點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（知識(shí)清單+12大題型+好題必刷）

g題型匯聚

題型二.……軻斷點(diǎn)寫圓的位置關(guān)素.........

題型二利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

題型三點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問題

題型四三角形外接圓的概念辨析

題型五求三角形外心坐標(biāo)

題型六求特殊三角形外接圓的半徑

題型七已知外心的位置判斷三角形的形狀

題型八判斷三角形外接圓的圓心位置

題型九判斷確定圓的條件

題型十確定圓心（尺規(guī)作圖）

題型十一反證法證明中的假設(shè)

題型十二用反證法證明命題

▼知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為廠，點(diǎn)Q到圓心的距離。尸=%則有：

①點(diǎn)P在圓外廠

②點(diǎn)P在圓上=4=廠

①點(diǎn)P在圓內(nèi)QdVr

（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系.

（3）符號(hào)讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識(shí)點(diǎn)2.確定圓的條件

不在同,,直線上的三點(diǎn)確定i個(gè)圓.

注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)

圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，

過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓.

知識(shí)點(diǎn)3.三角形的外接圓與外心

（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

（3）概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)：鈍角三角形的外心在三角形的外

部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)

接三角形卻有無數(shù)個(gè).

題型練習(xí)

【題型一】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【例。（24-25九年級(jí)上?北京西城?階段練習(xí)）如果O。的半徑為3,0A=2,則點(diǎn)A在。。（）

A.外B.內(nèi)C.±D.不確定

【舉一反三】

1.（2025九年級(jí)?河北?專題練習(xí)）已知。。的半徑為3,當(dāng)0=5時(shí)，點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.不能確定

2.（24-25九年級(jí)上?湖南長沙?期中）在平面內(nèi)，。。的半徑為5cm,點(diǎn)P到圓心。的距離為&〃?，則點(diǎn)P與。。的

位置關(guān)系是點(diǎn)P在.（填“圓內(nèi)M圓外''或"I員I上”）.

3.（24?25九年級(jí)上?全國?假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C是。"上的三個(gè)點(diǎn)，4。，4）、8（4,4）、

C（6,2）.

（1）圓心M的坐標(biāo)為」

（2）判斷點(diǎn)力（4.-3）與OM的位置關(guān)系.

【題型二】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

【例2】（24-25九年級(jí)上?陜西延安?期末）點(diǎn)。到圓心。的距離為7,若點(diǎn)尸在圓。內(nèi)，則圓。的半徑，?滿足（）

A.0</-<7B.0<r<7C.r>7D.r>7

【舉一反三】

1.（2024?江蘇蘇州?二模）如圖，△48C中，N84C=90。，AB=6,BC=\0,點(diǎn)。為斜邊5c上一任意點(diǎn),

連接/。，將點(diǎn)〃關(guān)于直線力。作軸對(duì)稱變換得到點(diǎn)E連接4E,BE,則面積的最大值為（）

A.18B.30C.15D.24

2.（24-25九年級(jí)上?四川瀘州?期末）定義：點(diǎn)尸、點(diǎn)。分別為兩個(gè)圖形G、。上任一點(diǎn)，如果線段的長度存在最

小值時(shí)，就稱該最小值為圖形G和G的“近距離”；如果線段PQ的長度存在最大值時(shí)，就稱該最大值為圖形Q和G的“遠(yuǎn)

距離”.已知△力4c和。。是平面直角坐標(biāo)系X。），中的兩個(gè)圖形，其中點(diǎn)4（3,5）,8（2,2）,C（6,3）,Z）（-2,-l）,QD

半徑為1.則和。。的“遠(yuǎn)距離”為.

3.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，。。為等邊△力AC的外接圓，半徑為6,點(diǎn)。在劣弧標(biāo)上運(yùn)動(dòng)（不

與點(diǎn)A,B重合），連接D4,DB,DC,

（1）求證：0c是N4Q8的平分線；

（2）四邊形彳力。C的面積S是線段。。的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)M,N分別在線段。，C3上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，3N的

周長有最小值，，隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，，的值會(huì)發(fā)生變化，求所有，值中的最大值；

【題型四】三角形外接圓的概念辨析

【例4】（24-25九年級(jí)上?陜西延安?期末）三角形的外心是（）

A.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三邊高線的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?山東聊城?期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)4B,C,DE,凡G在小正

方形的頂點(diǎn)上，則ZU8C的外心是（）

C.點(diǎn)、FD.點(diǎn)G

2.（24?25九年級(jí)上?湖北恩施,階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)。是的外心，若4=70。，則N8OC=

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，是MBC的外接圓，力。是。。的直徑，BC平分/ABD,

AC=2.求。。的半徑.

【題型五】求三角形外心坐標(biāo)

【例5】（23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?期中）如圖，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,3)B.(0,4)C.(1,4)D.(3,4)

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?湖南常德?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，△力4。的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：4（-2,4）,

8（4,4）,C（4,0）,經(jīng)畫圖操作可知，的外心坐標(biāo)應(yīng)是（）

A.(2,1)B.(2,2)C.(4,4)D.(1,2)

2.（24-25九年級(jí)上?河北石家莊,期末）如圖，外接圓的圓心坐標(biāo)為

3.（24-25九年級(jí)上?全國?假期作業(yè)）如圖，在△49C中，。是它的外心，8c=24cm,。到4c的距離是5cm,求△力8c

的外接圓的半徑.

【題型六】求特殊三角形外接圓的半徑

【例6】（24-25九年級(jí)上?天津薊州?階段練習(xí)）直角三角形兩條直角邊分別為6和8,則直角三角形外接圓的半徑為

（）

A.4.8B.5C.6D.8

【舉一反三】

1.（23-24九年級(jí)上?北京?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，/8c的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，貝卜4加外接圓的

圓心坐標(biāo)為（）

4

-idi2345X

A.(3,2)B.(2,3)C.(2,2)D.(3,3)

2.（24-25九年級(jí)上?云南玉溪?期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是（2,0）,（2,3）,0M是

的外接圓，則圓心M的坐標(biāo)為.

3.（24-25九年級(jí)上?福建南平?期末）如圖，在五邊形力BCDE中，點(diǎn)、A,H,C,。是。。上的四個(gè)點(diǎn),

48C=120。，BD平分NABC.

（1）求證：△力8是等邊三角形；

（2）求證：BD=BA+BC；

（3）若N/1EO=45。，AC=2f求面積的最大值.

【題型七】已知外心的位置判斷三角形的形狀

【例7】（22-23九年級(jí)上?浙江杭州?期中）△/8C的外心在三角形的一邊上，則△48。是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法判斷

【舉一反三】

1.（2024九年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）如果一個(gè)三角形的外心在三角形的外部，那么這個(gè)三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定

2.(上海?三模)三角形的外心恰好在它的一條邊上，則這個(gè)三角形一定是.

3.(九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))對(duì)于一個(gè)三角形，設(shè)其三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x。，"和;f，若x,y,z滿足

x2+r=?,我們定義這個(gè)三角形為美好三角形.

(l)AABC+，若4=50°，4=70。，則AABC(填“是“或“不是")美好三角形；

(2)如圖，銳角AABC是。0的內(nèi)接三角形，ZC=60\AC=2f00直徑為2近，求證：AABC為美好三角形;

(3)已知AABC為美好三角形，4=30°,求NC的度數(shù).

【題型八】判斷三角形外接圓的圓心位置

【例8】(24-25九年級(jí)上?河北保定?期中)如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4,B,C,D,E,F,G在小正方形網(wǎng)

格的頂點(diǎn)上，貝lJ△48C的外心是()

D*

BC

A.點(diǎn)。B.點(diǎn)EC.點(diǎn)FD.點(diǎn)G

【舉一反三】

1.（24-25九年級(jí)上?北京?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過力（2,2）,8（4,0）,。三點(diǎn)，那么這條圓

弧所在圓的圓心為圖中的（）

A.點(diǎn)。（2,1）B.點(diǎn)E（2,0）C.點(diǎn)/（3,0）D.點(diǎn)G（2,-l）

2.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）已知。是△力的外心，400+4=210。，則乙4=.

3.（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期末）在網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長都為1個(gè)單位），△/出C的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)

I-建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出△力8c的外接圓的圓心P（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）將△力BC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MDE,畫出LADE.

【題型九】判斷確定圓的條件

【例9】（24-25九年級(jí)上?全國?期末）給出下列說法:

①能夠互相重合的兩個(gè)圓叫作等圓；

②長度相等的弧是等?。?/p>

③以2cm長的半徑的圓有無數(shù)個(gè)；

④平面上任意三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，其中正確的有（）

A.②④B.①③C.①③④D.①②③④

【舉一反三】

1.（23-24九年級(jí)上?山東聊城?期中）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①同弧所對(duì)的圓周角相等；②圓內(nèi)接平行四邊形必為矩形；③90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑；④任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)

圓.

A.4B.3C.2D.1

2.（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽?階段練習(xí)）如圖，中，ZC=90°,NCN8=30。，AB=2,n△48C在直角坐

標(biāo)系xQy中運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)A,4分別在X軸負(fù)半軸和>軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)c到點(diǎn)。距離的最大值.

3.（九年級(jí)上?廣東深圳?期末）已知等邊△48。的邊長為8,點(diǎn)P是48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)4、8不重合）.

（1）如圖1.當(dāng)尸8=3/尸時(shí)，ABPC的面積為；

（2）直線/是經(jīng)過點(diǎn)尸的一條直線，把△/3C沿直線/折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)夕.

①如圖2,當(dāng)Q？二5時(shí)，若直線〃/力C,求的長度；

②如圖3,當(dāng)尸4=6時(shí)，在直線/變化過程中.請(qǐng)直接寫出△/C*面積的最大值.

AAA

【題型十】確定圓心（尺規(guī)作圖）

【例10】（23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?階段練習(xí)）如圖,直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A,B,C,其中8點(diǎn)坐標(biāo)為

（4,4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為：）

A.(2,0)B.(2,1)C.(2,2)D.(3,1)

【舉一反三】

1.（九年級(jí)上?北京海淀?階段練習(xí)）小明家的圓形玻璃打碎了，其中三塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的

圓形玻璃，小明應(yīng)帶到商店去的一塊碎片是（）

A.①B.②C.③D.均不可能

2.（九年級(jí)上?北京?期中）有一種化學(xué)實(shí)驗(yàn)中用的圓形過濾紙片，如果需要找它的圓心，請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明你找圓心的方

法是

3.（24-25九年級(jí)上?陜西渭南?期中）如圖，已知圓和弦力4,用直尺和圓規(guī)求作圓心0（保留作忤痕跡，不寫作

法）.

【題型十一】反證法證明中的假設(shè)

【例11】.（2024九年級(jí)上?全國?專題練習(xí)）用反證法證明”等腰三角形的底角小于9（）?！睍r(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)（）

A.底角大于9（）。B.底角等于90。C.底角小于9（）。D.底角大于等于90。

【舉一反三】

I.（24-25九年級(jí)上?陜西安康?階段練習(xí)）用反證法證明命題”在三角形中，至多有一個(gè)內(nèi)角是直角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)

（）

A.至少有一個(gè)內(nèi)角是直角B.沒有一個(gè)內(nèi)角是直角

C.至多有一個(gè)內(nèi)角是直角D.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角

2.（23-24九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí)）用反證法證明：“。與b不平行”，第一步假設(shè)為.

3.（24-25九年級(jí)上?福建廈門?期中）用反證法證明：在同一直線上的三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓，首先應(yīng)假設(shè).

【題型十二】用反證法證明命題

【例12】（24-25九年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）我們可以用以下推理來記明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等

于60?！?假設(shè)三角形沒有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。，即三個(gè)內(nèi)角都大于60。，則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于180。.這與

“三角形的內(nèi)角和等于180?！边@個(gè)定理矛盾，所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60。.上述推理使用的證

明方法是（）

A.反證法B.比較法C.綜合法D.分析法

【舉一反三】

1.（23-24九年級(jí)上?全國,課后作業(yè)）反證法的一般步驟

（1）假設(shè)命題的結(jié)論;

（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出；

（3）由矛盾判定假設(shè),從而得到原命題________.

2.（23-24九年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）求證：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

如圖1,巖AB〃8,且.4",8被止所截，求證：ZAOF=ZEOfD.

圖1圖2

以下是打亂的用反證法證明的過程：

①如圖2,過點(diǎn)O作直線HC,使4'。2=/友/。；

②依據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，可得

③假設(shè)〃1。廠工/七。'。；

④AAOF=EO'D；

⑤與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設(shè)不成立

證明步驟的正確順序是.

3.（23?24九年級(jí)下?江蘇南京?自主招生）對(duì)一個(gè)正整數(shù)〃，我們進(jìn)行如下操作：若它是奇數(shù)，則乘以3再加1；若是

偶數(shù)，則除以2.

（1）對(duì)于〃=17、37,進(jìn)行若干次上述操作后，是否有一數(shù)是4的倍數(shù).

（2）求證對(duì)任意正整數(shù)〃，進(jìn)行有限次上述操作后，必有一數(shù)是4的倍數(shù).

好顧必［削___________________________________________________

一、單選題

1.。。的半徑為5,點(diǎn)P到圓心0的距離為3,點(diǎn)P與。0的位置關(guān)系是（）

A.無法確定B.點(diǎn)P在。0外

C.點(diǎn)P在。0上D.點(diǎn)P在。0內(nèi)

2.以邊長為1的正方形49C。的頂點(diǎn),4為圓心，以血為半徑作。力，則點(diǎn)C關(guān)于。/的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)C在。力內(nèi)B.點(diǎn)C在。力上C.點(diǎn)C在04外D.不能確定

3.如圖，在矩形力中，AB=6,力。=8,若以點(diǎn)。為圓心，8為半徑作OQ,則下列各點(diǎn)在0。外的是（）

AD

B

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)8C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

4.直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的（）

A.三角形內(nèi)B.三角形外C.斜邊的中點(diǎn)D.不能確定

5.直角三角形的兩邊長分別為16和12,則此三角形的外接圓半徑是（）

A.8或6B.10或8C.6D.8

6.在公園的。處附近有七、F、G、〃四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形為邊長均相等），現(xiàn)計(jì)劃修建一座以。

為圓心，為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則￡、F、G、〃四棵樹中需要被移除的為（）

A.E、F、GB.F、G、HC.G、H、ED.H、E、F

7.OO外一點(diǎn)到該圓的最小距離為4cm,最大距離為9cm,則該圓的半徑是（）

A.2.5cmB.3.5cmC.4.5cmD.5cm

8.下列說法中，真命題的個(gè)數(shù)是（

①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓：②任何圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三

角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)圓；

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，在心△49C中，力。?=90。，AC=6,8c=8,CP,CM分別是上的高線和中線.如果。力是以點(diǎn)A

為圓心，4為半徑的圓，那么下列判斷中，正確的是（）

c

A.點(diǎn)。，M均在。力內(nèi)B.點(diǎn)、P,.“均在GU外

C.點(diǎn)P在。/內(nèi)，點(diǎn)”在GM外D.以上選項(xiàng)都不正確

10.己知，如圖，4T0）,8（-3,0）,。（0,3石），點(diǎn)p在第二象限運(yùn)動(dòng)4P8=30°,求產(chǎn)。的最小值為（）.

C.4G-4D.2

二、填空題

11.已知。。的半徑是3,當(dāng)OP=2時(shí),，點(diǎn)P在。O；當(dāng)OP=3時(shí)，點(diǎn)P在。。；當(dāng)。q=5時(shí)，點(diǎn)

P在00.

12.己知A48C內(nèi)接于。0,連接若NQ4CNO歷1:N（9C8=1:4:3,則N4CB=:

13.如怪所示，△48C外接圓的圓心坐標(biāo)是.

14.用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”（填空）.

已知：如圖，直線4，（被直線4所截；Z1+Z2180。.

/.

求證：直線4與A.

證明：假設(shè)4，2，

則Zl+Z2180°.

這與矛盾，故不成立.

所以.

15.點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。。上的點(diǎn)的最小距離是4cm,最大距離是加〃?，則。。的半徑是

16.下面是“作出AB所在的圓”的尺規(guī)作圖過程.

已知：AB.

求作：薪所在的圓.

作法：如圖，

（1）在前上任取三個(gè)點(diǎn)。，C,￡；

（2）連接。C,EC；

（3）分別作0c和EC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)。

（4）以。為圓心，