuán)B"=8M,Z3=44,

同理，AM8H是等腰直角三角形，

國(guó)MH=&BH,

團(tuán)=CM+MH,

^CH=AH+V2BH.

【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股

定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線，證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵.

15.（2025?貴州?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，448c=60。，點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為射線BP上

的一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合）.

【問(wèn)題解決】

(1)如圖①，若點(diǎn)P與線段AC的中點(diǎn)。重合，則NP8C=_度，線段BP與線段4c的位置關(guān)系是「

【問(wèn)題探究】

(2)如圖②，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E在線段BP上，B.Z/1EP=30°,ZPEC=60°,探究線段BE與線段EC的

數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將線段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到￡尸，射線交射線BC于點(diǎn)G,若見(jiàn)？=

2FG.AB=5,求4P的長(zhǎng).

【答案】(1)30,BPLAC；(2)CE=2BE,理由見(jiàn)解析；(3)/P的長(zhǎng)為2或?qū)W

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)證明為等邊三角形，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得答案：

(2)如圖，把△ABE繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△CBQ,證明△BEQ為等邊三角形,可得4BEQ=60°=乙BQE,

BE=EQ,求解48EQ=NCEQ=60。,Z-AEB=^BQC=150°,Z-EQC=150°-60°=90°,可得4ECQ二

90。-60。=30。，進(jìn)一步可得結(jié)論；

(3)如圖，當(dāng)P在線段0力上，記BP與小。交于點(diǎn)H,證明△從4B?△BEG,可得煞=案，設(shè)FG=x,則EF=

8E=2%,可得4H=子，證明△/PH-ZkCPB,再進(jìn)一步解答即可；如圖，當(dāng)P在線段。。上時(shí)，延長(zhǎng)力。交8P

于〃，同理可得：ABAH-GEB,設(shè)8E=EF=2m,而B(niǎo)E=2尸G,則G/7=EG=m,可得4H=10,

證明△APUs^CPB,再進(jìn)一步可得答案.

【詳解】解：(1)回在菱形ABC。中，

^AB=BC=CD=ADf

^Z.ABC=60°,

團(tuán)△4BC為等邊三角形，

目點(diǎn)P與線段/C的中點(diǎn)。重介，

^Z-PBC=-/-ABC=30°,BP1ACx

2

(2)如圖，把△4BE繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ACEQ,

AD

P

睦、

r

Q

^BE=BQ,^EBQ=60°,乙AEB=iBQC,

團(tuán)人/?/?Q為等邊二角形.

團(tuán)NBEQ=60°=LBQE,BE=EQ,

13點(diǎn)E在線段8P上，且乙4EP=30°,zPEC=60°,

^LAEB=150°,乙BEC=360°-150°-30°-60°=120°,

團(tuán)4BEQ=乙CEQ=60°,Z.AEB=乙BQC=150°,

0ZEQC=15O°-6OO=9O°,

團(tuán)4ECQ=90°-60°=30°,

BCE=2EQ=2BE：

(3)如圖,當(dāng)P在線段04上,記BP與AD交于點(diǎn)、H,

^AHB=乙CBH,

^Z.ABC=60°,

回々BAD=120°=/BEG,

(21AHAB~kBEG,

的=眨

ABEG

設(shè)N；=x,則Er=8E=2x,

團(tuán)EG=3%,

脛="，

3x5

^AH=—,

3

團(tuán)4DII8C,

國(guó)AAPH八CPB,

10

畔

回為等邊三角形，

(L4C=AB=S,

0/1P=5x|=2,

如圖，當(dāng)P在線段0C上時(shí)，延長(zhǎng)4D交BP于H,

同理可得：4H=乙PBC,乙BAH=乙BEG=120°,

0ABAH?bGEB,

設(shè)BE=EF=2m,而B(niǎo)E=2FG,則G~=EG=m,

^AH=10,

同理：>APH~>CPB,

喘嗯=2,

a4P=5x：=R

33

綜上：4P的長(zhǎng)為2或半

J

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

含30角的直角三角形的性質(zhì)，本強(qiáng)的難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

16.(2025?吉林長(zhǎng)春?中考真題)如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為

邊718卜一動(dòng)點(diǎn)，連接DE.將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段

⑴線段88的長(zhǎng)為」

(2)當(dāng)EF||4G時(shí)，求4E的長(zhǎng)；

⑶當(dāng)點(diǎn)尸在邊BC上時(shí)，求證：AADENABEF；

⑷當(dāng)點(diǎn)E到8c的距離是點(diǎn)尸到鳳;距離的2倍時(shí)，直接寫(xiě)出力E的長(zhǎng).

【答案】⑴4魚(yú)

⑵魚(yú)

(3)證明見(jiàn)解析

(4ME的長(zhǎng)為4/-4或4魚(yú)一

【分析】(1)利用勾股定理計(jì)算即可；

(2)如圖，求解4力==45°,AD=CD=2,證明，F(xiàn)EB=LA=45°,結(jié)合々DE尸=45°,可得NDEB=

90。=乙/ED,再進(jìn)一步求解即可；

(3)證明上BEF=4力。心結(jié)合/4=乙8=45°,DE=FE,從而可得結(jié)論；

(4)如圖，當(dāng)尸在的左邊時(shí)，結(jié)合題意可得：EG1BC,FQ1BC,EG=2FQ,過(guò)。作OHJ.4B于H,

過(guò)F作FK_L￡G于K,可得FQ=GK=GE,結(jié)合(1)可得：DH=AH=V2,證明△DHE三△EK尸，可得

EK=DH=a,再進(jìn)一步解得即可：如圖，當(dāng)F在8c的右邊時(shí)，過(guò)。作DH1AB于H,過(guò)廣作FK1EG于K,

同法可得答案.

【詳解】(1)解：團(tuán)在△48C中，LC=90°,AC=BC=4,

^AB=>JAC2+BC2=4V2；

(2)解：如圖，在△ABC中，4C=90。，AC=8C=4,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，

^EFWAC,

□zFFF=AA=45°,WzDEF=45°,

^DEB=90°=Z/1FD,

團(tuán)AE=AD-cos450=2X—=V2；

2

(3)證明：團(tuán)旋轉(zhuǎn)，

0DE=DF/DEF=45°,

如圖，0Z.DFF+Z-BEF=LDEB=Z.A+Z.ADE,Z.DEF=Z.A=45°,

0/BEF=Z.ADE,

S=NB=45。，DE=FE,

0AADE=△BEF；

(4)解：如圖，當(dāng)了在8c的左邊時(shí)，結(jié)合題意可得：EG±BC,FQ±BC,EG=2FQ,

過(guò)。作DH1A8于H,過(guò)F作FK_LEG于K,

團(tuán)四邊形FKGQ為矩形，

團(tuán)尸Q=GK=GE,

結(jié)合（1）可得：DH=AH=V2,

（3EG1BC,乙B=45°,

團(tuán)4GEB=Z,B=45°,

[2GB=GE=2GK=2EK,

團(tuán)乙DEF=45°,

0Z.DFF+乙GEB=90°,

^Z.DEH+Z.FEK=90°,

0ZDHF=90°=AIDE+HED,

團(tuán)乙HDE=乙KEF,

WE=EF,

0ADHE"EKF,

0E/C=DH=y[2,

團(tuán)EG=BG=2^2,

團(tuán)BE=y]EG2+BG2=4,

團(tuán)力E=4\/2—4：

如圖，當(dāng)尸在BC的右邊時(shí)，過(guò)D作。H14B于H,過(guò)戶作VK1EG于K,

同理：EK=DH=V2,

四邊形四邊形/KGQ為矩形,

回"。=GK,

團(tuán)GE=2FQ,

團(tuán)GE=2GK,

BEG=等，GK=FQ=y,

同理可得：EG=BGBE=^~xa

團(tuán)4E=4^2-$

綜上：4E的長(zhǎng)為4企一4或4企一2

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩

形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

17.（2025?廣東深圳?中考真題）綜合與探究

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1,小軍用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板拼接成一個(gè)四邊形.

【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對(duì)的角等于原等腰三角形的頂角，此時(shí)該四

邊形稱為“雙等四邊形"，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形如圖2,在^ABC中，A8=AC,AC=AD,

4=皿C.此時(shí)，四邊形48CD是“雙等四邊形〃,△力8C是“伴隨三角形

圖1圖2圖3

【問(wèn)題解決】如圖3,在四邊形力BCD中，AB=AC,AD=CD,zD=ABAC.求：

①AD與OC的位置關(guān)系為：：

@AC2AD-BC.（填―<〃或"="）

【方法應(yīng)用】①如圖4,若AC=BC,將△ABC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△40E,點(diǎn)。恰好落在BC邊上，求證：

四邊形A8DE是雙等四邊形.

②如圖5,在等腰三角形為8c中，"=BC,cosB=l，AB=5,在平面內(nèi)找一點(diǎn)。，使四邊形A8CD是以△ABC

為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請(qǐng)求出Q9的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】問(wèn)題解決：①互相平行；②個(gè)【方法應(yīng)用】①見(jiàn)解析；②C。=g或9或瓷

6336

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

是解答本題的關(guān)鍵.

問(wèn)題解決：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出乙。4:=乙478,從而可得力0||8C：

②證明△4BCMDAC得出黑=祟即4c2=BC-CD,由CD=4?？傻媒Y(jié)論;

方法應(yīng)用：①根據(jù)雙等四邊形的定義進(jìn)行證明；②分乙4c8=U=Z.ACD,AD=AC^ACB=zD=乙4CD,

AD=4c或乙。=^ACB,DA=0C三種情況討論求解即可.

【詳解】解：［問(wèn)題解決］①血48=AC,DA=DC.Z-BAC=^ADC,

18BAC18O0-Z/1DC

回乙ACS=°°~^t^.DAC=

回乙D4c=LACB.

^ADIIBCx

@^DAC=z.ACB,LBAC=￡.ADC,

0AABCDAC>

_B￡

**CD~AC9

AC2=BCCD,

???CD=AD,

AC2=BC-AD；

故答案為：①平行；@=；

方法應(yīng)用：①?.?△/1/)￡為△ABC旋轉(zhuǎn)得至IJ,

:.AB=AD,

令/B=a,則4408=a,Z-BAD=180°-2a,

Z.ADE=Z.B=a,

由旋轉(zhuǎn)得，DE=BC,AE=AC,

XvAC=BC,

^EA=ED,

???￡DAE=Z.ADE=a,

???ZE=180°—2a,

Z.E=Z.BADf

???四邊形/WOE為雙等四邊形;

②作AHIBC于點(diǎn)H,

BH=3,AH=4,

設(shè)CH=%,則：AC=BC=x+3,

222

在Rt/kAHC中，CH+AH=ACf即工？+42=(%+3/,

解得：無(wú)=：，

O

CH=3BC=AC=卷，

若，8=40=Z.CAD,CA=CO時(shí)，CD=AC=

6

若"CB=ZD=Z,ACD,AD=4c時(shí)，

...AD=AC=

作WM1CD于點(diǎn)M,

0C/4=DM,

7

察=cosZ.ACM=COS/.ACB=會(huì)=卷，

?7、，257

?"M"x彳=/

7

:.CD=2CM=-

???△CABDAC,

:.—CD=一AC,

BCAB

25

.出一工

??亙-5'

125

??.CDF

綜上所述：滿足條件時(shí)，co=1或割葭.

18.（2025?上海?中考真題）小明正在進(jìn)行探究活動(dòng)：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請(qǐng)你幫他一起探究.

⑴如圖（1）所示，在梯形「BCD中,AD\\BC,AB1BC.設(shè)E為邊48中點(diǎn),將△力DE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180。,點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)至點(diǎn)F的位置，得到的△。尸C是等腰三角形，其中。尸=DC,設(shè)AD=Q,求邊BC的長(zhǎng)（用a表示）；

（2）如圖（2）所示，已知梯形MQPN中，MNWQP,旦MNVPQ,MQ=NP.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，用一條或兩

條直線將梯形MQPN分割，并使得分割成的幾個(gè)部分可以通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)拼成與剩余部分不重疊無(wú)縫隙的等腰

三角形.請(qǐng)寫(xiě)出兩腰的線段，以及這兩條或一條直線與梯形的交點(diǎn)的位置.（模仿（1）中的論述語(yǔ)言：E為

邊中點(diǎn)，D是梯形A8CD的頂點(diǎn)）.

【答案】（l）BC=3a

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查了變換：旋轉(zhuǎn)、平移與軸對(duì)稱，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)：

（1）過(guò)點(diǎn)。作DH18C十"則由等腰三角形的性質(zhì)得FC=2FH；證明四邊形ABHD是矩形，則有=

4O=Q；再由旋轉(zhuǎn)知8尸=力。=a,則可求得的長(zhǎng)，最后求得結(jié)果；

（2）連接QN,把AMNQ通過(guò)平移變換，再軸對(duì)稱變換得到△NPG,貝必NQG為滿足條件的等腰三角形.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于”，

團(tuán)OF=DC,

團(tuán)FT=2FH：

團(tuán)4DII8C,AB1BC,

團(tuán)乙1=180°-乙ABC=90°,

回NX=Z.ABC=乙DHB=90°,

團(tuán)四邊形A8HD是矩形，

團(tuán)BH=AD=a；

由旋轉(zhuǎn)知8/=4D=a,

^FH=BH+BF=2a,

回FC=2FH=4a,

團(tuán)BC=FC-FB=4a—a=3a；

⑴

（2）解：如圖（2）,連接QN,MP,把a(bǔ)MNQ沿MP平移使M與P對(duì)應(yīng)，得到△PG，；再把△PG”沿QG對(duì)

折，得到△'%；,〃與N是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則ANQG是等腰三角形，其中兩腰分別為NQ,NG,點(diǎn)MQ分別是梯

形的頂點(diǎn).

（2）

19.（2025?江西?中考真題）綜合與實(shí)踐

從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一股思路，綜合實(shí)踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的廢我放纏問(wèn)題展

開(kāi)探究.

特例研究

在正方形力8C0中，AC,80相交于點(diǎn)O.

（1）如圖1,△AOC可以看成是△408繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大&倍得到，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為,

上的值為;

（2）如圖2,將△A08繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,并放大得到△（點(diǎn)O,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E,

產(chǎn)），使得點(diǎn)上落在。。上，點(diǎn)廠落在BC上，求啜的值

OE

D_____CD_____CD________CDC

BABABAB

圖1圖2圖3備用圖

類比探究

（3）如圖3,在菱形ABCD中，/.ABC=60%。是A8的垂直平分線與BD的交點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a，并放縮得到△力￡1?（點(diǎn)。，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)EF）,使得點(diǎn)E落在。。上，點(diǎn)小落在BC

上.猜想差的值是否與a有關(guān)，并說(shuō)明理由；

（4）若（3）中4人3。=僅具余條件不變，探究ZM,BE,8尸之間的數(shù)量關(guān)系（用含B的式子表示）?

【答案】（1）45°；V2；（2）蕓