第6講空間直線、平面的垂直

知識點(diǎn)1異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a，〃a,b'//b,則a，與b，所成的銳角(或直

角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)異面直線所成的角0的取值范圍：0°<0<90°.

(3)如果兩條異面直線a,b所成的角是直角，就說這兩條直線互相垂直，記作a，b.

知識點(diǎn)2直線與平面垂直的判定

1.直線與平面垂直

定義如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直

記法l-La

有關(guān)直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的

概念公共點(diǎn)P叫做垂足.

1

圖示17

畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

注：1.對直線與平面垂直的幾點(diǎn)說明

(1)定義中的“任意二條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語.

(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形.

(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意

一條直線.這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法.

2.直線與平面垂直的判定定理

文字一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來判斷此直線與平面垂直”.實(shí)際上，由基本事實(shí)4

可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個(gè)平面內(nèi)平行于這條直

線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線平行.

2.判定定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過直線間的垂直來證明直線與平面垂直.通常我們將其

記為“線線垂直，則線面垂直”.因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來解決.也就是說，以后證明一條

直線和一個(gè)平面垂直，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂直即可.直線與平面垂直的判定

定理體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直.在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面

垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線

3.直線和平面所成的角

（1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面

的交點(diǎn)叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的

射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

注：（1）對斜線和平面所成的角的定義的理解

斜線和平面所成的角定義表明斜線和平面所成的角是通過斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線

所成的角.

（2）判斷方法

首先，判斷直線和平面的位置，若直線在平面內(nèi)或與平面平行，此時(shí)直線與平面所成的角為0。的角;

若直線與平面垂直，此時(shí)直線與平面所成的角為90。.

其次，若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點(diǎn)作平面的垂線(實(shí)際操作過程中，這一點(diǎn)的選取要有利

于求角)，找出直線在平面內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、等邊三角

形中求解.

知識點(diǎn)3直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

符號語言

圖形語言

(1)證明兩直線平行；

作用

(2)構(gòu)造平行線

注1.剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論.

(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個(gè)平面垂直).

(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化

的依據(jù).

(4)定理的推證過程采用了反證法.

2.直線與平面垂直的性質(zhì)

lA_aIa.La\a//b]a///3]aA_a\

(1)OLA；Q)-(3)(4)今小夕；(5)“今a〃及

b-La\a_La\a_La)a_Lp)

知識點(diǎn)4平面與平面垂直的判定

1.二面角

概平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組

念成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面

圖

示

1

文在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩

字條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角

ku

面

圖

角

示

的1

平

符

面OAca,OBU0,aCB=l,0^1,OA±l,是二面角的平面角

號

角

范

[0,兀]

圍

規(guī)二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少

面定度.平面角是直角的二面角叫做直二面角

角

的

大

記

小

法

及

1

記

法

2.平面與平面垂直

定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面垂直.

畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖:

3.平面與平面垂直的判定定理

文字語言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

圖形語言：

特征：線面垂直=＞面面垂直

注：1.二面角與平面幾何中的角的對比

平面幾何中的角二面角

圖形Z

頂點(diǎn)0/邊B匕

從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的

定義

圖形圖形

由射線一點(diǎn)(頂點(diǎn))一射線構(gòu)成，即為由半平面一線(棱)一半平面構(gòu)成，記

表示法

ZAOB為二面角a-l-/3

意義定量的反映兩條直線的位置關(guān)系定量的反映兩個(gè)平面的位置關(guān)系

2.剖析平面與平面垂直

(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況.例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的.

(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過所成的角是直角定義的.

3.詳解平面與平面垂直的判定定理

(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直臺面面垂直.

(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決.

知識點(diǎn)5平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

語言

符號

語言

a

圖形a

語言kzj

作用證明直線與平面垂直

考點(diǎn)一異面直線所成的角

解題方略：

求異面直線所成的角的一般步驟

(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，

且直線對異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.

(2)求---轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論—.設(shè)由⑵所求得的角的大小為＜9.若大V8W90。,則。為所求；若90。＜。＜180。，則180。一。為所

求.

【例1】如圖所示，點(diǎn)A是平面3c。外一點(diǎn)，AD=BC=2,E,P分別是AB,CD的中點(diǎn)，且EF=巾,求

異面直線AD和BC所成的角.

A

變式1：正方體A2CD-A'B'CD'中，E,尸分別為平面A'B'CD'與A4'D'。的中心，則EF與

CD所成角的度數(shù)是.

考點(diǎn)二證明直線與直線垂直問題

解題方略：

證明兩條直線垂直的策略

(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據(jù)勾股定理證明.

(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90。來證明.

【例2】在正方體ABCD-ABiCQi中，與直線441垂直的棱有條.()

A.2B.4

C.6D.8

變式1：若空間三條直線a,b,c滿足aJ_6,b//c,則直線a與c()

A.一定平行B.一定垂直

C.一定是異面直線D.一定相交

【例3】如圖,已知在長方體ABCD-A1BCD1中,AiA=AB,E,尸分別是如A和己。的中點(diǎn).

求證：CDiXEF.

變式1：在正方體AG中，E,尸分別是43,BiCi的中點(diǎn)，求證：DBiLEF.

變式2：如圖所示，在空間四邊形ABC。中，AD=BC=2,E,F分別是AB,C。的中點(diǎn).若跖=啦.

求證：ADLBC.

考點(diǎn)三直線與平面垂直的判定

解題方略：

1、直線與平面垂直定義的“雙向”作用

(1)證明線面垂直

若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直.即線線垂直，線面垂直.

(2)證明線線垂直

若一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直.即線面垂直力線線垂直.

2、線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化

【例4】下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是()

①若直線/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，貝/J_a；

②若直線/與平面a內(nèi)的兩條直線垂直，則/_La；

③若直線I與平面a內(nèi)的兩條相交直線垂直，則/±a；

④若直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線垂直，貝U/La.

A.4B.2

C.3D.1

變式1：直線/_!_平面a,直線機(jī)Ua,貝。/與，〃不可能()

A.平行B.相交

C.異面D.垂直

變式2：直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線/與平面a的關(guān)系是（）

A./和平面a相互平行B./和平面a相互垂直

C./在平面a內(nèi)D.不能確定

變式3：若三條直線。4,OB,0c兩兩垂直，則直線OA垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

變式4：一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.相交不垂直D.不確定

變式5：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊

形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是.（填序號）

【例5】如圖所示，直角AABC所在的平面外一點(diǎn)S,SA=SB=SC,點(diǎn)。為斜邊AC的中點(diǎn).求證：直線

SO_L平面ABC

變式1：已知四棱錐尸-A2CD的底面是菱形，且必=PC,PB=PD.若。是AC與8。的交點(diǎn)，求證：P0

_1_平面ABCD

變式2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，朋，平面ABC。，AP=AB=2,BC=2吸,E,

P分別是AD,PC的中點(diǎn).證明：尸C,平面BEE

變式3：如圖，在直三棱柱ABC-4BC1中，側(cè)棱長為2,AC=BC=l,ZACB=90°,。是4修的中點(diǎn)，F(xiàn)

是8田上的動(dòng)點(diǎn)，ABi，DF交于點(diǎn)、E,要使ABiJ_平面CQR則線段8砂的長為.

考點(diǎn)四求直線與平面所成的角

解題方略:

求直線與平面所成角的一般步驟

(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線.

(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角.

(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.

［例6］在正方體ABCD-ABiCiA中，

(1)直線AiB與平面ABCD所成的角的大小為；

(2)直線AiB與平面ABCxDr所成的角的大小為；

(3)直線AiB與平面ABiCxD所成的角的大小為.

變式1：長方體A8C6A1BC1A中，AB=^2,BC=AAx=\,則8。與平面ABCQi所成的角的大小為

變式2：如圖所示，若斜線段AB是它在平面a上的射影BO的2倍，則AB與平面a所成的角是()

A.60°B.45°

C.30°D.120°

變式3：三棱錐S-ABC的所有棱長都相等且為a,求SA與底面ABC所成角的余弦值.

考點(diǎn)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

解題方略:

1、證明線線平行常有如下方法

(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)；

(2)利用三線平行基本事實(shí)：證兩線同時(shí)平行于第三條直線；

(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；

(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；

(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.

2、線線、線面垂直問題的解題策略

(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是

哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.

(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)

出來.

【例7】在正方體由Cid中，直線/(與直線281不重合)，平面4G，則()

A.B\BM

B.B\B//l

C.8山與/異面但不垂直

D.8山與/相交但不垂直

變式1：設(shè)相，”是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若機(jī)〃a,n//a,則加〃〃

B.若加〃a,m〃則a〃4

C.若m〃n,m_La,貝!J

D.若根〃a,a,L/3,則m_L4

變式2：已知根，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面.

①若加〃a,rri,Ln,則〃_La；②若m_La,n//a,則機(jī)_L〃；③若加UQ,及U夕，且a〃夕，貝！|加〃〃；④若相，

〃不平行，則相與〃不可能垂直于同一平面.其中為真命題的是.(填序號)

變式3：【多選】下列命題正確的是()

A.eq今。_LaB.eq今a〃Z?

a//a\

C.eq今人〃aD.eqD.r=>Z?±a

a^_b\

變式4：如圖，在三棱錐PA5C中，平面A5C,。是側(cè)面尸5c上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作平面ABC的垂線

DE,其中。郵C,則。石與平面B4c的位置關(guān)系是.

變式5：%垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A,2的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()

A.PALBCB.BUL平面必C

C.ACLPBD.PCLBC

【例8】如圖所示，在正方體ABCD-ABCQi中，M是4B上一點(diǎn)，N是4C的中點(diǎn)，平面4OC.

求證：MN//ADi.

變式1：如圖，已知平面aC平面￡=/,EA±a,垂足為A,EB_L￡,垂足為B,直線a(=￡,a±AB.

求證：a//1.

變式2：如圖所示，ABC。為正方形，SA_L平面ABCD過A且垂直于SC的平面分別交

SB,SC,SD于點(diǎn)E,F,G.

求證：AE1.SB.

求證：ACJ_平面BBIDID

考點(diǎn)六二面角大小的計(jì)算

解題方略：

解決二面角問題的策略

(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn).

(2)求二面角的大小的方法：

一作：即先作出二面角的平面角；

二證：即說明所作角是二面角的平面角；

三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是“作”.

【例9】如圖所示，在△ABC中，AD±BC,△AB。的面積是△AC。的面積的2倍，沿AO將△ABC翻折,

使翻折后平面ACD,此時(shí)二面角B-AD-C的大小為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

變式1：如圖，四邊形A3c。是正方形，①，平面ABC。，且

(1)求二面角A-PD-C平面角的度數(shù);

(2)求二面角平面角的度數(shù).

變式2：如圖，AB是。。的直徑，必垂直于。。所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且B4=AC,求二面角

P-BC-A的大小.

考點(diǎn)七面面垂直的判定

解題方略：

證明面面垂直常用的方法

(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；

(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.

【例10］經(jīng)過平面a外一點(diǎn)和平面a內(nèi)一點(diǎn)與平面a垂直的平面有()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.無數(shù)個(gè)D.1個(gè)或無數(shù)個(gè)

變式1：在四棱錐尸-ABCD中，已知底面A3CD且底面ABC。為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.平面出BJ_平面￡4。

B.平面平面尸BC

C.平面尸BC_L平面尸CD

D.平面尸CD_L平面RID

變式2：若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是

()

A.相等B.互補(bǔ)

C.相等或互補(bǔ)D.不確定

【例11］如圖所示，在四面體ABCS中，已知N2SC=90。，ZBSA=ZCSA=6Q°,又SA=SB=SC.

求證：平面ABCJ_平面SBC.

變式1：如圖，在四面體ABCD中，BD=y［2a,AB=AD=CB=CD=AC=a.

求證：平面ABOJ_平面BCD

考點(diǎn)八平面與平面垂直的性質(zhì)

解題方略:

應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理要注意的問題

應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明相關(guān)問題時(shí)，一般需要作輔助線——過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線,

使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

【例12］如圖，尸是四邊形ABC。所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABC。是/DAB=60咀邊長為a的菱形.△

PAD為正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD若G為AD邊的中點(diǎn).

求證：平面平面以D

變式1：如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，M_L平面4BC,平面E4CJ_平面尸BC.

Pz

求證：BCLAC.

練習(xí)一異面直線所成的角

1、在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉腌，如圖，在鱉腌48切

中，/反L平面比〃&AB=BOCD,則異面直線〃'與曲所成角的余弦值為（）

練習(xí)二證明直線與直線垂直問題

D

A^EB

(1)求AG與gc所成角的大小;

練習(xí)三直線與平面垂直的判定

方體ABCMiBCiQi中與AOi垂直齷靛，”"5

A.平面DD1CC

B.平面AQB

C.平面AiBiGA

D.平面AOS

2、如圖所示，直三棱柱ABC-AiBrCi的底面ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,C點(diǎn)到ABi的距離為

CE,。為的中點(diǎn).

求證：(l)CD±AAi；

(2)AS_L平面CED.

練習(xí)四求直線與平面所成的角

1、直線/與平面a所成的角為70。,直線I//m,則m與a所成的角等于（

A.20°B.70°

C.90°D.110°

A.30°B.45°C.60°D.90°

A..A/3c.逅

RD.—

4433

練習(xí)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

1、已知根，”是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題，其中的真命題是（）

①若機(jī)_L”,“Ua,則wjJ_a；②若》2_La,nUa,則③若n±ot,貝！］加〃"；④若：wUa,4，

a//P，則m//n.

A.①和②B.②和③

C.③和④D.①和④

2、如圖，的邊AF_L平面A3CD且A尸=2,CD=3,則CE=(

A.2B.3

C.4D.V13