考點28統(tǒng)計(核心考點講與練)

一、抽樣與統(tǒng)計圖表

1.獲取數(shù)據(jù)的基本途徑

獲取數(shù)據(jù)的基本途徑包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.

(1)統(tǒng)計報表是指各級企事業(yè)、行政單位按規(guī)定的表格形式、內(nèi)容、時間要求報送程序，自上而下統(tǒng)一布置,

提供統(tǒng)計資料的一種統(tǒng)計調(diào)查方式.

(2)年鑒是以全面、系統(tǒng)、準確地記述上年度事物運動、發(fā)展狀況為主要內(nèi)容的資料性工具書.匯輯一年內(nèi)的

重要時事、文獻和統(tǒng)計資料，按年度連續(xù)出版的工具書.

2.總體、樣本、樣本容量

要考察的對象的全體叫做總旌，每一個考察對象叫做個體，從總體中被抽取的考察對象的集體叫做總體的

一個樣本,樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.

3.簡單隨機抽樣

(1)定義：從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為a的樣本,如果每一次抽取時總體中的各個個體有

祖國的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

(3)應(yīng)用范圍：總體中的個體數(shù)較少.

4.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各

層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣,這種抽樣方法叫做分層抽樣.

(2)應(yīng)用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

5.頻率分布直方圖

(1)頻率分布表的畫法：

第一步：求極差,決定組數(shù)和組距，組距=箍極差；

第二步：父組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.

(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻筑率帚，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻莖.

6.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的空直，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率分布折線圖就會

越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

7.樣本的數(shù)字特征

數(shù)字特征定義

眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)量邕的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最空回位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)

中位數(shù)

的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x—3+＞：+一

1二

方差$2=才(%1—%)?+3—冗)2T------X)2],其中S為標準差

8.百分位數(shù)

如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計算相應(yīng)的累計百分位，則某一百分位所對應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分

位的百分位數(shù).可表示為：一組n個觀測值按數(shù)值大小排列.如，處于p%位置的值稱第p百分位數(shù).

二、統(tǒng)計案例

1.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系;與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是

一種非確定性關(guān)系.

(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān),點散布在

左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān).

2.回歸分析

對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析.其基本步驟是:(i)畫散點圖；(ii)求回歸直線

方程;(道)用回歸直線方程作預(yù)報.

(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)

關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

(2)回歸直線方程的求法一一最小二乘法.

設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x,y的一組觀察值為■，2,ri),則回歸直線方程＞=依+6的

系數(shù)為：

:￡（彳：一彳）（3\.一歹）?肛乂一〃三方

〃1=-Z=--1------------------=__-X=1-------------

一下）2SJC.—71X1

i=lr=l

a=y—bx.

其中下=,57,,萬=工之》,(了,歹)

n?=iiti=i稱為樣本點的中心.

(3)相關(guān)系數(shù)

①計算相關(guān)系數(shù)r,r有以下性質(zhì)：I怎1,并且|〃|越接近1,線性相關(guān)程度越強;|廠|越接近0,線性相關(guān)程度

越弱;②跖05,表明有95%的把握認為變量尤與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸直線方程有意義；否則尋

找回歸直線方程毫無意義.

3.獨立性檢驗

11Wl2〃21）2

■1+建+辦騏+2

(3)兩個臨界值:3.841與6.635

當Q3.841時,有95%的把握說事件A與B有關(guān);

當.P6.635時,有99%的把握說事件A與2有關(guān);

當/W3.841時,認為事件A與B是無關(guān)的.

歷法技的

1.解決分層抽樣的常用公式

先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù).

(1)抽樣比=_=_;

⑵層1的容量：層2的容量：層3的容量=樣本中層1的容量：樣本中層2的容量：樣本中層3的容量.

2.統(tǒng)計圖表人類辨識影像的能力要優(yōu)於辨識文字與數(shù)字的能力，因此我們采用圖形的方式來展現(xiàn)數(shù)據(jù)時，常常

不我們直接觀察數(shù)據(jù)要來的快.

3.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方

差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

4.獨立性檢驗的一般步驟

①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；

③查表比較爛與臨界值的大小關(guān)系，作出統(tǒng)計判斷.

1.（2022?福建莆田?三模）已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該

校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2022?安徽?蕪湖一中三模（文））某學校對高三年級800名學生進行系統(tǒng)抽樣編號分別為001,002,

800,若樣本相鄰的兩個編號為028,068,則樣本中編號最大的為（）

A.778B.780C.782D.788

3.（2021北京市通州區(qū)高三上期中）某單位有男職工56人，女職工42人，按性別分層，用分層隨機抽樣的

方法從全體職工中抽出一個樣本，如果樣本按比例分配，男職工抽取的人數(shù)為16人，則女職工抽取的人數(shù)

為（）

A.12B.20C.24D.28

4.（多選題）（2022?福建南平.三模）支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老

年患者治愈率為20%,中年患者治愈率為30%,青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500

名中年患者，400名青年患者，則（）

A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人

B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為1

C.該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%

D.該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%

瘦耳毒＞統(tǒng)計圖表

1.（2021廣東省廣雅中學高三上10月月考）小張一星期的總開支分布如圖①所示，一星期的食品開支如圖

②所示，則以下說法正確的是（）

%②

(7

12

80

常

%

A.儲蓄金額為300元B.日常開支比食品中的其他開支多150元

C.娛樂開支比通信開支多50元D.肉類開支占總開支的《

2.（2021四川省資陽市高三第一次診斷）我國在2020年如期完成了新時代脫貧攻堅目標任務(wù)，脫貧攻堅戰(zhàn)

取得全面勝利，歷史性地解決了絕對貧困問題，并全面建成了小康社會.現(xiàn)就2013—2019年年末全國農(nóng)村

貧困人口數(shù)進行了統(tǒng)計，制成如下散點圖：

據(jù)此散點圖，下面4個回歸方程類型中最適宜作為年末貧困人數(shù)V和年份代碼工的回歸方程類型的是（）

3.（2021廣東省部分學校高三上11月大聯(lián)考）中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心（CNN?發(fā)布了第46次《中國互

聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展狀況統(tǒng)計報告》，報告公布了截至2020年6月的中國互聯(lián)網(wǎng)狀況數(shù)據(jù)與對比數(shù)據(jù)，根據(jù)下圖，下

面結(jié)論不正確的是（）

A.2020年6月我國網(wǎng)民規(guī)模接近9.4億，相比2020年3月新增網(wǎng)民3625萬

B.2020年6月我國互聯(lián)網(wǎng)普及率達到67%,相比2020年3月增長2.5%

C.2018年12月我國互聯(lián)網(wǎng)普及率不到60%,經(jīng)過半年后普及率超過60%

D.2018年6月我國網(wǎng)民規(guī)模比2017年6月我國網(wǎng)民規(guī)模增加的百分比大于7%

4.（2021山西省長治市第八中學高三上階段性測評）隨著2022年北京冬奧會臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展,

冰雪運動人數(shù)快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放，將引領(lǐng)相關(guān)戶外用品行業(yè)市場增長.下面是2013年

至2020年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率（與上一年相比）的統(tǒng)計情況，則下面結(jié)論中正確的

是（

2500

590%30.00%

僦注坐2090

20.00%

2000-

J9%

12.50%175010.00%

1510

1500-----------().00%

1250

1030-10.00%

1000-900

-20.00%

500-30.00%

38L37<沱-40.00%

0-50.00%

20132014201520162017201820192020

匚=1中國雪場滑雪人次（萬人次）----同比增長率

A.2013年至2020年,中國雪場滑雪人次的同比增長率逐年減少

B.2013年至2020年，中國雪場滑雪人次逐年增加

C.2013年至2020年，中國雪場滑雪人次的年增加量相近

D.2013年到2020年，中國雪場滑雪人次在2020年首次出現(xiàn)負增長

根據(jù)該圖，下列結(jié)論中不正確的是（）

4^^＞樣本的數(shù)字特征

A.3—+2,3s2+2B.3x，3s2

C.3、+2,9s2D.30+2,9s2+2

2.（2021河南省湘豫名校聯(lián)盟高三上11月聯(lián)考）某校為了解學生體能素質(zhì)，隨機抽取了50名學生，進行

體能測試.并將這50名學生成績整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖.下列結(jié)論中不正確的是

（）

C.這50名學生成績的中位數(shù)為70

線性回歸方程

681012

y6m32

A.變量％,y之間呈正相關(guān)關(guān)系B.變量％,y之間呈負相關(guān)關(guān)系

2.（2021福建省寧德市高三上期中聯(lián)考）某電子產(chǎn)品的成本價格由兩部分組成，一是固定成本，二是可變

2015201620172018201920202021年份

（3）根據(jù)（2）中回歸模型回答下列問題:

考向五〉獨立性檢驗

L春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對浪費”之風悄然吹開，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做至『'光

盤”行動，得到列聯(lián)表：

分類做不到“光盤”能做到“光盤”

男4510

女3015

由此列聯(lián)表得到正確結(jié)論是（）

A.在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤'與性別有關(guān)”

B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤'與性別無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“該市居民能否做到'光盤'與性別有關(guān)”

D.在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤'與性別無關(guān)”

2.單位：人

數(shù)學成績

學校合計

331043

38745

合計711788

附：臨界值表:

a0.10.05

Xa

1.（2021年全國高考甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭

年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

由此散點圖，在HTC至4CTC之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類

型的是（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

4.（2021年全國高考乙卷）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無

提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為嚏和7,樣本方差分別記為s：和門.

(1)求％,y1S］，$2；

5.（2021年全國高考甲卷）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩

臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

-'級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均

數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本y）（i=l,2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物

數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

一、單選題

A.16B.14C.12D.11

2.（2022?遼寧遼陽?二模）為了解某地高三學生的期末語文考試成績，研究人員隨機抽取了100名學生對其

進行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學生期末

語文成績的及格率為（）

A.40%B.50%C.60%D.65%

3.（2022.天津河北.二模）為了解中學生的身高情況，某部門隨機抽取了某學校的學牛，將他們的身高數(shù)據(jù)

（單位：cm）^[150,160）,[160,170）,[170,180）,[180,190]分組，繪制成如圖所示的頻率分布直方

圖，其中身高在區(qū)間[170,180）內(nèi)的人數(shù)為300,身高在區(qū)間[160,170）內(nèi)的人數(shù)為180,則a的值為（）

A.0.03B.0.3C.0.035D.0.35

4.（2022.天津一中模擬預(yù)測）某校隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分

至100分之間，進行適當分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

A.直方圖中x的值為0.040

C.估計全校學生的平均成績?yōu)?4分

D.估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

二、多選題

5.（2022?山東日照?模擬預(yù)測）我國居民收入與經(jīng)濟同步增長，人民生活水平顯著提高.“三農(nóng)”工作重心從

脫貧攻堅轉(zhuǎn)向全面推進鄉(xiāng)村振興，穩(wěn)步實施鄉(xiāng)村建設(shè)行動，為實現(xiàn)農(nóng)村富強目標而努力，2017年~2021年

某市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比上年增長率如下圖所示，根據(jù)下面圖表、下列說法一定正確

的是（）

A.對于該市居民年人均可支配收入比上年增長率的極差，城鎮(zhèn)比農(nóng)村的小

B.該市農(nóng)村居民年人均可支配收入高于城鎮(zhèn)居民

C.對于該市居民年人均可支配收入比上年增長率的中位數(shù)，農(nóng)村比城鎮(zhèn)的大

D.2021年該市城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

6.（2022?湖南岳陽?三模）下列說法正確的是（）

B.設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,則越接近于0,x和y之間的線性相關(guān)程度越

強

C.在一個2x2列聯(lián)表中，由計算得K?的值，則K?的值越小，判斷兩個變量有關(guān)的把握越大

7.（2022?重慶南開中學模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

C.回歸分析中，若相關(guān)指數(shù)長越接近于1,說明模型的擬合效果越好；反之，則模型的擬合效果越差

D.用等高條形圖粗略估計兩類變量x和y的相關(guān)關(guān)系時，等高條形圖差異明顯，說明x與y無關(guān)

8.（2022?湖北?荊門市龍泉中學一模）疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防

性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會進行動物保護測試，為了考察某種疫苗預(yù)防效果，在進行動物

試驗時，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

未發(fā)病發(fā)病總計

未注射疫苗30

注射疫苗40

總計7030100

附表及公式:

0.050.010.0050.001

左03.8416.6357.87910.828

現(xiàn)從試驗動物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為0.5,則下列判斷正確的是（）A.注射疫苗發(fā)病的

動物數(shù)為10

B.某個發(fā)病的小動物為未注射疫苗動物的概率為:

C.能在犯錯概率不超過0.005的前提下，認為疫苗有效

D.該疫苗的有效率約為80%

三、填空題

X1234

yee3e4e6

四、解答題

10.（2022?廣東.普寧市華僑中學二模）某貧困縣為了響應(yīng)國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已

知土地的使用面積x與相應(yīng)的管理時間y的關(guān)系如下表所示：

土地使用面積1（單位：畝）12345

管理時間y（單位：月）811142423

調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示;

愿意參與管理不愿意參與管理

男性村民14060

女性村民40

（2）若以該村的村民的性別與參與管理意風的情況估計貧困縣的情況，且每位村民參與管理的意互不影響，

則從該貧困縣村民中任取3人，記取到不愿意參與管理的女性村民的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

11.（2022?湖南?雅禮中學二模）“不關(guān)注分數(shù)，就是對學生的今天不負責：只關(guān)注分數(shù)，就是對學生的未來

不負責.”為鍛煉學生的綜合實踐能力，長沙市某中學組織學生對雨花區(qū)一家奶茶店的營業(yè)情況進行調(diào)查統(tǒng)

計，得到的數(shù)據(jù)如下：

月份X24681012

凈利潤（萬元）y0.92.04.23.95.25.1

年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年

年度GOP（億元）.2.1.9.1.2.2.7

年份代碼X1234567

7.06.86.96.76.02.38.1

2015-2021年GDPtt據(jù)統(tǒng)計圖

一年度GDP（億元）一》年度實際GDPit長率（％）

14000009

1200000f8

r\7

1(X)0000L'

■6

Rnnnno1[I/Il

600000ni

4000001

200000t

2015年201眸2017年2018年2019年202眸2021年

年份代碼X1234567

7.06.86.96.76.02.38.1

GAP增長率估計值y6.986.506.266.025.54

殘差20.020.400.740.022.56

將以上表格補充完整，指出G￡（尸增長率出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)的年份及異?，F(xiàn)象，并根據(jù)所學統(tǒng)計學知識，結(jié)合生

活實際，推測GZJP增長率出現(xiàn)異常的可能原因；

13.（2022?遼寧?二模）第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在北京開幕.吉祥物“冰墩墩”以其可

愛的外形迅速火爆出圈，其周邊產(chǎn)品更是銷售火熱，甚至達到“一墩難求”的現(xiàn)象某購物網(wǎng)站為了解人們購買

“冰墩墩”的意愿，隨機對90個用戶（其中男30人，女60人）進行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表和條形圖：