專題03抽象函數(shù)大全培優(yōu)歸類

》稱壓軸?茲高度六.

抽象函數(shù)基礎：單調性抽象模型：一元三次型

抽象函數(shù)基礎：奇偶性型抽象模型：正切函數(shù)型

抽象函數(shù)基礎：周期型抽象模型：余弦與雙曲余弦型

抽象函數(shù)大全培優(yōu)歸類

抽象模型：直線型抽象模型：正弦與雙曲正弦型

抽象模型：上下平移型:抽象模型：對數(shù)反比例型

抽象模型：一元二次型抽象模型：反比例型

題型1抽象函數(shù)基礎：單調性型證明

解答抽象函數(shù)問題，用賦值法進行解答就是一種行之有效的方法.

賦值主要從以下方面考慮：

i①令X=-等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；

I

!1

:②令天=4＞=々或＞=一,且占＜々，判定抽象函數(shù)的單調性；

無1

，③令》=一%,判定抽象函數(shù)的奇偶性；

\@換X為X+T,確定抽象函數(shù)的周期；

:⑤用x=：+：或換X為，等來解答有關抽象函數(shù)的其它一些問題.

22x

1.（24-25云南昭通.模擬）已知函數(shù)“X）的定義域為R,且/（0）〃0,若““?〃丹-/（孫）=龍++

則（）

A.〃1）=一1B.f（-l）=lC./（x）為增函數(shù)D./（x）為奇函數(shù)

【答案】C

【分析】利用賦值法求出〃。）、/⑴及〃-1）的值，從而判斷AB；令y=l結合/⑴的值，可得

/（x）=x+l,從而判斷CD.

【詳解】對于A,令x=y=O,則/(0)"(0)-1]=0,

又因為7(0)=0,所以"0)=1,

令x=l,y=0,Kl]/(l)-/(o)-/(o)=l,解得=故A錯誤；

對于B,令x=-l,y=0,則/(T)令(0)_/(0)=-1,又"0)=1,

解得/(T)=0,故B錯誤；

對于C,令y=l則有=

又因為“1)=2,所以〃x)=x+l,

所以函數(shù)y=/(x)為單調遞增函數(shù)，故C正確；

對于D,由c可知〃x)=x+l,為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：C.

2.(24-25高三.河北保定.階段練習)已知定義域為R的函數(shù)/(尤)滿足〃x+y)=/(尤)+/(y)+3,

/(1)=0,且x>0時，/(x)>-3,則下列說法正確的()

A.f(2)=2B.〃x)為減函數(shù)

C./⑺為奇函數(shù)D.不等式〃力>0的解集為(1,+e)

【答案】D

【分析】首先令尤=>=。得到〃。)=一3,令尤=y=l,求出“2)可判斷A；當尤>0時，由x+y>y可得

/(x+y)>/(y)進而確定單調性可判斷B；令>=-，結合/(0)=_3得〃x)+/(r)=-6可判斷C；根據(jù)

的單調性和/⑴=0解不等式可判斷D.

【詳解】令x=y=0,則/(0)=/(0)+/(0)+3,得〃0)=-3,

對于A,令x=y=l,則/(2)=/?⑴+〃1)+3=3,故A錯誤；

對于B,若Vx>0,貝l]x+y>y,此時f(x)>-3,

所以〃x+y)=/(x)+/(y)+3>—3+〃y)+3=/(y),

即x+y>y時，f(x+y)>f(y),所以〃尤)為R上的增函數(shù)，故B錯誤；

對于C令廣一％,則/(O)=〃x)+/(-x)+3=-3,所以/(x)+〃—x)=-6,

不滿足/(-x)T(x),所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于D,因為為R上的增函數(shù)，且/⑴=0,

所以當x<l時，〃x)<0；當％>1時,f(x)>0,

不等式/(力>0的解集為(L+8),故D正確.

故選：D

3.(24-25高三安徽蚌埠,開學考試)已知函數(shù)的定義域為(0,+動，對Vx、ye(0,+w),滿足

/(沖)=/(x)+/(y),當x>l時，f(x)<0,且〃2)=-3,則不等式人方一7)-(￡|>一9的解集為

()

A.(-1,8)B.(7,8)

C.(8,+oo)D.(0,7)(8,+oo)

【答案】B

【分析】令占=孫>。，々=>>0且則不>々，利用函數(shù)單調性的定義推導出函數(shù)〃x)在(0,+8)

上單調遞減，計算得出〃8)=-9,將所求不等式變形為結合函數(shù)〃x)的定義域和單調

性可得出關于x的不等式組，解之即可.

【詳解】因為函數(shù)“X)的定義域為(。,+8),對Vx、ye(0,+co),滿足/(孫)=/(x)+/(y),

又當x>l時，/(%)<0,令%=盯>0,x2=y>QS.x>l,則占>馬,貝U

“占)一/(9)="孫)一=/(X)<。，

所以〃可)<〃々)，所以“X)在(0,+8)上單調遞減，因為〃2)=-3,所以/'(4)=2〃2)=-6,

/(8)=/(4)+/(2)=-9,

則不等式《一7)-0>一9="8)可化為小一7)>八8)+/[￡|=*,

x-7>0

1>0,解得7<x<8.因此，不等式〃無一7)一/

所以，：>-9的解集為(7,8).故選：B.

:7二1

X

4.(24-25高三?湖北武漢?模擬)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,對任意的a,6eR,都有

f(a+b)=f(a)f{b)<當x<0時，/(%)>1,且/⑼20,若〃-2)=4,則不等式-12.>16的解

集是()

6-277.

A.xx<---或x>

2

C.{x|x<g或無>2}

【答案】D

【分析】先由題設結合賦值法求出〃T)=16和40)=1,接著求出函數(shù)是單調遞減函數(shù)，再利用函

數(shù)單調性解不等式得5/_12X<-4,解該不等式即可得解.

【詳解】因為對任意的a,beR,都有/(“+『)/(-2)=4,且〃0戶0,

所以/(T)=/2(—2)=42=16,且〃O)=/(O)/(O)=>/(O)=l,

設任意玉<%,則再一%<0,則/(石-%2)=/(西)/(一彳2)>1，

-X%-X=

又/'(-%)=1/()「J、，所以/(西2)=/(1)/(2)/(^1)f/X>1,

f[x2)f(x2)八xj

若〃當)<0,則當王<。時，/(^)>1,則〃占)/^<0,矛盾，

所以所以/(玉)>/(%)，所以函數(shù)7'(x)是單調遞減函數(shù)，

所以不等式/(5/-12x)>16等價于f(5d-12x)>"T),所以5x2-12x<-4,

2

故5%2一12%+4<0即(5%—2乂%—2)<0,解得1<%<2.

所以不等式了(5尤2-Ux)>16的解集是“g<X<2：.

故選：D

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵1是巧妙賦值求出求出/(T)=16和"0)=1,關鍵2是由所給條件

結合單調性定義求出函數(shù)/(x)是單調遞減函數(shù).

題型2抽象函數(shù)基礎：奇偶性型

jream

IMy

抽象函數(shù)奇偶性證明，嚴格遵守奇偶性定義，構造f(X)與f(-X)的關系。

1.(2025?甘肅甘南?模擬預測)已知函數(shù)了(無)滿足：對于任意的羽yeR,都有

2025

/?(x-y)=f(x)f(l—y)-八1+尤)/(y)成立，且/⑴=1,則￡/(r)=()

Z=1

A.2025B.2024C.1013D.1012

【答案】C

【分析】賦值法依次求出〃0),/(2)的值，以及關系式〃x-l)=-/(l+x),進而推得f(x+4)=f(x),求

出函數(shù)的周期.進而結合/(0),/⑵的值，可得出當，為偶數(shù)時，/(力=0；當，為奇數(shù)時，根據(jù)二項式定

理展開式得出「除以4的余數(shù)為1,即可得出對應值，求和即可得出答案.

【詳解】令x=y=0時，因為“1)=1,

所以/(0)=f(0)/(1)-/(1)/(0)=0.

令x=l,y=l,

則/(0)=/(1)/(0)-/(2)/(1),所以/(2)=0.

令y=1,則/(x-1)=/(x)/(0)-/(1+x)f(y)=-/(i+x),

所以/(X)=—J(x+2),則f(x+4)=f(x),所以4為了(X)的一個周期.

又/(0)=0"(2)=0,

所以由周期性可知/(0)=/(2)=/(4)=/(6)==0,即"2幻=0(keZ).

當，為偶數(shù)時，/為偶數(shù)，所以/(曰=0；

當i為奇數(shù)時，設i=2k+l,keZ,

貝IJ(2左+1)4=C；(2Q4+C：(2Q3+C：(2左丁+C：(2Q+C：(2左)。

=16々4+32犬+2412+8左+1,

故(2k+1)4被4除的余數(shù)為1,所以了(/)=/(1)=1,

2025

所以21")=1。13/⑴=1013.

1=1

故選：C.

【點睛】方法點睛：求解與抽象函數(shù)有關的值時，常采用賦值法，代入計算.

2.(2025?甘肅定西?模擬預測)若定義在Z上的函數(shù)/(x)滿足對任意x,yeZ均有

/(x+y)=/(x)/(2-y)+/(2-x)/(y),則稱〃尤)為“5-2函數(shù)”,已知為“S-2函數(shù)”，且

/⑵=1,/(-1)<0,則〃0)+/(47)=()

A.-變B.0C.也D.1

22

【答案】A

【分析】由新定義賦值得〃力的圖象關于直線尤=2對稱，進一步賦值得為奇函數(shù)，〃元)是周期為

8的周期函數(shù)，故只需求出了(T)的值即可.

【詳解】令x=y=0,則/(0)=/(0)/⑵+〃2)/(0)=2/⑵/(0)=2/(0),所以40)=。；

令丁=2,則/(x+2)=/(x)/(O)+/(2-x)*2)=/(2-x),

所以/⑺的圖象關于直線x=2對稱；

令『一干貝"(0)=〃力〃2+司+〃2-力〃一尤)=[〃*)+〃一句]〃2+月=0,

因為〃2+x)=0不恒成立，所以/(尤)+〃-力=0恒成立，所以〃x)為奇函數(shù)，

所以/(X+4)=〃T)=—/(X),所以/(尤+8)=-7?(尤+4)=f(x),

所以/(x)是周期為8的周期函數(shù)，令無=l,y=l,則"2)=2"⑴

解得〃1)=±1，又/(-l)<OJ(x)為奇函數(shù),所以〃=一孝，

所以〃0)+〃47)=0+〃6x8-l)=〃-l)=q.

故選：A.

3.(2025,黑龍江大慶,模擬預測)函數(shù)“X)的定義域為R,且對任意的實數(shù)x,都有

/(^)=/(^-2)-/(4-x),且/(0)=2,則下列說法錯誤的是()

A.為偶函數(shù)B.為周期函數(shù)且周期為12

25

C./(4)=-lD.￡/(2Z)=2

【答案】D

【分析】用x+2代替x,可得〃2+X)+〃2T)=/(X),可判斷C；用f替換x,結合偶函數(shù)的性質可

得A正確；用x+2替換x,結合偶函數(shù)的性質可得B正確；由函數(shù)的周期性可得D錯誤.

【詳解】因為/(X)=/(X—2)-〃4-X),用x+2代替》,可得/(2+無)+/(2-x)=/(x),

令x=0,得/(0)=2/⑵=2,即"2)=1,

令尤=2,得〃4)+〃0)=〃2),所以〃4)=〃2)-〃0)=1-2=-1,C正確;

用-x替換x,可得f(2—x)+/(2+x)=〃-x),所以=

所以函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，A正確；

用x+2替換X,可得〃4+x)+/(r)=/(x+2),

所以〃4+x)+/(x)=〃x+2),所以/(x)=/(x+2)-〃x+4),

所以〃x+2)=/(x+4)—/(x+6),即〃x+6)=—.

所以1y(x+12)=—〃x+6)=〃x),

故是以12為周期的周期函數(shù)，B正確；

/(6)=-/(0)=-2,

所以〃6)=/(4)-2)=/(4)-/(2)=-1一1=—2;

/(8)=-/(2)=-1,〃10)=-/(4)=1,/(12)=2,

25

所以￡/⑵)=4口+(-1)+(-2)+(T)+1+2]+1=1,D錯誤.

4=1

故選：D.

4.(2025.山東.二模)已知定義在R上的函數(shù)〃%)滿足〃x—y)-〃x+y)="x-l)〃y),且

/(-1)=-2,則/(2025)=

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用賦值法可得/(X)是以4為周期的周期函數(shù)，利用周期性可得答案.

【詳解】令x=l,y=O,則"1-0)-〃1+0)=〃1-1)/(0),可得"0)=0,

令x=0,y=l,則/■(0-1)一〃1+0)=〃0-1)〃1),可得"1)=2,

令x=l,y=l,則〃1一1)一〃1+1)=〃1一1)〃1),可得"2)=0,

令x=2,y=l,則“2-1)一〃2+1)=〃2-可得〃3)=-2,

令x=3,y=l,則“3-1)-〃3+1)"(3-1)/(1),可得"4)=0,

令x=4,y=l,則"4一1)一〃4+1)=/(4-可得"5)=2,

可得/(X)是以4為周期的周期函數(shù)，

fllj/(2025)=/(4x506+1)=/(1)=2.

故選：D.

題型3抽象函數(shù)基礎：周期型

在賦值判斷基礎上，可以借助類比“正余弦函數(shù)周期”方式來判斷抽象函數(shù)的周期。

1.(2025河北保定?一模)已知函數(shù)f(x)的定義域為R"(x)/(y)="(字(三與]2"(1)=1,且

23

/(3x+2)為偶函數(shù)，則￡/(幻=()

k=\

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法可得，(。)=。，且為奇函數(shù)，再結合已知的偶函數(shù)求得8為"X)

的一個周期，借助性質求出目標值.

【詳解】函數(shù)解x)的定義域為R,且有/(x)/(y)="(受于一[/(受)]2,

令x=y=0,得"(0)]2="(0)『一"(O)]2=o,解得"0)=0;

令y=f,xeR,得/(X)/(T)=[/(0)]2-"(x)f則/(x)"(-x)+/(x)]=0,

而/⑴=1,即不恒為0,因此"-尤)+f(x)=0,函數(shù)為奇函數(shù)，

由/(3x+2)為偶函數(shù)，得/(3x+2)=/?(-3x+2),貝IJf(x+2)=f(-x+2),

于是/(尤+4)=/(-幻=一/(尤)，/U+8)=-/(x+4)=/W,8為了⑺的一個周期，

i/(x+4)=-/(%),得了(元+4)+/(尤)=。，即/(1)+/(5)=/(2)+/(6)=/(3)+/(7)

8238

=/(4)+/(8)=0,因此￡/出=。，所以￡/(幻=3￡/次)一/(24)=-/(0)=0.

k=\k=\k=\

故選：B

【點睛】思路點睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質，再借助性質即可求解.

2.(24-25高三上?河北衡水?階段練習)定義在(。,+8)上的函數(shù)“X)滿足且尤2,有

[/(A))-/(X2)](^-X2)>0,且〃*)=〃x)+〃y),/(4)=|,則不等式〃2x)—〃彳-3)>1的解集為

()

A.(0,4)B.(0,+動C.(3,4)D.(2,3)

【答案】C

【分析】結合題設賦值可得/(8)=1,再根據(jù)函數(shù)的單調性以及定義域即可求解.

71

【詳解】因為〃到)=/(x)+/(y),所以〃4)=〃2X2)=〃2)+〃2)=§,即/⑵=耳，

因為/⑻=/(4x2)=〃4)+〃2)=3〃2)=3xg=l,

所以/(2x)-/(x-3)>l,可轉化為/(2x)-f(x-3)>/(8),

即/(2x)>/(8)+f(x-3),即/(2%)>/(8x(x-3))=48龍-24).

因為/(X)滿足V%,%e(0,+oo)且為,有[/(%)-"%2)](%-工2)>°，

所以“X)在區(qū)間(0,+動上單調遞增，

2x>0

即<x—3>0,解得3<x<4,

2x>8x-24

即不等式3)>1的解集為(3,4).

故選：C.

3.(24-25高二下?安徽宿州?期末)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，且

2025

“x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),〃。)=1,則￡/(左)=()

k=0

A.-2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】由已知結合賦值法推出函數(shù)為偶函數(shù)，進而采用變量代換的方法，推出函數(shù)的對稱中心，進而推

出其周期，再結合賦值法求得/(O),/(1),/(2),/(3),結合函數(shù)的周期性，即可求得答案.

【詳解】由題意知函數(shù)〃尤)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),/(0)=1,

令尤=0,則/'—)=2〃/即/(-y)=/(y),故〃尤)為偶函數(shù);

又由/(尤+1)為奇函數(shù)，可得/(-x+l)=-/(x+l),令x=0,則得/(1)=0,

又由〃—x+l)=—〃x+l)可得f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱，貝"(2)=—〃0)=-1;

又由+1)=—〃x+l)可得〃x+2)=-/(—x),又結合為偶函數(shù)，

則〃x+2)=-“X),故〃x+4)=-/(x+2)=〃x),即4為的周期,

故〃3)=/(—1)=/(1)=0,則〃0)+/(1)+/(2)+〃3)=1+0-1+0=0,

2025

故Xf(k)=506［f(0)+/(l)+/(2)+/(3)］+7(2024)+/(2025)=/(0)+/(1)=1+0=1

k=Q

故選：B.

4.(24-25高三?山西呂梁?階段練習)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且八｝=0,7(0)片。.若對任意實數(shù)

x,>都有/(x)+/(>)=2/(十)/(字)，則/(2026)=()

A.72B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】利用賦值可得到遞推關系=再證明周期性，即可求解.

【詳解】將)用尤-1替換，由對任意實數(shù)x,y者B有〃力+/(回=2(晝［(平］

可得/1)=271翼Tf(1+2/1用/出,

由］￡|=0,所以〃x)+/(x-l)=0,EPf(x)=-f(x-l),

所以〃x+l)=-〃x)=〃x—l),所以函數(shù)的周期7=2,

令x=y=0,則/(O)+/(O)=2/(O)x/(O),因為〃0)A0,

所以〃0)=1,所以“2026)=f(1013X2+0)"(0)=1.

故選：D

題型4抽象模型：直線型

0

線性抽象函數(shù)，過原點型：

〃x+y)=/(x)+〃y)―過原點直線型f(x)=kx

有以下性質：

l.f(0)=0

2.奇函數(shù):y=-x,則/'(x-x)=/(x)+/(-x)=0

3.可能具有單調性(結合其他條件)

1.(23-24高三上?北京階段練習)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+y)=/(x)+〃y),且當x<0

時，〃x)>0.給出以下四個結論：

①/⑼=0；

②“X)可能是偶函數(shù)；

③“X)在[加,上一定存在最大值/⑻；

④〃彳-1)>0的解集為卜歸<1}.

其中正確的結論為()

A.?(2)BJTXWC.&§)_D.②④

【答案】c

【分析】令x=0,即可判斷①；令丫=-匕結合奇偶性得定義即可判斷②；設x<y,結合當x<o時，

〃尤)>0,判斷出函數(shù)的單調性，即可判斷③3).

【詳解】對于①，令尤=0,則/⑼="0)+/'⑼，所以"0)=0,故①正確；

對于②，令k一彳，則/(0)=〃X)+〃T)=0,

所以=所以為奇函數(shù)，

又當x<0時，/(%)>0,所以/(x)不是常函數(shù)，不可能是偶函數(shù)，故②錯誤；

對于③，設x<y,則x-y<0,

則/(x-y)=/(x)+/(-y)=/(x)—〃y)>o,

所以所以“X)是減函數(shù)，

所以“X)在網(wǎng)用上一定存在最大值〃機)，故③錯誤；

對于④，因為“X)為減函數(shù)，/(o)=o,

由y(x-i)>o=/(o),得x-i<0,解得尤<1,

所以/(X—1)>。的解集為故④正確.

故選：C.

2.(23-24高三?四川成都階段練習)若占”氏/5+m=/(力+/3),〃1)=1且函數(shù)丫=〃*)在尺上單調，

則/⑺K2的解集為()

A.[-2,2]B.[-2,0)C.[-1,1]D.[0,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)條件先分析出y(x)的奇偶性和單調性，然后根據(jù)條件將2轉化為/'(a)(。為實數(shù))，再根

據(jù)單調性和奇偶性解不等式求出解集.

【詳解】令x=y=0,所以〃0)=/(0)+。(0)=2〃0),所以〃0)=0,

令y=T,所以〃x+(r))=/(x)+/(T)=/(O)=O,

所以=-f(X)且“X)的定義域為R關于原點對稱，

所以/(X)是奇函數(shù)；

又因為/(1)=1>0=〃0)且“X)在R上單調，所以“X)在R上單調遞增；

又因為〃2)=〃1+1)=〃1)+〃1)=2,所以寸⑵=/(_2)=—2,

所以不等式|〃刈工2等價于/(-2)</(%)</(2),

又因為““在R上單調遞增，所以尤e［-2,2］,

故選：A.

【點睛】本題考查抽象函數(shù)的綜合應用，其中涉及到抽象函數(shù)的單調性和奇偶性判斷、根據(jù)單調性解不等

式，對學生的分析與轉化問題的能力要求較高，難度較難.

3.(22-23高三?重慶沙坪壩階段練習)已知連續(xù)函數(shù)/(%)對任意實數(shù)x恒有/(x+y)=/(x)+/(y),當

尤>0時,/(x)<0,/(1)=-2，則以下說法中正確的是()

①"0)=0

②/(x)是R上的奇函數(shù)

③/(x)在［-3,3］上的最大值是6

④不等式f(3x2)-2f(x)<f(3x)+4的解集為I,<x<11

A.?(3)B.(312)C.?(2)③D.?2)m)

【答案】C

【分析】因為函數(shù)對任意實數(shù)x恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當％>0時,/(尤)<0,/(1)=-2，先證明其奇

偶性和單調性，在逐項判斷，即可求得答案..

【詳解】奇偶性證明：f(x+y)=/(x)+f(y)令x=y=0;./(0)=0令》=一y/(0)=/(x)+/(-x)=0

即，(-x)=-f(無)又xeR故f(x)是定義域為R的奇函數(shù)單調性證明：

任取芯€(-00,+00)且為<%,則％-&>°；/'0+)0=/(尤)+/'0)令》=%，，=-%

-石)

X>0時々一為>0時,/(%2-%)<0，f(X2)+/(-^)<0

又f(X)為奇函數(shù)，/(^)-/(^)<0.-.f(x)在(-8,+8)上是減函數(shù)；

對于①因為/(。)=。,故①正確；

對于②，因為是定義域為R的奇函數(shù)，故②正確；

對于③，/⑴=-2，可得/(-I)=2令y=1,可得/(尤+1)=f(x)-2/(2)=-41⑶=-6J⑶=一/(一3)=6,

/(x)在(-8,+功上是減函數(shù)二/(x)在［-3,3］上的最大值是6,故③正確；

2

對于④二不等式f(3尤2)-2/(尤)<f(3x)+4-.f(3元2)</(x)+/(x)+/(3尤)+4即/(3x)<f(2x+3x)+4

4=/(-2)/(3f)</(2》+3幻+/(-2)貝1］/(3f)<〃5%-2)-在(一"+功上是減函數(shù)

???3E>5x-2,解得:x<§或無>1,故④錯誤.故選:C.

【點睛】本題考查了判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調性,解函數(shù)不等式，解題關鍵是掌握判斷奇偶性和單調性

的方法，靈活使用賦值法，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.

4.(22-23高三?云南玉溪,階段練習)設定義在R上的函數(shù)/(x)對任意實數(shù)無，y滿足

/(x)+/(y)=/(x+y),且"2)=4,則/(0)+/(—2)的值為()

A.-2B.-4C.0D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題設條件令無=y=0,求出/(0)=0,再令x=2,y=-2,得出〃-2)=7,即可得出

〃0)+〃-2)的值

【詳解】由題意令元=y=0,則有〃0)+〃0)=〃。)，故得〃0)=0

令尤=2,y=-2,則有，(一2)+/(2)=/(0)=。

又/'(2)=4/(-2)=-4〃0)+〃—2)=T

故選:B

【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎題.

題型5抽象模型：上下平移型

0

線性抽象函數(shù)上下平移型，不過原點直線型型：

f(x+y)=/(x)+/(y)+b(b帶正負，即是+b或者-b)

—/(x)=kx-b

!證明如下：

/(x+y)+b=〃x)+b+〃y)+b

―“同構"：h(x)=/(x)+b

—h(x+y)=h(x)+h(y)------h(x)是過原點的直線

i

i

i

i

(24-25高三?江蘇南京階段練習)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y滿足

/(x+y)=/(x)+/(y)+g且=當時，/5)>0.給出以下結論：①/(0)=-g；②

/(-1)=-1Q；③/(X)為R上減函數(shù)；④/(%)+］1為奇函數(shù)；其中正確結論的序號是()

A.?(2M)B.(1>C.?(2)D.@(2)Og)

【答案】A

【分析】利用抽象函數(shù)的關系式，令x=y=o判斷①的正誤；令x=；1,丫=-］1判斷②的正誤；令

x>O,y=；,可得當尤>0時，7(x)>-1,再令x=±-％廣=々，結合單調性的定義判斷③的正誤；令

y=-x判斷④)的正誤;

【詳解】因為〃x+y)=〃x)+〃y)+，故令龍=y=o,可得/(o+o)=〃o)+〃o)+g,

即〃0)=2〃0)+g解得〃0)=一3,故①正確；

令A；,y=4,可得嗎-2嗎卜(又〃。)=-O。，

即--卜］解得《Sr再令『T，可得+(川

1Q

即/(-1)=-1+(-1)+萬=-5,故②正確；

令x>0,y=g,可得/1+j=〃x)+dj+g=〃x)+；,即〃力=/1+J一；

可得/［x+：］>0,所以/("=/］》+!)-!>一；,

因為x>0,貝+

22

令X=X1-%，y=X2,不妨設外>々，可得/(%)=/(西一彳2)+/(%)+3，即

/(^)-f(%2)=f(X]-X2)+1,

因為玉>%,則芯-%>°,則可得/(玉)-/(尤2)=/(%-尤2)+(>°,即

〃芭)>八%)，

所以“X)為R上增函數(shù)，故③錯誤；

令尸一4可得〃xr)=〃x)+〃T)+；,即〃O)=/(x)+〃-x)+；=-：,整理得

/W+|+=0,

所以/(x)+g為奇函數(shù)，故④正確；

故選：A.

2.(24-25高一上河南駐馬店?期末)已知函數(shù)〃尤)對于任意x、yeR,總有

f(x)+f(y)=/(x+y)+2,且當x>0時，/(%)>2,若/(2)=6,則不等式〃x)+/(2x-2)>6的解集

為()

A.(4,+co)B.(3,+co)C.(2,+oo)D.(1,+<?)

【答案】D

【分析】設g(x)=f(x)—2,分析出函數(shù)g(x)是柯西函數(shù)方程,所以〃x)=cx+2,代入"2)=6求出

c=2,根據(jù)/(力+〃2%—2)>6代入計算即可.

【詳解】令x=y=0,可得〃0)+〃0)=〃0+0)+2,可得〃0)=2,

令g(x)=/(x)-2,則/(x)=g(x)+2,對任意的X、yeR,

總有〃x)+/(y)=〃x+y)+2,則g(x)+g(y)=g(x+y),這是柯西函數(shù)方程.

由于當x>0時，/(x)>2,可得對于x>0時，g(x)>0,表明g(x)是一個線性函數(shù)，

形式為g(尤)=CX,(c>o),因此/(x)=cx+2.

因為/⑵=6,所以將x=2代入“x)=cx+2,得至I"⑵=2c+2=6,即c=2,

因此函數(shù)f(x)=2x+2,又因為〃x)+〃2x—2)>6,

所以(2x+2)+[2(2x-2)+2]>6,即x>l,

因此，不等式/(x)+/(2x-2)>6的解集為(1,+8).

故選：D.

3.(2024高三下?全國?專題練習)若對Vx,yeR,有/(尤+>)=/(尤)+/(，)-4,則函數(shù)

2丫—

g(X)=——+/(尤)在[-2021,2021]上的最大值和最小值的和為()

x-+l

A.4B.8C.6D.12

【答案】B

【分析】利用賦值法可得八0)=4以及/(x)+f(-x)=8,即可構造函數(shù)/z(x)=/(x)-4,判斷奇偶性，即可

根據(jù)奇偶性的性質可得>=虱x)+h(x)為奇函數(shù)以及最值.

【詳解】Vx,yeR.有/(尤+y)=/(元)+/(y)-4,

取尤=y=0,則7(0)=/(0)+/(0)-4,故/(0)=4

取〉=一4貝IJ/(0)=/(x)+/(-x)-4,故/(尤)+/(-尤)=8,

令"(x)=/(x)-4,貝1]//(尤)+/?(-%)=0,故〃0)為奇函數(shù)，

設。(尤)=門

0(-%)=--故。(%)為奇函數(shù)，故y=0(%)+人(%)為奇函數(shù)，

X+1

故［以助+/2(切1mx+［以X)+/切同=0,

則g(x)=9(x)+h(x)+4,

故g(X)?x+g(x)1nin=W(X)+版X)］1mx+4+［以助+力(切而11+4=8

故函數(shù)g(x)在［—2021,2021］上的最大值和最小值的和是8,

故選：B.

4.(2024.陜西西安.模擬預測)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y都有

/(x+y)=/(x)+/(y)-l,當x>0時，/(x)>l,且/(2)=5,則關于尤的不等式，(元)+/(4-3元)<6的解

集為()

A.(1,+co)B.(2,+co)C.D.(70,2)

［答案］A

【分析】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調遞增，繼而轉化不等式，求解即可.

【詳解】任取X］〈尤2,從而八>2)-/(占)=/(尤2-&+占)-/(%)=/(々-占)-1,

因為馬-玉>。，所以/(尤2-再)>1,所以/(々)-”不)>。，則“可在R上單調遞增.

不等式/?+/(4-3%)<6等價于不等式/(x)+/(4-3x)-l<5,

即/(彳+4-3尤)</(2).因為〃尤)在R上單調遞增，

所以4一2彳<2,解得x>l.故選：A.

題型6抽象模型：一元二次型

s

一元二次函數(shù)型模型:

模型特征：線性抽象+xy型

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

則/*(%)-ax2+bx+c.

/(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)+c=ax2+bx+ay2+by+c+2axy

=ax2+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=f(x)+/(》)+2axy-c

此模型，b的值無法推導，多依賴其他條件來待定系數(shù)確認。

i

1.(24-25高三上?山東荷澤?模擬)已知函藪八彳)而定義薪9R,且滿足

〃x)+/(y)=/(x+y)—2孫+2,f(l)=2,則〃4)=()

A.4B.8C.14D.16

【答案】C

【分析】依題意利用賦值法代入計算即可得出結果.

【詳解】根據(jù)題意令x=y=l,則/⑴+/(l)=/(2)-2xlxl+2=4,可得*2)=4,

再令一=2,則令(2)+/(2)=/(4)—2x2x2+2=8,可得/(4)=14.

故選：c

2.(2024?福建泉州?模擬預測)已知函數(shù)“X)滿足/(x+y)=)(x)+〃y)+2孫,若〃1)=1,則〃25)=

()

A.25B.125C.625D.15625

【答案】C

【分析】利用賦值法結合條件可得/(〃)=/進而即得；或構造函數(shù)/(%)=/求解.

【詳解】解法一：由題意Wx=〃(〃eN),y=l,可得/'S+l)="〃)+/?⑴+2〃

=/(n-l)+2/(l)+2(n-l)+2n

=/(n-2)+3/(l)+2(n-2)+2(n-l)+2n=(n+l)/(l)+2(l+2++n)=(n+l)/(l)+n(n+l)

即知/(")=4⑴+=〃+=貝(]*25)=625.

解法二：令g(x)=/(x)—x2,貝|Jg(x+y)=/(x+y)-(x+y)2

=f(x)+f(y)+2xy-(x+yf=/(A：)+/(y)-x2-y2=g(x)+g(y),

所以g(")=g("-l)+g6==，叱1)="(”1)-仔)=0,

即g(〃)=/(〃)-〃2=0,所以/(")=?,貝4/(25)=625.

解法三：由/(x+y)=〃x)+/(y)+2孫可構造滿足條件的函數(shù)/(x)=V

可以快速得到“25)=625.故選：C.

3.(23-24高三上?貴州遵義?階段練習)已知函數(shù)〃x)滿足“x+y)=〃x)+〃y)+2A：y-l,貝1J

44)-4〃1)=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【分析】分別令尤=疔1,尤=l,y=2,x=l,y=3得出/(4)與/⑴的關系后可得結論.

【詳解】令x=y=l,得洋2)=2〃1)+1；

令x=l,y=2,得〃3)=〃1)+〃2)+3；

令x=l,y=3得f(4)="l)+〃3)+5.

將以上三式相加得〃4)=”⑴+9,即〃4)一4/⑴=9.

故選：A.

4.(2023?全國?三模)已知對于每一對正實數(shù)x,八函數(shù)滿足：〃x)+〃y)=/(x+y)-個-1,

若"1)=1,則滿足“〃)=〃(〃€必)的〃的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】利用遞推式判斷f(x)在xeN*上的符號及單調性，并得到了(馬+1)=〃%)+赴+2,即可判斷〃

的個數(shù)

【詳解】令x+l=%>x=X2>0且均屬于N*,則/(&)+/⑴=/(%)—々T，又/⑴=1，

所以〃西)一〃%)=%+2,

所以當

/(〃)=/(〃-1)+〃+1=/(〃-2)+〃-2+〃+1=/(九一3)+〃-3+〃-2+〃+1

一??=f(1)+3+4H-----Fn+1>n,

所以，滿足/⑺=i(〃wN+)僅有』(1)=1,即幾僅有1個.

故選：A

題型7抽象模型：一元三次型

一元三次模型

〃x+y)=〃x)+〃y)+3a^(x+y),

則f(x)=ax3+bx,(其中b可以借助其他條件待定系數(shù))

1.(21-22高三上?黑龍江牡丹江?模擬)已知函數(shù)對任意的實數(shù)不y都有

/(x+y)=/(x)+/(>)+2y(x+y)-3,且/⑴=1,若當無22,且xe%時，不等式

f(x)N(a+2)x—(a+10)恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.a<5B.a<5C.a>5D.a>5

【答案】A

【分析】令y=l可得/(x+l)=/(x)+2x,利用累加法可求xN2,xeN*時〃x)的解析式，利用參變分離

及基本不等式可求實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】令>=1可得/(x+l)=/(x)+/(l)+2xlx(x+l)—3,

化簡可得/(x+l)=/(x)+2x,故

/(2)=/(l)+2xl,

〃3)=〃2)+2x2

/(尤)=/(x-l)+2x(x-l),

累加可得〃X)=〃1)+2X[1+2+3++(%-l)]=x(x-l)+l,x>2,

不等式/(x)>(a+2)x-(a+10)等價于x2-3x+l1>a(x-l),

因為》22,xeN*,故在［2,y),xe”上恒成立,

x~\

XX--3A+11=X-1+—--I>2x3-1=5,當且僅當X=4時等號成立，

X—1x—1

所以a?5,故選A.

【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求法以及含參數(shù)的不等式恒成立問題，屬于中檔題，注意利用參變分離可

把恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題.

2.(2024青海二模)已知定義在R上的函數(shù)/(",其導數(shù)為尸(為，且滿足

〃x+y)=/(x)+/(y)+肛(x+y),/(i)=-j,/”)=o,給出下列四個結論：①/⑴為奇函數(shù)；②

/。0)=99；③"3)=3：④“X)在(0,1)上單調遞減.其中所有正確結論的序號為()

A.?(2)B.0a)c.(2XW)D.

【答案】D

【分析】令x=y=o求出〃0).令y=f可判斷①；令y=i,得/(X+I)=〃X)+X(X+I)-(,再求出

/(2)、/(3)可判斷③；利用累加法求出尸0)可判斷②；利用導數(shù)可判斷④).

【詳解】對于①，令