二次函數(shù)與一元二次方程

（知識清單+10大題型+好題必刷）

Q題型梳理

施畫二…濕新物再寫履軸的交點坐標1

題型二求拋物線與y軸的交點坐標

題型三已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值1

題型四拋物線與x軸的交點問題j

題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

題型六求x軸與拋物線的截線長

題型七圖象法確定一元二次方程的近似根|

題型八圖象法解一元二次不等式|

題型九利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍

題型十根據(jù)交點確定不等式的解集

所一如夜滴親

知識點1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

求二次函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，a#0）與x軸的交點坐標，令y=0,即ax2+6x+c=0,解關(guān)于x的一元二

次方程即可求得交點橫坐標.

（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程ax2+fcr+c=0根之間的關(guān)系.

△=房-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=y-4m>0時，拋物線與x軸有2個交點;

△=62-4QC=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=62-4QCV0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-（。，b,。是常數(shù)，QWO）,可直接得到拋物線與x軸的交點坐標

（修，0），（、2，0）.

知識點2.拋物線與x軸的交點

求二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，a#0）與x軸的交點坐標，令y=0,即ax2+6x+c=o,解關(guān)于x的一元二

次方程即可求得交點橫坐標.

（1）二次函數(shù)y=a%2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系.

△=房-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=62-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=廬-4改=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=62-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-皿）（。，b,c是常數(shù)，aWO）,可直接得到拋物線與x軸的交點坐標

（XI，0），（X2，0）.

知識點3.圖象法求一元二次方程的近似根

利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：

（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；

（2）由圖象與>=〃的交點位置確定交點橫坐標的范圍；

（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）.

J題型方法

【題型一】求拋物線與X軸的交點坐標

【例1】（24-25九年級上?湖北荊州?期末）已知二次函數(shù)了=-2/-12X+14,下列說法中不正確的是（）

A.該二次函數(shù)的圖象的開口向下

B.該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（T14）

C.該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是（-7,0）和（1,0）

D.已知點（-1,%）和（2,%）都在這個二次函數(shù)的圖象上，則

【答案】B

【知識點】求拋物線與x軸的交點坐標、y=ax?+bx+c的圖象與性質(zhì)、把y=ax?+bx+c化成頂點式

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.根據(jù)-2<0可得該二次函數(shù)的圖象的開口向下，由此即可判斷選項A正確；將二次函數(shù)的解析式化成頂點式即可

判斷選項B錯誤；求出當>=0時，x的值即可判斷選項c正確；根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷選項D正確.

【詳解】解：,?,二次函數(shù)了=-2--12》+14中的-2<0,

二該二次函數(shù)的圖象的開口向下，則選項A正確；

二次函數(shù)y=-2x2—12x+14化成頂點式為y=-2（無+3）+32,

??.該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（-3,32）,則選項B錯誤；

當>=°時，-2/-12x+14=0,解得x=-7或x=l,

二該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是（-7,0）和（1,0）,則選項C正確；

???二次函數(shù)y=-2（x+3『+32的圖象的開口向下，對稱軸為直線》=-3,

.?.當x>-3時，夕隨x的增大而減小，

又???點（T/J和（2,%）都在這個二次函數(shù)的圖象上，且2>-1>-3,

二%>為，則選項D正確；

故選：B.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?河北保定?階段練習(xí)）如圖，拋物線歹="+2（；+。與x軸交于點/,B（點/在點2的左側(cè)）,

與y軸交于點C（0,3）,點尸在y軸右側(cè)的拋物線上，且不與點3重合，當S/PB=6時，點尸的坐標為（）

A.（2,-3）或（1+77,3）B.（2,3）或（77-1,-3）,

C.（2,3）或（1+方,-3）,D.（2,3）或（l-C-3）,

【答案】C

【知識點】面積問題（二次函數(shù)綜合）、求拋物線與x軸的交點坐標

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與面積的綜合問題，先根據(jù)拋物線y=-f+2x+c與y軸交點求出c的值，再求出

二次函數(shù)于x的交點坐標，設(shè)尸（x,3+2x+3）,根據(jù)已知條件可得出白4乂卜2+2》+3卜6,解絕對值方程進而可求

出點P的坐標.

【詳解】解：?.?拋物線歹=V+2x+c與歹軸交于點。（0,3）,

，。=3,

二拋物線為存4+2T+3,

另>=0,貝！1一丁+2工+3=0,

解得：』=T,x2=3,

貝|JN（-1,O）,5（3,0）,

**-AB=4,

設(shè)P（x,-+2x+3）,

1?1S.APB=6,

—xABxyp=6

gp|x4x|-x2+2x+3|=6,

解得：玉=。（舍去），%=2,x3=1+V7,x4=1-V7（舍去），

當x=2時，＞=-4+4+3=0,此時一（2,3）,

當x=l+V7時，y=-（l+S『+2x（i+V7）+3=_3,止匕時尸（1+近,一3）,

故選：C

2.（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）拋物線了=2x、4x+c與x軸的一個交點坐標為（3,0）,貝壯=.

【答案】-6

【知識點】求拋物線與x軸的交點坐標

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與坐標軸交點的知識，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.將點（3,0）代

入拋物線7=2X2-4X+C,求解即可獲得答案.

【詳解】解：將點（3,0）代入拋物線y=2f-4x+c,

可得2X32-4X3+C=0,解得c=-6.

故答案為：-6.

3.（24-25九年級上?天津濱海新?期中）已知二次函數(shù)y=/-5x+6與x軸交于/,B兩點（點/在點2的左側(cè)），

與V軸交于點C.

⑴求C三點的坐標；

（2）求△/BC的面積.

【答案】⑴4（2,0）,B（3,0）,C（0,6）

（2）△ABC的面積為3.

【知識點】坐標與圖形綜合、求拋物線與x軸的交點坐標

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）將y=0代入二次函數(shù)解析求解一元二次方程再結(jié)合題意即可求得點/、5的坐標;

將x=0代入二次函數(shù)解析，即可求得C點坐標;

(2)由4民。三點的坐標可得/AOC的長，然后根據(jù)三角形的面積公式可得△/BC的面積為g/B

OC,最后代入

數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】(1)解：將V=0代入y=d-5x+6可得：

尤2-5》+6=0,解得：x,=2,x2=3,

?.?點/在點2的左側(cè)，

.?.4(2,015(3,0).

將x=0代入y=/-5x+6可得：y=6,

.-.C(0,6),

(2)解：???4(2,0),3(3,0),C(0,6),

/.AB=3—2=1,。。=6,

.?.5^=-^xOC=-xlx6=3.

ABC22

答：△48C的面積為3.

【題型二】求拋物線與y軸的交點坐標

【例2】(24-25九年級上,浙江杭州?期末)二次函數(shù)了=2f+4x-l的圖象與了軸的交點坐標是(

A.(0,2)B.(0,-1)C.(0,0)D.(0,4)

【答案】B

【知識點】求拋物線與y軸的交點坐標

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，代入求值是關(guān)鍵.

根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征解答即可.

【詳解】解：當x=0時，y=T.

???二次函數(shù)丁=2/+4x-l的圖象與y軸的交點坐標是(0,-1).

故選：B.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）在平面直角坐標系，拋物線y=x2-4與x軸的交點坐標為（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（-2,0）,（2,0）D.（-2,0）,（0,4）

【答案】C

【知識點】求拋物線與y軸的交點坐標

【分析】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟悉用一元二次方程處理二次函數(shù)的問題是解決此題的關(guān)鍵.令y=。，

解方程，-4=0即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=/-4,

.?.當y=0時，/-4=0,

x

解得i=-2，x2=2,

二該函數(shù)y=x2-4與X軸的交點坐標為（-2,0）,（2,0）,

故選：C.

2.（24-25九年級上?廣東深圳?期中）二次函數(shù)了=（x-l）2-l的圖象與V軸的交點坐標是

【答案】（0,0）

【知識點】求拋物線與y軸的交點坐標

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握函數(shù)與坐標軸的交點的求解方法是解題的關(guān)鍵.令

x=o,求出v的值，即可求出與了軸的交點坐標.

【詳解】解：x=0時，y=0,

所以，圖象與V軸交點的坐標是（0,0）.

故答案為：（0,0）.

3.（24-25九年級上?廣東肇慶?期末）如圖，拋物線y=-，+2x+3與y軸交于點8,與x軸交于點C（點/在

點C的右邊）.求/點、8點、C點坐標.

【答案】2（3,0）,8（0,3）,C（-l,0）

【知識點】求拋物線與y軸的交點坐標、求拋物線與x軸的交點坐標

【分析】本題考查求拋物線頂點坐標，拋物線與坐標軸的交點，令v=o,求出x的值，可求出/、C的坐標，令x=0,

求出y的值，可求出8的坐標

【詳解】解：令y=o,則-Y+2X+3=0,

解得X]=—1,々=3,

“（3,0）,C（-l,0）,

令x=0,貝Uy=3,

.-.5（0,3）.

【題型三】已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值

【例3】（24-25九年級上?山西臨汾?期末）點）（3,%）,以4,%）,。（-3,%）均在拋物線夕=幺—&（：+1上，則%,為,%的大

小關(guān)系是（）

A.y2<yt<y3B.%<%<%C.%<%<%D.%<%<必

【答案】B

【知識點】已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值

【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的值，

分別將x的值代入關(guān)系式求出對應(yīng)的函數(shù)值，再比較可得答案.

【詳解】解：當x=3時，必=32-2x3+1=4；

當x=4時，,2=42-2x4+1=9；

當x=—3時，%=(-3)2-2x(-3)+1=16.

<%<%

故選：B.

【舉一反三】

1.(24-25九年級上?山西呂梁?期中)已知二次函數(shù)y=(x-/z)2+1999的圖象上的部分點的坐標如下表，其中6>0,

則b的值為()

Xaa+b

y20242024

A.5B.10C.15D.25

【答案】B

【知識點】利用平方根解方程、已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，表格可知，當x=a,>=2024,當x=a+6,>=2024,代入解析式可得

(a-A)2=25,[a+b-h)2=25,由此即可求解.

【詳解】解：由表格可知，當x=a,y=2024,當x=a+6,y=2024,

丫+1999=2024,(a+6-獷+1999=2024,

??.(a-/?)2=25,(a+6-人『=25,

.?.X]=a-h,x2=a+6_/z是方程/=25的兩日艮，

■-b>0,

a—〃=-5,a+b-h=5,

b=(a+b-h)-(Q-h)=5—(—5)=10,

故選：B.

2.(24-25九年級上?全國?假期作業(yè))二次函數(shù)了="+6x+c的圖象經(jīng)過點/(-4,4),8(2,4),則關(guān)于x的一元二次

方程-4=6(3-x)-c的解為.

【答案】玉=—1,x2=5

【知識點】已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值

【詳解】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)二次函數(shù)了="2+版+。的圖象經(jīng)過點/(-4,4),8(2,4),可以得

到方程4=?2+6x+c解為%=-4,%=2,然后將所求方程變形，即可求得所求方程的解，熟練掌握二次函數(shù)與一元

二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解答】解：???二次函數(shù)y="+6x+c的圖象經(jīng)過點/(-4,4),8(2,4),

:當V=4時，可以得至！J方程4=ax2+bx+c解為x=-4或苫=2,

:方程a(x-3『-4=6(3-x)-c可以轉(zhuǎn)化為方程“X-3)2+“X-3)+C=4,

**?x—3——4x—3—2,

解得：玉=—1,x2=59

故答案為：石=-1,x2=5,

3.(24-25九年級上?浙江杭州?期中)已知二次函數(shù)》=/+及+。(6、。為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(1,0),(3,0),

(1)求該二次函數(shù)的表達式和頂點坐標；

(2)當了=8時，求x的值.

【答案】⑴尸X2-4X+3,頂點坐標(2,-1)

⑵X1=5,X]=

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、把丫=2*2+6*+?；身旤c式、已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值

【分析】本題考查求二次函數(shù)的解析式，求自變量的值：

(1)直接利用兩點式，寫出函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式，求出頂點坐標即可；

(2)把丁=8代入二次函數(shù)解析式，解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)廣/+反+。"、c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(1,0),(3,0),

y=(x-1)(x-3)=/一4x+3=(x-2)2-1,

???頂點坐標為(2,-1)；

(2)當歹=8時，工2一4%+3=8,

—

解得：再=5,x2—1.

【題型四】拋物線與X軸的交點問題

【例4】（24-25九年級上?北京?期中）已知拋物線了=4+加+以"0）與直線y=2x+2的交點橫坐標分別是T和1,

拋物線與x軸的其中一個交點的橫坐標加滿足3＜機＜4,那么。的取值可能是（）

3

A.-3B.1C.2D.

4

【答案】D

【知識點】拋物線與x軸的交點問題、y=ax?+bx+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題拋物線與x軸的交點和拋物線上點的坐標特征，熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.求出拋物線的表

n—2

達式V=〃/+21+2—。，可得加=----，再1艮據(jù)3〈機＜4求解.

【詳解】解：當x=—1時，y=2x+2=0,當％=1時，y=2x+2=4f

即拋物線過點（-1,0）、（L4）,

a-b+c=Q

由題意得:

a+b+c=4

b=2

解得:

c=2-a

則拋物線的表達式為：y=ax2+2x+2-a,

2

令尸°,得ax+2X+2-Q=0,

解得：玉=-1,%2=-----，

a

n—2

???拋物線與X軸的其中一個交點的橫坐標為~,另外一個交點的橫坐標為-1,

a

拋物線與X軸的其中一個交點的橫坐標m滿足3＜加＜4,

d—2

/.m=------,

a

即3c巴工＜4,

a

2

解得：-1＜“＜-],

故選：D.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?陜西渭南?期中）如圖，二次函數(shù)y=x2+x-”的圖象與x軸的一個交點的橫坐標為-2,則關(guān)于x

的一元二次方程/+3》+2-加=0的解是（）

A.X]=0,無？=3B.占=—l,x?=2

C.&=_1,X?=-4D.再=0,X]——3

【答案】D

【知識點】拋物線與x軸的交點問題、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查的是求二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標和求一元二次方程的根，先求出〃，的值，然后把加代入

x?+3x+2-機=0,并解方程即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=Y+x-加的圖象與x軸的一個交點的橫坐標為-2,

.?.（-2）2-2-m=0,

???加=2,

???Y+3%+2-加=0化簡為/+3]=0,

解得再=0,X2=-3,

故選：D.

2.（24-25九年級上?黑龍江大慶?期中）如果一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為“二倍點”，如：M（3,6）,

N（-l,-2）,尸（0,0）都是“二倍點”.若關(guān)于x的二次函數(shù)V=（"l*+（a+2）x+b（。，6為常數(shù)，awl）總有兩個不

同的二倍點，則方的取值范圍是—.

【答案】0<&<1

【知識點】拋物線與x軸的交點問題、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查反正比例函數(shù)，二次函數(shù)的圖象上點坐標的特征，新定義，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元

二次方程根的判別式.根據(jù)新定義得“二倍點”所在直線為y=2x,再聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得方程（a-l）x2+ax+b=0,

再根據(jù)拋物線上有兩個不同的“二倍點”，得方程總有兩個不相等的實數(shù)根，然后由根的判別式求解即可.

【詳解】解：由“二倍點”定義知，該點在直線>=2x,

聯(lián)立jy=（a-l）x?+（a+2）x+6'

整理得：（a-l）x2+ax+b=0,

則A=（a）2-4b（a-1）>0,即a?-4a6+46>0，

v1>0,該拋物線開口向上，

△=16〃一166<0,

解得：0<6<1,

故答案為：0<6<1.

3.（24-25九年級上?廣東廣州?期中）己知拋物線了=/+4x+左-1.若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求左的取值

范圍.

【答案】k<5

【知識點】拋物線與x軸的交點問題

【分析】本題考查二次函數(shù)與坐標軸交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與x軸有兩個交點判別式大于0.

根據(jù)拋物線與X軸有兩個交點，判別式大于0列不等式求解即可得到答案.

【詳解】解：?.?拋物線y=，+41+"1與彳軸有兩個交點，

...A=42-4（＞l-l）＞0,

解得：k＜5.

【題型五】根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

【例5】（24-25九年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）下列圖中尸、。兩點橫坐標是方程辦2+bx+c=0兩根的有幾個？（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【知識點】根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.根據(jù)直線與二

次函數(shù)的關(guān)系式得出方程，再整理并進行判斷即可.

【詳解】解：A.由題意得：ax2=-bx-c,整理得：ax2+bx+c=O則尸、。兩點橫坐標是方程爾+反+°=0兩根,

故圖（1）符合題意;

B.由題意令得：ax2++c=0,貝！J尸、。兩點橫坐標是方程辦之+及+C=0兩根，故圖（2）符合題意;

C.由題意得：ax2+bx+l=l-c,整理得：ax2++c=0,貝4尸、。兩點橫坐標是方程ax?+樂+。=0兩根，故圖（3）

符合題意;

D.由題意得：ax2+c=-bx,整理得：ax2+bx+c=O則尸、。兩點橫坐標是方程爾+6%+o=0兩根，故圖（4）符

合題意;

故選：D

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?重慶巫山?期中）對于代數(shù)式M、N定義一種新運算：M\/N=M--?）MN+N1.

①若X=l,則lV(5x)=24；

②若不，&是一元二次方程f-4x-3=0的兩個根，則X1V%=1；

③若y=|(x-l)Vl|的函數(shù)圖象與直線y=x+6(方為常數(shù))有三個交點時，則6=-1或容.

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識點】根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、新定義下的實數(shù)運算

【分析】本題考查了新定義的概念，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，根據(jù)新定義得到正確的函數(shù)，且能準確理解題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)新定義的概念，利用一元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一對選項進行判斷即可解答.

【詳解】解：當工1時，1V(5X)=1V5=『-3x1x5+52=11^24,故①不正確；

由題意可得X］Vx2=xf-3石無2+考=(%+x2-5X］無2>

bc

2—

木艮據(jù)x—4x—3=0>可得再+%2==4,x^x=—=3,

a2a

，原式=42—5x(—3)=31wl,故②錯誤；

y=|(x-l)Vl|=|x2-5x+5|,

當X2-5工+5=0時，解得x=--%=§+石,

1222

存在兩種情況，使得直線V='+人與歹=|(工T)V】有三個交點，

①當y=x+6經(jīng)過點［三叵時，直線>=x+6與了=卜-1)\/1|有三個交點，

把5，,0代入y=x+6,可得0=囪+b,

I2)2

解得/,=避二2；

2

②當天=%+6與歹=--+5%-5只有一個交點時，直線＞=x+b與V=|（x-1）D1|有三個交點，

可得-x2+5x-5=x+b,

經(jīng)整理可得-，+4x—5-6=0,

2

;.A=Z）-4^=16-4X（-1）X（-5-Z））=0,

解得6=-1,

綜上所述，了=卜-1）列的函數(shù)圖象與直線了=》+6（6為常數(shù)）有三個交點時，則6的值為年或-1,故③正確，

故正確的有1個，

故選：B.

2.（24-25九年級上?北京?期中）已知二次函數(shù)歹=辦2-2以+。-4的圖象與x軸的一個交點坐標是（3,0）,則關(guān)于x的

一元二次方程ax2-2ax+a-4=Q的兩個實數(shù)根是

【答案】X]=3,￡=T

【知識點】根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，求出對稱軸，對稱性，求出拋物線與x軸的另一個交點的坐標，

根據(jù)拋物線與x軸的交點的橫坐標即為對應(yīng)的一元二次方程的解，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：,?■夕="2-2依+。-4,

???對稱軸為直線x=-3=l,

2a

?二次函數(shù)y=a--2亦+。-4的圖象與x軸的一個交點坐標是（3,0）,

???另一個交點的坐標為：（-1,0）,

???關(guān)于x的一元二次方程o?一2辦+0-4=0的兩個實數(shù)根是X1=3,%=-1；

故答案為：玉=3,乙=-1

3.(24-25九年級上?廣西河池?期中)函數(shù)y=-，+2x+3的圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題:

/X]I\

-jra_I_\?

(1)方程一/+2工+3=0的兩個根為一；

(2)當了>0時，則x的取值范圍為_；當-l<x<2時，則變量>的取值范圍為_；

(3)若方程-/+2工+3=左有實數(shù)根，則左的取值范圍是_.

【答案】⑴西=-1,乙=3

(2)-1<x<3；0<y<4

(3)A<4

【知識點】根據(jù)交點確定不等式的解集、根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況、產(chǎn)ax?+bx+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出答案；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合當x=l時，y=4,即可得出答案；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出答案.

【詳解】⑴解：由圖象可得：方程-f+2x+3=0的兩個根為XI=T,%=3.

故答案為：X1=-l,x2=3；

(2)解：由圖象可得：當丁>0時，貝口的取值范圍為-l<x<3,

y=+4,

.?.當x=l時，y=4,

.?.當-l<x<2時，自變量V的取值范0<>44.

故答案為：—1<x<3；0<y<4；

(3)解：由圖象可得：若方程--+2x+3=左有實數(shù)根，左取值范圍是《44.

故答案為：k＜4.

【題型六】求X軸與拋物線的截線長

【例6】（2023?廣東梅州?一模）已知拋物線＞=與一次函數(shù)y=2x+6交于48兩點，則線段N5的長度為（）

4

A.20cB.20gC.4073D.20

【答案】A

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、求x軸與拋物線的截線長、已知兩點坐標求兩點距離

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到J--2X-6=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系，再運用兩點距離公式變形求出

4

長度即可得到答案.

【詳解】解：.??拋物線＞=與一次函數(shù)y=2x+6交于43兩點，

4

f1

y—_%2j

???聯(lián)立v4,消兀得-2、-6=0,

y=2x+6

xx+x2=8,xxx2=-24,

N8=加1-4+（乂-%）2

=J（X[-x2）+[（2X]+6）-（2x2+6）]

=j5x[8-x（一24）]

20班

故選：A

【點睛】本題考查平面直角坐標系中求線段長問題，涉及函數(shù)圖像交點問題、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之

間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點之間距離公式是解決問題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

1.(22-23九年級上?吉林長春?期中)在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)＞=(X+D(X-3)+3的圖象沿了軸向下平移3

個單位后，所得函數(shù)圖象與x軸的兩個交點之間的距離為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識點】二次函數(shù)圖象的平移、求x軸與拋物線的截線長

【分析】求出拋物線平移后的解析式可得拋物線與x軸的交點坐標，進而求解.

【詳解】解：將二次函數(shù)y=(x+i)(x-3)+3的圖象沿y軸向下平移3個單位后所得的函數(shù)解析式為

y=(x+l)(x-3)+3-3,即為了=(x+l)(x—3),

此拋物線與x軸的兩個交點坐標為(-1,0),(3,0),

則此拋物線與無軸的兩個交點之間的距離為3-(-1)=4,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律和二次函數(shù)的交點式是解題關(guān)鍵.

2.(23-24九年級上?河北邢臺?階段練習(xí))在平面直角坐標系中，拋物線了=/+阮+。的頂點坐標為(1,-4),若拋物線

與x軸相交于A,8兩點，貝|6=.AB=.

【答案】-24

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求x軸與拋物線的截線長

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，先求得解析式，進而求得人的值，令＞=0,進

而得出的長.

【詳解】解：：y=x2+6x+c中，a=1,頂點坐標為

???拋物線解析式為V=(X-1)2-4=X?-2x-3,則b=-2,

令>=0,貝"一2x—3=0,

解得：為=-1,七=3

/8=3-（_1）=4,

故答案為：-2,4.

3.（24-25九年級上?遼寧鐵嶺?階段練習(xí)）已知拋物線L的解析式為y=*_（2"-3）x+〃-4（〃為常數(shù)）

⑴當〃=2時，求拋物線L馬x軸的兩個交點分別為A和B之間的距離；

（2）求證：拋物線工與x軸必有兩個交點.

【答案】（1）3

（2）證明見解析

【知識點】拋物線與x軸的交點問題、求x軸與拋物線的截線長

【分析】本題考查二次函數(shù)與％軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（1）當〃=2時，令y=0,得/_》_2=0,解方程即可得出拋物線工與x軸的兩個交點A和3的橫坐標，即可求解；

（2）令>=0,得/-（2力-3卜+"-4=0,利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況即可得出拋物線Z與x軸交點的情

況.

【詳解】（1）解：5=2,

y=x2-x-2,

令>=0,

得：x2-x-2-O>

解得：西=2,x2=-1.,

：.AB=2-（-1）=3；

（2）證明：令y=0,

貝U：x2—（2/7-3）X+?;-4=0,

■■■a=\,b=-（2?-3）,c=n-4,

2

A=[-（2〃-3）]-4x1x（〃一4）

=4w2-12〃+9-4〃+16

=4及之-16^+25

=4（n-2）2+9,

:（〃一2『>0,

/.4（W-2）2+9>0,

???拋物線L與x軸必有兩個交點.

【題型七】圖象法確定一元二次方程的近似根

【例7】（24-25九年級上?江蘇南通?期末）下表給出了二次函數(shù)y=a/+6x+c中的部分對應(yīng)值，可以估計方程

ox?+6x+c=0的一個解x的取值范圍是（）

X0.250.50.751

y-1.69-0.251.313

A.0<x<0.25B.0.25<x<0.5

C.0.5<x<0,75D.0.75<x<l

【答案】C

【知識點】圖象法確定一元二次方程的近似根

【分析】本題考查了利用二次函數(shù)求一元二次方程的解，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知當x=0.5時，丁=-0.25<0,當x=0.75

時，>=1.31>0,可知當y=0時，對應(yīng)的x值的取值范圍是0.5<x<0.75.

【詳解】解：從表中可以看出：

當x=0.5時，y--0.25<0,

當x=0.75時，>=1.31>0,

二當丁=0時，對應(yīng)的x值的取值范圍是0.5<x<0.75.

故選：C.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?海南省直轄縣級單位?期中）如圖，拋物線了=G2+。與直線N=冽x+〃交于8（3應(yīng)）兩

點，貝!1方程ax?+C=7WX+"的解為（）

A.x=-1B.x=3C.尤=-1或3D.x<-l或x>3

【答案】C

【知識點】根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況、圖象法確定一元二次方程的近似根、y=ax2+k的圖象和性質(zhì)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)拋

物線昨加+c與直線>=蛆+〃交于/（Tp）,8（3,q）兩點，即可得到答案.

【詳解】解：,?,拋物線yX+c與直線尸妙+〃交于/（一1,0,8（3。兩點，

'1'ax2+c-mx+n的解為x=-1或3,

故選：C.

2.（24-25九年級上吶蒙古呼和浩特?期末）已知二次函數(shù)了=爾+為+。（"0）的變量的部分對應(yīng)值如表：

X-3-2-101

y1361-2-3

根據(jù)表中信息，可得一元二次方程a?+6x+c=0的一個近似解天的范圍是.

【答案】-1<^<0

【知識點】圖象法確定一元二次方程的近似根

【分析】本題考查了圖像法求一元二次方程的近似解，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：當x=T時，y=0且當x=0時-，了=-2

一元二次方程辦2+法+c=0的一個近似解玉的范圍是-1<占<0

故答案為：-1＜玉＜0.

3.(24-25九年級上?浙江嘉興?階段練習(xí))如圖1,在直角坐標系中畫出拋物線了=/和直線y=x+2的圖象，利用圖

象可以直接得到一元二次方程/-x-2=0的解.

⑴根據(jù)圖1,直接寫出一元二次方程/一工-2=0的解;

(2)請參考上述方法，再給出兩種作圖法求方程無2-x-2=0的解(分別畫在圖2和圖3).

【答案】⑴尤2-x-2=0的解是玉=-1,-2=2.

(2)畫圖見解析

【知識點】圖象法確定一元二次方程的近似根

【分析】本題考查的是利用圖象法求解一元二次方程的解，掌握數(shù)形結(jié)合的方法是關(guān)鍵；

(1)由圖1可得：拋物線了=/和直線7=尤+2的圖象的交點的橫坐標為：

-1,2,即方程小，「無一2=0的解;

(2)由方程x2-x-2=0可得其解是函數(shù)函數(shù)y=與直線了=2的交點的橫坐標；或函數(shù)y=/一2與直線V=x的

交點的橫坐標；再畫圖即可.

【詳解】(1)解：由圖1可得：拋物線夕=/和直線＞=x+2的圖象的交點的橫坐標為：

-1,2,

x=-1,x=2是方程x?=x+2的解；

二3-x-2=0的解是否=-1,x2=1.

(2)解：如圖，方程--工-2=0的解是函數(shù)了=Y-x與直線了=2的交點的橫坐標;

如圖，方程爐-x-2=0的解是函數(shù)了=f-2與直線V=X的交點的橫坐標;

【題型八】圖象法解一元二次不等式

【例8】（24-25九年級上?河南開封?期末）二次函數(shù)y=--x-2的圖象如圖所示，則函數(shù)值>>0時，自變量x的取值

范圍是（）

A.x<-1B.x>2C.-1<x<2D.x<-l或x>2

【答案】D

【知識點】圖象法解一元二次不等式

【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系.根據(jù)題意，當函數(shù)值了>。時，自變量x的取值范圍，就是求當函數(shù)圖

象在x軸上方時，對應(yīng)的x取值范圍，由此得到答案.

【詳解】觀察圖象知，當函數(shù)值>>0時，自變量x的取值范圍是或x>2,

故選：D.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?湖北宜昌?期中）已知函數(shù)了=+6的圖象如圖所示，當丁>0時，則于x的取值范圍是（）

A.-1<x<3B.尤<-1或x>3C.x<0或x>3D.0cx<3

【答案】B

【知識點】圖象法解一元二次不等式

【分析】本題考查二次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖象寫出X軸上方部分的X的取值范圍即可.

【詳解】解：由圖象可知，當y>0時，x<-l或x>3,

故選：B.

2.（24-25九年級上?青海西寧?期中）如圖，已知關(guān)于x的一元三次方程辦3+云2+°工+42+1=0的解為玉=-3,x2=l,

X3=2,請運用函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合的思想方法，判斷關(guān)于X的不等式"3+云2+/+上2+1>。的解集.

【答案】-3<x<l或x>2

【知識點】圖象法解一元二次不等式

【分析】本題考查數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找到圖象在x軸上方時的自變量的取值范圍即可.

【詳解】解：由圖象可知：關(guān)于x的不等式辦3+隊2+審+/+1>0的解集為：一3<x<l或x>2；

故答案為：-3Vx<1或x>2.

3.（24-25九年級上?北京海淀?期中）如圖，已知二次函數(shù)％=ad-2x+c經(jīng)過點和點C（0,-3）,

(1)求c的值和點B的坐標；

⑵若一次函數(shù)為=依+6經(jīng)過3、C兩點，直接寫出不等式辦2-2x+c<fcc+b的解集.

【答案】⑴c=-3；2(3,0)

(2)0<x<3

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖象法解一元二次不等式

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與不等式，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)先把點A和C的坐標分別代入弘=a/_2x+c中得到方程組，解之即可得到。、c的值，從而得到拋物線解析式,

然后解方程--2x-3=0可得B點坐標；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線在拋物線上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：.??二次函數(shù)％=a/-2x+c經(jīng)過點和點C(0,—3)

JQ+2+C=0

?1c=-3

\a=\

解得：,

[c=-3

，二次函數(shù)解析式為丁=/-2x-3

當歹=0時，/-2x-3=0

解得：再=-1,X2=3

.-.5(3,0)

??.c的值為-3；點3的坐標為(3,0).

（2）解：觀察圖象可知，當0<x<3時，必<%

不等式爾一21+。<履+6的解集為0<x<3.

【題型九】利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍

【例9】（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）已知、=/,當-IVxV2時，y的取值范圍是（）

A.-1<J^<4B.0<_y<1

C.0<y<4D.i<y<4

【答案】C

【知識點】y=ax?+bx+c的圖象與性質(zhì)、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍

【分析】此題是二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，主要從圖象上看到關(guān)鍵的信息，解本題的關(guān)鍵是自變量的范圍內(nèi)包

括對稱軸x=0,要特別注意.根據(jù)x=-l和x=2時的函數(shù)值，再確定出拋物線的最低點的函數(shù)值，即可.

【詳解】解：當x=-l時，>=1,

當x=2時，y=4,

而拋物線的對稱軸為x=0時，y=0,

,-.0<y<4

故選：C.

【舉一反三】

1.（24-25九年級上?湖北武漢?期末）已知二次函數(shù)y=亦2+瓜+°（。W0）圖象的一部分如圖所示，點（-2,0）在該函數(shù)

圖象上，其對稱軸為直線x=-；.則當了>0時，自變量x的取值范圍正確的是（）

A.-2<x<0B.X<-2或x>lC.x<lD.-2<x<l

【答案】D

【知識點】利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍、根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象對稱性是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性,

由圖象過點(-2,0),對稱軸為直線x=-;，可得圖象與x軸的另一個交點坐標為(1,0),再由二次函數(shù)圖象性質(zhì)得出函

數(shù)值>>0時，自變量x的取值范圍.

【詳解】解：???圖象過點(-2,0),對稱軸為直線x=-g,且言L-g,

??.圖象與x軸的另一個交點坐標為(1,0),

由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，

當函數(shù)值丁>0時，

自變量x的取值范圍是-2<x<l.

故選：D.

2.(22-23九年級上?北京?期中)如圖，直線％=如+〃與拋物線為=/+云+。交于A,8兩點，其中點/(2,-3),點

3(5,0),當%>%時，x的取值范圍是.

X|]I/

【答案】2Vx<5

【知識點】利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍、根據(jù)交點確定不等式的解集

【分析】本題考查了根據(jù)直線和拋物線交點確定不等式的解集.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與數(shù)形結(jié)合.

由題意知，當必>%時，則x的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應(yīng)的所有的x的取值，然后數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】解：由題意知，當必>%時，則x的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應(yīng)的所有的x的取值，

???圖象交于點4(2,-3),點8(5,0),

當%>%時，2<x<5,

故答案為：2<x<5.

3.(24-25九年級上?河南濠河?期末)已知拋物線>=(》-1)。-5).

(1)用配方法求該拋物線的頂點坐標；

⑵填空：

①點A(m,5)和B(n,5)在拋物線上，則線段AB的長為；

②當04x46時，則y的取值范圍是.

【答案】⑴(3,-4)

⑵①6;②-4"W5

【知識點】線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍、y=ax?+bx+c的圖象與性質(zhì)、把

y=ax2+bx+c化成頂點式