二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【十大題型】

【考點梳理】

【知識梳理】

知識點一一元二次不等式的概念

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

222

ax-\~bx-\-c>0,ax-\~bx+c<0fax+bx-\-c^0,其中aWO,

一般形式

a,b,c均為常數(shù)

知識點二一元二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)y=aN+6x+c,我們把使G2+6X+C=0的實數(shù)X叫做二次函數(shù)y="2+6x+c的零點.

知識點三二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系

判別式力=〃一AacJ>0J=0J<0

衛(wèi)

二次函數(shù)y=aN+6x+c(a>0)的圖象

有兩個相等的實數(shù)根

有兩個不相等的實

一元二次方程辦2+bx+c=0(a>0)的根b沒有實數(shù)根

數(shù)根修，X2(Xi<X2)Xi■-

一la

卜x)

ax2-\-bx~\-c>0(tz>0)的解集{x|x<%i,或介必}R

ax2+for+c<0(tz>0)的角星集{x\X\<X<X2}00

知識點四解一元二次不等式

①化為基本形式ax2+bx+c>Q或aN+bx+c<0(其中a>0)；

②計算/=〃-4ac,以確定一元二次方程辦2+&+°=0是否有解;

③有根求根；

1

④根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

知識點五解分式不等式

(1)—>0<V(x)-g(x)>0;(2陛<000x)，g(x)W0,(3型2=^^0.

jg(x)*0；

g(x)g(x)g(無)g("

知識點六.簡單的絕對值不等式

|x|>a(a>0)的解集為(一8,—a)U(°,+8),忖<°(°>0)的解集為(一a,a).

知識點七一元二次不等式恒成立問題

恒成立的不等式問題通常轉化為求最值問題，即：左卷X)恒成立O427(X)max；左W/(X)恒成立O左W?v)min.

【例題詳解】

題型一、解不含參數(shù)的一元二次不等式

1.(24-25高一上?全國)解一元二次不等式

(1)X2+2X-3<0；

(2)x—%2+6<0;

⑶4/+4X+120;

(4)X2-6^+9<0.

2.(24-25高一上?山東淄博?階段練習)求下列一元二次不等式的解集

(l)x2-5x+6>0

(2)(x+2)(x—3)<0

(3)9X2-6X+1>0

2

(4)-X+2X-3>0

3.(24-25高一上?全國?課前預習)解下列不等式:

2

(l)x2-5x-6>0;

(2)—x2+7x>6;

⑶(2-x)(x+3)<0；

⑷4(2x?-2x+l)>x(4-x).

題型二、解分式不等式和含絕對值不等式

4.（24-25高一?上海?課堂例題）解下列不等式:

X+1

(1)>0；

3x—2

3x+l

⑵>一1;

3-x

(3)2+^-<5

X—\4^

5.（24-25高一上?上海?期中）求下列不等式的解集:

,、2x—l1

y

(2)|x+l|+|x+2|>3.

6.（2025高三?全國?專題練習）解下列關于x的不等式:

3

(1)—x2+2x+3>0;

(2)6—2x2—x<0;

x+1

⑶<1;

2x-3

4x-9

(4)>3；

x-1

(5)|x-6|<2x；

..J_3x_10

⑹尤2T<0；

(7)212―3x-5

>1;

3x?—13x+4

(8)X2-2|X|-3>0；

(9)(X+4)(X+5)2(2-X)3<0；

(1°U

>1.

題型三、解含有參數(shù)的一元二次不等式

7.（24-25[Wj一■上,北泉,期中）解關于％的不等式：a/—（〃+2）x+2N0（Q￡R）.

8.（24-25高一上?四川成都?階段練習）已知函數(shù)/（%）=辦2+（Q+i）x（q￡R）.

4

⑴若〃x)41,求。的取值范圍;

(2)解關于x的不等式〃x)<T.

9.(24-25高一上?廣西南寧?階段練習)已知函數(shù)/(x)=a，-(a+l)x+l.

⑴若Vxe(l,+8),/(x)>0,求實數(shù)”的取值范圍;

(2)解關于x的不等式〃x)>0.

題型四、由一元二次不等式的解確定參數(shù)

10.(24-25高一上,貴州畢節(jié),階段練習)若不等式ad+5x+lV0的解集為[x-=WxW-U，則不等式Rwl的解

[23Jx-3

集為()

A.艮+⑹B.(3,+co)C.D.

11.(24-25高一上,陜西?期末)若關于x的不等式辦2-云+c>0的解集為{x[T<x<2},貝ij日2一辦+°<0的解集為

()

A.(-1,2)B.(-s,-l)U(2,+⑹

C.(-2,1)D.(-s,-2)U(l,+⑹

12.(24-25高一上?河北唐山?期末)若不等式加+法+4>。的解集為{x|-l<》<4},則不等式(x-a)(x+河>0的解

集為()

5

A.{x|-3<x<1}B.{x\x>3^x<l]

C.{x|—3<x<—1jD.{x\x<-3^x>-]]

題型五、一元二次方程根的分布問題

13.(24-25高一上?河南?階段練習)已知一元二次方程/+(/+小+”2=0的一根比1大，另一根比1小，則實

數(shù)。的取值范圍是()

A.{a卜3<a<l}B,{a卜2<a<。}C.{a|-l<a<。}D.{a[0<a<2}

14.(24-25高一上?浙江?期中)關于x的方程/+(a-2)》+5-。=0有兩根，其中一根小于2,另一根大于3,則實

數(shù)。的取值范圍是()

A.{。|。<一5或0>-4}B.{a|-5<a<-4}

C.-5jD.-4}

15.(24-25高一上?安徽合肥?期中)已知關于x的方程無?+(加-2)x+5-加=0有兩個大于2的相異實數(shù)根，則實數(shù)加

的取值范圍是()

A.{m|-5<m<-4ngm>4}B.^m\-5<m<-4|

C.pw|-5<m<-41D.{加卜5<〃？<—4或7〃>4}

題型六、一元二次不等式在實數(shù)集上的恒成立問題

16.(24-25高一上?重慶?期末)若不等式(叱2)/-2("2b-4<0對一切恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為

()

A.(-8,-2)。(2,+<?)B.(-co,-2)u[2,+oo)

C.(-2,2)D.(-2,2]

17.(24-25高一上?湖南永州?階段練習)若不等式以/+2"a-4<2/+以的解集為區(qū)，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(-2,2]

C.(-co,-2)u[2,+co)D.(-co,2)

18.(24-25高一?上海?課堂例題)若不等式辦2+2亦-4<2尤?+4x對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)。的取值范圍是

6

()

A.(-2,2)；B.(-2,2]:

C.(-℃-2)U[2,+co)；D.2].

題型七、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題

19.(24-25高一上?山東臨沂?期末)"加<2"是一加x+120在xe[2,+s)上恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

20.(24-25高一上,江蘇南通?期中)\^€(-1,+8),/+(1-左.+1-左20恒成立，則實數(shù)人的取值范圍為()

A.(-0>,-1]B.C.(-3,1]D.(-8/]

21.(24-25高一上?貴州?期中)已知集合/={爐-5—640},對于任意的，一，不等式/+以一>2x-l恒成立，

則實數(shù)x的取值范圍是()

A.(1,2)B.(-<?,1)U(1,+<?)

C.(-5,2)D.(-s,-5)U(2,+s)

題型八、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題

22.(24-25高一上?江西南昌?階段練習)若關于x的不等式/-4x>a2-5a在區(qū)間[。,4]內有解，則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.(0,5)B.(1,4)

C.(-8,0)“5,+8)D.(-co,l)U(4,+oo)

23.(24-25高一上?江蘇常州?階段練習)方程ax2-x-6=0在區(qū)間[1,3]內有解，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[2,5]B.[1,7]C.(2,5)D.[1,5]

24.(2023高三?全國?專題練習)若關于x的不等式V+MX-4>0在區(qū)間[2,4]上有解，則實數(shù)加的取值范圍為

()

A.(-3,+co)B.(0,+oo)C.(-oo,0)D.(-co,-3)

7

題型九、一元二次不等式的實際應用

25.（25-26高一上?全國）汽車在行駛時，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這

段距離為"剎車距離剎車距離是分析交通事故的一個重要因素.在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而

行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相碰了.事故后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略

超過10m,又知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關系：=0.1x+0.01x2,

s乙=0.05工+0.005/.則可判斷甲、乙兩車的超速現(xiàn)象是（）

A.甲車超速B.甲車不超速C.乙車超速D.乙車不超速

26.（24-25高一上?云南昭通?期末）已知某零件原來的售價為15元，可售出50萬件，據(jù)市場調查，該零件的單價

每提高1元，銷售量就減少2萬件.現(xiàn)該零件的銷售商計劃對該零件進行提價銷售，若提價后的售價為x元，為使提

價后該零件的銷售總收入不低于原來的銷售總收入，則x的最大值是（）

A.20B.25C.27D.28

27.（24-25高一上?廣東廣州?期末）某地區(qū)上年度電價為0.8元/（kW-h）,年用電量為.kW.h,本年度計劃將電

價下降到0.55元/（kW-h）至0.7元/（kW?h）之間，而用戶期望電價為0.4元/（kW?h）.經(jīng)測算，下調電價后

新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比（比例系數(shù)為左）.該地區(qū)的電力成本價為0.3元/（kW-h）.

（1）寫出本年度電價下調后電力部門的收益》（單價：元）關于實際電價x（單位：元/（kW-h））的函數(shù)解析式；

（收益=實際電量x（實際電價-成本價））

⑵設左=0.2%當電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?

8

題型十：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式綜合問題

28.(24-25高一上?甘肅甘南?期末)已知函數(shù)/(x)=/+ax+3.

(1)當。=-4時，求不等式的解集；

(2)若關于x的不等式〃X)W6/+3的解集為[a-4,a2-4],求實數(shù)。的直

29.(24-25高一上?安徽蕪湖?期末)已知關于x的不等式/-2(20+6-1)僅-1"0(6>0).

(1)當不等式的解集為時，求。力的值；

(2)若a>0且不等式恒成立，求工+?的最小值.

ab

30.(24-25高一上?山東德州?期末)已知函數(shù)/(x)=/+(a_l)x+6.

(1)若關于x的不等式〃x)<0的解集為(7,2),求。、6；

(2)當=1時，

①若關于尤的不等式〃x)Z0解集為R,求實數(shù)。的取值范圍；

②若a、6e(O,+⑹，求3+1的最小值.

ab

9

【專項訓練】

一、單選題

1.（2025高一上?河北保定?專題練習）不等式--國-2<0的解集是（）

A.{x|-2<x<2}B.{引1<一2或工〉2}

C.{x|-1<x<1}D.或x>l}

2.（24-25高一上?全國?課前預習）不等式依2+5x+6>0的解為g<x<g,則a、b的值分別為（）

A.-6,-1B.1,6C.—1,—6D.-1,—1

3.（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）某工人共加工300個零件，在加工100個零件后，改進了操作方法，每天多加工

15個，用了不到20天的時間就完成了任務，則改進操作方法前每天至少加工零件的個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

4.（25-26高一上,全國?課后作業(yè)）已知不等式以2+隊-3>0的解集為{劃》>1或》<-3},則不等式—>0的解集

x+a

為（）

A.{x|-l<x<2}B.{%|-2<x<2}C.{x\x>2^x<-1}D.{x|x>1或x<-2}

5.（25-26高一上?全國裸后作業(yè)）若關于x的不等式機/—加工_1<0的解集是R,則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.{m|-4<m<0}B.{m|-4<m<0}C.{m10<m<4}D.{m|-4<m<0}

6.（24-25高一上?云南昭通?期中）已知不等式af+bx+cvo的解集為{Jx<-1或x〉3},則下列結論正確的是

（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c>0

D.OX?_6x+Q<0的解集為,％T<%

7.（24-25高一上?廣東廣州?階段練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花

園（陰影部分），則其邊長工（單位：加）的取值范圍是（）

10

A.15<x<20B.124x425C.104x430D.204x430

x2-x-6>0

8.（24-25高一上?安徽合肥?期末）已知關于x的不等式組仔>。）僅有一個整數(shù)解，則上的取

2x2+(l-2k)x-k<0

值范圍為（）

A.[4,5）B.（4,5]C.[3,4）D.（3,4]

二、多選題

9.（24-25高一上?貴州畢節(jié)?期末）已知命題p:x2-4x+3>0,那么命題〃成立的一個充分不必要條件是（）

A.x<-1B.1<x<2C.x>4D.2<x<3

10.（24-25高一上?山東日照?期末）已知關于x的不等式江+云+C20的解集為{x|-3WxW4},貝|（）

A.a<0

B.a+b+c<0

C.不等式cf一bx+Q<0的解集為卜一；<x<：>

D.六+；的最小值為6

36+12

,3

11.（24-25高一上?廣東廣州?期末）使不等式2區(qū)?+自一:<。對一切實數(shù)x都成立的一個充分條件是（）

O

A.k=0B.k=1C.k=—1D.—3〈左<0

12.（24-25高一上?江蘇鹽城?期末）已知關于無的不等式辦2+法+°>0的解集為（-1,3）,則（）

A.a<0B.a+b+c<0

C.不等式bx>a+c的解集為（1,+8）D.不等式ex2-fox+aW0的解集為

13.（24-25高一上?陜西西安?階段練習）關于x的不等式"z+bx+cZO的解集為{x|xW-1或x1},下列說法正確

的是（）

A.a>0B.不等式ex?—6x+a<0的解集為<x<1

3

c.；+c的最大值為-4D.a-b+c=Q

b

三、填空題

14.（24-25高一上?安徽亳州?階段練習）不等式(x+l)(x+2)(x+3)>26x-2的解集為

2

15.（24-25高一上?江西上饒?階段練習）已知不等式ax+bx+2>Q的解集為卜卜〈-2或x1},則不等式

2x2+bx+a<0的解集為.

11

3

16.（24-25高一上?廣東深圳?期末）當關于x的不等式2AX2+^X-|<0對一切實數(shù)X都成立時,k的取值范圍是.