專題03抽象函數(shù)大全培優(yōu)歸類

》稱壓軸?茲高度六.

抽象函數(shù)基礎(chǔ)：單調(diào)性抽象模型：一元三次型

抽象函數(shù)基礎(chǔ)：奇偶性型抽象模型：正切函數(shù)型

抽象函數(shù)基礎(chǔ)：周期型抽象模型：余弦與雙曲余弦型

抽象函數(shù)大全培優(yōu)歸類

抽象模型：直線型抽象模型：正弦與雙曲正弦型

抽象模型：上下平移型:抽象模型：對數(shù)反比例型

抽象模型：一元二次型抽象模型：反比例型

題型1抽象函數(shù)基礎(chǔ)：單調(diào)性型證明

解答抽象函數(shù)問題，用賦值法進行解答就是一種行之有效的方法.

賦值主要從以下方面考慮：

i①令X=-等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；

I

!1

:②令X=X"=%或＞=—,且為＜%,判定抽象函數(shù)的單調(diào)性；

尤1

，③令》=一%,判定抽象函數(shù)的奇偶性；

\@換X為X+T,確定抽象函數(shù)的周期；

:⑤用x=：+：或換X為，等來解答有關(guān)抽象函數(shù)的其它一些問題.

22x

1.（24-25云南昭通?模擬）已知函數(shù)〃刈的定義域為R,且了⑼20,若““?〃丹-/（孫）=龍++

則（）

A.=B.1）=1C.“X）為增函數(shù)D.〃尤）為奇函數(shù)

2.（24-25高三?河北保定?階段練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)/（尤）滿足/（x+y）=/（尤）+/（y）+3,

f（l）=0,且x＞0時，f（x）＞-3,則下列說法正確的（）

A.42)=2B.B(x)為減函數(shù)

C.為奇函數(shù)D.不等式_/(x)>0的解集為(1,+e)

3.(24-25高三安徽蚌埠,開學(xué)考試)已知函數(shù)的定義域為(0,+s),對Vx、ye(0,+<x)),滿足

/(xy)=/(x)+f(y),當(dāng)x>l時，f(x)<0,且〃2)=-3,則不等式/(x-7)->一9的解集為

()

A.(-1,8)B.(7,8)

C.(8,+cc)D.(0,7)J(8,+co)

4.(24-25高三,湖北武漢?模擬)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,對任意的者R有

/(?+^)=/(a)/(^),當(dāng)尤<0時，/(%)>1,且〃0)/0,若/(一2)=4,則不等式/(5/—12x)>16的解

集是()

I6-2近一

A.x\x<------或%>

2

C.{x\x<—^x>2]

題型2抽象函數(shù)基礎(chǔ)：奇偶性型

抽象函數(shù)奇偶性證明，嚴(yán)格遵守奇偶性定義，構(gòu)造f(X)與f(-X)的關(guān)系。

1.(2025?甘肅甘南模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)滿足：對于任意的x,yeR,都有

2025

/(x-y)=〃x)/(i-y)-〃i+x)/(y)成立，且")=1,則￡/.(r)=()

Z=1

A.2025B.2024C.1013D.1012

2.(2025.甘肅定西模擬預(yù)測)若定義在Z上的函數(shù)滿足對任意尤,yeZ均有

/(x+y)=/(x)〃2—y)+〃2—x)/(y),則稱為“S-2函數(shù)”.已知為“S-2函數(shù)”，且

/(2)=1,/(-1)<0,則〃0)+〃47)=()

A.--B.0C.也D.1

22

3.(2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)函數(shù)“X)的定義域為R,且對任意的實數(shù)x,都有

〃x)=〃x-2)—〃4—x),且〃0)=2,則下列說法錯誤的是()

A.〃x)為偶函數(shù)B.〃x)為周期函數(shù)且周期為12

25

C.〃4)=TD.￡/(20=2

i=\

4.(2025.山東.二模)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x-y)-/(x+y)=〃x-l)〃y),且

/(-1)=-2,貝廳(2025)=

A.-2B.0C.1D.2

題型3抽象函數(shù)基礎(chǔ)：周期型

....................................................................................................

；在賦值判斷基礎(chǔ)上，可以借助類比“正余弦函數(shù)周期”方式來判斷抽象函數(shù)的周期。

1.(2025,河北保定,一模)已知函數(shù)"X)的定義域為RJ(x)/(y)="(字)『一"(字)匕,⑴=1,且

23

〃3x+2)為偶函數(shù)，則￡/(左)=()

左二1

A.-1B.0C.1D.2

2.(24-25高三上?河北衡水,階段練習(xí))定義在(0,+“)上的函數(shù)〃尤)滿足%，^《。，心)且為3玉，有

[/(^)-/(%2)](^-%2)>0,且〃q)=/a)+〃y),/(4)=|,則不等式〃2x)—〃彳-3)>1的解集為

()

A.(0,4)B.(0,+e)C.(3,4)D.(2,3)

3.(24-25高二下?安徽宿州?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,7(x+1)為奇函數(shù)，且

2025

/(^+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),/(0)=1,則￡/(幻=()

k=0

A.-2B.1C.0D.-1

4.(24-25高三,山西呂梁?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且-0=0,/①)*0.若對任意實數(shù)

了，，都有/(x)+/(')=2天亨)/(掌)，則/(2026)=()

A.72B,-1C.0D.1

題型4抽象模型：直線型

]"i"了.......................................

線性抽象函數(shù)，過原點型：

f(x+y)=f(x)+f(y)—過原點直線型f(x)=kx

有以下性質(zhì)：

l.f(0)=0

2.奇函數(shù)：y=-x,貝2(x-x"〃x)+〃一x)=0

3.可能具有單調(diào)性(結(jié)合其他條件)

1.(23-24高三上?北京?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)“力滿足〃x+y)=/(x)+〃y),且當(dāng)尤<0

時，〃x)>0.給出以下四個結(jié)論：

①/(。)=0；

②“X)可能是偶函數(shù)；

③“X)在上一定存在最大值/⑺；

④的解集為{小<1}.

其中正確的結(jié)論為()

A.?(2)B.(DOc.?@D.(2)@

2.(23-24高三?四川成都?階段練習(xí))若%yeR"(x+y)=/(力+〃y),〃i)=i且函數(shù)y=〃x)在尺上單調(diào)，

則[〃x)歸2的解集為()

A.[-2,2]B,[-2,0)C.[-1,1]D.[0,2]

3.(22-23高三?重慶沙坪壩階段練習(xí))已知連續(xù)函數(shù)/(?對任意實數(shù)x恒有/(x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)

x>0時,/(x)<0J⑴=-2,則以下說法中正確的是()

①”0)=。

②/Q)是R上的奇函數(shù)

③/(x)在[-3,3]上的最大值是6

④不等式f(31)-2f(x)</(3%)+4的解集為“|g<x<1}

A.B.C,?(20D.?<2XW@

4.(22-23高三?云南玉溪,階段練習(xí))設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)對任意實數(shù)x,y滿足

/(x)+/(y)=/(x+y),且"2)=4,則f(O)+/(—2)的值為()

A.-2B.-4C.0D.4

題型5抽象模型：上下平移型

線性抽象函數(shù)上下平移型，不過原點直線型型：

f(x+y)=/(x)+/(y)+b(b帶正負，即是+b或者-b)

一"x)=kx-b

!證明如下：

/(x+y)+b=/(x)+b+/(y)+b

同構(gòu)"：h(x)=/(x)+b

ch(x+y)=h(x)+h(y)------h(x)是過原點的直線

1.(24-25高三?江蘇南京階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y滿足

&+y)=/(無)+/(y)+g當(dāng)x>g時，/(%)>0.給出以下結(jié)論：①/(0)=-1，?②

/(-D=-ja；③f(x)為R上減函數(shù)；④+)1為奇函數(shù)；其中正確結(jié)論的序號是()

A.?O?B.C.?(2)D.?(2XM)

2.(24-25高一上?河南駐馬店,期末)已知函數(shù)對于任意x、yeR,總有

f(x)+f(y)=f(x+y)+2,且當(dāng)x>0時,f(x)>2,若〃2)=6,則不等式〃x)+/(2x—2)>6的解集

為()

A.(4,+co)B.(3,+co)C.(2,-K?)D.(l,+<?)

3.(2024高三下?全國,專題練習(xí))若對\/尤，yeR,有/(x+y)=f(x)+/(y)-4,則函數(shù)

2丫——

gQ)=k二+“X)在［-2021,2021］上的最大值和最小值的和為()

x-+l

A.4B.8C.6D.12

4.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)x,y都有

fa+y)=f(^+f(y)-i,當(dāng)x>o時，f(x)>i,且/(2)=5,則關(guān)于x的不等式/(x)+f(4-3x)<6的解

集為()

A.(l,+oo)B.(2,+co)C.

題型6抽象模型：一元二次型

一元二次的數(shù)型模型：

模型特征：線性抽象+xy型

/(%+y)=/(x)+/(y)+2a^-c

貝曠(x)=+bx+c.

/(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)+c=ax2+bx+ay2+by+c+2axy

=ax2+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=f(%)+/(》)+2axy-c

此模型，b的值無法推導(dǎo)，多依賴其他條件來待定系數(shù)確認。

丁一蒼工屋著三工山東荷澤模擬)已知函藪元；而覆又域為區(qū)，且滿足

/(x)+/(y)=〃x+y)—2孫+2,"1)=2,則/(4)=()

A.4B.8C.14D.16

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X)滿足〃x+y)=〃x)+〃y)+2^,若"1)=1,則〃25)=

()

A.25B.125C.625D.15625

3.(23-24高三上?貴州遵義,階段練習(xí))已知函數(shù)“X)滿足〃x+y)=〃x)+F(y)+2d-1,貝

“4)-4〃1)=()

A.9B.10C.11D.12

4.(2023?全國三模)已知對于每一對正實數(shù)x,八函數(shù)〃無)滿足：〃x)+〃y)=〃x+y)-?-l,

若〃1)=1,則滿足/(〃)=〃(〃?N+)的〃的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型7抽象模型：一元三次型

]二逅

i

一元三次曲數(shù)型

f(x+y)=f(x)+f(y)+3axy(x+y),

\則f(x)=ax3+bx,(其中b可以借助其他條件待定系數(shù))

1.(21-22高三上?黑龍江牡丹江,模擬)已知函數(shù)〃x)對任意的實數(shù)不y都有

/(x+y)=/(x)+/(y)+2y(x+y)-3,且=若當(dāng)尤22,且xeN*時，不等式

f(x)N(a+2)x—(a+10)恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.a<5B.a<5C.a>5D.a>5

2.(2024?青海二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)數(shù)為尸(乃，且滿足

/(%+>)=仆)+/3+孫(x+y),/(i)=-1,尸⑴=0,給出下列四個結(jié)論：①為奇函數(shù)；②

尸(10)=99；③〃3)=3:④“X)在(0,1)上單調(diào)遞戒.其中所有正確結(jié)論的序號為()

A.B.c.(2WD.?(2)@

3.(多選)(24-25高三上?陜西安康?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)r(尤)的定義域均為R,且

/(x+y)=/(x)+/(y)+xy2+x2y,當(dāng)x>0時,3f(x)>x\且"3)=12,八3)=10,則下列說法正確的是

4

A./(x)為偶函數(shù)B./(-D=--

2024

C./(x)在R上單調(diào)遞增D.E1(sin-i)=3036

i=l2

4.(多選)(23-24高三下?河南?階段練習(xí))已知非常數(shù)函數(shù)的定義域為R,且

〃x)/(y)=/(孫)+孫(x+y),則()

A./(o)=oB./(1)=-2或"1)=1

「/(x)日

口?7ER且％片0｝上的增函數(shù)D./(X)是R上的增函數(shù)

X

題型8抽象模型：正切函數(shù)型

分需正切函數(shù)兩角和公式型

/(x+y)J(x)+/(y)?f(a.J(a)+/V)

i-fMf(y)

所以復(fù)合f(x)=tan(kx)?(k根據(jù)其余條件待定系數(shù))

1.(多選)(20-21高三上?廣東汕頭?階段練習(xí))下列指定的函數(shù)/'(尤)中，一定有"0)=0的有()

A.指定的函數(shù)是奇函數(shù)；

B.指定的函數(shù)〃尤)滿足：Wx,yeR,都有/(x-y)=一個產(chǎn)；

C.指定的函數(shù)“X)滿足：V龍,都有/(x+y)=/(x)/(足且當(dāng)x>o時,/(%)>1；

D.設(shè)』(x)=lg(Jf+l+q,指定的函數(shù)“X)滿足：€尺都有/(x)=/z(x+y)+/2(x—y).

2.(多選)(22-23高三上?福建寧德?期末)已知函數(shù)f(x)滿足〃0)有定義，〃1)=1,當(dāng)xe(0,l］時,

/⑺>0,且當(dāng)/(%),+y)都有意義時,/(x+y)=,則以下說法正確的是()

1-fMf(y)

A.f(x)是奇函數(shù)B./(無)是周期函數(shù)

C.Cx)在(0,2)上是增函數(shù)D.fM的圖象關(guān)于直線x=2對稱

3.(多選)(2023,全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為｛x|xw4%+2#eZ｝,且

八力吊猾‘/⑴=】'則()

A./(0)=0

B.〃元)為偶函數(shù)

C.為周期函數(shù)，且4為〃元)的周期

D./(2023)=-1

4.(2007?山東?高考真題)給出下列三個等式：f(xy)=f(x)+f(y),4(x+y)=/W(y),

三察?下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是()

X

A.f(x)=3B./(x)=sinxC./(x)=log2xD./(x)=tanx

題型9抽象模型：余弦與雙曲余弦型

余弦與雙曲余弦模型

〃尤+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),或者/(x)+/(j)=2/("(寧)

⑴模型一：/(x)=coskx

特征：函數(shù)值有上下確界

5證明：/(x+j)+/(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y)

■=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy

:=2/(x)/(j)

i(2)、模型二：雙曲余弦函數(shù)f(x)=cosh(x)=￡±^1

2

1________

I一、，/、ex+e'x2Vex.ex,

特征：f(x)=cosh(x)=---->--------=1

?22

1

1

1.定義費為R的函數(shù)〃x),對任意x,yeR,f(x+/+/1—yj=2'7mj,且［x)不恒三0,疝下列

說法錯誤的是()

A.f(O)=lB.〃x)為偶函數(shù)

2024

c./(x)+/(o)>oD.若/⑴=。，則￡加)=4048

z=l

2.已知定義在R上的函數(shù)滿足"(x+y)〃x—y)=〃x)+/(y),且/⑼#0,則()

A./(O)=2B.y=/(x)為奇函數(shù)C.y=〃x)有零點D./(2x)=/(x)

3.函數(shù)的定義域為R,且/(￡|=0,〃0)/0.若對任意實數(shù)工，y都有

/(x)+/(y)=2/^p^y則“2020)=()

A.5/2B.-1

C.0D.1

4.設(shè)函數(shù)“X)的定義域為/?,且，5=0,/(0)^0,若對于任意實數(shù)X卜恒有

/(x)+f(y)=2/1三口.(寧).則下列說法中不正確的是

A./(O)=lB.〃x)=/(-x)

C.，(x+2%)=/(x)D.f(2x)=2f(x)-l

*題型10抽象模型：正弦與雙曲正弦型

正弦與雙曲正弦型：

滿足形如/?"+m〃》-了)=/(切一/(舊型函數(shù)，可以用正弦函數(shù)，或者雙曲正弦函數(shù)來替換：

模型一：正弦函數(shù)f(x)=k.sin(@x)

=sinx----f(x+y)/(x-y)=sin(x+y).sin(x-y)=(sinx.cosy+conx.siny)(sinx.cosy-conx.siny)

sin2x?cos2y-con2x.sin2y=sin2x.(1-sin2y)-(1-sin2x)?sin2y=sin2x-sin2y=f2(x)-/2(y)

模型二：，正弦雙曲函數(shù)f(x)=

1.(2024?廣西南寧?一模)已知函數(shù)的定義域為R"(x+y)/(x—y)=r(x)—r(y),且當(dāng)x>2

時，fW>0,則()

A.〃O)=1B.〃x)是偶函數(shù)C.是增函數(shù)D.“X)是周期函數(shù)

2.(24-25高三上?山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)的定義域為R,/(x+y)/(x-y)=/2(x)-/2(y),

且當(dāng)x>0時，/(尤)>0,則下列正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)B.7(x)是周期函數(shù)

C.當(dāng)一1<》<0時，/(2-%)</(%+2)D.當(dāng)0<x<l時，/(X2+1)>/(2X)

3.(23-24高二下?浙江溫州?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且滿足

/2(x)-/2(y)=/(x+y)/(x-y),/(l)=l,/(3)=-l,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(2)=0B./(4)=2

C.“X)是奇函數(shù)D./(x+4)=/(x)

4.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)的定義域為RJ(x+y)〃x-y)=/2(x)_/2(y),且當(dāng)

尤>0時，/(%)>0,則下列正確的是()

A.〃x)是偶函數(shù)

B./(尤)是周期函數(shù)

C.當(dāng)一!<x<0時，f(2-x)</(x+2)

D.當(dāng)0(尤<1時,/(X2+1)>/(2X)

題型11抽象模型：對數(shù)反比例型

對數(shù)反比例型：

滿足形如f(x)+f(y)=f(2/)函數(shù)，可以用對數(shù)反比例函數(shù)來替換:

"1+xy

f(x)=In-——o

1+x

此函數(shù)極容易證明是奇函數(shù)，所以這個函數(shù)還有變形函數(shù)形式：

f(x)-f(y)=f

1-xy

1.(22-23高三上?山東?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)的定義域為對任意的尤，ye(-1,1),都有

〃尤)+/")=(常］且當(dāng)xe(TO)時，〃力>。恒成立巖心(-封)則不等式

27(tana)>f(tan2a)的解集是()

2.（22-23高三?浙江模擬）定義在（—1,1）的函數(shù)/⑺一〃）0=/［三\］,當(dāng)xe（T,0）時〃x）<0,若

尸=e=/Q］,7?=/（0）,則只Q,/?的大小為（）

A.R>P>QB.R>Q>PC.P>Q>RD.Q>P>R

3.(多選)(2023?浙江?模擬預(yù)測)若定義在(-U)上的函數(shù)〃x)滿足了(尤)+〃￡="常］,且當(dāng)

x>0時，f(x)<0,則下列結(jié)論正確的是().

A.若招,x26(-U),->|小,則/(%)+/(巧)>。

c.若