第4講不等式的性質(zhì)與常見不等式的解法

知識梳理

知識點1不等關(guān)系

1.兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)

(1)作差法：①—〃>0；②力=0；③aV力田一方V0.

Pa

T>1(Q￡R,Z?0)b(a￡R,ft>0),

b^a>

(2)作商法V卡=ld=b(a,厚0),

T<1(a￡R,Z?0)<^u<b(〃￡R,6>0).

2.不等式的基本性質(zhì)

⑴對稱性：a>b<^b<a；

⑵傳遞性：a>b9b>c=a>c；

(3)可加性：a>b^a+c>b+c；

同向可力口性：a>b,c>d=a+c>b+d

異向可減性：a>b,c<d^a-c>b-d

(4)可乘性：a>b9c>0=ac>5c；a>b,c<0=ac<be

同向正數(shù)可乘性：a>b>O,c>d>0=>ac>bd

異向正數(shù)可除性：」

cd

⑸可乘方：a>8>0=?〃>〃(/i￡N,n>l)；

⑹可開方：a>b>0=>y[a>跖(〃￡N,n>2).

(7)倒數(shù)法則：—<—；?<Z?<0=>—>—

abab

注：常用結(jié)論：

倒數(shù)性質(zhì)：(l)a>b,(2)a<0<ft=>^<|；(3)〃>。>0,rf>c>0=^>1.

分?jǐn)?shù)性質(zhì)：若m>0,則(1)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)："_:(。一心。)；

uIinuuin

e，、山...一aa+機(jī)aa-m

⑵假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：了市p

3.不等式的證明方法

(1)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法.

(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成

立的事實，從而得出要證的命題成立.

(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.

注：(1)同向不等式可以相加，不能相減；

(2)一個不等式的兩邊同乘以同一正數(shù)，不等號方向不變；同乘以同一負(fù)數(shù)，不等號方向改變.

知識點2常見不等式的解法

1.不等式的解集與不等式組的解集

(1)不等式的解集：一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.

(2)不等式組的解集：對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等

式組的解集.

注意事項：若不等式中所含不等式解集的交集為0時，則不等式組的解集為0.

2.一元一次不等式ax>仇存0)的解集

⑴當(dāng)a>0時,解集為｛xx>^.⑵當(dāng)?<0時,解集為卜’周.

3.⑴一元二次不等式ax2+bx+c>O(a^0)的解法

①二次不等式/(幻=以2+法+。20(?>0)的解法：最好的方法是圖像法，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的

思想.也可以利用口訣(大于取兩邊，小于取中間)解答.

②當(dāng)二次不等式/(》)=奴2+法+。20(。<0)時，可以畫圖，解不等式，也可以把二次項的系數(shù)。變

成正數(shù)，再利用上面的方法解答.

注意：①不要把不等式公？+法+c〉?？闯闪艘辉尾坏仁?，一定邀注意觀察分析V的系數(shù).

②對于含有參數(shù)的不等式注意考慮是否要分類討論.

③如果運用口訣解一元二次不等式，一定要注意使用口訣必須滿足的前提條件.

④不等式的解集必須用集合或區(qū)間，不能用不等式，注意結(jié)果的規(guī)范性.

(2)一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

判別式4=方2—4acJ>0J=0J<0

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>Q)ib

x\\Ojxx

的圖象2

一元二次方程ax2+bx+c=沒有

有兩相異實數(shù)根Xl，X2(X1<X2)有兩相等實數(shù)根X1=X2=

0(a>0)的根實數(shù)根

ax2+加;+c>0(a>0)的解集或X"?}{x\x^Xl]{x|x^R}

ax2+bx+c<0(a>0)的解集{X|X1<X<X2)00

4.指對數(shù)不等式

解指數(shù)不等式和對數(shù)不等式一般有以下兩種方法

⑴同底法：如果兩邊能化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)，先化為同底，再根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)不

等式，底數(shù)是參數(shù)時要注意觀察分析是否要對其進(jìn)行討論，并注意到對數(shù)真數(shù)大于零的限制條件.

①當(dāng)。>1時，

7(x)>0

"⑺>yo/(x)>g(x)；log?/(x)>logag(x)<g(x)>0?

>g(x)

②當(dāng)0<a<l時，

7(x)>0

f<x)g(x>

a>aof(x)<g(x)；logaf(x)>logflg(x)o<g(x)>0

J(x)<g(x)

(2)對指互化法：

如果兩邊不能化成同底的指數(shù)或?qū)?shù)時，一般用對指互化法.

對數(shù)不等式兩邊取指數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解；指數(shù)不等式兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成整式不等式來解.

x

a>b(a>1)=>log”(優(yōu))x>logab

ax>b(0<i<1)=>loga(a")<log。bnx<log。b

x>0x>0

log。%>/7=><(其中Q>1)

x>b

x>0x>0

logoax>bn<(其中0<4<l)

a°^x<abx<b

5.簡單分式不等式

(1)44〉0o/(x)?g(x)〉0；(2)44<0=/(x)?g(x)<0

g(x)g(x)

)⑷

(C3))-/--8--->之u0o。q1”“屈")”°;(4)-f-(-x--)-<u<^><[f^g(x)<0

g(x)〔g(X)H°g(x)〔g(X)H°

6.絕對值不等式

絕對值不等式的概念：一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.

⑴含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集

不等式〃>0a=0a<0

\x\<a(―a,a)00

\x\>a(-co,-a)U(a,+oo)(—8,0)U(0,+oo)R

⑵|ax+6|Wc(c>0)和|ax+b|Nc(c>0)型不等式的解法

①|(zhì)ax+Z>|Wc=_c3ix+Z>Wc；

(2)|ax+Z>|>c<=^Hx+6>c或ax+fe<-c.

(3)|x-0+|x—B|Nc(c>0)和|x—a|+|x—川土(c>0)型不等式的解法

①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

②利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想；解含有兩個絕對值形如|x+a|+k+q>(<)c的不等式,

常用零點討論法和數(shù)形結(jié)合法.注意小分類求交大綜合求并.

③平方法:如果絕對值的不等式的兩邊都是非負(fù)數(shù)，如：國〉3,可以使用平方法.

④通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

7.高次不等式

高次不等式：不等式最高次項的次數(shù)高于2,這樣的不等式稱為高次不等式.

解法：穿根法

①將/(x)最高次項系數(shù)化為正數(shù)；

②將/(X)分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；

③將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方

根穿而不過，奇次方根穿過)；

④觀察曲線顯現(xiàn)出的/(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

8.無理不等式的解法

無理不等式一般利用平方法和分類討論解答.

無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，KJNg(x)可

/(x)>0

W或

轉(zhuǎn)化為，/（］）＞g（x）或J/（X）=g（x），而J/（X）＞g（x）等價于:g(x)>0

g(x)<。

J(x)>[g(x)/

高頻考點

考點八一元二次方程根的分布問題作差法

＜作商法

考點七一元二次不等式恒成立問題

考點二椿式的性質(zhì)

不等式性質(zhì)與常見的不

考點六由一元二次不等式的解確定參數(shù)等式的解法

考點三求代數(shù)式的取值范圍

指對數(shù)根式1

分式襁式f解不含參數(shù)的一元二次不等式

艇杯等式---考點五其他不等式＜解含林的一亡次

絕對值不等式一

高次稽式」

真題熱身

1.（2020?上海）下列不等式恒成立的是（)

A.c^+b^abB.a2+b2>-labC.a+b>2y[\ab\D.a2+ft2<-lab

2.【多選】（2020?海南）已知Q>0,ft>0,且〃+。=1,貝!）（）

A.(^+b2>)B.2。"*

C.Iog2?+log2fe-2D.4a+Vfc<V2

3.(2019?全國)若log1（4x-1）＞-2,則x的取值范圍是

2

4.（2019?天津）設(shè)xGR,使不等式3/+X-2<0成立的x的取值范圍為

,1考點精析

考點一比較兩個數(shù)（式）的大小

解題方略:

比較兩數(shù)（式）大小的方法

作差法作商法

設(shè)。，OCR,貝！］a—5>0=?>方；a—b=O=a=b；

原理設(shè)a>0,b>09貝哈>L>bJ=l*=5；*l*a

a-bvO^avb

作商并變形（配方、因式分解、通分等）=判

作差并變形（配方、因式分解、通分等）=判

步驟斷商與1的大小=得結(jié)論（如果兩個數(shù)都是正

斷差與0的大小=得結(jié)論

數(shù)，一般用作商法，其它一般用作差法.）

作商時各式的符號應(yīng)相同，如果a,》均小于0,

利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判

注意所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反.變形方法有

斷差的符號的方向變形

分母（或分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形等

注：比較兩式大小還可用函數(shù)的單調(diào)性法

將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.

3

【例11］（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知“<》，x=a-b,丁=。2匕一”，則的大小關(guān)系為（）

A.B.x<yc.彳=>D.無法確定

【例12］（2022?全國?高三專題練習(xí)）若。=（，石=墨，則4――力（填“>"或'

3

【例13】（2022?江蘇江蘇?高三期末）已知。=6，ft=3-ln4,則下列選項正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【題組練透】

1、（2022?全國?高三專題練習(xí)）若“=（x+l）（x+3）,6=2（X+2）2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>bB.a<bC.a>bD.a98大小不確定

2、（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知〃=0.844,b=log53,c=log85,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

3、（2022?湖南?長沙一中高三階段練習(xí)）已知。=logo」2,b=lo反壺,則（）

A.ab<Q<a+bB.ab<a+b<Q

C.a+b<G<abD.a+b<ab<G

考點二不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

解題方略：

利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法

⑴直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出

一個反例即可；

⑵特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是

所取的值要有代表性.

【例21】（2022?山東日照?二模）若a,b,c為實數(shù)，且“<匕，c>0,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.—<—C.ac>beD.b-a>c

ab

【例22】（2022?陜西寶雞?三模（理））若a<b,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a3-b3>0B.20<2*

C.ln(tz-Z?)>0D,同<回

【例23】（2022?山東省淄博第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知〃，b,CGR,那么下列命題中正確的是（）

Z7h

A.若a>b,貝!I〃c2>bc2B.若一>一，貝!

CC

C.若,ab<0,則D.若Y,ab>0,則

abab

【例24］【多選】（2022?山東聊城?一模）設(shè)Ovavb,且a+b=2,貝!|（）

12

A.1</?<2B.>1C.ab<lD.—+—..3

ab

【題組練透】

1、（2022?安徽黃山?二模（文））設(shè)實數(shù)“、6滿足">b,則下列不等式一定成立的是（）

bZ?+1

A.a~>b~B.—<---C.ac2>be1D.30+3~b>2

aa+\

2、（2022?北京?模擬預(yù)測）已知a<b<O<c,下列不等式正確的是（）

22

A.—B.a<cC.2"<2。D.logc（-fl）<logc.（-Z?）

ab

3、（2022?安徽亳州?高三期末（理））設(shè)。>b>0,CGR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.r-b<1B.ac3>bc3

C.h（a+6）+1乙治2D.安，

ln（tz+Z?）Q+1a

4、（2022?北京房山?一模）若ab>0,且avb,則下列不等式一定成立的是（）

11

A.a2<b2B.—<—

ab

C.3>2a+b>\[ab

ab2

考點三求代數(shù)式的取值范圍

解題方略:

利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍

已知MV《a，b）<Ni，M2〈于2（a，b）vNz，求g（a,Z?）的取值范圍.

，1）設(shè)g（a,b）=pfi（a,b）+qf2（a,b）；

］⑵根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；

*3）再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g（a,%）的取值范圍.

【例31］（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知lWaW2,-l<b<4,則a-力的取值范圍是（）

A.-7<a-2b<4B.-6<a-2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<S

x+y>l

【例32】（2022?浙江?模擬預(yù)測）若實數(shù)x,y滿足則2x+y的取值范圍（）

5x+2y>29

A.口，+8)B.[3,+oo)C.[4,+GO)D.[9,+00)

【例33］若6<a<10>^<b<2a，c=a+b則c的取值范圍是（）

A.[9，18]B.(15，30)

C.[9，30]D.(9,30)

【例34】（2022?全國?高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=a+l+bi（a,北R）,且z所對應(yīng)的點

在第一象限或坐標(biāo)軸的非負(fù)半軸上，則。+2方的最小值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【題組練透】

1、（2022?江西?二模（文））已知142x-”2,-l<2x+3y<l,則6x+5y的取值范圍為

2、【多選】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x,y滿足—3<x+2y<2,—l<2x—y<44U（）

A.x的取值范圍為（-1,2）B.，的取值范圍為（-2,1）

c.x+y的取值范圍為（-3,3）D.X-y的取值范圍為（-1,3）

3、（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知-14尤+y41,貝!|8,?（▲），的取值范圍是（）

4

A.[4,128]B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1024]

考點四解一元二次不等式

解題方略：

解一元二次不等式的方法和步驟

化-*海示察正爰形有三彳送i/莢手量南麻海匆無

判f；i+M金應(yīng)3博而承面美：

r

.「錄?海應(yīng)屆二一元三彳3寢而版「民兼矣區(qū)氯[

求■*:式說明方程有沒有實根

寫f汨藉君惠法近水爭金市面嗚山木嚏金而露藁

解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

（一）解不含參數(shù)的一元二次不等式

【例41】（2022?安徽?馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））已知集合M={X|3%2_%—2<0},N={X\0<X<3}9則

〃c(”)二()

B.卜|—g<x<2

A.{x|0<x<l}

D.

C.x\-^<x<0jx|——<x<0

【例42】（2022?全國?高三專題練習(xí)）“x>2”是“Y—2x>0”的條件.（填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”或“既不充分也不必要”）

【題組練透】

1、（2022?遼寧?模擬預(yù)測）已知集合4={尤叼2》2-5彳47},B={y\y<2],則（）

A.0B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2、（2022?全國?高三專題練習(xí)）不等式爐-》-12W0的整數(shù)解構(gòu)成的集合是.

無2_A??6龍〉0

■「二一’則不等式/（X+I）>F（I）的解集是

{x+6,x<0.

（二）解含參數(shù)的一元二次不等式

【例43】（2022?全國?高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式以2_（a+i）x+i<omeR）.

【例44]（2022?全國?高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：ax2+（l-o）x-l<0（o<0）.

【例45】（2022?全國?高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：x2-（a+-）x+l<0（o^0）.

a

【題組練透】

2

1,（2022?上海?高三專題練習(xí)）解關(guān)于*的不等式：mx+（m-2）x-2>0.

2、（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式：kx2-2kx>x-2,當(dāng)GwR時解不等式.

3、(2022?浙江?高三專題練習(xí))設(shè)aeR,關(guān)于1的二次不等式4元2一2彳-2。>0的解集為人，集合

3={x[l<x<2},滿足AC3/0,求實數(shù)。的取值范圍.

考點五解其他不等式

解題方略:

1、分式不等式的解法:

求解分式不等式ax竺+出b〉0,等價于要求分子分母同號，即\ax+b>Q或\ax+b<0，這樣就可以將分式

cx+d+a>0[cx+a<0

不等式化為不等式組來求解.另一方面，分子分母同號也等價于(ax+b)(cx+d)>0,這就也能將分式不等式

化為整式不等式求解.

注：(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等

價變形，保證分母不為零.

(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為

零，然后再用上述方法求解.

2、含絕對值不等式的解法

(1)幾個基本不等式的解集

?|x|<a(a>0)<^c2<a2?ft<x<a;

②|x|>a(a>0)=2>a2oa,或x<a;

(3)|xm|<a(a>O)<=Ja<xm<a<=sna<x<a+m;

④|xm|>a(a>0)=m>a,或xm<a=>m+a,或x<ma.

(2)幾種主要的基本類型

①|(zhì)f(X)|>|g(X)|<=#2(X)>g2(X)(平方法)；

②|f(x)Og(x)(g(x)>0)U(x)>g(x),或f(x)<g(x);

③|f(x)|<g(x)(g(x)>O)?g(x)<f(x)<g(x);

I④含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法脫去絕對值符號求解.

|3、一元高次不等式的解法

穿根法又稱“數(shù)軸標(biāo)根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有著鬼斧神工的效果。將不

：等式g(x)>/尤)進(jìn)行移項，將其化為不等式右側(cè)為0的形式，即是/(x)<0(或>0)的形式，并將x的最

高次塞項的系數(shù)化為正數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，具體步驟如下：

(1)整理變形：將不等式g(x)>"(x)化為標(biāo)準(zhǔn)形式/(x)<0(或>0)后，對其進(jìn)行因式分解，化為如下

最簡形式：/(x)=(x—七)呵(x—%)妝…(X—%)“<0(或>0),其中:

I*

Ix<x<<x,meN(z=1,2,???,n)

Ir2ni

(2)標(biāo)根：將/'(乃二。的n個不同根x，%,…,4，在數(shù)軸上由小到大從左至右標(biāo)出來。標(biāo)根時，只需標(biāo)

出相對位置即可，這樣即將數(shù)軸分為了n+1個區(qū)間。

i(3)畫穿根線：由最大根的右上方向左下方畫線，使其穿過數(shù)軸，再向左上方穿根劃線，由右向左依次畫

：連續(xù)曲線。畫線時若遇偶數(shù)根，即叫為偶數(shù)時，曲線彈回，不穿過該根。若叫為奇數(shù)時，則穿過該根。記

住口訣”奇穿偶不穿唧可。

(4)寫出解集：如下圖所示，數(shù)軸下方曲線與數(shù)軸構(gòu)成的區(qū)間即為/(x)<0的解集，數(shù)軸上方曲線與數(shù)軸

I構(gòu)成的區(qū)間即為/(x)>0的解集。

(一)指對數(shù)不等式

【例51】(2022?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)一模(理))已知集合4=卜l<2工<2},B={x|x>l),則()

A.AoBB.B^AC.A\JB=RD.A^\B=0

【例52】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知集合A=>1,集合8={鄧082%41},則4「3=()

A.(0,1)B.(1,2]C.(0,2]D.0

【題組練透】

1、（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知集合A={x|f-4x+3<0},8={x11<2'V4,xeN},則Ap|B=（）

A.0B.（1,2]C.{2}D.{1,2}

2、（2022?福建龍巖?模擬預(yù)測）集合A={電-4>0},B={x|lgx-l<0},則4口3=（）

A.（2,e）B.（e,10）C.（2,10）D.（0,10）

3、（2022?陜西?安康市高新中學(xué)三模（理））已知集合M={小=log2（2x-l）},N=卜|言Wo[,則町N=

（二）分式不等式

V4-11_VV_1

【例53]（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））（2）-^>0;（3）~~〉1.

2x-l3%+5x+2

【題組練透】

1、（2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知集合4=卜|尤2-2尤-840}，貝!|AD5=

()

A.{x|-2<x<2}B.1x|-4<x<2,x—3j

C.1x|3<x<4|D.1x|-3<x<4}

2、（2022?江西?二模（文））已知集合4=卜目20I=[-2,2],則（）

A.[1,2]B.[-1,1]C.(-1,2]D.[-2,-l)U[l,2]

3、（2022?全國?高三開學(xué)考試（文））若集合A=xeRq>2，，B={.r|log2（x+l）<l},貝！

A.[co]B-c-°'lD-r1

（三）根式不等式

【例54】（2022?遼寧遼陽?二模）已知集合4={#>一5},2=卜|。<1},則4口臺=（）

A.{x-5<x<l}B.{xx>-5}

C.{x|0<x<l}D.卜[0<%<1}

【題組練透】

1、（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知集合尸={知<^/IZl<2},Q={x|log?》〉1},則加。=（）

A.(1,2)B.(2,4)C.(2,5)D.(1,5)

2、（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4={疝082%<1},B=［x\y=^2-x\,則（）

A.(—8,2)B.(—<o,2jC.(0,2)D.[0,+8)

3、（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高三期末（文））已知集合4=^言4。］,集合2=卜卜=正而

AA（M=（）

A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[0,1]

（四）絕對值不等式

【例55］（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））（1）|%-5|>6；（2）|2X-1|>X；（3）|x—3|+|x—5卜4

b]

【例56]（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知。，beR,貝!!"|。一可>網(wǎng)”是“一<5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【題組練透】

1、（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））求不等式卜+2|<2的解集；

2、（2022?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)xeR,貝!|“|x-1|<2”是“占>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3、（2022?江西?模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)〃尤）=疝-4用元+1.

⑴求不等式7（x）46的解集；

⑵若不等式/■（x"2"+5a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

（五）高次不等式

【例57】（2022?全國?高三專題練習(xí)）求不等式“+"+”帽0的解集.

X

【題組練透】

1、（2022?全國?高三專題練習(xí)）不等式（1+*）（1—*2）>0的解集是（）

A.{x|0<x<l}B.{x|xv0且中一1}

C.{x|-l<x<l}D.{Mxvl且存一1}

2、（2022?全國?高三專題練習(xí)）不等式（x+l）2（x-l）（x-2）>0的解集為.

3、（2022?全國?高三專題練習(xí)）不等式生苧<0的解集為（）

x-3

A.{X\X<-29或0<兄<3}B.[x\-2<x<29或x>3}

C.[X\X<-29或X>0}D.{x\x<0,或％v3}

考點六由一元二次不等式的解確定參數(shù)

解題方略：

1.已知關(guān)于X的不等式辦2+6x+c>0的解集為。W,〃）（其中〃2〃>0）,解關(guān)于X的不等式

ex1+bx+a>Q.

由以2+云+。>（）的解集為（加，幾），得:〃（J_）2+/+c>0的解集為（j_,J_）,即關(guān)于x的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集為d，-）.

nm

2.已知關(guān)于x的不等式〃/+bx+c>。的解集為（利，〃），解關(guān)于犬的不等式cd+云+〃40.

由以2+公+。>0的解集為（機(jī)，〃），得:〃（J_）2+人2.+。40的解集為（_8,—]U[―,+8）即關(guān)于x的不

xxnm

等式扇+匕尤+qwo的解集為（_8,-1]U[—,+00）.

nm

3.已知關(guān)于元的不等式Q/+版+c>0的解集為（陰，“）（其中九〉加>0）,解關(guān)于x的不等式

ex1-bx+a>0.

由辦2+以+。>（）的解集為（機(jī)，n）,得:q（J_）2一/+C〉。的解集為（一_L,一工）即關(guān)于工的不等式

xxmn

ex?—bx+tz>0的解集為（---，）.

mn

4.已知關(guān)于x的不等式o?+區(qū)+。>。的解集為（利，〃），解關(guān)于]的不等式ex2—bx+a<0.

由以2+8+。>0的解集為（機(jī)，〃），得:一/+0<0的解集為（_8,一_L]U[_J_,+8）即關(guān)于X的

xxmn

不等式一—法+avo的解集為（一g,+OO）,以此類推.

mn

【例61］（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知不等式ax2+bx+2>0的解集為L|-1<x<|

,則不等式2x2+bx+a

<0的解集為.

【例62X多選】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax^bx+oO的解集為（---2）口（3,+8）,

則（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式ex2-bx+a<0的解集為（一8,-；）u（g?+°°）

【例63】（2022?全國?高三專題練習(xí)）關(guān)于“的不等式竺一的解集為一彳/，則實數(shù)〃的值為（）

x-1L2；

73

A.—6B.—C.-D.4

22

【例64】（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知一元二次不等式/（無）<。的解集為{x|x<T或則

/（1。'）>。的解集為（）

A.{x|x<-l或x>-lg2}B.{x|-l<%<-lg2}

C.{x|x>-lg2}D.{x|尤<-lg2}

【例65】（2022?全國?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式-爐+（a+2）x-2a>0恰有1個正整數(shù)解，則“的取

值范圍是.

【題組練透】

1、（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知不等式ax2-te-l>0的解集是卜I-g<尤V-j,則不等式f一法一“<。

的解集是.

2、【多選】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知不等式辦2+bx+c>0的解集為-g<x<2,，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a-\-b+c>G

3、（2022?湖南岳陽?二模）已知關(guān)于x的不等式依2+2法+4<0的解集為其中m<0,則名+金的

<mJ4ab

最小值為（）

A.-2B.1C.2D.8

4、（2022?全國?高三專題練習(xí)）不等式辦2一法+00的解集為{x|-2<x<l},則函數(shù)y=6?+法+。的圖像

5、（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知關(guān)于尤的一元二次不等式尤?+6尤+0<0的解集中有且僅有5個整數(shù)，則

。的取值范圍是（）

A.（0,5）B.[0,5）C.[0,5]D.(0,5]

考點七一元二次不等式的恒成立問題

解題方略：

1、一元二次不等式在R上恒成立的條件

a>0

(1)依2+加:+c>0(〃#0)恒成立(或解集為R)時，滿足，

J<0

a>0

(2)〃始+公+叱0(存0)恒成立(或解集為R)時，滿足

J<0

a<0

⑶〃%2+公+*0(〃和)恒成立(或解集為R)時，滿足《

J<0

a<0

(4)4/+5工+閆)(存0)恒成立(或解集為R)時，滿足

J<0

注：①已知關(guān)于X的一元二次不等式依2+法+。>0的解集為°,則一定滿足[△<：；

②已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為4),則一定滿足:

③含參數(shù)的一元二次不等式恒成立.若能夠分離參數(shù)成左勺5)或形式.則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解.

I設(shè)八X)的最大值為M,最小值為m.

\(1)長/(x)恒成立1#x)恒成立ufcW/n.

i(2)??(x)恒成立硅Ax)恒成立ufcNM.

2、一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題

(1)若/(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式/(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義

求解參數(shù)的值(或范圍)；

j(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)1AX)的值域為D",n],則1Ax巨a恒成立m/(x)min》，即/nN”；兀r)Wa恒

成立/(x)maxWa,即n<a.

具體如下：

設(shè)f(x)=ax2+bx+c(aw0)

bbfb

oc<------<B-------->B

(1)當(dāng)a>0時，/(%)>0在％6[%切上恒成立012as對2a或J2a

/(?)>0A<0W)>°

..一(f(。)<o

f(x)<0在尤G[a./3｝上恒成立o\

[/(￡)<o

(2)當(dāng)a<0時，/(x)>0在xe[tz,切上恒成立o.

b「/人/A

------<oc。V-----<B

/(x)<0在切上恒成立la或<—2〃一”或

f(a)<0A<0J(0<O

注：①/（X）>tz對一切xe/恒成立<=>/（x）mn>tz,/（%）<tz對一切xG/恒成立oy（x）max<a。

>g（尤）對一切xe/恒成立o/（X）的圖象在g（x）的圖象的上方W（x）min>g（X）max

（xw/）

I3、給定參數(shù)范圍求X范圍的恒成立問題的解法

|解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的

|范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求

?解.

一715二言灰示尊史超iTEH?簡版

【例71】（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測）當(dāng)xeR時，不等式f-2犬-1-恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是

（）

A.B.

C.2,0]D.（-8,0）

【例72X2022?全國?高三專題練習(xí)）若不等式2日0+丘-?<0對一切實數(shù)x都成立，則k