高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市惠東縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，那么向量的坐標是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為，該點是第三象限點，故選：C．3.在中，，則的面積是（）A. B. C.12 D.【答案】B【解析】在中，，則由余弦定理可得，求得，，故的面積為.4.如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B5.記的內(nèi)角的對邊分別為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，由正弦定理可得，又，在中，，故，即，故“”是“”的充分條件；當時，例如，，，，有，符合題意，但，故“”不是“”的必要條件；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，底層圓臺的上下底面圓半徑分別為，且,則青銅器的體積為，故選：D7.在中，分別為角的對邊），則的形狀可能是（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】因為，所以，即，即，由正弦定理可得，所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：B.8.如圖，中，，，.在所在的平面內(nèi)，有一個邊長為1的正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的邊長為，可得，則，正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），可得，所以，即的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分：若只有3個正確選項，每選對一個得2分9.設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】對于A，因為，則，其虛部為2，故A正確；對于B，取，此時，但，故B錯誤；對于C，若，則，故，故C正確；對于D，若，則，解得，故D錯誤.故選：AC.10.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.當時，最小值為C.當有兩個解時，的取值范圍是D.當為銳角三角形時，的取值范圍是【答案】BD【解析】中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則，A選項錯誤；當時，，當時等號成立，所以最小值為，B選項正確；由正弦定理，，當有兩個解時，且，的取值范圍是，C選項錯誤；，，當為銳角三角形時，，解得，則，，，所以的取值范圍是，D選項正確.故選：BD.11.已知圓錐頂點為，底面圓的直徑長為，.若為底面圓周上不同于，的任意一點，則下列說法中正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.面積的最大值為C.圓錐的外接球的表面積為D.若圓錐的底面水平放置，且可從頂點向圓錐注水，當水的平面過的中點時，則水的體積為【答案】BCD【解析】對于A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B：的面積，在中，，故為鈍角，由題意可得，故當時，面積的最大值為，故B正確；對于C：由選項B可得：，則為鈍角，可得，由題意可得圓錐的外接球半徑為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即，故圓錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D：當水的平面過的中點時，則水的體積，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.方程有一個根為，求實數(shù)_______【答案】5【解析】依題意，方程的兩個根為，，所以.故答案為：513.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則__．(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】【解析】因為向量在向量方向上的投影向量為，且，所以，所以，則．故答案為：14.的內(nèi)角的對邊分別為，若，且為銳角，則當取得最小值時，的值為___________．【答案】【解析】由正弦定理將變形可得，即，由可得，而是銳角，所以，則由余弦定理可得，則，當且僅當時，取得最小值，故，故，所以.故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值.解：（1）由題意，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，∴.16.解答下列各題：（1）已知z是復(fù)數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)z；（2）已知復(fù)數(shù)，實數(shù)為何值時，復(fù)數(shù)表示的點位于第四象限．解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因為為實數(shù)，所以，則復(fù)數(shù)，又因為為純虛數(shù)，則，得，所以復(fù)數(shù)．（2），由復(fù)數(shù)表示的點位于第四象限，可得，解得，當時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，∴m的取值范圍為.17.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求﹔（2）若，為的中點，求.解：（1）因為，所以，整理得，因為，所以，則；（2）因為，由余弦定理得，即，解得或（舍去），又因為D為BC的中點，所以，則，所以.18.如圖，四邊形是圓柱底面圓的內(nèi)接四邊形，是圓柱的母線，，，，是上的一個動點.（1）求圓柱的表面積（2）求四棱錐的體積的最大值解：（1）如圖：連接BD，在中，，，由余弦定理，得，設(shè)圓柱底面半徑為r，由正弦定理，得，所以圓柱的表面積.（2）由（1）知，中，，，由余弦定理，得，當且僅當時取等號，則，于是的面積，而，又，則四棱錐的體積，所以四棱錐的體積的最大值為.19.中，已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求的余弦值.（1）證明：因為，所以由正弦定理得因為，所以由正弦定理得，，所以，又，所以.即為（2）解：如圖所示，過點作交于點，設(shè)，則因為，所以，即，則，所以，所以.在中，，在中，.因為，所以，所以，化簡得，方程兩邊同時除以，得，解得或.當，即時，；當，即時，（舍去）.綜上，.

廣東省惠州市惠東縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，那么向量的坐標是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為，該點是第三象限點，故選：C．3.在中，，則的面積是（）A. B. C.12 D.【答案】B【解析】在中，，則由余弦定理可得，求得，，故的面積為.4.如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B5.記的內(nèi)角的對邊分別為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，由正弦定理可得，又，在中，，故，即，故“”是“”的充分條件；當時，例如，，，，有，符合題意，但，故“”不是“”的必要條件；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，底層圓臺的上下底面圓半徑分別為，且,則青銅器的體積為，故選：D7.在中，分別為角的對邊），則的形狀可能是（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】因為，所以，即，即，由正弦定理可得，所以，得，在中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：B.8.如圖，中，，，.在所在的平面內(nèi)，有一個邊長為1的正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的邊長為，可得，則，正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），可得，所以，即的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分：若只有3個正確選項，每選對一個得2分9.設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】對于A，因為，則，其虛部為2，故A正確；對于B，取，此時，但，故B錯誤；對于C，若，則，故，故C正確；對于D，若，則，解得，故D錯誤.故選：AC.10.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則B.當時，最小值為C.當有兩個解時，的取值范圍是D.當為銳角三角形時，的取值范圍是【答案】BD【解析】中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則，A選項錯誤；當時，，當時等號成立，所以最小值為，B選項正確；由正弦定理，，當有兩個解時，且，的取值范圍是，C選項錯誤；，，當為銳角三角形時，，解得，則，，，所以的取值范圍是，D選項正確.故選：BD.11.已知圓錐頂點為，底面圓的直徑長為，.若為底面圓周上不同于，的任意一點，則下列說法中正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.面積的最大值為C.圓錐的外接球的表面積為D.若圓錐的底面水平放置，且可從頂點向圓錐注水，當水的平面過的中點時，則水的體積為【答案】BCD【解析】對于A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，故A錯誤；對于B：的面積，在中，，故為鈍角，由題意可得，故當時，面積的最大值為，故B正確；對于C：由選項B可得：，則為鈍角，可得，由題意可得圓錐的外接球半徑為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即，故圓錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D：當水的平面過的中點時，則水的體積，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.方程有一個根為，求實數(shù)_______【答案】5【解析】依題意，方程的兩個根為，，所以.故答案為：513.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則__．(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】【解析】因為向量在向量方向上的投影向量為，且，所以，所以，則．故答案為：14.的內(nèi)角的對邊分別為，若，且為銳角，則當取得最小值時，的值為___________．【答案】【解析】由正弦定理將變形可得，即，由可得，而是銳角，所以，則由余弦定理可得，則，當且僅當時，取得最小值，故，故，所以.故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值.解：（1）由題意，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，∴.16.解答下列各題：（1）已知z是復(fù)數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)z；（2）已知復(fù)數(shù)，實數(shù)為何值時，復(fù)數(shù)表示的點位于第四象限．解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因為為實數(shù)，所以，則復(fù)數(shù)，又因為為純虛數(shù)，則，得，所以復(fù)數(shù)．（2），由復(fù)數(shù)表示的點位于第四象限，可得，解得，當時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，∴m的取值范圍為.17.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求﹔（2）若，為的中點，求.解：（1）因為，所以，整理得，因為，所以，則；（2）因為，由余弦定理得，即，解得或（舍去），又因為D為BC的中點，所以，則，所以.18.如圖，四邊形是圓柱底面圓的內(nèi)接四邊形，是圓柱的母線，，，，是上的一個動點.（1）求圓柱的表面積（2）求四棱錐的體積的最大值解：（1）如圖：連接BD，在中，，，由余弦定理，得