一、單選題

1.設(shè)等差數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為若%=7,$9=90,則出=（）

A.20B.18C.16D.15

弘AInx

2.已知函數(shù),，曲線N=/（x）在點(diǎn)（IJ。））處的切線與直線2尤一'=°平行，則實(shí)數(shù)。的值為

（）

A.2B.4C.2D.1

3.下列說法不正確的是（）

A.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,且回歸方程為y=03x-機(jī)，若樣本點(diǎn)的中心為（-4,加），則實(shí)

數(shù)比的值是-66

B.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（l，〃），且尸（X42）=0.7,則尸（1<XV2）=O.2

C.若線性相關(guān)系數(shù)”越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高

D.一組數(shù)據(jù)10,10,11,12,12,14,16,19,21,21的第80百分位數(shù)為19

4.已知“Be是邊長為1的正三角形，￡為2c中點(diǎn)，且麗=2友，則荏.而=（）

3333

A.2B.2C.4D.4

5.牛頓冷卻定律，即溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.如果物體的

T-T=

c,其中是環(huán)境溫度，〃為常

初始溫度為4,則經(jīng)過一定時(shí)間t分鐘后的溫度T滿足4

數(shù).現(xiàn)有一個(gè)105T的物體，放在室溫15冤的環(huán)境中，該物體溫度降至75T大約用時(shí)1分鐘，那么再經(jīng)過

加分鐘后，該物體的溫度降至30。&則僅的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：植2"0.3010,lg3"0.4771）

A.2.9B.3.4C.3.9D.4.4

6.在三棱錐「一NBC中，△NBC和△P3C均是邊長為2g的等邊三角形，若「則三棱錐

產(chǎn)一/BC的體積為（）

A.2gB,4C.26D.2&

~?—=l（a〉0,6〉0）「口

7.已知雙曲線C。b2,的左、右焦點(diǎn)分別為片，3，直線/經(jīng)過且與。交于4,B

兩點(diǎn)，若'，斗伍=。,則C的離心率為（）

Vio_

A.2B.^5C.&D.^2

8.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，若

第一次由甲傳出，則經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（）

31112123

A.%B.32C.64D.64

二、多選題

9,已知0>0,6>0,且0+6=4,貝|］（）

A.28B.20+2*>8

149

—+—>—

Clog2a+log2b>2D.ab4

10.口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，對(duì)其編號(hào)紅球1,2,白球3,4,從中不放回的依次取

出兩個(gè)球，事件/="第一次取出的是紅球“，事件2="第二次取出的是紅球“，事件C="取出的兩球同色”,

事件。="取出的兩球不同色”，則（）

A.A與3互斥B.C與?；閷?duì)立事件

尸。忸）=；

C.A與C相互獨(dú)立D.

11.已知x=T是函數(shù)"xAg+a〉”的極大值點(diǎn)，則（）

A.函數(shù)/（*）的極小值為0

B,若T＜x＜。，則/（/）＞/（x）

C,若°＜加＜/,則y=/?）-加有3個(gè)相異的零點(diǎn)

D.若/（再）=）（X2）（其中％2＞為＞-1）,貝

三、填空題

.(兀)1.2吟

sina+—=—sin2a——二

12.若I6J4,貝uI6).

13.為弘揚(yáng)志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務(wù)活動(dòng)，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動(dòng)，

每個(gè)地方至少1人，若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有種.

14.2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分

壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)

學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形開始，把每

條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程

①

若第1個(gè)圖中的三角形的周長為1,則第〃個(gè)圖形的周長為.若第1個(gè)圖中的三角形的面積為

1,則第〃個(gè)圖形的面積為.

四、解答題

15.S"為數(shù)列"J的前〃項(xiàng)和，已知%>°，片+%，=2S“+2.

⑴求的通項(xiàng)公式；

bn=—^—

⑵設(shè)“,求數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和1.

f(%)=-----4x+ah\x(aGR)

16.已知函數(shù)2有兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為毛，％,證明：/@)+/卜2)+10>叫

2

17.甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且每局比賽甲獲勝的概率為乙獲勝的

]_

概率為3.

⑴若比賽采用三局兩勝制，求甲獲勝的概率；

(2)如果比賽采用五局三勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束)進(jìn)行比賽，求比賽的局?jǐn)?shù)X

的分布列和期望；

(3)如果每局比賽甲獲勝的概率為。(°<P<1),乙獲勝的概率為q(q="p),比賽的賽制有五局三勝制和三

局兩勝制兩種選擇，請(qǐng)問對(duì)于甲選手來說，該如何選擇比賽賽制對(duì)自己更有利，請(qǐng)說明理由，由此你能得

出什么結(jié)論.

C:\+t=l(a>6>0)—

18.已知橢圓a，b2的短軸長為2,離心率為2.

⑴求C的方程；

⑵若4,4分別是c的左、右頂點(diǎn)，不與無軸垂直的動(dòng)直線/與c交于尸，。兩點(diǎn)(不同于4,4),且直

線40的斜率等于直線4°的斜率的2倍，求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

19.如圖，在平面四邊形”8。中，△/BC為等腰直角三角形，A/CD為正三角形，

ABC=90°,AB=2,現(xiàn)將△O4c沿NC翻折至AS/C,形成三棱錐S-NBC,其中S為動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：ACA.SB.

(2)若SCL8C,三棱錐S-/8c的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，求球心0到平面"C的距離;

(3)求平面"C與平面S8C夾角余弦值的最小值.

參考答案

題號(hào)12345678910

答案CADDBDACABDBC

題號(hào)11

答案ACD

1.C

【詳解】因?yàn)椋?"｝是等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可得,

[+3d=7

[邑=9q+36d=90,解得%=_2,d=3,

以%=%+6d——2+18=16

故選：C

2.A

—(x+Q)—Inx1H-----Inx

/_lux=----------------=~~—

【詳解】由)3A-不可得(X+4(尤+。)一，

因?yàn)榍€，=/(")在點(diǎn)0J⑴)處的切線與直線=。平行，

1c1

-----2CL-

且直線2x-y=°的斜率為2,即1+。，解得2.

故選：A

3.D

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,線性相關(guān)的回歸方程對(duì)應(yīng)的直線過點(diǎn)(-4即)，即加=0.3X(-4)-〃7,解得加=一0.6,

選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，P(X>l)=0.5,P(X>2)=1-尸(X42)=1-0.7=0.3,則

P(l<X42)=0.5-0.3=0.2,選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值⑺越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,共有1。個(gè)按從小到大排列的數(shù)據(jù)，10x0.8=8,根據(jù)定義第80百分位數(shù)為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)的

19+21=20

平均數(shù)2,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故D

4.D

【詳解】由E為8C中點(diǎn)，A/8C為正三角形，所以/E,BC,如圖所示:

所以赤而二而力+而）=|珂+0=|珂

AB=1,BE=—AE—.11—=-^―

因?yàn)檫呴L2,所以根據(jù)勾股定理可得V42

AE-AD=

所以

故選：D.

5.B

75-15=2]”(105-15)f-V'=-

【詳解】由12)，有[2)3,

-lg4

?lgf=lg1w=a3.4

則34,解得Ig2-lg3Ig3-lg2

故選：B.

6.D

【詳解】取8c中點(diǎn)°,連接尸°，4°,如圖

P

由*BC和△尸8c均是邊長為26的等邊三角形,

PO^AO=—x2>/3=3

可知2,

22

由尸可知，PA=y]PB+AB=V12+12=276；

在等腰三角形P/。中，

SAPAO=3尸月/。//-=gxxJ9-6=3V2

9

因?yàn)槭琌,8C,ZO,8C,POn/O=O,PO,N0u平面尸O4

所以8CL平面尸O/,

由1“VP-ABC=18C-S△？/o=：X2A/JX3c=2&

所以33,

故選：D

7.A

【詳解】由題意知“口盟，3|阻=|尸刮，且48都在雙曲線的右支上.

設(shè)以閭=x,則|"；|=2a+x,陽卻=3尤"耳即=2a+3x

在Rt△耳AS中，（3x+2a）~=（4x）-+（x+2a）；得彳=.,

則M瑪1=。，|四|=3。

在Rt△/4月中，閨￡「=|/用/周[

0/、2rCV10

即4c=（3a）+a,得，/十.

VTo

所以雙曲線。的離心率為2.

故選：A.

8.C

【詳解】設(shè)事件4="第〃次球在甲手中”，名="第”次球在乙手中“，G="第”次球在丙手中”,

那么由題意可知可知：/即）十⑷+聶仁）,又尸⑷+尸（4）+尸（。）=1,

P（4+I）=;-±P（4）。（4+1）-1尸（4）-；=-；卜⑷-；1

所以22v7,構(gòu)造等比數(shù)列32233

因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑?，可認(rèn)為第0次傳球在甲，即尸（4）=1,

所以「⑷一雪是以，（4討1為首項(xiàng)，公比為T的等比數(shù)列,

P(4)-；="（4）=；

故+K1

因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑?，之后都是等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，所以乙、丙地位對(duì)稱,

即P（8.）=P（Q）,所以經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為“線）=5。一'（4））=石.

故選：c.

9.ABD

［詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)椤ā?,b>0,〃+6=4,則

2

22（Q+6）24門

a+b>----------=—=8

即22,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=2時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)?">0,2">0,則2"+2嗆2也'2"=2聲=2應(yīng)=8,

當(dāng)且僅當(dāng)“=6=2時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)°=1且6=3時(shí)，Iog2a+bg26=log21+log23=log23<log24=2,

所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

141f14^,、ba5[b~a59

—+—=—x—+—(Q+6)=——+—+—>2J—x—+—=—

對(duì)于D選項(xiàng)：ab41ab)'4ab4\4ab44

b_a

當(dāng)且僅當(dāng)4。一了，即6=2。時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確，

故選：ABD.

10.BC

【詳解】基本事件有⑵13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43,共12種,

事件/="12,13,14,21,23,24"；事件8=“12,21,31,41,32,42”；

事件C="12,21,34,43"；事件C="13,14,23,24,31,41,32,42”.

...“口2*0,...A與8不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；

CUD=。，CcD=0,...C與。互為對(duì)立事件，故B正確；

事件/C="12,21",尸⑷"AC,尸（。”對(duì),尸（"）=W,尸（"）=尸⑷尸（C）,.A與

C相互獨(dú)立，故C正確；

P（B、=LP（\±L尸（。忸）=^^=2

事件AD=“31,41,32,42",2,BD=12=3,...P（B）3,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.ACD

【詳解】對(duì)于A中,由函數(shù)/。）=。2+。封，可得/'卜）=2（?+—卜2；

因?yàn)閤=T是/（X）的極大值點(diǎn)，所以f'（T）=°,解得。=0,

所以/（x）=x%:可得/'（》）=2》卜+1戶”,

當(dāng)x<T時(shí)，/"x）單調(diào)遞增；當(dāng)T<x<0時(shí)，/'（x）<0J（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，/'（x）>°J（x）單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（X）的極大值點(diǎn)為T,極小值點(diǎn)為0,所以A正確；

對(duì)于B中，當(dāng)T<x<0時(shí)，*T3=X（1-X2）<0,則T<X<X3<0,

因?yàn)?（x）在區(qū)間（T，°）上單調(diào)遞減，所以/（x3）</（x）,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，由且當(dāng)x--00時(shí)，/（X）一°,當(dāng)xf+8時(shí)，/（X）—+”,

可得/（x）的圖象，如圖所示，

當(dāng)°<時(shí)，丁=/（，）一機(jī)有3個(gè)相異零點(diǎn)，所以C正確;

對(duì)于D中，因?yàn)橐灰C再+%<0,只需證明.<一再,

由/(x)在(0,+°0)上單調(diào)遞增，需證明/&)</(一玉),

即當(dāng)-1<%<0時(shí)，證明/(再)</(-*)，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/O/(f)(其中-1<X<。)，

貝1Jg'(x)=f(x)+/'(_%)=(2%2+2x》2x+(2——2X》-2X=2x(e2x-e~2x)+2x2(e2x+e~2x)

當(dāng)-1vx<0時(shí),g'(x)>。，則gG)在(T°)上單調(diào)遞增，

所以g(x)=/(x)-/(f)<g(0)=0,即當(dāng)-1<%<0時(shí)，/@)</(一W)，

所以/(9)</(一再)，所以馬<一占,再+憶<0,所以口正確.

故選：ACD.

_7

12.8

.(c兀).兀、71

sin2a—=sin21

【詳解】〔6>LIOLH—6)—2」

(兀)

=-cosL2I。+一6JJ

=一l-2sin2^+^

T-

_7

--8.

7

故一口

13.30

【詳解】安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動(dòng)，每個(gè)地方至少1人，

則將4人按2/，1分組，

若不考慮限制條件，

=36

則此時(shí)不同的安排方式有A]一種，

當(dāng)甲和乙去同一個(gè)地方時(shí)，有人；=6種不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有36-6=30種.

故30

n-\n-\

4834

——x

14.3559

【詳解】記第〃個(gè)圖形為月，三角形邊長為凡，邊數(shù)"，周長為4,面積為S

2

11

a

耳有4條邊，邊長\《有條邊，邊長電一非；月有4=4%條邊，邊長的3x

11

a~~a-\an

nn1

分析可知3即3；b"=4bf即6“=*4"T

當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長為1時(shí)，即4=1,4=3

14M-l

L〃-a〃b〃=X3X4"T

所以33

nDS=S?,+b,X—a2

由圖形可知《是在每條邊上生成一個(gè)小三角形，即4

S“一S〃T=gx.b〃_[S〃T-S“_2=gX,b〃_2

即4,44

工1m電上,,S〃一耳二丁（a/年+Q；2+…+%2也）

利用累加法可得4,7

J_24

■1}

數(shù)列｛%｝是以§為公比的等比數(shù)列，數(shù)列也｝是以4為公比的等比數(shù)列，故包2也

是以9為公比的等比

數(shù)列,

4A/34A/3

2=1

當(dāng)?shù)趥€(gè)圖中的三角形的面積為時(shí)，即

11E=l,4%,止匕時(shí)3F,[有4=3條邊,

an'bn-\+an-\

5

則

n-\

34、

S“-『x1-

9s,

所以J,所以

n-1

4r1834

?5-5X

故

15.⑴%=〃+l

n

⑵"2?+4

［詳解］(1)由其+%=2S.+2,①

可得?ii+%=2S.+I+2.②

22

由②①得%+1—"〃=an+\+an

:＞0J?！?1

又當(dāng)〃=1時(shí)，得d+q=2S］+2

解得4=2嗎=-1（舍去）

可得數(shù)列｛”」是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列

即%=H+1,MGN,

1

bn=

（2）由（1）知(幾+1)(幾+2),

止」一—L

可得〃n+\n+2

11111111n

因此"2334n+\n+22n+22〃+4.

n

T=

可得"2〃+4

16.⑴（°M）；

（2）證明見解析.

.ax1-Ax+a

/'(x)=x_4+—=--------------

xG(0,+x)

【詳解】（1）由題意得,xx

因?yàn)?（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程/-4無+。=°有兩個(gè)不相等的正根,

△=(-4)--4。〉0

所以卬：2=a>0,解得0<“<4

檢驗(yàn)：當(dāng)0＜。＜4時(shí)，由/''G)=°得x=2-"^或x=2+"^

所以/(X)在(°’2一上單調(diào)遞增，在(2一2+上單調(diào)遞減,

在@+"^'+8)上單調(diào)遞增，滿足題意.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(°'4).

(2)證明：由(1)知再+Z=4,再々=°,

所以“xj+/（z）=g6+￥）-4（再+/）+aln（網(wǎng)％2）-olna-tz-8

所以/（/）+/（"2）+10_m4=（4_1）加4_〃+2

令g(x)=(x-l)lnx-x+2(0<x<4),貝/卜”11n'一五

"x)=g<x)=l』：如)=?5>0

V人，則人人,

所以8'00在(°，4)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間'o)=T<°,g,(2)=ln24>0,

所以函數(shù)g'(x)存在唯一零點(diǎn)“。e°Z,即幽一X。，

且當(dāng)“€(°，/)時(shí)，g'(x)<。，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(%,4)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

（1、

(g(x0)=(x0-l)lnx0-XQ+2=3—XQH-------

所以當(dāng)x=%時(shí)，g(x)存在最小值，即、xo>

因?yàn)閤°e(l，2),所以2<、。+與<5,所以

所以/(國)+/(々)+10>1皿

20

17.(1)27

107

(2)分布列見解析，方

(3)答案見解析

【詳解】⑴設(shè)事件”“比賽采用三局兩勝制甲勝”，則'⑷=0+《0'號(hào)

(2)比賽的局?jǐn)?shù)為X的所有可能取值為3,4,5,

9_110

P（X=3）=p（X=4）=C；

27~3

可得1淮此27

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X345

￡108

P

32727

W=3xl+4xl2+5xA=12Z

所以期望為3272727.

（3）采用三局二勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率/5）=/+Cp2（1-。）=。2（3-2。），

采用五局三勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率：

g（p）=/+《/（1一p）+c%3（1_p）2=/（6p2-15。+10）.

令g⑺-"P）=3P2（2/-5P2+4。-1）=3Plp7）2（2。-1）,

因?yàn)樗訫CPT）2>0.

P--1

當(dāng)2時(shí)，gO）=/（〃）；

當(dāng)2時(shí)，g（，）</5）；

11

當(dāng)2時(shí)，g（p）>f（p）.

八

0<p<—1—1<?<11

所以當(dāng)2時(shí)，選擇三局兩勝制對(duì)甲有利；當(dāng)2時(shí)，選擇五局三勝對(duì)甲有利;

1

p=一

當(dāng)2時(shí)，選擇五局三勝制和三局兩勝制對(duì)甲沒有影響.

由此可以得出，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.

—+/=1

18.(1)4；

(2)證明見解析.

【詳解】(1)由題意得：26=2=6=1=〃2一02=1,

C6232

-=—nc=-a242o

a24,所以解得成=4,c-=3,

即橢圓方程4-；

(2)

.—\-y=1

設(shè)直線/方程為夕=履+加，與橢圓4聯(lián)立，消歹得：

2

（4左2+1）%2+8kmx+4m-4=0

222

甘a1A=16（4k0n4k+1>m

其中v7,

-Skm_4m2-4

設(shè)尸0（%,%）,貝廣+苫2=^4p*x2=而百，

M2%=必為2￥=（一+加）（丘2+加）4一只

由已知得.芯+2/―2再+2x2-2演+22（x2-2）

2

再化筒彳氏（2，2+1）叫％2+（2癡+2）（再+x2）+2m+4=0

（2k2+］嚴(yán)：-4+（2+2）-8km+2機(jī)2+4=0

代入得：1，4獷+1'km々后？+1

整理得：磔-3加加）=0,

因?yàn)橹本€/不經(jīng)過點(diǎn)4（一2，°）,所以2人-機(jī)'0,

2

2k-3m=G=m=—k

即3,

2,_,r2）

y=KXH—K=K\XH—

所以直線/的方程為‘3I34

因此直線,經(jīng)過定點(diǎn)I3A

19.（1）證明見解析

V3

⑵3

V3

（3）3

【詳解】（1）取/C的中點(diǎn)E,連接SE,BE,

因?yàn)?2=2C,S/=SC,且NC的中點(diǎn)E,所以SEL/C,BELAC

又SEcBE=E,SE,BEu平面SBE,故NC_L平面S2E,

由于S2u平面S8￡,故NCLSB,

A

(2)當(dāng)SC_L8C時(shí)，由ACHS則5/_LR4,

取BS的中點(diǎn)°,連接04℃,

故。到45,CS四點(diǎn)的距離相等，故。為三棱錐S-48C外接球的球心,

因?yàn)?8C=24s=CS=2V2,故SE=?SB=2#,,EB=血,

設(shè)S到平面ABC的距離為4,B到平面ABC的距離為必，

X

.%-AB