第十五章軸對稱

01講圖形的軸對稱

【題型1.軸對稱圖形的辨別】

【題型2.成軸對稱的兩個(gè)圖形的辨別】

【題型3.求對稱軸條數(shù)】

【題型4.軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)應(yīng)用】

【題型5.線段垂直平分線的性質(zhì)一求線段長度】

【題型6.線段垂直平分線的性質(zhì)一求角度】

【題型7.線段垂直平分線的判定】

【題型8.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定綜合】

【題型9.命題】

【題型10.尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線】

【題型11.尺規(guī)作圖一作線段的垂線】

【題型12.畫對稱軸】

【鞏固練習(xí)】

知識點(diǎn)1軸對稱圖形與對稱軸

1.定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫

做軸對稱圖形.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.

2.元素：這條直線就是它的對稱軸.折疊后重合的點(diǎn)事對應(yīng)點(diǎn)，叫作對稱點(diǎn).

3.判斷一個(gè)圖形是不是軸對稱圖形，可利用軸對稱圖形的定義，將圖形對折，看是否能夠完

全重合，若能夠完全重合，則這個(gè)圖形是軸對稱圖形，否則這個(gè)圖形不是軸對稱圖形.

【注意】

（1）對稱軸是一條直線，而不是射線或線段.

（2）一個(gè)軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數(shù)條.

（3）軸對稱圖形是對于一個(gè)圖形而言的,它表示具有一定特性（軸對稱性）的某一類圖

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形.知識點(diǎn)2軸對稱

1.軸對稱

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形迂

這條直線成軸對稱,也稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.

成軸對稱的兩個(gè)圖形全等.

2.軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

X系幺is

軸對稱軸對稱圖形

一個(gè)形狀特殊

意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊位置關(guān)系

的圖形

圖形個(gè)數(shù)兩個(gè)圖形一個(gè)圖形

區(qū)

對稱軸的位可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個(gè)圖形的內(nèi)部一定經(jīng)過這個(gè)

別

置不同或它們的公共邊（點(diǎn)）圖形

對稱軸的數(shù)

只有一條有一條或多條

量

（1）如果把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對

聯(lián)系稱圖形（2）如果把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩

個(gè)圖形成軸對稱

知識點(diǎn)3兩個(gè)圖形成軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)

1.兩個(gè)圖形成軸對稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對彝，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)

點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

2.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

3.軸對稱圖形（或關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形）的對應(yīng)線段（對折后重合的線段）相等,

對應(yīng)角（對折后重合的角）相等.

4.成軸對稱的兩個(gè)圖形全笠；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全笠，但全笠的兩個(gè)圖形

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不一定是軸對稱圖形.知識點(diǎn)4垂直平分線的定義及性質(zhì)

1.定義：過過線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線,叫作這條線段的垂直平分線。

如圖，若點(diǎn)。是48的中點(diǎn)且尸C14B,則直線/是線段48的垂直平分線。

2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

如圖，直線/148,垂足為C,ZC=BC,點(diǎn)尸在/上.求證尸N=PA

證明：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C不重合時(shí)，-：l±AB

:?乙PCA=4PCB又AC=BC,PC=PC

??△PCAm4PCB(SAS)；.P4=PB知識點(diǎn)5垂直平分線的判定

1.根據(jù)定義證明一條直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)且與線段垂直。

2.與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。(證明一個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端

點(diǎn)的距離相等)知識點(diǎn)6命題、定理

1.把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題.把其中一個(gè)叫作原命題,另一個(gè)叫作它的逆命

題.

2.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理叫作互逆定理,

其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.

3.例：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上

互逆

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行知識點(diǎn)7作已知線段的垂

定理

直平分線

已知：線段Z5,求作：線段AB的垂直平分線.

作法：

(1)如圖(1),分別以點(diǎn)/和點(diǎn)8為圓心，大于:的長為半徑作弧，兩弧相交于P,Q

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兩點(diǎn)；

（2）如圖（2）,作直線尸0,00就是線段48的垂直平分線。

證明：由步驟（1）作法可知：AP=BP,AQ=BQ.

到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上

■-P,0兩點(diǎn)都在線段48的垂直平分線上（線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理）

直線尸0就是線段4B的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）知識點(diǎn)8作已知線段的垂

線

已知：線段4B,求作：線段AB的垂線.

作法：

（1）如圖（1）,在點(diǎn)尸左側(cè)任取一點(diǎn)以點(diǎn)P為圓心，尸幺長為半徑作弧，在點(diǎn)尸的右

側(cè)交直線/與點(diǎn)以

（2）如圖（2）,分別以Z,8為圓心，大于g/8長為半徑作弧，兩弧在直線/上方交于點(diǎn)

證明：

由步驟（1）作法可知，點(diǎn)尸為線段48的中點(diǎn)，即點(diǎn)尸在線段48的垂直平分線上

由步驟（2）作法可知，AQ=BQ,即點(diǎn)0在線段的垂直平分線上

???直線尸0是線段4B的垂直平分線，且經(jīng)過點(diǎn)尸，即尸。1/

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題型1.軸對稱圖形的辨別

【例1】（2025?天津河?xùn)|?模擬預(yù)測）

1.在日常生活中，有的漢字是軸對稱圖形.下列4個(gè)漢字中，可以看作是軸對

稱圖形的是（）

A.|II

C加D油

[例2]（24-25七年級下?福建寧德?期末）

2.城市文旅標(biāo)志設(shè)計(jì)既呈現(xiàn)一個(gè)城市的文化旅游特色，也體現(xiàn)著傳統(tǒng)藝術(shù)美

學(xué).下列文旅標(biāo)志是軸對稱圖形的是（）

a力biiWii

【變式1】（24-25七年級下?河南鄭州?期末）

3.三星堆文化是古蜀文明的實(shí)證，揭示了中華文明多元一體的格局，并展現(xiàn)了

獨(dú)特的藝術(shù)成就與文化交流，在下面三星堆出土文物圖片中，不是軸對稱圖形的

是（）

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【變式2】（2025?河南?模擬預(yù)測）

4.

A.

【變式3］（24-25七年級下?陜西咸陽?期末）

5.下列圖形中，不一定是軸對稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.銳角三角形C.線段D.角

題型2.成軸對稱的兩個(gè)圖形的辨別

【例1】（24-25八年級上?河南周口?期末）

6.下面是四位同學(xué)分別以直線/為對稱軸作出的軸對稱圖形，其中錯(cuò)誤的是

【變式1】（2022?福建漳州?一模）

7.如圖，正方形48。的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為（）

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AD

BC

A.16cm2B.8cm2C.4cm2D.無法確定

題型3.求對稱軸條數(shù)

【例1】（2025?山東聊城?三模）

【例2】（2021?河北唐山?二模）

10.下列圖形只有兩條對稱軸的是（）

A.平行四邊形B.等邊三角形C.矩形D.圓

【變式1】（2025?山東?模擬預(yù)測）

11.花鈿是古時(shí)漢族婦女臉上的一種花飾.下列四種眉心花鈿圖案中的軸對稱圖

形晶中的對稱軸總條數(shù)是（），

A.6B.7C.8D.9

【變式2】（24-25八年級下?黑龍江哈爾濱?期中）

試卷第7頁，共32頁

12.下列平面圖形中，是軸對稱圖形且只有一條對稱軸的圖形是（）

B.平行四邊形

題型4.軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)應(yīng)用

【例1】（2025?河北邢臺?三模）

13.剪紙是我國傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.嘉嘉將一張圓形紙片按圖3的流程進(jìn)行操作,

即先沿虛線對折兩次，再沿虛線剪開，則展開后的剪紙形狀是（）

［例2］（2025七年級下?河南南陽?專題練習(xí)）

14.如圖，由5個(gè)“。”和3個(gè)“□”組成的圖形關(guān)于某條直線對稱，該直線是（）

【變式1］（24-25七年級下?江蘇揚(yáng)州?期中）

15.如圖，與”?。關(guān)于直線/對稱,連接44，，BB',CC,其中3夕分別交

AC,HC于點(diǎn)D,D',下列結(jié)論：①44〃BB，;@ZADB=ZA'D'B,；③直線/垂直

試卷第8頁，共32頁

平分④直線42與H夕的交點(diǎn)不一定在直線/上.其中正確的個(gè)數(shù)有（)

【變式2］（2023八年級上?江蘇?專題練習(xí)）

16.如圖是一個(gè)臺球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球

孔.若一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將

落入的球袋是（）

1號袋2號袋

W__i..i__L—/

4號袋3號袋

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

【變式3】（2025?山西呂梁?二模）

17.如圖，43為平面鏡，。為水面，AB\\CD.一束光線從點(diǎn)。射入，經(jīng)過平

面鏡反射后，從光線變成光線跖，再經(jīng)過水面8折射，從光線跖變成

光線尸G.若Zl=45。，N2=15。，則乙DFG的度數(shù)為（）

試卷第9頁，共32頁

題型5線段垂直平分線的性質(zhì)一求線段長度

【例1】（24-25八年級下?廣東清遠(yuǎn)?期中）

18.如圖，在△/8C中，DE垂直平分邊ZC,若△45。的周長為24cm,

8c=18cm,則的長為（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm

【例2】（24-25七年級下?上海松江?期末）

19.如圖，在△42C中，AB=AC=ncm,NC的垂直平分線分別交、/C于點(diǎn)

D、E,且△BCD的周長為22cm,求底邊8C的長

【變式1】（24-25八年級下?貴州貴陽?期中）

20.在ZX/BC中，已知NC=27,的垂直平分線交于點(diǎn)。，交NC于點(diǎn)E,ABCE

的周長等于50,則的長是（）

A.22B.23C.32D.33

【變式2】（23-24八年級下?甘肅蘭州?期中）

21.如圖，△/8C中，BC=20,直線。E垂直平分8C,分別交43、8c于點(diǎn)￡、

D,若的周長為32,則△/BC的周長是（）

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C.42D.32

【變式3】（24-25八年級下?陜西西安?期中）

22.如圖，在RtAABC中，N/=90。，BD平分/ABC,交/C于點(diǎn)。，垂直平

分BC,交灰?于點(diǎn)￡.若DE=5,BD=10,求/C的長.

【變式4】（24-25八年級下?廣東佛山?期中）

23.如圖，在△/BC中，垂直平分邊NC,若△ARD的周長為28cm,

3c=18cm,則的長為多少？

題型6線段垂直平分線的性質(zhì)一求角度

【例1】（2025?貴州銅仁?三模）

24.如圖，在ZUBC中，分別以點(diǎn)8、C為圓心，大于;8c的長為半徑畫弧，兩

弧相交于點(diǎn)M、N.作直線MV,交/C于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)E,連接&D.若/D8C=28。,

C.56°D.62°

【例2】（22-23八年級下?廣東深圳?期中）

試卷第11頁，共32頁

25.如圖，線段N8,8c的垂直平分線4、4相交于點(diǎn)0.若/。?！?42。，則-40C=

【例3】（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）

26.在△48C中，AB=AC,N8的垂直平分線交于點(diǎn)D,交直線/C于點(diǎn)E,

NAEB=8Q。,求/防C的度數(shù).

【變式1】（23-24八年級下?山西晉中?期末）

27.如圖，ZX/BC中，48=35。，邊N5的垂直平分線/交8c于點(diǎn)。，連接力。,

若BD=AC,則/C的大小為（）

【變式2】（23-24八年級下?山東棗莊?階段練習(xí)）

28.點(diǎn)M是ZUBC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接版4、MB、MC,若

NMBC+AACM=15。，則的值是（）

A.45°B.30°C.25°D.15°

【變式3】（23-24七年級下?陜西西安?階段練習(xí)）

試卷第12頁，共32頁

29.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是2C邊上的一點(diǎn)，連接/E,8。垂直平分力￡,垂

足為F,交/C于點(diǎn)。，連接。￡.

BEC

（1）若ZUBC的周長為18,ADEC的周長為6,求AB的長；

⑵若NABC=29。，NC=47。，求/C/E度數(shù).

【變式4】（23-24八年級上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中）

30.已知，如圖，在等邊三角形23C中，點(diǎn)。是邊5。中點(diǎn)，DF,AC于

F,延長。尸到￡,使￡尸=。尸，連接/E,求NE的度數(shù).

【變式5］（23-24八年級上?廣東韶關(guān)?期中）

31.如圖，在△/BC中，的垂直平分線ACV交N8于點(diǎn)￡,交/C于點(diǎn)。，且

NC=15cm,△BCD的周長等于25cm.

W

RC

（1）求8C的長；

⑵若乙4=36。，ZABC=NC,求8c的度數(shù).

題型7線段垂直平分線的判定

【例1】（23-24八年級上?福建廈門?期末）

32.如圖是的折紙示意圖，則折痕如是△N8C的（）

試卷第13頁，共32頁

A.中垂線B.中線C.角平分線D.高線

【例2】（24-25八年級下?河南平頂山?期中）

33.如圖，在ZX/BC中，AD是—8/C的平分線，DE上AB于點(diǎn)E,DF1AC

點(diǎn)E求證:，。垂直平分EP.

A.三條邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)

【變式2】（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）

35.已知：如圖，AB=AC,MB=MC.求證：直線是線段8c的垂直平分

線.

【變式3］（24-25八年級下?陜西渭南?期中）

試卷第14頁，共32頁

36.如圖，在ZUBC中，。是8c上的一點(diǎn)，連接/。，作DE1/8交42于點(diǎn)E,

DFUC交AC于點(diǎn)F,且4）平分4B/C,連接EF.證明：垂直平分EF.

題型8.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定綜合

[例1]（24-25八年級下?陜西西安?期末）

37.如圖，點(diǎn)A、B在直線加上，點(diǎn)尸、H在直線"上，加L?于點(diǎn)。，連接/尸、

BP、AH、BH,AP=BP,若/”=11,則8H的長為（）

【例2】（24-25八年級下?全國?假期作業(yè)）

38.如圖，在ZUBC中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)尸在線段/C

的垂直平分線上.

【變式1】（23-24八年級上?湖南懷化?期中）

39.如圖，四邊形/BCD中，AB=CB,DA=DC,我們把這種兩組鄰邊分別相等

的四邊形叫做“箏形”，以下四個(gè)結(jié)論，正確的有（）

試卷第15頁，共32頁

①AC，BD；（2）AC=2OA；③/C平分NB/D；④四邊形/BCD的面積

=-ACBD.

2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2】（24-25八年級上?江蘇常州?期中）

40.如圖，在△/BC中，ND是2c邊上的高，/C的垂直平分線交。C于點(diǎn)E,且

BD=DE,求證：AB+BD=DC.

【變式3］（23-24八年級上?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期中）

41.如圖，是UBC的角平分線，DE,。尸分別是和的高，連接

EF.

（1）求證：AD垂直平分所.

⑵若/8+/C=16,其的=24,求DE的長.

【變式4】（24-25八年級上?吉林長春?階段練習(xí)）

42.如圖，在ZUBC中，AD1BC,BD=DC.線段NC的垂直平分線交/。于點(diǎn)

E,交"C于點(diǎn)尸，連接BE.試問：線段NE與郎的長相等嗎？請說明理由.

試卷第16頁，共32頁

題型9.命題題型

【例1】（24-25八年級下?山西運(yùn)城?期中）

43.下列命題的逆命題是真命題的是（）

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).B.五邊形是多邊形

C.如果“>0,6>0,則a+b>0.D.兩個(gè)全等三角形的面積相等

【例2】（24-25八年級下?甘肅慶陽?期中）

44.下列說法中正確的是（）

A.命題一定有逆命題

B.所有定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題

D.假命題的逆命題一定是真命題

【例3】（24-25七年級下?江蘇泰州?期末）

45.命題“如果“，6互為相反數(shù)，那么。+8=0.”的逆命題是命題.（填“真

或“假”）

【變式1］（24-25八年級下?河北秦皇島?期中）

46.已知命題甲：全等三角形的對應(yīng)角相等；命題乙：如果MH",那么

a=b.則下列判斷正確的是（）

A.命題甲的逆命題的題設(shè)是兩個(gè)角相等B.命題乙是假命題

C.命題甲的逆命題是真命題D.命題乙的逆命題是假命題

【變式2］（24-25八年級下?河北邢臺?期中）

47.下列關(guān)于命題“對頂角相等”的判斷正確的是（）

試卷第17頁，共32頁

①其逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角；②其逆命題成立

A.①和②都正確B.①和②都不正確

C.只有①不正確D.只有②不正確

【變式3］（24-25七年級下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）

48.命題“若x>0,則/>0”的逆命題是—命題（填“真”或"假”）.

【變式4】（2025?安徽蚌埠?三模）

49.直角三角形的兩個(gè)銳角互余的逆命題為.

【變式5］（14-15八年級下,山東濰坊,開學(xué)考試）

50.命題“平行四邊形兩組對邊平行”的逆命題是

10.尺規(guī)作圖一作線段的垂直平分線

【例1】（24-25七年級下?江蘇揚(yáng)州?期中）

51.如圖，在△/8C中，分別以A、8為圓心，大于g/8的長為半徑在兩側(cè)作

弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直線分別交于邊N3,/C于點(diǎn)。、E,連接

CD,若43的長為10,貝IJ4D的長為（）

A.3B.4C.5D.10

［例2］（24-25八年級上?廣東廣州?期中）

52.如圖，在△4BC中

試卷第18頁，共32頁

⑴使用直尺和圓規(guī)，作線段NC的垂直平分線交/C于點(diǎn)，交于點(diǎn)

E.（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）

⑵在（1）所作的圖形中，當(dāng)N3=10,8C=8時(shí)，求ABCE的周長.

【變式1］（2025九年級下?黑龍江哈爾濱?專題練習(xí)）

53.如圖，分別以線段Z3的兩端點(diǎn)43為圓心，大于;長為半徑畫弧，在

線段幺5的兩側(cè)分別交于點(diǎn)E,R作直線即交45于點(diǎn)。在直線所上任取一

點(diǎn)尸（不與。重合），連接尸/,PB,則下列結(jié)論：①PA=PB；②OA=OB；

③OP=OF；@POVAB.其中一定成立的是（）.

*

A.①②B.①②③C.①②④D.②④

【變式2］（24-25八年級下?陜西咸陽?期中）

54.如圖，某電信部門要在公路機(jī)、〃之間修建一座電視信號發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)

要求，發(fā)射塔到兩個(gè)村莊2、8的距離相等，到公路機(jī)、〃的距離也相等，問：

發(fā)射塔應(yīng)建在什么位置？請用尺規(guī)作圖法，在圖中用點(diǎn)尸表示出發(fā)射塔應(yīng)建的位

置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式3］（24-25七年級下?上海?期末）

55.如圖，在RM4BC中，ZABC=90°

（1）請用直尺和圓規(guī)作線段2C的垂直平分線，分別交線段8C、/C于點(diǎn)及F

試卷第19頁，共32頁

⑵連接時(shí)，請找出圖中和時(shí)相等的線段（直接寫出答案，無需說明理由）.

題型11.尺規(guī)作圖一作線段的垂線

【例1】（24-25七年級上?山東煙臺?期中）

56.觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段皿一定是ZUBC的（）

A.頂角5的角平分線B.NC邊的垂直平分線

C.NC邊的中線D./C邊的高線

【例2】（24-25七年級下?福建寧德?期末）

57.下列尺規(guī)作圖，能確定是ZUBC的角平分線的是（）

【例3】（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）

58.如圖，在△NBC中，在/C上作一點(diǎn)0,連接時(shí),使得=（尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

【變式1】（24-25八年級下?四川成都?期中）

59.如圖，在中，BC=9,/C=4,分別以點(diǎn)A、8為圓心，大于g/8的長

為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)河、N,作直線ACV,交邊于點(diǎn)。，連接N。，則

試卷第20頁，共32頁

【變式2］（24-25七年級下?福建三明?期末）

60.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在上.

（1）求作點(diǎn)。，E,使得DE經(jīng)過8c的中點(diǎn)。，且CE〃/3（要求：尺規(guī)作圖，不

寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵在（1）的條件下，ACOE與ABOD全等嗎？說明理由.

【變式3］（24-25七年級下?重慶萬州?期末）

61.如圖，在四邊形48CD中，AD//BC,BD1CD.

（1）若點(diǎn)E是邊。上一點(diǎn)，請你用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)過點(diǎn)E作即1。，交

8。于點(diǎn)尸.

⑵在（1）的作圖下，若44=110。，BD平分N4BC,求/EFC的度數(shù).解答過程

如下，請你補(bǔ)充完整.

解：（已知），

ZADB=ZDBC（①）

???BD平分/ABC（已知）

ZDBC=ZABD,

②（等量代換）

試卷第21頁，共32頁

???//=110。，ZA+ZADB+ZABD=1SO°,

ZABD=1800—""=35°

2

???/DBC=35°

vBD1CD（已知），EF1CD（作圖），

③（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）,

："EFC=④=35。（兩直線平行，同位角相等）

題型12.畫對稱軸

【例1】（24-25七年級下?江蘇宿遷?期中）

62.尺規(guī)作圖：如圖，已知請作出它的對稱軸OC（不寫作圖步驟，保

留作圖痕跡）.

【變式1】（23-24八年級上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）

63.在邊長為1個(gè)單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

△N8C的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請解答下列問題：

（1）作出LABC關(guān)于X軸對稱的△44G,并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);

（2）若"BC關(guān)于直線/對稱的△4BC的頂點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（-3,0）；請直接畫出直線/

并寫出點(diǎn)次的坐標(biāo).

【變式2］（21-22八年級上?河南鄭州?開學(xué)考試）

試卷第22頁，共32頁

64.請?jiān)诰W(wǎng)格中完成下列問題：

（1）如圖1,網(wǎng)格中的A4BC與AQE尸為軸對稱圖形，請用所學(xué)軸對稱的知識作

出AABC與ADEF的對稱軸直線PQ-,

（2）如圖2,請?jiān)趫D中作出A4BC關(guān)于直線對稱的

一、單選題

（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）

65.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

（24-25九年級上?河南周口?期中）

67.剪紙是我國最古老的民間藝術(shù)之一.下列剪紙圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱

圖形的是（）

試卷第23頁，共32頁

A.B.

（24-25九年級上?江蘇宿遷?期中）

68.在平面上任意畫3個(gè)半徑相同的圓（兩兩都不重復(fù)）構(gòu)成一個(gè)圖形，下列說法：①這

個(gè)圖形可能不是軸對稱圖形，②這個(gè)圖形可能只有一條對稱軸，③這個(gè)圖形可能有兩條對

稱軸，④這個(gè)圖形可能有三條對稱軸，⑤這個(gè)圖形可能有無數(shù)條對稱軸，其中說法成立的

個(gè)數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

（24-25八年級上?云南文山?期中）

69.如圖，在中，是4c的垂直平分線，AE=4cm,的周長為20cm,則

△/3C的周長（）

70.如圖，在中，AB=AC=20cm,OE垂直平分48,垂足為E,交4C于D,若ADBC

的周長為35c機(jī)，則的長為（）

（24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）

試卷第24頁，共32頁

71.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

B.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半

C.軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)所連線段被對稱軸垂直平分

D.三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等

（23-24八年級下?陜西咸陽?階段練習(xí)）

72.如圖，在△4BC中，乙4=58。，尸為△4BC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線￡尸分別交43,AC

于點(diǎn)E,F.若點(diǎn)E,尸分別在尸B,PC的垂直平分線上，則N8尸C的度數(shù)為（）

（23-24八年級下?甘肅白銀?期中）

73.如圖，△ABC中，48=么（3,//=50。,。后是腰48的垂直平分線，貝I]NDBC=（）

（23-24八年級上?河南商丘?階段練習(xí)）

74.如圖，在中，ZC=90°.分別以點(diǎn)1,8為圓心，大于g/3的長為半徑畫弧，

兩弧交于N兩點(diǎn)，作直線ACV,分別交ZC,于點(diǎn)尸，D,連接8尸.若點(diǎn)尸到

8c的距離相等，則乙4尸。的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

試卷第25頁，共32頁

二、填空題

（2025?江蘇無錫?二模）

75.寫出命題“若"6<0,則。<6.”的逆命題：.

（24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）

76.如圖，BC=8cm,若MP和分別垂直平分48和/C,則△/尸。的周長為

77.如圖，一張三角形紙片/8C,48=45。，現(xiàn)將紙片的一角向內(nèi)折疊，折痕ED〃3C,

78.如圖，在△/BC中，的垂直平分線交于點(diǎn)。，交/C于點(diǎn)E,連接

BE,若ABCE的周長為5,則8c的長是.

曄-----------

（24-25七年級下?河南鄭州?期末）

79.如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,￡為5c的中點(diǎn)，且NE_LDE,延長DE交4B

的延長線于點(diǎn)尸.若40=12,0）=5,則的長為.

試卷第26頁，共32頁

A

（24-25七年級下?遼寧沈陽?階段練習(xí)）

80.在△ABC中，/。12。于點(diǎn)。，點(diǎn)。關(guān)于/。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)后，連接/E,若

/ABC=50°,NCAD=30°,則的度數(shù)為.

（23-24八年級下?福建寧德?期中）

81.如圖，在△/8C中，43邊的垂直平分線尸。與△4BC的外角平分線交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P

作尸8c于點(diǎn)D,PELAC于點(diǎn)E.若BC=8,AC=4.則CE的長度是.

（24-25七年級下?江蘇南京?階段練習(xí)）

82.如圖，在△4BC中，/3=3,AC=4,環(huán)垂直平分線段BC,P是直線E尸上的任意一

點(diǎn)，貝鼠/AP周長的最小值是.

（24-25八年級上?廣東江門?階段練習(xí)）

83.如圖，在△/BC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于點(diǎn)D,DE垂直平分N2,

則ZCAB的度數(shù)為.

（23-24九年級上?江蘇蘇州?開學(xué)考試）

試卷第27頁，共32頁

84.如圖，已知線段NB=6,分別以端點(diǎn)A、B為圓心，大于;AB的長為半徑作弧，兩弧

交于點(diǎn)"、N,點(diǎn)C,。在直線上，連接NC、BC、BD、DA,若￡、尸分別是NC和

的中點(diǎn)，且C。=8,則ABEk的面積是.

三、解答題

（24-25七年級下?江蘇南京?期中）

85.尺規(guī)作圖：（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

AD

BC

（圖1）（圖2）

（1）如圖1,在長方形N8CD中，將長方形紙片折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)。重合，請?jiān)趫D中畫出折

痕/;

（2）如圖2,四邊形/8CZ）,￡為邊。C上一點(diǎn)，在四邊形內(nèi)找一點(diǎn)P,使￡尸||屆，且直線4P

為/BAD的對稱軸.

（24-25九年級下?甘肅臨夏?期中）

86.如圖，已知在△4BC中，ZACB=90°,請用直尺和圓規(guī)完成以下作圖:

⑴過點(diǎn)C作于點(diǎn)

試卷第28頁，共32頁

（2）在CD上求作一點(diǎn)￡,使得點(diǎn)E到NC的距離等于DE的長.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（24-25七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）

87.如圖，已知點(diǎn)P為△NBC邊NC上一點(diǎn)，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出滿足下列條件的

直線：

圖①圖②

⑴如圖①，作一條直線/,使得點(diǎn)8關(guān)于/的對稱點(diǎn)為P.

（2）如圖②，作一條過點(diǎn)C的直線機(jī)，使得點(diǎn)P關(guān)于m的對稱點(diǎn)落在上.（保留作圖痕跡,

不寫作法）

（24-25八年級上?吉林松原?階段練習(xí)）

88.如圖，在△ABC中，NC邊的垂直平分線交8c于點(diǎn)。，交NC于點(diǎn)E,連接NO.若

AE=3cm,△48。的周長為12cm,求△48C的周長.

（24-25八年級上?福建廈門?期中）

89.（1）請畫出△4BC關(guān)于了軸對稱的△44G（其中&B、,。分別是4B,C的對應(yīng)

試卷第29頁，共32頁

(2)直接寫出△44。三點(diǎn)的坐標(biāo)：4，B],Q:

(3)AABC內(nèi)一點(diǎn)M(m,n),在△/田?內(nèi)的對稱點(diǎn)跖的坐標(biāo)為

(4)在》軸上確定一點(diǎn)P,使得P/+P8最短，畫出P點(diǎn)所在位置.

(24-25七年級下?上海閔行?階段練習(xí))

90.如圖，已知：AB=AC,DB=DC,點(diǎn)E在4D的延長線上.

(1)求證：NE垂直平分BC；

⑵求證：ABDEdCDE

(24-25七年級下?陜西西安?階段練習(xí))

91.如圖所示，在RtZ^/BC中，乙4=90。，斯垂直平分AD,A/N垂直平分CD.

⑵若EA=EB,MA=MC,試說明："EMdDEM；

(24-25八年級上?山西大同?階段練習(xí))

92.下面是小林設(shè)計(jì)“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，直線/及直線外一點(diǎn)A.

求作：直線/的垂線

作法：(1)以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交直線/于點(diǎn)8C；

試卷第30頁，共32頁

（2）分別以點(diǎn)用C為圓心，大于;8c的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D；

（3）作直線ND.

則直線ND就是所求作的垂線.

根據(jù)小林設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題：

⑴使用無刻度的直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

⑵完成下面的證明.

證明：連接

AB=，

.??點(diǎn)A在線段8C的垂直平分線上（）.

同理，點(diǎn)。在線段2C的垂直平分線上.

???AD垂直平分BC（）.

???4D_L直線/.

（24-25八年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）

93.如圖，AC=AD,線段AB經(jīng)過線段。的中點(diǎn)E,求證：BC=BD.

（23-24八年級上?全國?單元測試）

94.對于所有的直角三角形，我們都可以將其分割為兩個(gè)等腰三角形.

例如：如圖，已知△4BC中，ZBAC=90°,作直角邊N8的垂直平分線，分別交8C,AB

于D,E兩點(diǎn)，連接則4D將△4BC分割成兩個(gè)等腰三角形：AADGAADB.

試卷第31頁，共32頁

(1)請將以下證明過程填寫完整.

證明：；DE垂直平分AB，

???AD=DB(.),

???Zl=Z2(),

在中，ABAC=90°,

.-.Z2+Z3=Z5^C=90°,

Zl+Z4=180°-Z3AC=90°,

.,./3=/4,

CD=DA(),

.?.△ADCoADB是等腰三角形.

(2)根據(jù)上述方法，將下面三角形分割成4個(gè)等腰三角形.(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)

(3)將下面的不等邊三角形分割成5個(gè)等腰三角形.(用相同的字母標(biāo)出相等的線段)

試卷第32頁，共32頁

1.A

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】A、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

2.B

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形；據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3.C

【分析】本題考查的是軸對稱圖形的概念.沿一條直線對折，圖形的兩部分能夠完全重合的

圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸.

根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

4.C

【分析】本題考查軸對稱圖形，根據(jù)一個(gè)圖形，沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全

重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

答案第1頁，共46頁

B、不是軸對稱圖形，不符合題意；

C、是軸對稱圖形，符合題意；

D、不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：C.

5.B

【分析】本題考查軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合；根據(jù)軸對稱圖形的概念逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；

B、該圖形不一定軸對稱圖形，符合題意；

C、該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；

D、該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：B

6.C

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的作圖，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形.根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即

可.

【詳解】解：A.圖中作出的圖形是關(guān)于直線/的軸對稱圖形，故A不符合題意；

B.圖中作出的圖形是關(guān)于直線/的軸對稱圖形，故B不符合題意；

C.圖中作出的圖形不是關(guān)于直線/的軸對稱圖形，故C符合題意；

D.圖中作出的圖形是關(guān)于直線/的軸對稱圖形，故D不符合題意.

故選：C.

7.B

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)可得陰影部分面積是正方形面積的一半，即可解答；

【詳解】解：正方形的面積=4x4=16cm2,

/C是正方形的對角線，

二陰影部分的面積=gx16=8cm2；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，掌握軸對稱的兩個(gè)圖形的面積相等是解題關(guān)鍵.

8.D

答案第2頁，共46頁

【分析】把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖

形關(guān)于這條直線對稱，也稱軸對稱，這條直線叫做對稱軸.根據(jù)定義逐一分析即可.

【詳解】解：選項(xiàng)A,B,C的兩個(gè)數(shù)字都不能確定一條直線使兩個(gè)數(shù)字關(guān)于這條直線對稱,

則都不是軸對稱，

選項(xiàng)D中兩個(gè)數(shù)字能確定一條直線使兩個(gè)數(shù)字關(guān)于這條直線對稱，則兩個(gè)數(shù)字成軸對稱，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

9.B

【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，以及對稱軸，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，

一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線

是對稱軸.

分別求出每一個(gè)圖形的對稱軸數(shù)量，即可求解.

【詳解】解：A、有2條對稱軸；

B、有5條對稱軸；

C、有。條對稱軸；

D、有4條對稱軸；

二對稱軸數(shù)量最多的B,

故選：B.

10.C

【分析】結(jié)合圖象根據(jù)軸對稱圖形的概念及畫法解答即可.

【詳解】解：A.平行四邊形不是軸對稱圖形；

B.等邊三角形有三條對稱軸；

C.矩形有兩條對稱軸；

D.圓有無數(shù)條對稱軸；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的概念的有關(guān)知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形

兩部折疊后可重合.

11.C

【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別和對稱軸，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)軸對稱圖形的定義識別出軸對稱圖形，再計(jì)算出軸對稱圖形中的對稱軸總條數(shù)即可.

答案第3頁，共46頁

【詳解】

解:是軸對稱圖形,有1條對稱軸;

，寧是軸對稱圖形，有6條對稱軸；

有1條對稱軸;

不是軸對稱圖形，沒有對稱軸；1+6+1=8,

故選：C.

12.D

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，理解定義，結(jié)合圖形找出對稱軸是關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱圖形的定義”指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這

條直線就叫做對稱軸“，結(jié)合圖形分析即可.

【詳解】解：A、正方形有4條對稱軸，不符合題意；

B、平行四邊形沒有對稱軸，不符合題意；

C、矩形有2條對稱軸，不符合題意；

D、等腰三角形只有1條對稱軸，符合題意；

故選：D.

13.A

【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱圖形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)軸

對稱的性質(zhì)，觀察選項(xiàng)中右下角的圖是否符合圖3最右邊的圖即可得出答案.

【詳解】

解：A、中右下角的圖符合圖3最右邊的圖，符合題意；

答案第4頁，共46頁

B、……一中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；

viy

I

C、:;二：;中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；

\0:07

/A\

D、.中右下角的圖不符合圖3最右邊的圖，不符合題意；

--'

故選：A.

14.C

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷作答即可.

【詳解】解：由圖可知，由5個(gè)“。”和3個(gè)“口”組成的圖形僅關(guān)于。對稱.

故選：C.

15.C

【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任

何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分

析即可.

【詳解】解：入48(7和"?C'關(guān)于直線/對稱,

AA'//BB',故①正確，

???dBC和A/2'C'關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)。與點(diǎn)。是關(guān)于直線I對稱的對稱點(diǎn)，

AADB=ZA'D'B',故②正確；

VdBC和^A'B'C關(guān)于直線I對稱，

線段44。BB',CC'被直線/垂直平分，

二直線/垂直平分應(yīng)4',故③正確；

VA4BC和^A'B'C關(guān)于直線I對稱，

.??線段/2、/⑻所在直線的交點(diǎn)一定在直線/上，故④錯(cuò)誤，

二正確的有①②③，共3個(gè)

故選：C.

16.B

答案第5頁，共46頁

【分析】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，利用軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

利用軸對稱的性質(zhì)作出球的運(yùn)動路線，即可進(jìn)行判斷.

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：

【分析】本題考查求角度，涉及反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對頂角相等等知識，如圖所示，由

反射性質(zhì)得到/F￡"=/l=45。，再由平行線性質(zhì)、對頂角相等確定乙D氏/=NEFC=45。,

最后數(shù)形結(jié)合表示出/D尸G即可得到答案.數(shù)形結(jié)合，掌握反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對頂

角相等等知識是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示：

由反射性質(zhì)可知,NFEH=/I=45°,

■：EH1AB,

:.NHEB=90。，貝IJ/BE尸=90。-45。=45。,

???AB\\CD,

：.ZCFE=NBEF=45°,

：.ZDFI=ZEFC=45°,

???Z2=15°,

ZDFG=ZDFI+Z1=45°+15°=60°,

故選：B.

答案第6頁，共46頁

18.A

【分析】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AD=DC,再進(jìn)行等量代換后計(jì)算即可.

【詳解】解：,??。后垂直平分4C,

??.AD=DC,

??.△ABD的周長=++=++=+=

BC=18cm,

??.AB=24-18=6cm

故選：A.

19.10cm

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，由

。后垂直平分4C,可得4。=。。，則可求出