27.1圓的認(rèn)識（重點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)B、O、C和點(diǎn)A、O、D分別在同一條直線上，則圖中有（）條弦．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)弦的定義：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，解答可得．【詳解】解：圖中的弦有AE、AD、CD這3條故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是掌握連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．（2021·山東寧陽·九年級期末）如圖，的三點(diǎn)都在上，AB是直徑，，則為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“直徑所對的圓周角是90度”及“同弧所對的圓周角相等”解答即可.【詳解】∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∴∠BCD=50°∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的相關(guān)推論，熟練的掌握“直徑所對的圓周角是90度”及“同弧所對的圓周角相等”是關(guān)鍵.3．（2021·江蘇吳江·九年級月考）如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∠ABC＝50°，則∠DAB等于()A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C試題分析：如圖，連接BD，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB=90°.∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴∠ABD=∠CBD．∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.∴∠DAB=90°－25°=65°,故選C.4．（2021·廣東增城·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)，，，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)D到弦OB的距離的最大值是A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】先求出圓的直徑，當(dāng)點(diǎn)D在所在直線垂直O(jiān)B時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到弦OB的距離的最大，求出此時(shí)的值即可．【詳解】如圖，連接AB，，AB為直徑，此時(shí)，當(dāng)直線CD垂直AB時(shí)，此時(shí)此時(shí)點(diǎn)D到弦OB的距離的最大為PD．，，又是AB的中點(diǎn)，是的中位線．，此時(shí).故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查坐標(biāo)與圖形的計(jì)算，圓周角定理，三角形的中位線等，關(guān)鍵考查坐標(biāo)和圓的結(jié)合的靈活應(yīng)用．5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，C、D為半圓上三等分點(diǎn)，則下列說法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折與△COD重合．正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)“在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相等”仔細(xì)找出等量關(guān)系即可．【詳解】∵C、D為半圓上三等分點(diǎn)，∴AD=CD=∵在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正確，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等邊三角形，∴△AOD沿OD翻折與△COD重合．故④正確，∴正確的說法有：①②③④共4個(gè)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧和弦的關(guān)系，利用了在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相等和平角的概念求解．6．（2021·浙江衢州·九年級期中）數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a．小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是（）A．勾股定理B．直徑所對的圓周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圓周角所對的弦是直徑【答案】B【分析】由作圖痕跡可以看出AB是直徑，∠ACB是直徑所對的圓周角，即可作出判斷．【詳解】由作圖痕跡可以看出O為AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為半徑花弧與圓O交于一點(diǎn)C，故∠ACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是：直徑所對的圓周角是直角．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖以及圓周角定理的推論，能夠看懂作圖過程是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．【答案】D【詳解】解：O為圓心的兩個(gè)同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，C點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，即AC=BC==6；并且OC⊥AB，在中，由勾股定理得，所以；AO=8cm，所以，所以O(shè)C=故選：【點(diǎn)睛】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質(zhì)，熟悉勾股定理的內(nèi)容.8．（2021·江蘇溧陽·九年級期中）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，則球的半徑長是（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【分析】取EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，設(shè)OF=x，則OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的長即可．【詳解】如圖：EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，設(shè)OF=x，則ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故選B．【點(diǎn)睛】本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2021·浙江衢州·九年級期中）下列四個(gè)命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；③正六邊形是軸對稱圖形；④等弧所對的圓周角相等．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用圓的概念、過三點(diǎn)的圓、等圓以及圓周角定理判斷即可．【詳解】直徑是弦，則①正確；經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓，則②錯(cuò)誤；正六邊形是軸對稱圖形，則③正確；等弧所對的圓周角相等，則④正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本概念辨析，掌握圓、過三點(diǎn)的圓、等圓、等弧的概念是解題的關(guān)鍵．10．（2021·山東招遠(yuǎn)·九年級期末）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，是以點(diǎn)（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連結(jié).則線段的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線解析式可求得點(diǎn)A（-4,0），B（4,0），故O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，又Q是AP上的中點(diǎn)可知OQ=BP，故OQ最大即為BP最大，即連接BC并延長BC交圓于點(diǎn)P時(shí)BP最大，進(jìn)而即可求得OQ的最大值．【詳解】解：連結(jié)BP，∵拋物線與軸交于A、兩點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，，解得，∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4，在直角△COB中，BC=，∵Q是AP上的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，∴OQ為△ABP中位線，即OQ=BP，又∵P在圓C上，且半徑為2，∴當(dāng)B、C、P共線時(shí)BP最大，即OQ最大，此時(shí)BP=BC+CP=5+2=7，OQ=BP=．故選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求長度，二次函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)及線段長度，中位線，點(diǎn)到圓上最長的距離，解本題的關(guān)鍵是將求OQ最大轉(zhuǎn)化為求BP最長時(shí)的情況．11．（2020·廣東·江門市第二中學(xué)九年級月考）一副直角三角板如圖放置（），，，交于，則的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【分析】根據(jù)得到A、B、C、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到，然后利用三角形的外角即可求解．【詳解】∵，∴是等腰直角三角形∴∵∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且AB為直徑∴根據(jù)圓周角定理得∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)知識：四點(diǎn)共圓，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，題目綜合性較強(qiáng)，熟練掌握四點(diǎn)共圓是本題的關(guān)鍵．12．（2020·河北·石家莊外國語教育集團(tuán)九年級月考）已知銳角，如圖，（1）在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作，交射線于點(diǎn)，連接；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，；（3）連接．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為的（）①；②若．則；③；④；⑤；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3 D．4個(gè)【答案】C【分析】由作圖知，OM=OC=OD，再利用對稱的性質(zhì)逐一判斷可得．【詳解】由作圖知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故①正確；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等邊三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正確；∵所對的圓心角是，所對的圓周角是∴，故③不正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM=∴∠MCD=180°-∠COD，又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故④正確；∵M(jìn)C+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故⑤錯(cuò)誤；①②④正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，弧、圓心角和弦之間的關(guān)系，平行線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．二、填空題13．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為______寸．【答案】26．【分析】設(shè)⊙O的半徑為，在中，，則有，解方程即可.【詳解】設(shè)的半徑為．在中，，則有，解得，∴的直徑為26寸，故答案為26．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.14．（2019·四川成都·二模）如圖，已知為原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為過三點(diǎn)，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，則的值為________________．【答案】【分析】連接AB，利用圓周角定理得∠C＝∠OAB，將問題轉(zhuǎn)化到Rt△ABO中，利用銳角三角函數(shù)定義求解．【詳解】解：如圖，連接∵∴在Rt△AOB中∵故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義．關(guān)鍵是運(yùn)用圓周角定理將所求角轉(zhuǎn)化到直角三角形中解題．15．（2020·黑龍江·佳木斯市第十九中學(xué)九年級期中）如圖，是的直徑，若，，則弦_______．【答案】2【分析】先根據(jù)圓周角定理證得△ABC是直角三角形，并且根據(jù)同弧所對圓周角相等得到，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC的長．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∵和所對同一弧∴在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，∴AC=AB=2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)，熟記圓周角定理及其推論是本題的關(guān)鍵．16．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、、、在上，且弧為，則________．【答案】【分析】先根據(jù)弧的度數(shù)與它所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)的關(guān)系，求得弧對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，則可求得.【詳解】弧的度數(shù)等于它所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，由于弧為，所以.頂點(diǎn)在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，而一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，所以：,，.【點(diǎn)睛】本題考查弧、圓周角、圓心角的概念，及它們之間的關(guān)系.17．（2021·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，半徑為2的與交于點(diǎn)，則____________．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)正方形網(wǎng)格特點(diǎn)和正切函數(shù)定義即可求解．【詳解】解：∵DF=∴，∴在Rt△BCD中，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和求三角函數(shù)值．一般來說，初中數(shù)學(xué)中求角的三角函數(shù)值的方法有兩種，一是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)定義求解；二是將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．本題應(yīng)用了第二種方法，要深刻領(lǐng)會．18．（2021·江蘇亭湖·九年級月考）如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接EI，IC，若，，則IE的長為__．【答案】4【分析】由已知條件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DF⊥IC與點(diǎn)F，可得四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF,即可求出IE的長.【詳解】解：如圖：I為△ABC的內(nèi)心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，∠DIC=∠ICDID=CD,ID=BD=DC=5,可得AI=2CD=10可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DF⊥IC與點(diǎn)F,可得IF=FC(垂經(jīng)定理)，在RT△IFD中，,又在△AIC中，AE=EC,IF=FC,EF為△AIC的中位線，EF∥AD,即EF∥ID,且EF==5=ID,四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF=4,故答案：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的垂經(jīng)定理，圓周角定理及平行四邊形相關(guān)知識，難度較大，需綜合運(yùn)用各知識求解.19．（2020·廣東外語外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級月考）如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，劣弧CD的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD+∠CAO=________°【答案】48【分析】根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ABD=2∠ACD，根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和得∠OCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠CAO=∠ACO=24°，根據(jù)同弧所對圓周角相等得到∠ABD=∠ACD=24°即可求解．【詳解】由圓周角定理得：∠AOD=2∠ABD=2∠ACD，∵劣弧CD的度數(shù)等于84°，∴∠COD=84°∵OD=OC∴∠OCD=∠ODC=∵CA平分∠OCD∴∠ACO=∠ACD=∠OCD=24°，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO=24°∴∠ABD=∠ACD=24°∴∠ABD+∠CAO=24°+24°=48°．故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等邊對等角，題目較為綜合，重點(diǎn)是掌握圓周角定理．20．（2020·江蘇·阜寧縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)OA與一次函數(shù)AB交于點(diǎn)A，∠AOB=45°，∠ABO=60°，OB=4．點(diǎn)C由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥于OB于點(diǎn)E，連接DE，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，DE的最小值是________．【答案】【分析】連接OC，由CD⊥OA，CE⊥OB得到O、E、C、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠DFE=90°，根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系得到，而根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC的長最小，DE也最小即可求解．【詳解】連接OC，取OC中點(diǎn)F，連接FD和FE，如下圖所示：∵CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E∴O、E、C、D四點(diǎn)共圓∴OC的中點(diǎn)F即為圓的圓心∵∠AOB=45°∴∠DFE=90°（圓周角定理）∴，即當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC的長最?。ù咕€段最短），即，此時(shí)DE最小∴故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)公圓，銳角三角函數(shù)，和圓周角定理，題目較難，判斷出O、E、C、D四點(diǎn)共圓是本題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）下面是小明設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.已知：直線及直線外一點(diǎn)P.求作：直線，使.作法：如圖，①在直線上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑畫半圓，交直線于兩點(diǎn)；②連接，以B為圓心，長為半徑畫弧，交半圓于點(diǎn)Q；③作直線.所以直線就是所求作的直線.根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：連接，∵，∴__________.∴（______________）（填推理的依據(jù)）.∴（_____________）（填推理的依據(jù)）.【答案】（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示見解析；（2），等弧所對的圓周角相等內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.【分析】根據(jù)要求作圖即可；

根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和平行線的判定求解可得．【詳解】解：如圖所示：

證明：連接PB、QB．

，

．

等弧所對圓周角相等．

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．

故答案為，等弧所對圓周角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握圓的有關(guān)性質(zhì)和平行線的判定．22．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求證：AB=2AD．【分析】延長AD交⊙O于E,可得、AB=AE，可得出結(jié)論.【詳解】延長AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE=2AD，∵，∴，∴AB=AE，∴AB=2AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理及弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，靈活做輔助線是解本題的關(guān)鍵.23．（2021·浙江龍泉·九年級期中）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D在圓O上，AB=CD．求證：AC=BD．【分析】由AB=DC,根據(jù)在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另外兩組量也對應(yīng)相等得到弧AB=弧CD,即有弧AB+弧BC=弧BC+弧CD,即弧AC=弧BD,因此AC與BD相等.【詳解】證明：∵AB=CD，∴=，∴+=+即=，∴AC=BD．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另外兩組量也對應(yīng)相等.在圓中經(jīng)常利用此結(jié)論把圓心角、弧、弦之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.24．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校一模）圖1.2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上；（1）在圖1中畫出以為底邊的等腰直角，點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以為腰的等腰，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，且的面積為8.【分析】（1）由題可知，點(diǎn)B滿足這兩個(gè)條件，說明點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，說明點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上，故可作的垂直平分線及以為直徑的圓，其交點(diǎn)即為所求；（2）由題可知，點(diǎn)D滿足CA=CD，故可以為圓心，為半徑作圓，交于一格點(diǎn)D，經(jīng)計(jì)算的面積為8，故點(diǎn)D即為所求.【詳解】解；（1）作的垂直平分線，作以為直徑的圓，垂直平分線與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）以為圓心，為半徑作圓，格點(diǎn)即為點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線段垂直平分線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)作圖，正確理解題意并知曉作圖依據(jù)是解題的關(guān)鍵.25．（2021·寧夏·賀蘭縣第一中學(xué)一模）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB=40°，∠APD=65°.（1）求∠B的大??；（2）已知圓心O到BD的距離為3，求AD的長.【答案】（1）證明見解析；（2）AD=2OE=6【分析】（1）由同弧所對的圓周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根據(jù)平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求∠B即可；（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，則OE=3．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及平行線的判定知OE∥AD；又由O是直徑AB的半徑可以判定O是AB的中點(diǎn)，由此可以判定OE是△ABD的中位線；最后根據(jù)三角形的中位線定理計(jì)算AD的長度．【詳解】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所對的圓周角相等），∠CAB=40°，∴∠CDB=40°；又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°；∴在△BPD中，∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°；（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，則OE=3．∵AB是直徑，∴AD⊥BD（直徑所對的圓周角是直角）；∴OE∥AD；又∵O是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴AD=2OE=6．26．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級期中）如圖所示，⊙O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的長．【答案】（1）詳見解析；（2）CD=7．【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD=∠BCD，根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的定義證明即可；（2）作AE⊥CD于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)勾股定理求出AE、CE，DE，結(jié)合圖形計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）連接OD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠BCD=45°，由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°，∴∠AOD=∠BOD=90°，∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形；（2）作AE⊥CD于E．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴ADAB=5．∵AE⊥CD，∠ACE=45°，∴AE=CE=AC=3．在Rt△AED中，DE，∴CD=CE+DE=3．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．27．（2021·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，AB，CD是圓O的直徑，AE是圓O的弦，且AE∥CD，過點(diǎn)C的圓O切線與EA的延長線交于點(diǎn)P，連接AC．（1）求證：AC平分∠BAP；（2）求證：PC2=PA?PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圓O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5.【分析】（1）OA=OC，則∠OCA=∠OAC，CD∥AP，則∠OCA=∠PAC，即可求解；（2）證明△PAC∽△PCE，即可求解；（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．【詳解】解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CD∥AP，∴∠OCA=∠PAC，∴∠OAC=∠PAC，∴AC平分∠BAP；（2）連接AD，∵CD為圓的直徑，∴∠CAD=90°，∴∠DCA+∠D=90°，∵CD∥PA，∴∠DCA=∠PAC，又∠PAC+∠PCA=90°，∴∠PAC=∠D=∠E，∴△PAC∽△PCE，∴，∴PC2=PA?PE；（3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，連接BC，∵CP是切線，則∠PCA=∠CBA，Rt△PAC∽Rt△CAB，，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，其中PA=2，解得：AB=10，則圓O的半徑為5．【點(diǎn)睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了三角形相似、勾股定理運(yùn)用的知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．28．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，，E，F(xiàn)分別為BC，AD上的點(diǎn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接DG，則線段DG的最小值為______．【答案】【分析】連接AC，BD交于O，得到EF過點(diǎn)O，推出點(diǎn)G在以AO為直徑的半圓弧上，設(shè)AO的中點(diǎn)為M，連接DM交半圓弧于G，則此時(shí)，DG最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AC，BD交于O，過點(diǎn)E、F的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分，過點(diǎn)O，，，點(diǎn)G在以AO為直徑的半圓弧上，則設(shè)AO的中點(diǎn)為M，連接DM交半圓弧于G，則此時(shí)，DG最小，四邊形ABCD是正方形，，，，，，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．29．（2020·北京石景山·二模）對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果線段的長度有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形，的“近距”，記作；如果線段的長度有最大值，那么稱這個(gè)最大值為圖形，的“遠(yuǎn)距”，記作．已知點(diǎn)，．（1）（點(diǎn)，線段）______，（點(diǎn)，線段）______；（2）一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若（線段，線段），①求的值；②直接寫出（線段，線段）______；（3）的圓心為，半徑為1．若（線段），請直接寫出（，線段）的取值范圍．【答案】（1）3，5；（2）①；②；（3）（，線段）．【分析】（1）由圖可知O到A的距離最小，O到B的距離最大，求出相應(yīng)距離即可；、（2）根據(jù)題意判斷為等腰直角三角形，可得，得到OC=OD，求得點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得到k的值；根據(jù)線段CD與線段AB的位置關(guān)系，得到BC間距離即為所求；（3）通過對在軸上的位置的討論，即可得到（，線段）的取值范圍【詳解】（1）作圖如下：A（0,3），B（4,3）∴OA=3，AB=4∴點(diǎn)O到線段AB上的點(diǎn)A的距離最短，OA=3；∴點(diǎn)O到線段AB上的點(diǎn)B的距離最大，；（2）①過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則（線段，線段），直線與y軸交點(diǎn)為，與x軸交點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，．．．點(diǎn)C的坐標(biāo)為．．②由圖可知，線段CD上一點(diǎn)，到線段AB上一點(diǎn)的距離的最大值為BC的長度，作圖如下：∴故答案為：（3）作圖如下：若在點(diǎn)A的左側(cè)，則，，則，即T（）此時(shí)（，線段）=若在點(diǎn)AB中間，當(dāng)圓心T為AB中垂線與軸交點(diǎn)，即T（），此時(shí)（，線段）最小，即（，線段）=故答案為：（，線段）．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義題型，讀懂題意，明確最小距離與最大距離所指是解題的關(guān)鍵．30．（2020·浙江紹興·九年級月考）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，13為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，連結(jié)OA，此時(shí)有OA∥PE．（1）求證:AP=AO；（2）若弦AB=24，求OP的長．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EPO=∠AOP，由射線PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根據(jù)等量代換即可證明；（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH=BH=12，從而求得PH，在中，應(yīng)用勾股定理求得OH，進(jìn)一步即可求得OP．【詳解】（1）證明：∵PG平分∠EPF∴∠EPO=∠APO∵OA∥PE∴∠EPO=∠AOP∴∠APO=∠AOP∴AP=AO（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH=BH==12∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25在中，由勾股定理得：則OP的長為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，垂徑定理，是圓部分的綜合題，要熟記各知識點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理是本題的關(guān)鍵．31．（2020·湖北嘉魚·九年級期末）已知銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于點(diǎn)D．（1）若∠BAC=60°，⊙O的半徑為4，求BC的長；（2）請用無刻度直尺畫出△ABC的角平分線AM．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）連接OB、OC，得到，然后根據(jù)垂徑定理即可求解BC的長；（2）延長OD交圓于E點(diǎn)，連接AE，根據(jù)垂徑定理得到，即，AE即為所求．【詳解】（1）連接OB、OC，∴∵OD⊥BC∴BD=CD，且∵OB=4∴0D=2，BD=∴BC=故答案為；（2）如圖所示，延長OD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)M，AM即為所求根據(jù)垂徑定理得到，即，所以AE為的角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，同弧所對圓周角是圓心角的一半，熟練掌握圓部分的定理和相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．32．（2020·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬天河學(xué)校九年級期中）如圖，已知AB為半圓O的直徑，AC，AD為弦，且AD平分．若，求的度數(shù)．【答案】31°【分析】由AB為圓的直徑得，然后利用余角和角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)同弧所對圓周角相等即可求解．【詳解】∵AB為半圓O的直徑∴∴∵AD平分∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，同弧所對圓周角相等，題目較為基礎(chǔ)，熟記圓周角的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．33．（2020·河北·石家莊外國語教育集團(tuán)九年級月考）如圖，內(nèi)接于，，（1）求的度數(shù)；（2）求⊙O的直徑．【答案】（1）30o；（2）d=4【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求得；（2）連結(jié)，根據(jù)圓周角定理，，即可求得．【詳解】（1）（2）連結(jié)根據(jù)圓周角定理得又【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．34．（2021·北京師大附中九年級月考）正方形ABCD的邊長為2，將射線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，所得射線與線段BD交于點(diǎn)M，作CE⊥AM于點(diǎn)E，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對稱，連接CN．（1）如圖，當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)：①依題意補(bǔ)全圖；②用等式表示∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，探究∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，若邊AD的中點(diǎn)為F，直接寫出線段EF長的最大值．【答案】（1）①補(bǔ)圖見解析；②∠NCE＝2∠BAM；（2）∠NCE+∠BAM＝90°，證明見解析；（3）1+．【分析】（1）作CE⊥AM于點(diǎn)E，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對稱，連接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一點(diǎn)，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對稱，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，進(jìn)而得出∠NCE＝2∠BAM；（2）連接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根據(jù)∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根據(jù)∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到；（3）依據(jù)∠CEA＝90°，即可得到點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上，當(dāng)EF經(jīng)過圓心O時(shí)，即可得出線段EF長的最大值．【詳解】（1）①補(bǔ)全的圖形如圖所示：②∠NCE＝2∠BAM．理由如下：如圖1，連接MC．∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM．∵BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM．∵∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一點(diǎn)，∴∠BAM＝∠BCE，∴∠MCE＝2∠BAM．∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對稱，∴CN＝CM，∴∠NCE＝∠MCE，∴∠NCE＝2∠BAM．故答案為∠NCE＝2∠BAM．（2）．理由如下：如圖，連接CM．∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM＝∠DCM．∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE，∴∠DAQ＝∠ECQ，∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，∴．∵∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，∴．（3）如圖，∵∠CEA＝90°，∴點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上，O為圓心，由題可得：OFCD＝1，OE＝OCAC．∵OE+OF≥EF，∴當(dāng)EF經(jīng)過圓心O時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題．主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓周角定理，正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出結(jié)論．35．（2019·浙江蒼南·二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不運(yùn)動(dòng)至兩端點(diǎn)），射線，交于點(diǎn)，為的外接圓，連結(jié)，，．（1）求的度數(shù)．（2）求證：．（3）若正方形的邊長為．①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求四邊形的面積．②設(shè)，交于點(diǎn)，設(shè)，，的面積分別為，，，當(dāng)平分時(shí)，_________（直接寫出答案）．【答案】（1）45°；（2）見解析；（3）①3，②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和弧的度數(shù)等于弧所對的圓心角的度數(shù)，即可求出．（2）可證得△OAB≌△OAD，求出∠OAD度數(shù)，∠OFB=45°，在四邊形OADF中，利用四邊形內(nèi)角和，即可證得．（3）①四邊形OAEF的面積=△OAD的面積+△ODF的面積-△FDE的面積，作OH⊥AD，OG⊥FD，垂足分別為H，G，連結(jié)OD，分別求得△OAD的面積、△ODF的面積和△FDE的面積，即可求解．②可證得∴所以，，，的面積分別為，，，它們的高均為MD，為求面積比，即可求來，設(shè)圓的半徑為r，可將BE、ME、MF均用r表示出來即可求解．【詳解】（1）解：∵∠ADB=45°，∠ADF=90°，∴∠BDF=135°∴優(yōu)弧=270°．∴=90°，∠BOF=90°∵OB=OF，∴∠OFB=∠OBF=45°故答案為：45°（2）證明：連結(jié)OD（如圖１），∵OB=OD，OA=OA，AB=AD，∴△OAB≌△OAD（SSS）．∴∠OAB=∠OAD=．∵∠OFB=45°，∴∠AOF+∠AEF=360°-135°-45°=180°圖1（3）①作OH⊥AD，OG⊥FD，垂足分別為H，G，連結(jié)OD（如圖2），圖2由AE=ED，易得△ABE≌△DFE，∴FD=AB=2，由OD=OF，OG⊥FD，得GD=由OH⊥AD，OG⊥FD，∠ADF=90°，得矩形OHDG，∴OH=GD=1．由∠OAH=∠OAB-∠HAB=135°-9