江蘇省海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.滿足條件z-i=|3+4才的復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限是（）

A.-B.二C.三D.四

2.若/，相，〃是不相同的空間直線，d6是不重合的兩個(gè)平面，則下列命題正確的是

A.I工a,ml（3,1工m=a工（3B.11lm,mua=lIla

C.lua,mua,llI（3,mlIfinal10D.ILn,mLn=l//m

3.已知圓柱的軸截面是面積為100的正方形，則該圓柱的側(cè)面積為（）

A.50萬B.200C.100萬D.150萬

一71

4.設(shè)向量M=(cos%,—sinx),b=(—cos(?-％),cosx),且￡=房/。0,貝!Jsin2x的值等于()

A.1B.-1C.±1D.0

sin2/3

.已知2tana=則2。+/=(

sin/3+sin2/7

2兀

c.D.兀

3T

6.尸是AABC所在平面上一點(diǎn)滿足|而一定|-|而+定-2西|=0,AABC的形狀是)

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

7.騎自行車是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，己知圖中的

圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為均是邊長為4的等邊三角

形.設(shè)點(diǎn)尸為后輪上的一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，正?麗的最大值為（）

C.60D.72

8.如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車，需要測(cè)量兩山頂間的距離.已知山高AB=2km,

CD=6km,在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30。（2、D、E■在同一水平面上），山頂C

的仰角為60。，ZAEC=150°9則兩山頂A,C之間的距離為（）

A.4V3kmB.4^7kmC.40kmD.4百km

二、多選題

9.已知函數(shù)〃到=$也,-小-2$出口+?卜0$[+小工€11）,現(xiàn)給出下列四個(gè)命題，其

中正確的是（）

A.函數(shù)的最小正周期為2萬

B.函數(shù)〃彳）的最大值為追

TTJT

c.函數(shù)/（X）在-上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)“X）的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)解析式為g（x）=V^cos（2x）

10.已知VA5C的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,C,則下列說法正確的是（）

A.若A>5,則sinA>sinB

TT

B.若A=7，a=5,則VABC外接圓半徑為10

6

C.若a=26cosC,則VABC為等腰三角形

D.若b=6,a=2c，B,貝！]三角形面積工的。=66

11.已知正方體ABC。-ASG2的棱長為4,瓦產(chǎn)分別為棱48和A4的中點(diǎn)，則下列說法

正確的有（）

A.AB”平面CEF

B.平面CEF

試卷第2頁，共4頁

c.異面直線4G與所所成角為m

D.平面CEF截正方體所得截面的面積為18

三、填空題

12.在"1BC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別是a/,c.若sinC+sin(2-A)=sin2A,貝!IAASC是一

13.已知復(fù)數(shù)z”Z2滿足4+2Z]=3—i,|z?—Z]|=1,則|z?—2i|的最大值為.

14.在VABC中，已知AB=2,3C=3,點(diǎn)P在VABC內(nèi)，且滿足CP=2,ZAPC+ZABC=n,

則四邊形ABCP面積的最大值為.

四、解答題

15.已知流瓦1是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中乙=(3,4).

⑴若同=10,且s7/a,求忑的坐標(biāo);

⑵若W=廂，且商+2石與方-方垂直，求5在4方向上的投影向量.

16.已知cose=2f,

⑴求cosH勺值；

(2)若sin〃=|,/求cos(a+2Q)的值.

17.如圖，已知四棱柱ABC￡>-A4G2的底面ABCD為矩形，E、尸分別為線段BC,。。的

中點(diǎn).

⑴證明：EF〃平面BCR；

(2)若朋=6,BC=2,cosZ^AD=^-,證明：ADi1\E.

18.如圖，在凸四邊形A2CD中，AB=AD=^,^BAD=—.

3

(1)若AC=2A/7,COS/&4c=g,求CD的長；

(2)若該四邊形有外接圓，求CB+C。的最大值.

19.如圖，在斜三棱柱ABC-A^C,中，側(cè)面43比4為菱形，Z\AB=60°,AB==2BC=2,

NAC8=901M為AB中點(diǎn)，AC1與40的交點(diǎn)為N.

⑴求證：MN//平面8CC[B]；

⑵求證：AM，平面ABC；

(3)求二面角B-AAX-C的正弦值.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DACCBBCBBDACD

題號(hào)11

答案ACD

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算法則求出z,再求其共軌復(fù)數(shù)為5-i,在根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知

其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(5,-1),顯然在第四象限.

【詳解】z-i=\3+4i\,

.-.z=i+斤不=5+i的復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)5-i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(5,-1)所在象限是第四

象限.

故選：D

2.A

【分析】根據(jù)線線、線面和面面平行與垂直的有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正

確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，/,"，相當(dāng)于。,力的法向量，兩個(gè)法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直，

A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，直線/可能在平面a內(nèi)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，兩條直

線必須相交才可以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，/,加兩條直線可能異面，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

綜上所述，本小題選A.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間點(diǎn)線面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【分析】根據(jù)題意求得圓柱的底面圓的半徑和母線長，利用側(cè)面積公式，即可求解.

【詳解】由題意，圓柱的軸截面是面積為100的正方形，

可得圓柱的軸截面邊長為10,所以圓柱的底面半徑為5,母線長為10,

所以側(cè)面積為2萬*5x10=100萬.

故選：C.

4.C

【分析】先由向量共線的坐標(biāo)公式及余弦倍角公式求得cos2x,再由平方關(guān)系求得sin2x即

可.

答案第1頁，共13頁

—?Ji—>—.

【詳解】因?yàn)槿?(—cos(5—x),cosx)=(—sinx,cosx),Z=R,所以凡6共線，則

COSXCOSX—(―sinx)(—sinx)=0,

即cos2x-sin2%=0，cos2x=0,貝Usin2%=±l.

故選：C.

5.B

【分析徹化弦,以及二倍角的正弦可得黑=陽,變形可得卜。s(a+6),

從而可求2。+任

sin2/32sina2sincosP_2cos2

【詳解】因?yàn)?tana=，所以

siny0+sin2y0cosasin^+sii?，1+sin，

所以sina+sinasin0=cosacos0,

所以sina=cosacos/7-sinasiiiy0=cos(a+A),

所以cos(3―a)=cos(a+4),

因?yàn)閍,6e1o,3，所以a+/7e(0,7T),

TTjr

所以=1+所以2a+p=j.

故選：B.

6.B

【分析】利用向量的減法，數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

UULLIUUULIULIUUU____.____.____.

【詳解】由|尸3—PC|—IPB+PC—2出|=0，得|CB|=|AB+ACI,

^\AB-AC\=\AC+AB\,

兩邊平方得麗,+蔗I2加.部=通2+/2+2通./，

____.____.uumuuu

所以ABAC=0，則AB_LAC，即AB人AC,

所以VABC是直角三角形.

故選：B.

7.C

【分析】連接AC,利用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的定義列式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，連接AC,在"CE中，AE=CE=4,ZAEC=120°,

貝lj/CAD=NACE=30",AC=46，AD=8,

答案第2頁，共13頁

因此京??。?*.(而+而)=/?而+正?而

=|AC||AD|cos30°+|AC||DP|COS<AC,OP>=4^X8X^+4A/3X^COS<MO?)

=48+12cos<AC,DP)<48+12=60,當(dāng)且僅當(dāng)衣與麗同向時(shí)取等號(hào)，

所以衣.麗的最大值為60.

故選：C

8.B

【分析】根據(jù)給定條件，在RtA4BE和Rt^CDE中分別求出AE,CE,再利用余弦定理計(jì)

算作答.

【詳解】在RtA4BE中，AB=2,ZBEA=30°,則AE=4,

在Rt^CDE中，CD=6,ZCED=60°,則CE=4如，

在△AEC,由余弦定理得：AC2=AE2+CE--2AE-CEcosZAEC,

BPAC2=42+(473)2-2x4x473-cos1500-112,WMAC=477,

所以兩山頂A,C之間的距離為477km.

故選：B

9.BD

【解析】首先利用三角恒等變形化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)=^sin(2x-1^,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判

斷選項(xiàng)，AB選項(xiàng)根據(jù)解析式直接判斷，C選項(xiàng)可以先求2工-2JT的范圍，再判斷函數(shù)的單調(diào)

性，D選項(xiàng)根據(jù)平移規(guī)律直接求解平移后的解析式.

6.c1C.(cn

【詳解】/(x)=——sin2x——cos2x-sin2x-\--

22I2

=sin2x~-cos2x-cos2x=—sin2x--cos2x

2222

=6sin(2x-g

答案第3頁，共13頁

函數(shù)/（尤）的周期T=^=萬，故A不正確；B.函數(shù)的最大值是行，故B正確；

7CTC._71STT71,_TC57rTC,_..

C.%￡一7丁時(shí)，2%-工￡---,當(dāng)2%-三￡一--時(shí)函數(shù)單倜遞減，即

_44J3|_ooJ362_

了仁一了一日時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，xe----時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故C不正確；

D./（x）=Gsin（2xT向左平移個(gè)單位長度，得到

g（x）=A/3sin+=^3sin^2x+=cos,故D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查尸Asin（ox+9）的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證

的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)〉=4$也（3+9）,其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或

最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線x=5或點(diǎn)（%,。）是否是函數(shù)

的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)，可通過驗(yàn)證f（%）的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求。x+。的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)>=$也尤的增或減區(qū)間.

10.ACD

【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知BC的正誤，利用余

弦定理及三角形面積公式可知D正確.

nh

【詳解】因?yàn)樗裕?gt;方，由正弦定理一^=—^=2R,可得2RsinA>2RsinB,

sinAsinB

即sinA>sin3,A正確;

由正弦定理上7=2R可知2R=10,所以VABC外接圓半徑為5,B不正確；

sinA

因?yàn)閍=2Z?cosC,所以sinA=2sin3cosC,即sin（3+C）=2sinJ3cosC,

整理可得sin5cosc-cos5sinC=。，即sin（B-C）=0,

因?yàn)槊?。為三角形的?nèi)角，所以B=C,即VA3C為等腰三角形，C正確；

JT

因?yàn)閎=6,a=2c,B=—,由余弦定理/=A2+C2-2QCCOS5得36=4C2+02-2C2,解得

<?2=12,所以SAM=—^csinB=—X2CXCX^-=6V3,D正確.

△ABC222

故選：ACD.

11.ACD

答案第4頁，共13頁

【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理，即可判斷A；根據(jù)線面垂直的定義，結(jié)合垂直關(guān)系，即

可判斷B；根據(jù)異面直線所成角的定義，以及平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷C,首先作出平面

CEF截正方體所得截面，再計(jì)算截面的面積.

【詳解】對(duì)于A,如圖，由條件可知，\BHEF,EFu平面CEF,ABu平面CEF,

所以AB//平面CEF,故A正確;

對(duì)于B,取8月的中點(diǎn)連結(jié)4瓦,ME,MC,

因?yàn)?，ABJ/DC,,ABJ/ME,所以ME//OG,

則ME=MC=｛展+展=2垃,EC=dU+展=2后,不滿足勾股定理,

所以ME不垂直于CE,則ME不垂直于平面CEF,

所以0G不垂直于平面CEF,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,連結(jié)AC，8G，,VABG是等邊三角形，所以直線4cl與48所成角為三,

所以異面直線4G與跖所成角為g■JT,故c正確；

答案第5頁，共13頁

口連結(jié)D\F,D\C,D。AB//EF,所以及RR,C四點(diǎn)共面,

四邊形EKDC是平面CEF截正方體所得截面,

如圖，四邊形EFQC是等腰梯形，EF=物+2?=2亞,RC="+4?=4』,

￡€="2+2?=2若，

作EN_LQC于N,則EN=-(0了=3近，

所以四邊形EFDXC的面積S=；(20+40)x372=18,故D正確.

故選：ACD.

12.等腰三角形或直角三角形

JT

【分析】化簡(jiǎn)已知得人=8或4=1,即得解.

【詳解】由題得sinC+sin(8-A)=sin2A,

所以sin(B+A)+sin(B—A)=sin2A,

所以2sinBcosA=2sinAcosA,

所以(sinB—sinA)cosA=0,

所以sin5=sinA或cosA=0,

因?yàn)锳,3￡(0,7C),

所以A=B或A=]TT.

答案第6頁，共13頁

所以AABC是等腰三角形或直角三角形.

故答案為：等腰三角形或直角三角形.

13.V2+1/1+V2

【分析】設(shè)出句的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等求出馬，再借助復(fù)數(shù)的幾何意義求解即得.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)」=〃+歷,。,匕wR,由Z]+2Z]=3—i,得a+bi+2(。一Z?i)=3—i,

整理得3a—bi=3—i,于是3a=3,—。=一1,即〃=l,b=l,4=l+i,

由IZ2-zj=l,得復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)Z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以表示復(fù)數(shù)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(L1)為圓心，1為

半徑的圓上，

"一型表示這個(gè)圓上的點(diǎn)到表示復(fù)數(shù)2i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(0,2)的距離，

距離的最大值是7(1-0)2+(1-2)2+1=72+1.

故答案為：V2+1

14.2

【分析】設(shè)=ZABC=a,分別在VABC和中，由余弦定理得到cosa與x的

關(guān)系式，然后根據(jù)四邊形ABCP的面積S=￡ABC可得到面積與sine和無的關(guān)系式，

利用同角三角函數(shù)的關(guān)系最終得到面積與無的關(guān)系式，利用基本不等式即可求出最大值.

【詳解】如圖所示

TT

設(shè)AP=x,ZABC=a,貝!JZAPC=TI—。，a<7t-a,0<a<~.

分別在VABC和中，由余弦定理得，

AC2=22+32-2x2x3cos<2=13-12coscr，

AC2=x1+4-2x2xcos（兀一a）=x2+4+4%cosa,

所以f+4+4xcosa=13—12cosa，

答案第7頁，共13頁

cosa=———=---，由0＜。＜=,可知0cx＜3.

4x+1242

所以四邊形ABCP的面積:

S=S陰（：-SGPC=gx2x3sina-；x2%sina=（3-x）sina,

（3r『

又（3_x）sina=（3-x）Vl-cos2a=（3-x）Jl-

16

A）行牙13當(dāng)4=2,

當(dāng)且僅當(dāng)3—x=J16-（3-4，即尤=3-2萬，cosB=與,8=:時(shí)，四邊形ABCP的面

積最大，最大值為2.

故答案為：2.

15.⑴2=（6,8）或3=（-6,-8）

【分析】（1）設(shè)出1的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件解方程，從而求得乙

（2）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得小6,從而求得B在a方向上的投影向量.

，乒了=1°,解得x=6x=-6

【詳解】（1）設(shè)3=（x,y）,貝卜y=8或

3y=4xy=—8’

所以仁（6,8）或5=（-6,—8）.

（2）:4+25與2力垂直，.?.他+2孫（2N同=0,

=-10,

3

b在五方向上的投影向量為例，cos〈M,5〉.與）=[-g,-g

16.（l/W

6

1472+24

75

【分析】（1）先確定。的三角函數(shù)值，再用余弦差公式求解;

（2）先確定夕的三角函數(shù)值，然后用倍角公式確定2月的三角函數(shù)值，再用余弦和公式求解.

答案第8頁，共13頁

2

【詳解】(1)由知sina<0,故sina=-A/1—cosa=——

3

所以cos'」］」cosa+3sina」.Rl+31」26一6

k3j22232136

故cosP=Jl—sii?尸=:.

(2)由知cos〃>0,

94c7

從而sin2/7=2sin尸cos^=^,cos2f3=2cos2—1=—

2^27UI24-14返+24

所以cos(a+2月)=cosacos2^-sinasin2/3=~■—CiJ-25-T5-

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于用角度的范圍判斷正弦或余弦值的正負(fù).

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)取用C的中點(diǎn)M,連接EM,RM,由已知可得EM〃0尸，且EM=RF,

可得四邊形EFDXM為平行四邊形，可得EF/IMD,,可得EFII平面BtCDt.

(2)由已知可得COS/AAD=COS/4BC=(,連接用E,可證與BCVAXBX,可

證3c，平面A4E,進(jìn)而得42,平面A4E,可證結(jié)論.

【詳解】(1)取8。的中點(diǎn)M,連接EM,DtM,

又E為BC的中點(diǎn)，所以為△Beg1的中位線，則EM/做,且片，

又BBJ/DD、,且B瓦=〃2,尸為的中點(diǎn)，所以EM〃0尸，且EM=RF,

所以四邊形成4〃為平行四邊形,

貝I]EF//MDt,

又所《平面瓦CQ,平面片C〃，所以〃平面瓦CR.

答案第9頁，共13頁

(2)由四棱柱的性質(zhì)可知，ZA]AD=ZB,BC,J^cosNAAD=cosNB[8C=(^

在△耳BC中，由余弦定理得，

BQ=BB+BC2-2B]B-BC-cosNB&C=(布丫+2?-2x布x2x專=5,

則4C=行，所以A2IBC為等腰三角形.

連接用后,則

因?yàn)榈酌鍭3CC)為矩形，所以3C_LAB,

又A\BJIAB,則BC±4與,

因?yàn)锳21C用石=耳，4與，ggu平面其片石，所以BC_L平面4片后，

又BC//BG，及CJ/A2，所以BC//AR,

則AQ1平面A4E,

因?yàn)锳Eu平面4片片，故

18.(1)CZ)=V13

⑵201.

【分析】(1)利用同角公式及差角的余弦公式，結(jié)合余弦定理求解即得.

(2)根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出CB,CD,再利用三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)

即可求出最值.

【詳解】(1)在VABC中，由cos/R4c=g,得sinNBAC=Jl-cos?NBAC=孚,

貝1JcosZCAD=cos(--Z.BAC)=--x—+,

3272714

在AACD中，由余弦定理得

CD2=AC2+A￡)2-2AC-A￡)-COS^CAD=28+7-2X2A/7X5/7X—=13,

14

所以CO=g.

JT

(2)由四邊形ABC。有外接圓，^ZBCD=n-ZBAD=-,令此圓直徑為2R,

由正弦定理得,又AB=AD"則sinNAC3=sin/ACD,

sinZACBsinZACD

JT

MZACB,ZACDeO,1,因止匕NACB=NACO=—

6

答案第10頁，共13頁

i^ZBAC=6>e(0,y),貝ijNG4D=3-。，

CBAB_出-r=

在VABC中，由正弦定理，得sin。-sin/ACB一]，貝|8=2夕而6,

2

在AACD中，同理得C￡>=2j7sin(會(huì)一6?)=2，7(#cos6?+gsin。)，

因此CB+CD=26吟cos6?+|sin。)=2Vising+弓)，

由6e(0,=),得。+梟邑當(dāng)，貝U當(dāng)e+即?！粫r(shí)，sin(O+?取得最大值1,

36666236

所以CB+8的最大值是201.

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

巫

13

【分析】(1)利用線線平行推得線面平行即得；

(2)由等邊三角形證AMLA8,再由勾股定理逆定理證AM由線線垂直推

導(dǎo)線面垂直即得；

(3)作CH_LAB,證C//_L平面448,作