專題三導(dǎo)數(shù)專題歸納總結(jié)及測試

與題導(dǎo)囹

導(dǎo)數(shù)專題歸納總結(jié)

-----切線方程

—“在型”、“過型”求切線方程

—切線方程求參

—①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；

—②切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)代入切線

—③切點(diǎn)在曲線上，切點(diǎn)代入曲線

—切線的數(shù)量

I—寫出切線方程，判斷切點(diǎn)個數(shù)

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

—單調(diào)區(qū)間

—單調(diào)函數(shù)求參數(shù)一］方法一：分離參變量

方法二：集合法--包含關(guān)系

1-非單調(diào)函數(shù)求參數(shù)

j思路1：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a,b）上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f'（x）=0

在（a,b）上有解.

J思路2：函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題

.思路3：函數(shù)恰好有三個不同的單調(diào)區(qū)間--導(dǎo)函數(shù)有兩個變號零點(diǎn)

函數(shù)有兩個不同的單調(diào)區(qū)間一導(dǎo)函數(shù)有一個變號零點(diǎn)

單調(diào)性中分類討論

—①二次項(xiàng)系數(shù)討論

—②導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)的討論（或零點(diǎn)有無意義）

—③導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域內(nèi)的討論

—④導(dǎo)函數(shù)多個零點(diǎn)時大小的討論

1

熠I專做惻套

一.單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的。

1.（2025?河南安陽?三模）已知函數(shù)〃x）=x3-3x+a的極小值為6,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解析】由已知得/（無）=3尤2-3,令/（無）=0,得工=±1,

當(dāng)xe（—1,1）時,/'（x）<0J（x）單調(diào)遞減,

當(dāng)xe（-叫-1）或xe（1,+8）時,f'（x）>0,/（x）單調(diào)遞增，

所以〃x）的極小值為/⑴=叱2=6,解得a=8.

故選：A.

2.（2025?重慶?三模）若函數(shù)f（x）=-y-x+a在（0,1）上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）

A.（1,4）B.（-4,0）C.（0,4）D.（-雙4）

【答案】A

【解析】因?yàn)?，（?一3工一丫+。，

對函數(shù)求導(dǎo)得f'（x）=-31n3-1<0.

所以函數(shù)〃x）在（0,1）上單調(diào)遞減.

因?yàn)?（X）=-3工t+。在（0,1）上有零點(diǎn),

所以/（0）>0J⑴<0.

即：—1+〃〉0,-4+a<0.

求解得：l<a<4.

故選：A.

3.（2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=a（x-a）2（x-2〃），若曲線歹=/（x）在點(diǎn)（2見0）處的切線方程

^jy=X+m,則冽的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)?（x）-Q（x-a）?（x-2a）=ax3-4a2x2+5a3x-2a4,

2

所以/''（x）=3ax2-8?2x+5a3,

所以由題意得f，（2a）=12/-16/+5/=/=1na=1,

所以切點(diǎn)（2,0）,所以0=2+機(jī)=>機(jī)=一2.

故選：C

4.（2025?河南?三模）將函數(shù)8（切=311"+3（。6*）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到函數(shù)/3

的圖象，若/'（X）在（0胃］上只有一個極大值點(diǎn)，則。的最大值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】將函數(shù)8（月=5皿（必+口（06*）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

得到函數(shù)〃X）的圖象，則?。?5M2*+F10郎*）,

當(dāng)0<X<工時，—<2（DX+—<7T69+—,

2121212

因?yàn)椤╔）在［o舟上只有一個極大值點(diǎn)，則梟兀0+白4年，解得［<04名，

\21221212

因?yàn)閛eN*,故正整數(shù)。的最大值為2.

故選：D.

5.（2025?安徽滁州?二模）已知函數(shù)〃x）=向，若b=f（2）,c=/（3）,則（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

r/、/、，/、lnx-1

【解析】令g（x）=A^，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?/）D（l,+8），g3二田丁

由g'（x）<0可得0<x<l或l<x<e,由g'（x）>0可得X>e,

且當(dāng)xe（0,1）時，g（無）<0,當(dāng)xe（l,+s）時，g（尤）>0.

所以，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）、（l,e）,增區(qū)間為（e,+8）,

作出函數(shù)/（x）=|g（尤）|的圖象如下圖所示：

3

由圖可知，函數(shù)/（X）的增區(qū)間為（0,1）、（e,+8）,減區(qū)間為（l,e）,

因?yàn)?>3>e,貝U/(4)>〃3)"(e)=e,

744

因?yàn)?(2)=-----=-------=-----=f(4),即6>c〉e,

')In221n2In4')

2

與2的大小,

223

(2、74一2叱

作差得了；-2=f一2=^^

3In-ln-

22

因此，b>c>a.

故選：D.

6.（2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測）己知函數(shù)"X）=&-xT,若/卜）20,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.卜！B.|^0,|C.（0,e]D.'|，+c0]

【答案】D

ai212lnA

【解析】由/（無10,可得:e-+ax-l>e+lnx>

構(gòu)造函數(shù)g?）=e'+t,易知g（f）=e'+f在R上單調(diào)遞增，

所以可得辦之一121口％在%>0時恒成立，

1+lnx

即Q2——--,

X

令〃（上『

4

則〃（x）=令，卜）=土產(chǎn)=0,可得：-L

T[I。"X=e

1

當(dāng)0,e-2時，//X（X）>O,當(dāng)e2,+oo時，/zx(x)<0,

也即〃（尤）=號二在0底單調(diào)遞增，在，石,+。單調(diào)遞減,

I7

當(dāng)》=”時，〃（無）取得最大值|，

所以。言，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是5，+。）,

故選：D

7.（2025?河南?三模）若V尤e[l,+oo）,都有ae，-Inx20（aeR）,則a的取值范圍為（

1

A.[e,+oo)B.[2,+co)C.[l,+oo)D.—,+00

【答案】D

【解析】由題設(shè)Vxe[l,+8),axeax>x\nx,BPeaYIne21>xlnx,

令/(%)=xlnx且R〉0,貝I/'(x)=lnx+1,

當(dāng)0<x/時，r（x）<0,即/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減,

ee

當(dāng)x>,時，r（x）>o,即在d,+s）上單調(diào)遞增,

ee

當(dāng)Q<0,止匕時0<e"<l,則ae"<0?lnx,不合題設(shè),

故。20,所以e"21,

而f(x)=xlnx在1+co)上單調(diào)遞增,則e"xNx,

問題化為。2皿在工田1,+8）上恒成立,

X

人7/、Inxl<r,…,/、1-lnx

令fi(x)=——且貝！J〃(x)=——；-

xx

當(dāng)lVx<e時，h\x）>0,即％（x）在[l,e）上單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e時,h\x)<0,即〃(x)在(e,+oo)上單調(diào)遞減,

所以/z(x)</z(e)=-,故a2」.

ee

故選：D

8.（2025?江西?二模）已知函數(shù)/'（x）=xe*+a（l-e）x-（e-l）lnx-1恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

5

1

A.D[e,+eB.，-51口卜,+8)

e2e

1-11

C.D.u[0,+oo

e2e2

【答案】D

【解析】令加)=0,得xe"+a(l—e)x—(e—l)lnx—1=0,即浮+出+(1—e)(lnx+辦)—1=0,

令Qx+lnx=力則ez+(l-e)M=O,

令/z(x)=e"+(1—e)x—1,貝!jh'(x)=ex+1-e.

令l(x)〉0=>%>111(?-1)=>力(力在區(qū)間(||1伯-1),+00)上單調(diào)遞增;

令在區(qū)間(一巴111仁一1))上單調(diào)遞減，又0<ln(e—l)<1,〃(0)=〃(1)=0,則〃(幻二0

有且只有兩個根，分別為0,1.

當(dāng)應(yīng)。時，函數(shù)/(x)恰有2個零點(diǎn)等價于y=ax+lnx的圖象與直線方0和方1共有2個交點(diǎn).

令p(x)=lnx+ax,則p\x)=—+a,p'(x)>0,則/?(%)在區(qū)間(0,+一)上單調(diào)遞增，又x玲0,p(x))g,x玲+8,)(力玲+8,

即夕(x)仁R,貝！J產(chǎn)辦+如:的圖象與直線歹=0和歹=1各有1個交點(diǎn)，符合題意.

當(dāng)a<Q時，函數(shù)/(x)恰有2個零點(diǎn)，等價于函數(shù)方而％的圖象與直線y=l-ax的圖象共有2個交點(diǎn)，臨界情

況為兩條直線分別與歹二方x的圖象相切.

如圖1,當(dāng)產(chǎn)-ax與產(chǎn)Inx相切，設(shè)對應(yīng)切點(diǎn)為(退,力),因?yàn)?lux)=—,%=I1UC3,則相應(yīng)切線方程為

Inx-1=0

y=，(%一毛)+ln不=

—x+lnx,-1=-a^1一a」

x3——=-ae

X]

1

如圖2,當(dāng)產(chǎn)1-冰與y=lnx相切，設(shè)對應(yīng)切點(diǎn)為(程乂)，則相應(yīng)切線方程為y=-(x-x4)+\wc4=—x+

X4%

lnx4-1=1,

lnx-1=1-tzx=>二>u=———,貝|aGGu[0,+e).

41.綜上。一，2

—=-aeee

%4

故選:D.

6

二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選

對得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(2025?山東威海?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(力=/一3》-2,則()

A./(x)有3個零點(diǎn)

B.過原點(diǎn)作曲線>=/(x)的切線，有且僅有一條

c.y=/(x)與y=ax-2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0

D.7'(x)在區(qū)間(-2,2)上的取值范圍是［-4,0)

【答案】BC

【解析】/''卜)=3/_3=0戶=±1,

X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+°0)

/'(X)+0-0+

/(X)單調(diào)增單調(diào)減單調(diào)增

/(-1)=-1+3-2=0,/(1)=1-3-2=-4,

所以/'(x)有2個零點(diǎn)，A不正確；

對于選項(xiàng)B：設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則切線方程為發(fā)(就-3%-2)=(3"-3)(尤-%),

代入原點(diǎn)>得-x；+3x0+2=(3XQ—3)(—X0),—+3x0+2=-+3x0,x1=—1,.,.——1,

故切線有且僅有一條，正確；

對于選項(xiàng)C：x3-3x-2=ax-2,x3=(a+3)x,x=0或x?=a+3,

若“+320,根據(jù)對稱性知，根之和為0,

若。+3<0,方程只有一個根為0,故正確；

對于選項(xiàng)D：2)=-8+6-2=-4,〃2)=8-6-2=0,又/■(-1)=0/⑴=-4,

故;'(x)在區(qū)間(-2,2)上的取值范圍是［-4,0］,錯誤.

故選：BC.

10.(2025?廣東珠海?模擬預(yù)測)對于以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()

A.已知l<6Wlna,則b-lnbWlna-ln(lna)

7

B./(x)=xe，一無一Inx的最小值是e-1

C./(無)=xe，-a(無+hw)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的最小值為e

D.若不等式一InxNO恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值為J

【答案】AD

【解析】對于A,因?yàn)?-ln6Vlna-ln(lna),構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-lnx(x>0),/(無)=1-—=---,當(dāng)x>l時，

/'(x)〉0,/(X)是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)閘<b?lna,貝！J6TnZ??ln〃-ln(ln〃)，故A正確；

對于B,f(x)=xex-x-]wc=ex+inx-(x+lux)=e'+=1,當(dāng)且僅當(dāng)￡=0,即x+lnjr=O時取等(e'2/+1),

故B不正確；

對于C,已知/(.)=疣芯-a(x+lnx)=e*1nx-a(x+ln>),

令"x+lnx,，單調(diào)遞增，方程e，-m=0有兩個根，等價于八其有兩個根.

t

對g(/)=：求導(dǎo)，g，(/)=K『=*D-

當(dāng)/<1且酷0時，g'?)<o,g⑺單調(diào)遞減；當(dāng)。1時，g'(的o,g⑺單調(diào)遞增.

所以g?)在，=1處取得最小值g(l)=：=e.

要使>與g?)=：有兩個交點(diǎn)，那么Q>e.故C不正確.

對于D,由Qe"—lnx20，兩邊同乘工得axe"之xlnx,而xlnx=建"Inx.

令〃(%)=%],求導(dǎo)/(x)=6"+猶'=(x+l)e"因?yàn)椋?gt;0,所以"(x)>0,〃(%)在(0,+°o)單調(diào)遞增.

InV

因?yàn)椤?QX)之〃(Inx),所以辦21nx,即a2--恒成立.

x

111

Ainx4口—-x-lnx1i

令》=——，求導(dǎo)、,，x1-lnx.

xy=---2—=——

XX

當(dāng)Ovx〈e時，y>0,>單調(diào)遞增；當(dāng)X>e時，歹'<0,P單調(diào)遞減.

所以y在'=?處取得最大值天七)=g='=6-1,則aNe-i.

ee

所以。最小值是e，故D正確.

故選：AD.

11.(2025?山東濱州?二模)已知直線歹二履與曲線V=ln(2x)相交于4(石,%),5(%2，%)兩點(diǎn)，曲線歹=ln(2x)在

點(diǎn)A處的切線與在點(diǎn)5處的切線相交于點(diǎn)M(%,為),則()

8

/e

A.0<k<-B.xx=-xC,必+%=1+%D.yy<1

et220x2

【答案】ACD

【解析】對于A,令外力=蛆竺@>0）,則/，（x）=!z嚶D,

XX

故0<x<|時，r（x）>0,/（X）單調(diào)遞增；

x>5時，r（x）<o,/（力單調(diào)遞減，

所以/（x）</M=|，且X>j時/（X）>0,

因?yàn)橹本€N=辰與曲線V=ln（2x）相交于4（再,必）,8a2，%）兩點(diǎn),

所以/（耳=皿?卜>0>與丁=左圖象有2個交點(diǎn)，如圖:

2

所以0〈左<一，故A正確；

e

對于B,y,不妨設(shè),<再<二<%2，可得丘1=1%,生=1歐2,

x22

了=111（2”在點(diǎn)/（西,凹）,8優(yōu),力）處的切線程分別為了一山（2再）=，（苫-%）,了-111（2%）=，（二％），

%一111（2網(wǎng)）」（％一西）

X|得皿2%）-ln（2xj=&*

則

X

j；0-ln（2x2）=^-（x0-x2）'%

ln（2x2）-ln（2%j）In（2x2）-ln3再）

=

即x°=-17T—尤也一X2-X.

因?yàn)椤该?？；?）’所以-吃，即心胃是變化的，故B錯誤;

對于C,因?yàn)閗=也口=￥^,所以％111（2占）=他1（2苫2）,

因?yàn)镸（Xo，%）為兩切線的交點(diǎn)，

所以為Tn（2%）=工（X。一占），即％=In（2%）+—x0-1=ln（2x）」x"e"）皿2占）

9

x2In（2X2）-XJIn（2^）】所以1x2In（2x2In（2^）

x2-x1x2-x1

（ln（2xj+ln（2x2））（x2-再）

所以必+%=ln（2%J+ln（2%2）=

x2-x1

%In（2再）一石ln（2再）+x2ln（2x2）-再2xJx2li^2x）-再叫24

==/4

x2一再x2-X]

所以必+，2=1+%），故c正確；

X、—XyX、—M1

對于D,因?yàn)閔?=%，匕2=%，所以——=~r一1=7，

y2-yxKX2-kxxk

又因?yàn)樾?%飽2=y2，%>o,

k

所以In%=In左+In再=In左+In再+In2—In2=In萬+In（2再），

lny2=lnA;+lnx2=lnA:+lnx2+ln2-ln2=ln^+ln（2x2）,

kk

所以山萬+必=山”,111萬+%=111%,

因?yàn)镮ny2Iny>\丫2yl①,所以《y2yl<1，

所以M%<1，故D正確.

其中不等式①7^^^>向（見6>0）的證明如下：不妨令a>b>。,

In。一Inb

由__7（%b>0）得“廣^>ln〃—lnb,即In3cB-g,令、R=x（x〉

Ina-In6y/abb\b\aVb

貝lj即證21nx<%—，

x

構(gòu)造函數(shù)g（x）=21nx_%+L（x>l）,g'（x）=--l-^z-=-f—-1>1<0,

XXX\x）

所以g(x)在(1,+。)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g⑴=-1+1=0,

所以不等式21nx<x-L成立，即①成立.

X

故選：ACD

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2025?廣東清遠(yuǎn)?二模)已知函數(shù)/■(x)=e-eT+2sinx,若加>0,〃>0,且〃2加)+/("-2)=/(0),則

'1+42的最小值是.

mn

10

【答案】4

【解析】因?yàn)?卜)=1-b+2sinx,

所以/(-x)=-er+2sin(-x)=-^ex-e-x+2sinrj=-/(x),

(x)=ex+ex+2cosx>2y/ex-e"T+2co&r>0,

所以函數(shù)/(無)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，/(o)=o.

由〃2〃2)+2)=0可得2機(jī)+“-2=0,即為g(2〃z+〃)=l.

因?yàn)榫拧?gt;0,所以，+2=2(2〃7+〃)(1+2]=lx(4+4Hj]24.當(dāng)且僅當(dāng)加=L〃=1時取等號.

mn2\mn)2nm)2

故答案為：4

13.(2025?福建三明?三模)已知函數(shù)/(x)=e，(ax3-x+l)存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(0,+司

【解析】〃月=砂(辦，7+1)的定義域?yàn)樯?/p>

/(X)=ex(a/-x+1)+e*口"?-1)=eA(ax3+3a/-x)=xeA(ax。+3ax-l),

令S(x)=ad+3ax-1,

若a=0,貝!]g(x)=—1<0,令/'(x)〉0得x<0,令/'(x)<0得x>0,

所以〃X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+。)上單調(diào)遞減，

故/(X)存在最大值，不存在最小值，舍去；

若QWO,A=9/+4Q,

若A=0,則〃=_',此時g(x)=_gx—]=一+&+:)=_j1+5<0,

其中7''(x)=xe、-g(x),/^-|]=-|e^-g^-^=O,

3

當(dāng)x<0且XH-Q時，/,(x)=xev-g(x)>0,當(dāng)x>0時，/,(x)=xeJC-g(x)<0,

故/'(x)在(-e,0)上單調(diào)遞增，在(0,+。)上單調(diào)遞減，

故/(x)存在最大值，不存在最小值，舍去；

若A<0,即一a<0時，g(x)=ax+3辦一1<0恒成立，

當(dāng)x<0時，/z(x)=xex-g(x)>0,當(dāng)％〉0時，/f(x)=xex-g(x)<0,

11

所以〃X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故/'(x)存在最大值，不存在最小值，舍去；

4

若A>0,貝!JQ〉O或Q<-g,

當(dāng)q>0時，設(shè)g(x)="2+3辦一]的兩根為x=-3-M+4a,-30+加+4。,

2a2a

g(x)=辦2+3辦一1開口向上，再<0<工2，

當(dāng)％<玉時，g(x)>0,/'(x)=xex[ax1+3ax-l^<0,

當(dāng)再<x<0時，g(x)<0,/'(x)=xe"(a/+3QX-1)>0,

當(dāng)0<x</時，g(x)<0，/'(%)-xe"(a/+3QX—1)<0,

當(dāng)x>X2時,g(.x)>0,=xe"+3辦一1)>o,

所以/(X)在(-”4)上單調(diào)遞減，在(石,0)上單調(diào)遞增，在(0/2)上單調(diào)遞減，在(％，+。)上單調(diào)遞增，

min{/(x1),/(x2))即為/(%)的最小值，故〃>0滿足要求；

當(dāng)。時，設(shè)g(X)=+3辦-1的兩根為國=一3”加+4。,%=3+,9/+4。

92a2a

2

g(x)=ax+3ax-1開口向下，x2<^<0,

當(dāng)X<西時，g(x)<0,f(x)=xex(ax1+3ax-1)>0,

當(dāng)％<%<不時，g(x)>0,f\x)=xQx[ax1+3〃x—l)<0,

當(dāng)再<%<0時，g(x)<0,/'(x)=(a/+3〃x-i)〉o,

當(dāng)%>0時，g(x)<0,f\x)=xex^ax2+3"-1)<0,

所以/(X)在(-8，/)上單調(diào)遞增，在(均項(xiàng))上單調(diào)遞減，在(國⑼上單調(diào)遞增，在(0,+”)上單調(diào)遞減,

當(dāng)%趨向于+00時，/(%)=/(巾3一X+1)趨向于一8,不存在最小值，

綜上，〃>0

故答案為：(。,+8)

14.(2025?安徽?三模)已知關(guān)于%的方程2j-1+2"=1(〃>0)有兩個不等實(shí)根，則。的取值范圍是—

【答案】ke^ufetl

7

12

【解析】由2“…+2『1可得『卜-當(dāng)1時,不滿足題意,

當(dāng)awl時，方程兩邊同乘Ina,

ln-1ax--

1]1nq2

(1)2ax+1i?

Ictx—-IIntz-—aIna,等價于上/3二/如出上，變形可得丁=T―rv.

c___ax——

設(shè)函數(shù)g(x)=g,貝ljg'(x)=l3nx當(dāng)0<x<￡時，g'(x)>。，g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e；時，g'(x)<°，gOO單調(diào)遞減,

又因?yàn)間⑴=0,當(dāng)x>l時，g(x)〉0,且當(dāng)％趨向于+oo時，g(x)趨向于0,

“11,11

知,只需滿足l〈一〈e2或一〉e2,

aa

所以a的取值范圍是

故答案為：](),—卜卜士11

四.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟；15題13分，16、17題各

15分，18、19題各17分

15.(2025?河南關(guān)B州三模)已知函數(shù)/(x)=e，(ax-l).

(1)若尤=-;是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求。的值；

(2)在(1)的條件下，若函數(shù)g(x)=f(x)-〃6-1)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)。=2

⑵0〈機(jī)<1或加>41

【解析】(1)/'(x)=e，(依一1+a),

因?yàn)閤=是函數(shù)〃x)的極值點(diǎn)，所以+==

即a=2,此時f'(x)=e，(2x+l),

由/''(x)=e]:(2尤+1)>0,得x>-；；由/尤+1)<0,x<--,

所以函數(shù)/(可在區(qū)間鞏-上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，是函數(shù)〃x)的極小值點(diǎn)，故。=2.

13

(2)由(1)可知g(x)=/(尤)-加(％-1)=叫2%-1)-加(x-1)有兩個零點(diǎn),

即方程8(%)=砂(2%-1)-切(尤-1)=0有兩個解.

當(dāng)x=l時，g(l)=ewO,

當(dāng)xwl時，ex(2x-l)=m(^-l),即〃一(2x7).

x-1

設(shè)〃⑴=可；1)，函數(shù)g卜)零點(diǎn)個數(shù)為函數(shù)y=%⑴的圖象與直線了=加的交點(diǎn)個數(shù).

ex(2x2-3x1

1(x)=—----"1,

(1)

令l(x)>0,得或x<0；令"(x)<0,得0<x<2且xwl.

所以函數(shù)M尤)在區(qū)間(0,1)和11。上單調(diào)遞減，在區(qū)間(一雙0)和(I，+J上單調(diào)遞增.

當(dāng)Xffo時，〃(x)f0；當(dāng)Xf+oo時，〃(x).+8；如圖所示

函數(shù)v=〃(x)的圖象與直線了=加有兩個交點(diǎn)，即0<加<1或機(jī)>4e"

即0(加<1或加>4最時，函數(shù)g(x)=/(x)-加(XT)有兩個零點(diǎn).

16.(2025?安徽蕪湖?二模)已知函數(shù)〃x)=￡x2_]nxT

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=xe*-一x(aeR),證明：/(x)+g(x)>0.

【答案】⑴答案見解析

⑵證明見解析

【解析】(1)定義域xe(0,+s),f'(x\=ax--=^^-,

XX

①當(dāng)aV0時,r(x)<0,/(》)在(0,y)上單調(diào)遞減,

②當(dāng)。>()時，令/'(無)=()得x=、m，

Va

14

令/(x)>0,得x>B，令r(x)<0,得0<x<口，

VaVa

所以/■(X)在(0,、口)單調(diào)遞減，在(、口,+00)單調(diào)遞增.

VaVa

綜上：當(dāng)aVO時，/(X)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時，〃x)在(0,、口)單調(diào)遞減，在(、4,+oo)單調(diào)遞增.

vaVa

(2)法一：要證/(x)+g(x)=xe"-1-lnx-x20即證xe"-121nx+%=Inxe",

設(shè)XQX=t>09即In/—1,

設(shè)/Z〃)=ln/r+1,則/")=Y，令〃?)>0得0<f<l,令〃(。<0得/>1,

所以〃⑺在(0,1)上為增函數(shù)，在(1,+8)上為減函數(shù)，所以="1)=0，

所以Inf取-1成立,所以/(x)+g(x"O得證.

法二：設(shè)。(x)=/(x)+g(x)=xe*-lnx-x-l,則“(x)=(x+l)(e"」)，

因?yàn)椋?gt;0,所以x+l>0,

令g)=e，T，則/卜)=1+1>0,則“X)在(0,+司單調(diào)遞增，

因?yàn)椤╗]="-2<0，M])=e-l>0,所以人⑺在(0,+e)上存在唯一零點(diǎn)/,

當(dāng)O<x<%o，/z(x)<0,故"(x)<0,當(dāng)X〉/,/z(x)>0,故“(x)>0,

所以。(x)在(0,%)單調(diào)遞減，在(X。,+8)單調(diào)遞增，

則0(x)“(Xo)=Xoe%-lnxo-Xo-1,其中e'。=一,/=.In0,

所以_皿％_/_1=/-工+/_/_1=0,

%

所以0(x)20,即〃x)+g(x)NO得證.

17.(2025?天津河北?二模)已知函數(shù)/(x)=e'-ax-3(aeR).

(1)當(dāng)。=-1時，求曲線7=〃x)在(0J(0))處的切線方程；

⑵當(dāng)尤20時，若不等式/(x)"-2恒成立，求。的取值范圍;

(3)若〃>)有兩個零點(diǎn)再,苞,且M<尤2，證明：3ex,+eX2>3a.

【答案】(1)2x7-2=0；

15

（2）6Z＜1；

⑶證明見解析.

【解析】(1)由題設(shè)/(x)=e'+x—3,則((x)=e"+l,且/(0)=—2,/'(0)=2,

所以曲線>=/(%)在(0J(0))處的切線方程為》+2=2x,即2x-歹-2=0；

fV2

(2)由題設(shè)辦一32二一2,BPex---6zx-l>0>x>0,

22

令g(x)=e",則g'(x)=e，一工一〃，

令/z(x)=g'(x),則Zf(x)=e"-l20,故%(x)=g'(x)在［0,+°°)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)之g'(0)=l—。，

當(dāng)—20,小時,gV)>0,則g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,符合；

當(dāng)1一4<0,〃〉1時，g\0)<0,X-+00時g'(x)f+00,

所以叫w［0,+8),使用(%)=0,即在［0,%)上g'(x)<0,g(x)在［0,%)上單調(diào)遞減，從而g(x)<g(0)=0,不符

合；

綜上，a<l；

%2

(3)由/(項(xiàng))=/(/)=0，則e*=QX］+3,e=ax2+3,且王<工2，

x

e2_爐

所以j—9=。（工2_項(xiàng)），故〃=------

一x2-X]

3f%2-3eX1+eX23

要證3e國+記〉3〃，需證3eJj>江e一即與二

21

x2-xxe-ex2-x1

e》2Ti+33&

需證…，＞---,令f=z-巧＞0,即即證/+3f＞3e'-3,

%2x,

e-1x2-xte'-]t

最終只需證明"強(qiáng)+3＞0,令尸（/）="醫(yī)+3且f＞0,則/（f）=?-）：：，10,

所以尸（。在（0,母）上單調(diào)遞增，所以尸⑺＞尸（0）=0,即91邁.+3＞0,

，+1

所以3e』＞3a得證.

18.（2025?浙江?二模）已知函數(shù)/（x）=asinx+ln[F：）.

⑴求曲線＞=/（尤）在點(diǎn)（oj（o））處的切線方程；

⑵若函數(shù)/（x）無極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶若鵬為函數(shù)〃x）的極小值點(diǎn)，證明：＜片＜1.

16

【答案】(l)y=(a+2)x

(2)[-2,+oo)

⑶證明見解析

【解析】(1)vf'(x]—ClCOSXH----------(---------]—ClCOSX+-2；...r(o)=fl+2,

、)i+xmi-x2

又〃0)=0,—=在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為：尸(a+2)x.

(2)由題意知：〃x)的定義域?yàn)?-1,1),

若函數(shù)〃x)無極值點(diǎn)，\/(x)在上單調(diào)，

二廣⑺>0或/(x)<0在(-1,1)上恒成立;

vlim-——r=+oo，，/'(x)20在上恒成立,

?.?廣(0)=〃+2,.?/(0)20,解得：aN—2；

下面證明充分性:

當(dāng)xe(-1,1)時,cosx>0,又。2一2,?cosx>-2cosx,

/./f(x)>-2cosx+2

1-x2

2

令g(x)=-2cosx+(-1<x<1),

1-x2

4x

當(dāng)X￡[0,1)時，g'(x)=2sinx+公。

-x2

??.g(x)在[o,l)上單調(diào)遞增，又g(-x)=g(x),；.g(x)為定義在(Tl)上的偶函數(shù),

，g(無)在(T,0]上單調(diào)遞減，⑼=-2+2=0,/〈x)2g(尤)20,

\/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，充分性成立；

綜上所述：ae[-2,+co).

(3)由(2)可得：當(dāng)-2時，函數(shù)“X)無極值點(diǎn).

4%

當(dāng)a<-2時，令/z(x)=T(x),則，(關(guān))=-asinxH---------

(1-x22

當(dāng)xe[0,l)時，h'(x)>0,又〃(-x)=-力(x),.?.力(無)為定義在上的奇函數(shù),

???力⑺在(-M)上單調(diào)遞增,又“⑼=0,

17

.?.當(dāng)xe(—1,0)時，/(x)<0；當(dāng)xe(O,l)時，〃(x)>0；

在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

又尸(0)=°+2<0,lim/,(x)=+oo,lim/,(x)=+oo,

3x0e(O,l),Xje(-l,O),使得/(%)=廣&)=0,

\/卜)在(-1閂)，(％,i)上單調(diào)遞增，在(蒞,后)上單調(diào)遞減；

2

二?函數(shù)/(%)存在唯一的極小值點(diǎn)%￡(0,1),且滿足“osx+--Q=0.

01一天

1

令G(Xo)=cosXo,則G(Xo)=-smXo+Xo,

令X(Xo)=G，(x。)，則〃伉)=-3%+120,

G'(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，即G'(X。)=-