中心對(duì)稱(8大類型精準(zhǔn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè))

知識(shí)點(diǎn)1.中心對(duì)稱

1.中心對(duì)稱的概念

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，和另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱也叫做這

兩個(gè)圖形中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn).

方法歸納：

1、中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)角為180。的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱；

2、尋找對(duì)稱中心，只需分別聯(lián)結(jié)兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得兩條直線的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心；

3、對(duì)稱點(diǎn)所連線段經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心平分.

2.中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的區(qū)別

中心對(duì)稱軸對(duì)稱

對(duì)稱中心只有一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱軸至少有一條直線

圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°圖形沿對(duì)稱軸折疊

旋轉(zhuǎn)180°后和另?一個(gè)圖形重合折疊后與另一個(gè)圖形重合

2.中心對(duì)稱的性質(zhì)

1.中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被稱中心所平分;

2.中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形

方法歸納：

(1)中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此，它具有旋轉(zhuǎn)的一切特征

(2)中心對(duì)稱的特征(性質(zhì))是畫已知圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖形的主要依據(jù)

(3)常?？梢岳弥行膶?duì)稱的性質(zhì)來(lái)證明有關(guān)的線段相等、平行及三角形全等

3.確定對(duì)稱中心的方法

方法1:連接任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn)，則該點(diǎn)為對(duì)稱中心

方法2:連接任意兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)即是對(duì)稱中心

4.畫已知圖形關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱的圖形

(1)連接:分別將原圖形上的所有關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心連接并延長(zhǎng)；

(2)截取:等長(zhǎng)截取，在延長(zhǎng)線上截取長(zhǎng)度等于關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心所連線段的長(zhǎng)度，截取的交點(diǎn)就是該關(guān)鍵點(diǎn)的

對(duì)稱點(diǎn)：

(3)順次連接:將對(duì)稱點(diǎn)參照原圖形順次連接起來(lái),即可得出關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的圖形

知識(shí)點(diǎn)2.中心對(duì)稱圖形

1.中心對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中

心對(duì)稱圖形,這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.2.中心對(duì)稱圖形的判定

中心對(duì)稱圖形必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：

(1)圍繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn);(2)旋轉(zhuǎn)180°;(3)與自身完全重合

2.中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)

(1)中心對(duì)稱圖形上的對(duì)稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分，即過(guò)對(duì)稱中心的直線與中心對(duì)

稱圖形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)

(2)過(guò)對(duì)稱中心的直線把中心對(duì)稱圖形分成的兩部分是全等圖形(即面積和周長(zhǎng)都分別相等)

3.中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形

①指兩個(gè)全等圖形之間的相互①指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱.

區(qū)

位置關(guān)系.②對(duì)稱中心是圖形自身或內(nèi)部

別

②對(duì)稱中心不定.的點(diǎn).

如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看

如果把中心對(duì)稱圖形對(duì)稱的部

聯(lián)成一個(gè)整體(一個(gè)圖形)，那

分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又

系么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖

是關(guān)于中心對(duì)稱.

形.

知識(shí)點(diǎn)3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

1.兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P(-x,-y)

2.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們的橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)：反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)點(diǎn)的橫坐

標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

【類型11中心對(duì)稱的認(rèn)識(shí)

1.（24-25九年級(jí)上?云南玉溪?期中）如圖所示，VABC與關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

A.AB//AB'B.BC=B'CC.OA=OAD.ZABC=ZAC'B'

【答案】D

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的知識(shí)；根據(jù)成中心對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱中心平分，對(duì)應(yīng)角相等，解答即可.

【詳解】成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形，它們的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，

選項(xiàng)A,B正確；成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱中心平分，選項(xiàng)C正確，ZABC=ZA，B，C，）

選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的，

故選：D.

2.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，VABC與AAEC關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱，則下列結(jié)論不成立的是

)

C.AB=ABD.ZACB=ZCrA'B'

【答案】D

【分析】本題考查中心對(duì)稱，解題的關(guān)鍵是理解中心對(duì)稱的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.利用中心對(duì)稱的性

質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：???△ABC與關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，

.■點(diǎn)A與點(diǎn)A'是對(duì)稱點(diǎn)，BO=BO>AB=AB>

.'.A,B，C正確，

故選：D.

3.（23-24九年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）下列描述中心對(duì)稱的特征的語(yǔ)句中，其中正確的是（）

A.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，連接對(duì)稱點(diǎn)的線段不一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心

B.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱中心不一定平分連接對(duì)稱點(diǎn)的線段

C.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，但不一定被對(duì)稱中心平分

D.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分

【答案】D

【分析】本題考查中心對(duì)稱的性質(zhì).根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②

關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分，判斷各選項(xiàng)即可得出答

案.

【詳解】解：A、成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，連接對(duì)稱點(diǎn)的線段一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱中心一定平分連接對(duì)稱點(diǎn)的線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)稱點(diǎn)的連線一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【類型2】中心對(duì)稱的作圖

(1)畫出VABC向右平移5格，再向下平移3格后的圖形;

(2)如果點(diǎn)為與點(diǎn)A關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，請(qǐng)標(biāo)出這個(gè)對(duì)稱中心0,并畫出VABC關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱的圖

形△&BC；

(3)畫出VA2C關(guān)于直線成軸對(duì)稱的圖形4AB3G.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查了畫平移圖形，畫軸對(duì)稱圖形，畫中心對(duì)稱圖形：

(1)根據(jù)平移方式找到A、B、c對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、與、G的位置，再順次連接4、與、G即可；

(2)連接械，利用網(wǎng)格的特點(diǎn)找到他的中點(diǎn)位置即為點(diǎn)。的位置，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)。的位置找到打、G的

位置即可；

(3)根據(jù)軸對(duì)稱的特點(diǎn)找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、居、C3的位置，然后順次連接4、4、C3即可.

【詳解】⑴解；如圖所示，AA4cl即為所求；

(2)解：如圖所示，點(diǎn)。和△48夕2即為所求；

(3)解：如圖所示，△ABC即為所求.

G

5.(23-24九年級(jí)上.江西宜春?期中)如圖1,四邊形A5CD是正方形；如圖2,四邊形A5CD是矩形，AMAD

是等腰三角形.請(qǐng)只用無(wú)刻度的直尺按要求畫圖.

(1)在圖1中，畫出正方形ABCD的對(duì)稱中心。；

(2)在圖2中，畫出線段8C的中點(diǎn)N.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題主要考查了作圖與應(yīng)用作圖，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和中心對(duì)稱圖

形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義.

(1)依據(jù)正方形的對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)進(jìn)行作圖；

(2)利用矩形的對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，等腰三角形的軸對(duì)稱圖形，即可得到點(diǎn)N.

【詳解】(1)解：如圖1所示，連接AC,5D交于點(diǎn)。即為所求；

圖1

(2)解：如圖2所示，連接AC3。交于點(diǎn)。，連接MO并延長(zhǎng)交2C于點(diǎn)N即為所求.

M

圖2

6.(23-24九年級(jí)上.河南新鄉(xiāng)?期中)如圖所示，在VABC中，4-2,3),B(-3,1),C(-l,2).

(1)將VABC向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，畫出平移后的△ABC1；

⑵將7ABe繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后的3G；

(3)由作圖可知△與2c2成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

⑶(2,0)

【分析】本題考查了作圖的綜合問(wèn)題一平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱.

(1)首先將點(diǎn)A、B、C分別向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)4、4、G，順次連接即可；

(2)將A、B、C繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，得到點(diǎn)七、層、C2,順次連接即可；

(3)通過(guò)計(jì)算可得A4,8也和C?相交于點(diǎn)(2,0),根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義即可解答.

【詳解】(1)解：△AgG如圖所示；

（2）解：/XAB2c2如圖所示；

（3）解：連接A4，男星和Ge?,

對(duì)稱中心為（2,0）.

故答案為：（2,0）.

【類型3】利用中心對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

7.（24-25九年級(jí)上?廣東汕頭?期中）如圖，是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，A為對(duì)稱中心，若NC=90。，ZBAC=6O°,

BC=1,則CC'的長(zhǎng)為（）

A.氈B.述C.3D.4

333

【答案】A

【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，先求解AC=—"二=」="，再利

tan60°V33

用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：：NC=90。，ZBAC=60°,BC=\,

.4r_BC_1_A/3

tan60°V33

:該圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，

???AC=AfC=—,

3

故選:A

8.（23-24九年級(jí)上?廣西河池?期末）如圖，VABC與3EC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，AB=3,AE=5,ZBAD=90°,

則點(diǎn)A到BE的距離是—.

【答案】跡

13

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.過(guò)

點(diǎn)A作AFXBE于點(diǎn)尸，先根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得DE=AB=3,AC=DC,ZD=ZBAD=90°,利

用勾股定理可得AO=4,從而可得AC=2,再利用勾股定理可得=然后利用三角形的面積公式求

解即可得.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作始于點(diǎn)尸，

；VABC與△DEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，AB=3,ZBAD=90°,

：.DE=AB=3,AC=DC,ZD=ZBAD=90°,

AE=5,

AD=-JAE2-DE2=4'

AC=DC=2,

BC=y/AB2+AC2=底>

■：S^BC=^AF.BC=^ABAC,

..ABAC3X26岳

??2T.JT——―/,

BCV1313

即點(diǎn)A到BE的距離是“叵，

13

故答案為：鼠叵.

13

9.（18-19九年級(jí)上?全國(guó)?期末）如圖所示，在AABC中，AD是邊上的中線.

⑴畫出與AACD關(guān)于點(diǎn)D成中心對(duì)稱的三角形；找出與AC相等的線段；

(2)探究：AASC中A3與AC的和與中線AD之間有何大小關(guān)系？并說(shuō)明理由；

【答案】(1)作圖見解析；A'B

(2)AB+AO2AD,見解析

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及中心對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

(1)根據(jù)中心對(duì)稱的特征，延長(zhǎng)AO至A,使A￡>=ZM',連接BA,則即AABr)為所求，AC=A'B,

(2)根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊分析即可得解.

【詳解】(1)解：如圖所示，在AABC中，AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至A,使45=八4,連接BA,

則即AAAJ為所求，AC=A'B.

\\//

4

(2)解：AB+AO2AD,理由：

；AABD與AACD關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，

AAD=AD,AC=A'B,

?.?在中，有A3+HBAA4"即AB+AOAD+A'。，

AB+AO2AD.

10.(24-25九年級(jí)上?福建福州?階段練習(xí))如圖，VABC和3所關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱.

⑴找出它們的對(duì)稱中心。；

⑵若AB=6,AC=5,BC=4,求ADE戶的周長(zhǎng)；

(3)連接AF,CD,試判斷四邊形AGD/的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見解析

⑵15

(3)四邊形ACDF是平行四邊形，理由見解析

【分析】本題考查了中心對(duì)稱的性質(zhì).也考查了平行四邊形的判定.熟練掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)和平行四邊

形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱中心在線段AD、CF±,則連接AD和CV,它們的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心。；

(2)根據(jù)中心對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等可得到戶各邊的長(zhǎng)，然后計(jì)算ADEF的周長(zhǎng)；

(3)根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)得。4=OD,OC=OF,則根據(jù)平行四邊形的判定方法可判斷四邊形ACDb為平

行四邊形.

【詳解】(1)解：如圖，連接AD，CF,點(diǎn)。為所求：

（2）解：?rVABC和ADE尸關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱

△ABC絲△￡>￡■尸，

DF=AC-5,DE—AB-6,EF—BC-4,

ADEF的周長(zhǎng)為￡F+r>b+r>E=4+5+6=15；

（3）解：四邊形AGDb是平行四邊形，理由如下:

連接AGC￡）,4RC尸，如圖所示：

VVABC和^DEF關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱,

OA=OD,OC=OF,

四邊形ACDF為平行四邊形.

【類型4】中心對(duì)稱圖形

11.（2025?河北張家口?模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形、又是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不符合題意；

故選:B.

12.（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?期末）下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題主要考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的識(shí)別是解題的關(guān)鍵.根據(jù)中心對(duì)稱

圖形的特征，將圖形旋轉(zhuǎn)180。后與原圖形重合即為中心對(duì)稱圖形，即可得到答案.

【詳解】

解:不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A不符合題意;

是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B符合題意;

不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C不符合題意;

不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意;

故選B.

13.（24-25九年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）在線段、等邊三角形、平行四邊形和圓中，既是軸對(duì)稱圖形又

是中心對(duì)稱圖形的有.

【答案】線段、圓

【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)

稱中心，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念作答.

【詳解】解：線段、圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱的圖形；

等邊三角形只是軸對(duì)稱圖形；

平行四邊形只是中心對(duì)稱的圖形；

故答案為：線段、圓.

【類型5】中心對(duì)稱圖形的有關(guān)作圖

14.（24-25九年級(jí)上?吉林四平?期末）如圖，在5義5的正方形網(wǎng)格紙中，已知格點(diǎn)M和格點(diǎn)線段AC,請(qǐng)

按要求畫出AC為對(duì)角線的格點(diǎn)四邊形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

圖①

⑴在圖①中畫出四邊形ABC。，使得四邊形ABC。是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)M在四邊形ABC。的內(nèi)部（不包

括邊界上）.

（2）在圖②中畫出四邊形使得四邊形AECB既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)M在四邊形

AEC廠的內(nèi)部（不包括邊界上）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理和正方形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理和正方形的

判定是解本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意可以作一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行

四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，或四條邊相等的四邊形即菱形，作圖;

（2）可以作一個(gè)正方形，根據(jù)正方形的判定：四條邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形，作圖即可.

【詳解】（1）如圖，A￡>=8C=4,AD〃5C,

四邊形"8是平行四邊形，符合題意,

22

(2)如圖，-/AB=BC=CD=AD=y/4+l

二四邊形9CD是菱形，符合題意;

15.（24-25九年級(jí)上?吉林?期末）圖①，圖②均是8x8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每

個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn)，這6個(gè)格點(diǎn)簡(jiǎn)稱為標(biāo)注點(diǎn).

圖①圖②

（1）在圖①，圖②中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫一個(gè)中心對(duì)稱圖形.（兩個(gè)中心對(duì)稱圖形不全等）

（2）圖①中所畫的中心對(duì)稱圖形的面積為

【答案】（1）見解析

⑵6

【分析】本題考查格點(diǎn)作圖，中心對(duì)稱圖形的定義.

（1）利用格點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，分別選出能構(gòu)成平行四邊形的4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)連線即可;

（2）根據(jù)圖形利用割補(bǔ)法解答即可.

【詳解】（1）解：如圖所示為所求:

圖①圖②

（2）解：圖①中所畫的中心對(duì)稱圖形的面積為：2x3=6.

16.（22-23九年級(jí)上?四川廣安?期中）圖1,圖2都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格圖

中有3個(gè)小等邊三角形已涂上陰影.請(qǐng)?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，分別按下列要求選取一個(gè)涂上陰影：

（1）使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形.（至少畫出兩種）

（2）使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形.（畫出一種）

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案、利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；

(2)直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案.

【詳解】(1)解：如圖所示(畫出兩種即可)：

(2)如圖所示(畫出一種即可)：

【類型6】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

17.(23-24九年級(jí)上?四川南充?期中)已知點(diǎn)4。,1)與點(diǎn)5(54)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)尸(。力)在第()象

限.

A.-B.二C.三D.四

【答案】C

【分析】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)為對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)及各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：第一象限的點(diǎn)滿足橫、縱坐

標(biāo)(+,+),第二象限的點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)(-,+),第三象限的點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)(-，-)，第四象限的點(diǎn)滿足橫、

縱坐標(biāo)(+,-)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，熟知這一規(guī)律是正確解決本題的關(guān)鍵.

由點(diǎn)A(a,l)與點(diǎn)B(5,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求得。、b的值，即可知點(diǎn)尸在第幾象限.

【詳解】解：?.?點(diǎn)AQD與點(diǎn)B(5,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

ci=-5,b——1,

尸(-5,-1))

則點(diǎn)尸(。,3在第三象限，

故答案為：C.

18.(24-25九年級(jí)上?四川南充?期中)已知A(a,l)與川-4,6)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。+6=.

【答案】3

【分析】本題考查了求一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵是理解兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

的意義.

根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，列出關(guān)于。，6的方程求解，再代入代數(shù)式求值.

【詳解】解：與3(-4乃)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

a+(-4)=0,l+b-0,解得：a=4,b=-l,

。+6=4+（—1）=3.

故答案為：3.

19.（24-25九年級(jí)上?云南昆明?期中）已知點(diǎn)A（a,2023）與點(diǎn)A（-2024,切是關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，則

的值為.

【答案】1

【分析】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的橫縱

坐標(biāo)符號(hào)都是互為相反數(shù).直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出。,方的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)A（a,2023）與點(diǎn)4（-2024⑼是關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，

/.?+（-2024）=0,2023+6=0,

解得a=2024,6=-2023,

a=2024+（-2023）=1.

故答案為：L

20.（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）已知拋物線G與g關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，若拋物線C1的解析式為

y=—5（x—2）2—1,則拋物線C2的解析式為—.

【答案】y=5（x+2）2+l

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)及關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的

基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)拋物線C1的解析式確定拋物線的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合中心對(duì)稱的性

質(zhì)確定拋物線Q的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】解：：拋物線G的解析式為丫=-5（%-2）2-1,

；?拋物線Q的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

V拋物線就與G關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

.??拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

???拋物線的解析式為y=5（x+2）2+1.

故答案為：^=5（%+2）2+1,

【類型7】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)作圖問(wèn)題

21.（19-20八年級(jí)下.江蘇蘇州?期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在方格紙

中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，VA3C的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

(1)將VABC向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到，請(qǐng)畫出4A由G;

(2)畫出VABC關(guān)于點(diǎn)0的中心對(duì)稱圖形△人與6;

(3)若將△44G繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A/zG，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)：.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶(3,。)

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移、中心對(duì)稱，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平移方式，畫出VABC頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,瓦,G，再順次連接即可得到△A4G；

(2)根據(jù)中心對(duì)稱方式，畫出VABC頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為人,星82,再順次連接即可得到△&BC；

(3)結(jié)合圖形得到4,4，G，4,82，G的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線上即可解答.

【詳解】⑴解：如圖所示，AA4G即為所求：

(2)解：如圖所示，△&員G即為所求:

（3）解：由圖可得，4（3,5）,A（3,-5）,4（2,1）,4（4,-1）,C15,2）,C2（l,-2）,

的中點(diǎn)為（3,0）,為&的中點(diǎn)為（3,0）,GC?的中點(diǎn)為（3,0）,

.??點(diǎn)（3,0）同時(shí)在44、B再2、Ge2的垂直平分線上，

又將△&4G繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到2G，

???旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（3,0）.

故答案為：（3,0）.

22.（24-25九年級(jí)上?吉林?期中）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，NABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-l,0）,B（-3,3）,

C（-4,-l）.

（1）畫出VABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的44旦C1,并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)；

⑵畫出VABC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后的圖形△45,2，并寫出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo).

【答案】（1）見解析；A的坐標(biāo)為。,0）;

⑵見解析；G的坐標(biāo)為（1,T）

【分析】本題主要考查作圖，旋轉(zhuǎn)變化和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的和旋轉(zhuǎn)變

換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（1）分別作出點(diǎn)4B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，再首尾逆次連接即可.

（2）分別作出點(diǎn)A,B,C繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后得到的點(diǎn)，再首尾逆次連接即可.

【詳解】(I)解：如圖，即為所求，4的坐標(biāo)為。,0)；

(2)如圖，△ABzG即為所求，G的坐標(biāo)為(1,-4)

23.(24-25九年級(jí)上?貴州黔東南?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(2,4),

(1)請(qǐng)畫出與VA3C關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的圖形瓦G(A、8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B］、C,),并

寫出A、瓦、G的坐標(biāo)；

(2)若VABC以點(diǎn)3為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的圖形為△48夕2(A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為人、星、

G),在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出4、2、c2的坐標(biāo).

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】本題考查了畫旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形與畫中心對(duì)稱圖形，寫出旋轉(zhuǎn)90。后的坐標(biāo)及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)，正

確理解旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和中心對(duì)稱的概念是解題的關(guān)鍵.

(1)再根據(jù)中心對(duì)稱的坐標(biāo)性質(zhì)，分別求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、用、￡的坐標(biāo)，然后在坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，順次連接各

頂點(diǎn)即可求解；

(2)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)4、星、G，再順次連接各頂點(diǎn)即可.

【詳解】⑴解:如圖，4(-2T),^(-1,-1),G(T-3),

△44a為所作的三角形，

⑵解:如圖，4(-2,2),B2(U),G(T4),

【類型8】中心對(duì)稱的變化規(guī)律問(wèn)題

24.(22-23八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)片(0,-1),6(2,3)的對(duì)稱中心是點(diǎn)A,另取

兩點(diǎn)8(-1,2),C(-1,O).有一電子青蛙從點(diǎn)片處開始依次作關(guān)于點(diǎn)A,B,C的循環(huán)對(duì)稱跳動(dòng)，即第一次跳

到點(diǎn)片關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)心處，接著跳到點(diǎn)外關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)片處，第三次再跳到點(diǎn)片關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱

點(diǎn)舄處，第四次再跳到點(diǎn)a關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)心處，…，則點(diǎn)心。19的坐標(biāo)為().

yjk

；l__J；_____:I____；??n;

I__J____I____I_____L__.

A.(-1,1)B.(-1,-1)C.(2,0)D.(-4,1)

【答案】D

【分析】本題考查了坐標(biāo)規(guī)律探究，中心對(duì)稱，坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱，利用中心對(duì)稱找出坐標(biāo)規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

首先利用題目所給公式一次求出前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，(0,1)7?(2,3)1)(2,-1)(0,3)

P6(-2,1)-?(o,l)T月(2,3)…由此得到好的坐標(biāo)和R的坐標(biāo)相同，G的坐標(biāo)和P2的坐標(biāo)相同，即坐標(biāo)以6

為周期循環(huán)，利用這個(gè)規(guī)律即可求出點(diǎn)乙。19的坐標(biāo).

【詳解】解：：點(diǎn)心(2,3)關(guān)于點(diǎn)5(-1,2)的對(duì)稱點(diǎn)片，

22

七，=-4,%=1,

A(yi),

同理可得點(diǎn)心(2,-1),4(0,3),^(-2,1),，(0,1),4(2,3),…

.?.點(diǎn)P每6次一循環(huán)，

；2019-6=336.......3

二點(diǎn)6019與點(diǎn)鳥坐標(biāo)相同，即^9(-44).

故選：D.

25.(24-25九年級(jí)上?河北保定?期中)如圖，一段拋物線y=r(x-l)(OWxWl)記為/，它與x軸的交點(diǎn)

為o,4,頂點(diǎn)為《；將叫繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180。得利2,交X軸于點(diǎn)4,頂點(diǎn)為鳥；將?繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得加3，

交X軸于點(diǎn)頂點(diǎn)為A，…，如此進(jìn)行下去，直至得到"小當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，拋物線加“的表達(dá)式為.

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，先求出拋物線叫與無(wú)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)

及兩交點(diǎn)的距離，再根據(jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱找頂點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律，得到拋物線外與X軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及開口

方向，即可得到答案；

【詳解】解：當(dāng)y=o時(shí)，一x(x—l)=o,

解得：玉=0,X2=l,

.??拋物線叫與X軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)和(1,0),且開口方向向下，且拋物線叫與X軸兩交點(diǎn)的距離為：

兀2.玉=1；

將叫繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得rn2,將恤繞點(diǎn)右旋轉(zhuǎn)180°得加3，

拋物線/與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)和(2,0),且開口方向向上；

拋物線啊與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)和(3,0),且開口方向向下；

同理：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，拋物線？與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(〃-1,0)和(〃,())，且開口方向向上；

???拋物線㈣，的表達(dá)式為：y=(x-n+i)(x-n)

故答案為：y=(x-n+i)(x-n)(n-l<x<n).

26.(24-25九年級(jí)上?浙江金華?階段練習(xí))如圖，拋物線y=/+2尤-3頂點(diǎn)為°,交x軸于E、尸兩點(diǎn)(E

在尸的右側(cè)).T是x軸正半軸上一點(diǎn)，以T為中心作拋物線y=/+2x-3的中心對(duì)稱圖形，交x軸于點(diǎn)K、

【答案】(7,0)

【分析】先利用配方法得到。(T,7)，解方程/+2》-3=0得石(一3,0),尸(1,0),作QPA軸于P,過(guò)尸點(diǎn)

作FM_LF。交QL于作跖V_Lx軸于N,如圖，證明A尸如四ANW得到尸。=FN=4,MN=PF=2,

則〃（5,-2）,則可利用待定系數(shù)法求出直線QL的解析式為y=所以“11,0）,接著利用中心對(duì)稱

的性質(zhì)先確定T點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,再確定點(diǎn)K的坐標(biāo)K（7,0）.

【詳解】解：,.,y=%2+2x—3=（x+l）2—4,

「?2（—1,-4）,

當(dāng)y=0時(shí)，％2+2%_3=0,解得西=-3，x2=\,

/.E（-3,0）,尸（1,0）,

作QP_Lx軸于尸，過(guò)/點(diǎn)作FM_L/。交于M.作軸于N,如圖，

???/FQL=45。,

???△Q尸M為等腰直角三角形，

/.FQ=FM,

\-ZPFQ+ZPQF=90°,/PFQ+/MFN=90。,

ZPQF=ZMFNf

.△PQPaNFM（AAS）,

：.PQ=FN=4,MN=PF=2,

設(shè)直線a的解析式為y=kx+b,（kw0）,

r—k+。=—4

把Q（TT）,M（5,-2）代入得

IJfV-rU——乙

k=-

3

解得

b=一

[3

???直線3的解析式為y=gx-,，

當(dāng)y=0時(shí)，-X-—=0

33

解得X=H，

.?.￡（11,0）,

■.?點(diǎn)磯-3,0）和點(diǎn)“11,0）關(guān)于T對(duì)稱，

???T點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,

:點(diǎn)尸與點(diǎn)K關(guān)于T點(diǎn)對(duì)稱，

二K(7,0),

故答案為：(7,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，配方法，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，

全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí).關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形.

【類型9】新定義探究問(wèn)題

27.(2024?浙江寧波?一模)若二次函數(shù)％=。b2+6科+。與丫2=%尤2+打尤+。2的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(L0)成中心對(duì)

稱圖形，我們稱為與巴互為“中心對(duì)稱”函數(shù).

(1)求二次函數(shù)y=V+6x+3的“中心對(duì)稱”函數(shù)的解析式；

⑵若二次函數(shù)^=0^+2依+c(a>0)的頂點(diǎn)在它的“中心對(duì)稱”函數(shù)圖象上，且當(dāng)三紅4X4丁時(shí)，y最

a4〃

大值為2,求此二次函數(shù)解析式.

⑶二次函數(shù)尤+c("0)的圖象頂點(diǎn)為與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A、B,它的“中心對(duì)稱”函數(shù)內(nèi)的

頂點(diǎn)為N,與x軸的交點(diǎn)為C、D,從左往右依次是4、B、C、D,若AB=2BP,且四邊形為矩形，

求-4ac的值.

【答案】(1)“中心對(duì)稱”函數(shù)的解析式為：y=-(x-5)2+6

117

(2)拋物線的表達(dá)式為：y=

424

(3)b2-4ac=20

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解一元二次方程、新定義、矩形的性質(zhì)、解直角三角形

等，綜合性強(qiáng)，難度適中.

(1)由新定義即可求解；

(2)求出c=-7a,得到拋物線的表達(dá)式為：y=a(x2+2x-7),即可求解；

(3)由MH?=AH-DH，即可求解.

【詳解】(1)解：y=x?+6x+3=(x+3)2-6,

則該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-3,-6),

則該頂點(diǎn)關(guān)于(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(5,6),

則“中心對(duì)稱”函數(shù)的解析式為：y=-(x-5)2+6；

(2)由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線x=-l,

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-Lc-a),

貝廣中心對(duì)稱”函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,a-c),

2

則“中心對(duì)稱”函數(shù)的表達(dá)式為：y=—a(x—3)+a—cf

將(一1,。一。)代入上式得：c-a=一〃(一1一3)2+a-c,

尚軍得：c=—7。，

貝I」拋物線的表達(dá)式為：y=ax2+2ax-7a=a(^x2+2x-7^,

BP-5<x<2,

則拋物線在％=-5時(shí)，取得最大值為2,

即々(25-10-7)=2,

解得：。=9，

4

117

則拋物線的表達(dá)式為：>==/+;尤-=;

424

設(shè)點(diǎn)A、B、。的橫坐標(biāo)分別為：尤4，%,虧,公=。2-4℃,設(shè)左側(cè)拋物線的對(duì)稱軸交工軸于點(diǎn)”,

b

則點(diǎn)”的坐標(biāo)為：f—―,—=~~^,無(wú)B=-H而,點(diǎn)〃的坐標(biāo)為：

{2a4aJ2aB2aI2aJ

根據(jù)點(diǎn)A,。關(guān)于尸(1,0)中心對(duì)稱，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)?=2-4，

由點(diǎn)A、”的坐標(biāo)得，AB=2AH==2?^=,

2a2aj2aa

則即=而,

2a

若AB=23P,

即巫=2="而x2,

ala

整理得：2Q+Z?=2而，

當(dāng)四邊形AWN為矩形時(shí)，則NAMD=90。,

.\ZMDH=ZAMH,

MHAH

tanNMDH=——=tanZAMH=——

HDMH

貝=

MH=--^-,AH=-^~b

"'=興,DH=(2-XA-XH),

4。2a、2a>la

|=￡X(2-XA一無(wú)H),

則￡

整理得：竺=6（26+4。+肉,

4

A2

將2a+b=2而代入上式得：彳=凡（5石）,

解得：A=20,A=0（舍去），

即b2-4ac=20.

28.（23-24九年級(jí)上?江西宜春?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=/-2mx的圖像交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

（1）當(dāng)機(jī)=1時(shí)，如圖1,拋物線L:y=/—2x上的點(diǎn)8,O,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為Q,

O',C,A',Di,如下表:

5(-1,3)0(0,0)C(LT)A（——）D（3,3）

?(5,-3)。（4,0）C'(3,l)A（2,0）^(1,-3)

①補(bǔ)全表格：A（一,一）

②請(qǐng)?jiān)趫D1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖像記為

形成概念：

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖像//上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱1/是乙的“孔像拋物線”.例

如，當(dāng)〃z=-2時(shí)，圖2中的拋物線〃是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問(wèn)題

（2）①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”U的函數(shù)值都隨著無(wú)的增大而減小，則x的取值范圍

為;

②若二次函數(shù)y=f-2爾及它的“孔像拋物線”與直線＞有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的值.

【答案】（1）①2；0；②作圖見解析；⑵①-3WxW-l；②片±1

【分析】（1）①利用中心對(duì)稱的特點(diǎn)即可求出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)；②在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，用平滑的

曲線依次連接各點(diǎn)即可；

（2）①利用配方法求出拋物線L的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱性求出“孔像拋物線”〃的頂點(diǎn)與

對(duì)稱軸，進(jìn)而得出“孔像拋物線”〃解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

②利用二次函數(shù)y=Y-2加及它的“孔像拋物線”與直線丫=機(jī)有且只有三個(gè)交點(diǎn)，可得直線＞=機(jī)必經(jīng)過(guò)這

兩條拋物線中的一條的頂點(diǎn)，利用分類討論的思想方法，令＞=機(jī)分別經(jīng)過(guò)L和〃的頂點(diǎn)，從而得到關(guān)于

＞=機(jī)的方程，解方程即可求得結(jié)論.

【詳解】⑴???點(diǎn)川-1,3）與點(diǎn)占（5,-3）關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱,

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為（［二手，三城，即4（2,0）,

故答案為：2；0；

②描點(diǎn)，連線，得到的圖像如圖所示：

（2）①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，拋物線七為＞=/+2%,對(duì)稱軸為了=-1,

當(dāng)y=爐+2%=0,

解得：%=。，%=-2,

???A（-2,0）,

???原點(diǎn)關(guān)于A（-2,0）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（＜0）,

???它的“孔像拋物線”〃的解析式為y=-(x+2e+4),對(duì)稱軸為X=一書=-3,

???拋物線L與它的“孔像拋物線”//的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，

的取值范圍為：-3<x<-l,

故答案為：-3<x<-l；

②y=f—2"a=(萬(wàn)一加)2_m2,設(shè)頂點(diǎn)為一根2),過(guò)點(diǎn)「作PM,無(wú)軸于點(diǎn)“，“孔像拋物線”〃的

頂點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P'作軸于點(diǎn)AT,

ZPMA=ZP'M'A=90。，M(m,0),

由“孔像拋物線”的定義可知：點(diǎn)A為PP的中點(diǎn)，

AZPAM^ZPAM',PA^PA,

在APMA和AP'M'A中，

ZPMA=ZP'M'A

，NPAM=ZP'AM',

PA=P'A

：.△PAM之△PMA(AAS),

/.MA=M'A,PM=P^,

：.M\3m,0),

/.P(3帆，加2),

拋物線L及“孔像拋物線”z/與直線y=機(jī)有且只有三個(gè)交點(diǎn)，

—m2=m或m2=m，

解得：加=±1或0,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，>=尤2與y=只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去，

/.m=±1.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角

形的判定和性質(zhì)，理解“孔像拋物線”的定義及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

串知識(shí)識(shí)框架

對(duì)稱中心概念

概念性質(zhì)

中心對(duì)稱圖形?

對(duì)稱點(diǎn)

生活中的中心對(duì)稱圖形

中心

中心對(duì)稱---對(duì)稱

性質(zhì)作圖

平面直角坐

應(yīng)用

識(shí)別方法標(biāo)系中的中?

叁逑點(diǎn)啾-尸'

心對(duì)稱P[x,y)-(-x,-y)

8過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

一、單選題

1.（23-24九年級(jí)上.四川南充?期中）下列圖標(biāo)中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，準(zhǔn)確掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，可得：

A選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C選項(xiàng)中的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

D選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選：C.

2.（23-24九年級(jí)上.廣西河池?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（-3,1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)“如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互

為相反數(shù)”、點(diǎn)所在的象限，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律是解題關(guān)鍵.根據(jù)如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，那么這兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得.

【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（-3,1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,-1）,

V3>0,-1<0,

.?.點(diǎn)（3,-1）在第四象限，

即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-3,l）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限，

故選：D.

3.（24-25九年級(jí)上?廣西河池?期中）如圖，矩形A3。與矩形CDE5關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則該點(diǎn)為（）

C.線段跖的中點(diǎn)D.線段的中點(diǎn)

【答案】D

【分析】本題考查了兩個(gè)圖形關(guān)于中心對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)，需要根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行求解.關(guān)于中心對(duì)稱的

兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.熟練掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】：矩形ABCD與矩形CDE/關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，

.?.點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)、B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,

???對(duì)稱中心為線段。的中點(diǎn).

故選D.

4.（2025?上海普陀?二模）有若干個(gè)全等三角形，如果這些全等三角形恰好能拼成一個(gè)正多邊形，且這個(gè)

正多邊形不是中心對(duì)稱圖形，那么下列三角形中，符合條件的是（）

A.頂角是48。的等腰三角形B.頂角是45。的等腰三角形

C.有一個(gè)銳角是24。的直角三角形D.有一個(gè)銳角是54。的直角三角形

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握相

關(guān)知識(shí).由題意可得：拼成的正多邊形的邊數(shù)為奇數(shù)，分別求出每個(gè)選項(xiàng)中各個(gè)三角形的內(nèi)角，進(jìn)而得到

組成的正多邊形的內(nèi)角，再根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式判斷出正多邊形的邊數(shù)，即可求解.

【詳解】解：,??這些全等三角形恰好能拼成一個(gè)正多邊形，且這個(gè)正多邊形不是中心對(duì)稱圖形，

???拼成的正多邊形的邊數(shù)為奇數(shù)，

1800-48°

A、頂角是48。的等腰三角形，則底角為.二66。,

.??可能拼成的正多邊形的內(nèi)角為66?；?6。+48。=114。，但無(wú)法對(duì)應(yīng)奇數(shù)邊正多邊形的內(nèi)角，故該選項(xiàng)不符

合題意；

B、頂角是45。的等腰三角形，可拼成正方形，但正方形是中心對(duì)