安徽省黃山市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:.姓名:班級:考號:

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z=（2-i）i對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列各組向量中，可以作為基底的是)

A-5=(0,0),b=(2,-2)B.5=(1,-2),6=(-5,10)

C-?=(3,4),b=(-4,3)D.?=b=(2,-2)

3.某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了10戶居民月均用水量，數(shù)據(jù)如下（單位：噸）：6,6,6,7,7,8,9,9,10,11.

估計該小區(qū)每戶居民月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為（)

A.7B.7.5C.8D.8.5

4.在V/3C中,角4叢。所對的邊分別為若"bcosC,貝UV/BC為（）

A.銳角三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

5.已知。加是兩條不同的直線，1是一個平面,則“I,加與C所成的角相等”是“〃/加

”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知向量。，及G滿足0+加+c=0,且同=i,也，『|=百，貝產(chǎn)與。夾角的余弦值為

()

國叵叵

A.B._C.D.

6535

7.黃山市境內(nèi)風(fēng)光奇絕，擁有12處國家級重點風(fēng)景名勝區(qū)，在五一假期期間展現(xiàn)出獨特

試卷第11頁，共33頁

的旅游魅力.對于43兩個旅游景點，通過大數(shù)據(jù)觀測發(fā)現(xiàn)，游客選擇A景點出游的概率

為百，選擇B景點出游的概率為2,'I兩個景點都不選的概率為工，則,I兩個景點

151510

都選的概率為（）

1124

A.—B.—C.—D.A

15101515

8.一封閉圓錐容器的軸截面是邊長為3的等邊三角形，一個半徑為近的小球在該容器內(nèi)

3

自由運動，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為（）

A,1兀B.2兀C.2兀D.*兀

442

二、多選題

9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖

（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖象作出以下判斷，

A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

B.圖（2）的眾數(shù)〈平均數(shù)〈中位數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)〈中位數(shù)〈平均數(shù)

D.圖（3）的中位數(shù)（平均數(shù)〈眾數(shù)

10.如圖，在正四棱柱48c44GA中，底面正方形/BCD邊長為百，44]=3，M

試卷第21頁，共33頁

為線段4c上的一個動點，則下列說法中正確的有（）

A.已知直線/為平面4G。和平面/BCD的交線，則平面內(nèi)存在直線與/平行

B.三棱錐“_小70的體積為定值

c.直線"G與平面4G。所成角最大時,忸I(lǐng)M：|MC|=I：3

D.+M同的最小值為12+36

11.在V4BC中,角/,瓦C所對的邊分別為a,〃c,且qcosC+島sinC=6+2c,

2

asinJBsinC=3-為角A的平分線交8C于，貝|()

..2兀

A.N=T

B.V48c的面積為2道

cJ4DW1

D-a>243

三、填空題

12.從3,4,5這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，分別記為見"，記”="log/<l"，則

試卷第31頁，共33頁

尸(/)=——

13.如圖，在四棱錐？_/8?)中，底面N8CZ)為正方形，側(cè)面尸/￡,為正三角形，

ABLPD'則側(cè)面PBC與底面ABCD所成角的正弦值為____

P

14.已知平面向量無左？滿足同=忸一可=1,同=2,則忸一色的最小值為一

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)4=1-ai,Z2=-l+3i，其中。是實數(shù).

⑴若㈤〉㈤，求”的取值范圍；

(2)若q.Z[+z2<0求。的值.

16.為完善學(xué)校體育教學(xué)模式，提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，現(xiàn)對某校3000名高中學(xué)生每天

的運動時間進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生

每天平均運動時間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖，將每天平均運動時間不低于85分鐘

的學(xué)生稱為“運動愛好者”.

試卷第41頁，共33頁

o.oos

o204060KOIOOI20時間/分鐘

(1)試求頻率分布直方圖中的°值和該校學(xué)生中“運動愛好者”的人數(shù);

(2)在抽取的100名學(xué)生中，隨機(jī)選取了10名學(xué)生的每天平均運動時間(單位：分鐘)：

國,馬廣3，,占0，已知這10個數(shù)的平均數(shù)嚏=20,方差S2=25,若剔除其中的20和12這兩

個數(shù)，求剩余8個數(shù)的平均數(shù)與方差.

17.元蘿卜(SmseRM”)AI下棋機(jī)器人是商湯科技于2022年推出的家庭消費級人工智能

產(chǎn)品，該機(jī)器人融合了傳統(tǒng)象棋文化和人工智能技術(shù)，不僅可以陪伴象棋學(xué)習(xí)，還可以進(jìn)

行象棋對弈.現(xiàn)有三個不同等級的元蘿卜機(jī)器人，依次簡記為甲、乙、丙?

(1)某象棋手依次與甲、乙、丙各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為！11求該棋手恰能連勝兩局的概率.

2'3'4‘

(2)現(xiàn)有一象棋初學(xué)者與甲進(jìn)行比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒有平局,

比賽進(jìn)行到一方先得2分為止，先得2分的一方贏得比賽，且每局比賽結(jié)果相互獨立，比

賽最多進(jìn)行3局.已知甲在第一局獲勝的概率為《，從第一局開始，每局結(jié)束后甲進(jìn)行勝

率調(diào)整如下：若本局獲勝，則下一局獲勝的概率為若本局落敗，則下一局獲勝

試卷第51頁，共33頁

的概率為為增長象棋初學(xué)者的學(xué)習(xí)熱情，工程師設(shè)定甲贏得比賽的

概率不超過42,求的t取值范圍.

5

18.在V48C中，角4民。所對的邊分別為。，4c,且2btanC=c(tan/+tanC)?

⑴求角A；

(2)若6=3,c=9，Af為線段2C上一點，且忸:=2:1,求線段也必的長；

(3)法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；許多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字

來命名,如對于任意的實數(shù)X,.,%(i=1,2,3,…都有

(項弘+9力+…+匕了)<^+只+…+彳口卜；+式+…+療)，當(dāng)且僅當(dāng)玉=優(yōu)(左eR)時等

號成立，被稱為柯西不等式；若V。I-_力7J,求：

---的最小值.

C-

19.如圖所示，在直角梯形8。環(huán)中，2尸||。￡,/水為=90°'4。分別是BECE上的點，

且4DII8C,ED=2AF=4，CD=t(0<t<5),BC+CD=5>將四邊形4DE尸沿4D向上

翻折，連接BE,BF,CE,在翻折的過程中，設(shè)/E〃C=a(O欣a<卜記幾何體EE4BCD

試卷第61頁，共33頁

的體積為憶.

(1)求證：8尸||平面CDE;

(2)若平面FBE1平面CBE-

①求證：5/_1_平面8CE；

②當(dāng)a取得最大值時，求憶的值?

試卷第71頁，共33頁

《安徽省黃山市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案ACDDCCBAACBC

題號11

答案ACD

1.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡即可求出.

【詳解】z=(2-i)i=2i+l，對應(yīng)的點坐標(biāo)為(1,2)，位于第一象限.

故選:A

2.C

【分析】根據(jù)平面的基底不共線的要求逐一判斷即得.

【詳解】對于A,因零向量與任何非零向量共線，故A錯誤；

對于B,因刃=_57即否與￡為共線向量，故不能做基底，即B錯誤;

對于C,因不存在4eR,滿足否=即g與￡不共線，故可作基底，故C正確；

對于D,因刃=2￡，即刃與￡為共線向量，故不能做基底，即D錯誤.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可得到答案.

【詳解】10x60%=6,從小到大，選擇第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)作為60%分位數(shù),

則樣本數(shù)據(jù)的6°%分位數(shù)為3=8.5.

故選：D.

4.D

【分析】利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過兩角和的正弦化簡即可判斷三角

函數(shù)的形狀.

bc_.a=27?sinAb=2RsinB

【詳解】由正弦定理,——=2R可知，，

sin力sin5sinC

答案第11頁，共22頁

:.a<bcosC可化為27?sin/<2RsinBcosC=>sin/<sinBcosC，

又角43,C所對的邊分別為a,6,c，由誘導(dǎo)公式可得sin/=sin（3+C），

sin（5+C）<sinBcosC'

gn

sinBcosC+sinCcosB<sinBcosC=>sinCcosB<0'

.VABC.OxC<sinC>0cosB<0兀?

在中，，，，，一〈2〈兀，

2

即角3是鈍角，則為鈍角三角形.

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)線面角定義和充分條件和必要條件定義判斷即可.

【詳解】若/，加與1所成的角相等，貝心//“，此命題不正確，兩異面的直線也可與同一平

面成相等的線面角，

故“直線/,冽與平面0所成角相等”不是“〃/加”的充分條件?

因為/與m平行，則/，加與平面。所成的角相等，

故“直線/,掰與平面。所成角相等”是“〃歷的必要條件?

綜上，“直線/,m與平面覆所成角相等”是“l(fā)llm”的必要不充分條件.

故選：C.

6.C

【分析】由a+B+c=6,得"=-（"+坂），平方后結(jié)合口=由可求出。*=0,即可求出

32的值，利用向量的夾角公式即可求得答案.

答案第21頁，共22頁

【詳解】由。+6+。=0,得口干+可,

-?2/-?\212—--?2—?-7"八

則。,即3=。+2a-b+b=3+2a-b,則〃北二°,

故LQ=-(。+葉a=-?！猘-b=-1f

則”與c夾角的余弦值為8s〈CM〉=前*=T，

故選：C

7.B

【分析】先利用對立事件的概率公式求出尸(MuN)，代入和事件的概率公式計算即得.

【詳解】設(shè)游客選擇A景點出游為事件〃，游客選擇8景點出游為事件N，

42------7

依題意，P(M)=—,P(7V)=—,P(MN)=—,

因"uN與而是對立事件，則尸(M3N)=1-尸(痂)=',

由P(MUN)=尸陽+尸(N)-尸皿)，，十工二」，

15151010

AR1

即'兩個景點都選的概率為

10

故選：B.

8.A

【分析】由題意，小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積包括兩部分的面積之和，其一

是由圓錐上以Co為一條母線的圓臺側(cè)面積，其二是圓錐底面上由球"與圓錐側(cè)面、底面

答案第31頁，共22頁

都相切時與底面的切點組成的小圓0的面積.利用圓臺側(cè)面積公式計算即得.

【詳解】

如圖，圓錐的軸截面AS/B為邊長是3的正三角形，因半徑為心的小球在這個封閉圓錐

3

容器內(nèi)自由運動，考慮兩種臨界的位置，

其一，小球恰與圓錐頂端附近側(cè)面相切；其二，小球在圓錐底面上與側(cè)面恰好相切.

則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積包括：

①以球M與圓錐側(cè)面的切點圍成的圓面為上底面，球N貼著圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周形成的切點

圍成的圓面為下底面的圓臺的側(cè)面積（曲邊梯形

與②球N貼著圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周時與圓錐底面的切點形成的小圓°的面積兩部分的和.

由圖，=?-C=30。，則sc=0_=i,

3tan30°

又因球"與圓錐的側(cè)面和底面都相切，DN二，ZDAN=3Q°,則'0=1,于是

3

CD=SA-SC-AD=1，

分別過點C"作的垂線"垂足分別為"，K,則C"即圓臺上底面的半徑

答案第41頁，共22頁

即圓臺下底面的半徑弓=1,故①部分圓臺的側(cè)面積岳=；（2兀省1xx=^；

由對稱性可得"0=""=1,則小圓°的半徑為廠=3-1=［，則小圓°的面積為

22

s=^=-.

24

故小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為&+邑=?叫?=彳.

故選：A.

9.AC

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

【詳解】圖（1）的分布直方圖是對稱的，平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，A正確；

圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，B錯誤，C正確；

圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，D錯誤.

故選：AC

10.BC

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷A；根據(jù)三棱錐的體積公式計算判斷B；根據(jù)線面

角定義得出最值即可判斷C；由展開圖結(jié)合余弦定理計算得出距離和的最小值判斷D.

【詳解】選項A,因為4c//平面ABCD，且AXCXc平面AxClD，

所以平面4G。和平面ABCD的交線/〃4￡，

而4G與平面ABB4相交，則平面4BBM內(nèi)不存在直線與4G平行，

即不存在直線與直線,平行，故A錯誤；

選項B,B\C/［平面4CQ，所以點M到平面4G。的距離為定值，

答案第51頁，共22頁

而三角形4G。的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確;

選項C,記M到平面4CQ到距離為d，由選項B可知，d為定值，

記直線MC1與平面4G。所成角為，則sin。=上一，

「2」\MCX\

又正弦函數(shù)在［0,二］上單調(diào)遞增，則°最大時，s'"最大，從而即為1兒心」最小時，此時

2

MCX1CBX，

在口以4。。|中,忸］。|30?1|=|。］閭義忸?，

所以忸C|=?。á?3?=25QM=￡=|,|CA/|=

忸M=26一沖=!，

所以忸|叫:眼。|=母：竽=1:3,故C正確；

選項D,作平面A^CD與平面BB、C的展開圖如圖所示,

則|朋+的最小值即為展開圖中線段4B的長，

答案第61頁，共22頁

R3C中，BC=0BB\=3,所以NCB'BJ

從而AA,BXB=—^A{B}B中，由余弦定理可知,

Ap=3+9-2xV3x3x=12+36

從而\MA\+\MB\的最小值為J12+3石，故口錯誤，

故選：BC.

11.ACD

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理、兩角和的正弦公式、基本不等

式逐一判斷即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理，

由acosC+gasinC=6+2cnsinAcosC+y/5sinAsinC=sin5+2sinC

=>sinNcosC+,sin/sinC=sin?(2sin4-C)+C

nsinAcosC+退sin/sinC=sinAcosC+cosAsinC+2sinC

=>>/3sinAsinC=cosAsinC+2sinC,

因為Ce(O,7t)，所以sinC/0，

于ZE由GsinNsinC=cos/sinC+2sinC=GsinN=cosA+2

=>V3sin-cos/=2=>2sin]/一胃=2=>sinM--j=l

因為共（。，兀）,所以/一黑一流

于是由sin1/-聿——=—因此選項A正確;

16）623

答案第71頁，共22頁

設(shè)該三角形的外接圓的直徑為2R，

于是由/sin2sinC=3n(sinA)2(2R.sin8)(2R.sinC)=3，

根據(jù)正弦定理，由卜in?/)(2A.sinJ5)(2J?-sinC)=3=>--Z?-c=3=>Z?c=4,

因此V/'C的面積為LA.sinN=」x4x3=G，因此選項B不正確；

222

因為AD為角A的平分線交8C于。，

1,77777

所以/氏4。=/。。=—乂——二—,

233

于是由三角形面積公式，可得+==

2222b+c2反

即/OW1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取等號，因此選項C正確；

__27r

由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bc-cos——=b2+c2+4>2bc+4，

3

即"之120〃之2月，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取等號，因此選項D正確，

12.I/0-5

2

【分析】利用列舉法求出基本事件的個數(shù)，再求出事件人包含的基本事件的個數(shù)，利用古

典概率公式，即可求解.

答案第81頁，共22頁

【詳解】從從3,4,5這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù),

有加=3,〃=4或5;加=4,〃=3或5;加=5,〃=3或4,共有6種，

由logw知，冽=4時，〃=3；加=5時，〃=3或4，共有3種，

所以P⑷=l=g,

故答案為：I.

13.叵也后

77

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別計算兩個平面的法向量，根據(jù)夾角公式計算即可.

【詳解】由題可知：底面/5（力為正方形，所以NB_LAD，又AB工PD,

40口尸。=。,40,尸。（=平面尸40,所以4B_L平面尸4D.

以A為原點，為x軸，/￡）為y軸，過點A在平面尸/￡）作4D的垂線為z軸建立空間直

角坐標(biāo)系/一az,如圖：

設(shè)48=2,S（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,1,A/3）,

答案第91頁，共22頁

所以前=（0,2,0）,而卜2,1,百），設(shè)平面尸8。的一個法向量為五=（》/*）,

所以「麗=「上+尸怎3令，則，

平面48co的一個法向量為而=（0,0,1），

所以側(cè)面與底面ABCD所成角的余弦值為2A=2=2A/7,

冏?網(wǎng)J3+47

PBCABCDI（^

則側(cè)面與底面所成角的正弦值為『［與J=亨.

故答案為：叵

7

14.V7-1

【分析】法一：應(yīng)用幾何法，令L3,a=OD'b^OB'根據(jù)對稱性取"=反且

ZAOC=~,數(shù)形結(jié)合求歸-W最小值；法二：根據(jù)同=1，為簡化計算固定'沿著X軸，

3

根據(jù)向量點積公式得出小°=1,根據(jù)已知得己=°，@,設(shè)*=但也）有（3-方J+V=1表

示以點（3，°）為圓心，半徑為1的圓上，求歸一目的最小值.

【詳解】法一：如下圖，令￡3a=OD'b^OB'根據(jù)對稱性取1=反且

答案第101頁，共22頁

所以3力=歷-礪=而，b-c=OB-OC=CB'

若。為原點,取4(1,0),D(3,0),C(l,-遂)，

由圖知，8在以。為圓心，1為半徑的圓上，故最小

W一半回1=3一1="1一3）2+卜百一0『-1=V7-1;

法二：因為同=＞設(shè)a=（i,o）（固定日沿著無軸以簡化計算）.

___71

由＜'3，=＞a-c=|a||c|cos—1x2x—=1.

弧=2,32

設(shè)G=（q，c）則/E=iq+0q=i，nc=±5

c；+c；=4,

因為夾角在標(biāo)準(zhǔn)位置，取正值，所以己=（1，6）.

給定附-同=1,設(shè)石=（%也）,代入，=（L°）：

3a-b=（3,0）-（bx,by）=（3-bx,-by）

答案第111頁，共22頁

所以(3-a『+(-bJ=l,即(3-4+*=1,

表不B=(b,b)在坐標(biāo)系中以點(3,0)為圓心，半徑為1的圓上,

求歸-q=?b「w+(by一可的最小值,

即點e=0，到圓(X-3)2+/=1上點的最小距離.

計算點e=(1，⑻到圓心(3,°)的距離：d=^(l-3)2+(V3-0)2=V7

半徑〃=1,由于d=jy>i=〃，所以點在圓外.

當(dāng)點、圓心、圓上點共線時，圓外點到圓的最小距離為"_r=近_1.

故答案為：77-1?

15.(1)(_8,_3)D(3,+8)

(2)a=-V3

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式建立不等式解出即可；

(2)先計算q?Z]+z2，根據(jù)+?2<0,則可知a3+z2的實部小于°，虛部為0,解出即

可.

【詳解】(1)因為復(fù)數(shù)Z1=l-ai,Z2=-l+3i，其中。是實數(shù)，

所以㈤=+(_Q『=，1+Q2,

卜2|=j(-l/+32=而,

答案第121頁，共22頁

由㈤〉㈤，所以,+>J10'

即1+/>10，解得。>3或。<—3，

所以若歸|〉"|，則。的取值范圍為：（-巴-3）U（3,+8）

（2）由a4+2=Q（1—3d）+（—4）+（_/），

要讓Q.Z1+Z2<0，則Q?Z]+Z2的實部小于仇虛部為0，

故有,解得°=-5

[3-?2=0

16-⑴a=0.0025；600

⑵21；22.25

【分析】（1）應(yīng)用頻率分布直方圖頻率和為1計算求°，再計算運動時間不低于85分鐘

的頻率即可計算運動愛好者人數(shù)；

10n

（2）根據(jù)—二±一2°一設(shè)計算新的平均數(shù)，推導(dǎo)方差公式得出自x；一2,可得出

X,=----------------S=-------X

18n

E10x，再根據(jù)公式計算新的方差.

i=l

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

20x（0.005+0.009+0.011+0.0125+0.010+a）=1'WWa=0.0025;

每天平均運動時間不低于85分鐘的頻率為0.0025x20+（100-85）x0.01=0.2，

故該校學(xué)生中“運動愛好者”的人數(shù)為3000x0.2=600.

答案第131頁，共22頁

10_

（2）Z/=1Ox=200，

i=i

nnnn

22

因EG-寸Eg-2xz.x+x）屯士+rix

Uz=l_i=li=li=T

nnn

2c—2—2C2

/Xj-2nx+nx/

_i=lj=lv?'

=------------------------=----------X

nn

io_2

貝=10s2+10x=250+10x202=4250，

Z=1

剔除其中的20和12這兩個數(shù)，

10

剩余8個數(shù)的平均數(shù)：一1七一20-12200_20_12

X.=----------=-----------=21

188

10

222

方差為V紅X-20-12I4250-202T22.

818

17.（1）1；

6

、11

'’54

【分析】（1）分析連勝兩局，包括第一、二局勝，第三局輸和第一局輸，第二、三局勝，

分別求出概率后相加即可；

（2）甲勝包括情況為：①甲第一、二局勝；②甲第一局勝，第一局負(fù)，第三局勝；③甲第

1t7t

一局負(fù)，第一局勝，第三局勝；分別求出每種情況的概率，相加得解出的范

225

圍即可.

答案第141頁，共22頁

【詳解】（1）棋手依次與甲、乙、丙各賽一局，

第一、二局勝，第三局輸?shù)母怕蕿長xLx（l”L=-,

2348

第一局輸，第二、三局勝的概率為（>工xlxl=—,

23424

故棋手連勝兩局的概率為

8246

故棋手依次與甲、乙、丙各賽一局，棋手連勝兩局的概率為工.

6

（2）由題，甲勝包括情況為：①甲第一、二局勝；②甲第一局勝，第二局負(fù)，第三局勝;

③甲第一局負(fù)，第二局勝，第三局勝；

①甲第一、二局勝的概率為工x（9=/--t,

224

②甲第一局勝，第二局負(fù)，第三局勝的概率為gx[l?-2?。?；+/）="+米+〃，

③甲第一局負(fù)，第二局勝，第三局勝的概率為（1一g）x（；+t）x（；-2f）=：-;f-產(chǎn)，

所以甲勝的概率為：--/+（-+-f+/2）+（---f-/2）=---,

4848422

由題：1一42,解得9!，又0<f<L

22554

所以

54

18.=f

答案第151頁，共22頁

⑵如

(3)36

【分析】(1)利用切化弦，繼而結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可求得答案；

(2)利用余弦定理可求出忸q=3V7,繼而求出COSC，再利用余弦定理即可求得答案;

(3)求出三角形外接圓半徑，將邊化為角，利用柯西不等式可得答案.

【詳解】(1)因為26tanC=c(tan/+tanC),所以2sin5sinCsinAsinC

=sinC--------1--------

cosCcosAcosC

Ce(O,兀JinC妗,即得2sin8=sin/?sinC,

cosCcosAcosC

則2sin5cosA=sinAcosC+sinCcos4=sin(/+C)=sin5，

8e(O,兀方nB弱,故儂/」，則/J；

23

(2)由于b=3,c=9，故/=c2+/_2cbcos/=90-27=63，

則a，即忸C|=3幣，

故cosC-八/-才_63+9-81__77.

2ab2X3A/7X314

^\BM\：\MC\=2：I,則“|=:忸°|=77,

故|/叫2=|附2+/必2_2|/1刈3。=9+7_2><3'5/_立]=19,

[14J

故|w|=M；

112111

________________—|____________________________________________________|_---------------

(3)sinA(os_2/)1口河71_sin-2A2B2C,

答案第161頁，共22頁

MABCa_6

由于，設(shè)外接圓半徑為氏，則"=而7"一^

sm§

則。=2Rsin/=2sinA,b=2sinB,c=2sinC9

112

---------------------------1---------------------------------------------------------

C

s響os2/)仁2產(chǎn)_〃-

111

=4(sin2A+sin25+sin2C)

sin2Asin2Bsin2C

、.(sin/sin8sinCY

(sin/sin5sinC)

當(dāng)且僅當(dāng)sin/=sinsinC即AABC為正三角形時等號成立;

ik(a2+b2+c2)--+—J_、——--的最小值為36.

〈)si吸os24)1芯口一"C-

19.(1)證明見解析

(2)①證明見解析②竺&Z40

9

【分析】(1)根據(jù)線線平行證明平面尸〃平面OCE，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)得證

(2)①過點c作CH工EB交EB于點H，證明面面垂直性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)而得到線線

垂直用7，根據(jù)翻折關(guān)系證明線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直B尸!8C，最后根據(jù)線面

垂直判定定理證明②根據(jù)面面垂直得到線面垂直，計算所，分析得到a的最大值，幾何體

答案第171頁，共22頁

EFABCD的體積為v=VSCD+vE-AFB

【詳解】（1）證明：根據(jù)題意可知/尸IIDE,IICD,

因為［尸（z平面。CE，DEu平面。CE，所以4F〃平面DCE，

同理，因為4BZ平面OCE，DCu平面。CE，所以4BP平面DCE，

又因為工尸是平面N8尸內(nèi)的兩條相交直線，所以平面48尸〃平面DCE，

因為8尸u平面尸，所以斯||平面C0E

（2）

①證明：過點c作C//_L班父￡8于點〃,

因為平面FB￡_L平面C8E，平面FBEc平面C8E=E8，所以C〃_L平面用E

又8尸u平面尸8￡，則8F_LC7/；

根據(jù)題意平面圖形翻折后8C_L4B,8C_LN尸，且/尸,NC是平面"8內(nèi)兩條相交直線,

所以8C_L平面E4夕

又BFu平面E4B，則BF_L8C

因為C〃,8c是平面E8C內(nèi)兩條相交直線，所以2尸_1_平面3CE

②法一：

答案第181頁，共22頁

9

直角梯形8?！晔?，BF\\CE9ZBCE=90°且在平面尸5E上,

由①可知BC_L平面E48,所以40_L平面'

由(1)可知由題意平面/§尸〃平面℃￡*，

所以E到底面AFB的距離為，

在ACDE中，設(shè)點￡到。(7的圖EK，即EK_LCZ)

因為8C_L平面CDE，所以3c_LEK，

因為CDc2C=C，所以EK_L平面4BCZT

設(shè)點E到底面/BCD的身為EK'

在ACAE中，根據(jù)三角形的面積公式J_x4fsina=—txEK,:.EK=4sina

22

幾何體EFABCD的體積為

V=VE-ABCD+嚓.汨=Jx15-。4sina+|x|x2/sinax（5-f）=|x;（5-Z）sina

取OE的中點S，連接真■，

因為5F||5clsF=BC,所以四邊形SPBC是平行四邊形，所以SC||5R,SC=3萬,

因為8尸_L平面BCE，所以SC_L平面8CE，又因為C￡u平面8CE'所以SC_LCE

在ASCD中，SC2=4+f2-4cosa1

答案第191頁，共22頁

在AECD中，EC2=16+/-8