專題10直線的傾斜角與斜率

’內容導航一預習三步曲

第一步：學

析教材學知識教材精講精析、全方位預習

練題型強知識7大核心考點精準練

第二步：記

思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握

第三步：測

過關測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

知識點01：直線的傾斜角

1、傾斜角的定義：當直線/與X軸相交時，我們把X軸稱為基準，x軸的正向與/向上的方向之間所產生的

角a叫做直線/的傾斜角.

2、傾斜角的范圍

當直線/與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0。.因此，直線的傾斜角a的取值范圍為

0<a<180，具體如下:

傾斜角a=00<a<90a=9090<a<180

//1

圖示—二/

A1

/070

知識點02：直線的斜率

1、斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角a(a/90)的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母上表

示，即左=tane.

2、傾斜角與斜率的關系

直線的情況平行于X軸由左向右上升垂直于X軸由左向右下降

a的大小a=00<a<90。=9090<cr<180

k的取值范圍k=0k>0不存在k<0

k的增減性一左隨a的增大而增大一比隨a的增大而減增大

3、傾斜角與斜率的區(qū)別和聯(lián)系

(1)每條直線都有唯一的傾斜角，但不是所有的直線都有斜率，傾斜角為90。的直線沒有斜率;

（2）不同的傾斜角對應不同的斜率，當傾斜角不是90。時，傾斜角的正切值是斜率，此時斜率和傾斜角可

以互相轉化.因此，確定一條不垂直于x軸的直線，只要知道直線上的一個點和直線的斜率即可.

知識點03：過兩點的直線的斜率公式

1、斜率公式：經過兩點片（再,%）、鳥（%2，%）（苞/々）的直線的斜率公式為左="』.

x2-xl

2、對斜率公式的理解

（1）當藥=々時，直線與x軸垂直，直線的傾斜角為90。，斜率不存在，此時公式不適用.因此，在研究

直線的斜率問題時，一定要注意斜率的存在與不存在兩種情況.

（2）直線的斜率公式中左的值與A,鳥兩點都在該直線上的位置無關，即在直線上任取不同的兩點，其斜

率均不變.

（3）斜率公式與兩點坐標的順序無關，即兩縱坐標和兩橫坐標在公式中的順序可以同時調換，也就是說，

如果分子式丫2-M，分母必須是％-王；如果分子是M-丫2，分母必須是％-%，即左="===&.

x2-X]X]—x2

3、直線的斜率與方向向量的關系

我們知道直線《鳥上的向量片鳥以及與它平行的向量都是直線的方向向量，直線？鳥的方向向量片鳥的坐

標為（馬-七,%一％]當直線々鳥與X軸不垂直時，此時向量，《鳥也是直線耳鳥的方向向量，且它的

x2-xt-

坐標」一（馬-石,%-%），即（i,m）=（i#）,其中左是直線4A的斜率.因此，若直線/的斜率為

x2-x1x2-玉

k,它的一個方向向量的坐標為（x,y）,則斜率為左=2.

X

【題型01：直線的傾斜角定義理解】

一、單選題

1.（23-24高二上?江蘇?開學考試）己知點4（2,0）,5（0,4）,若過P（-6,-8）的直線/與線段相交，則直

線斜率上的取值范圍為（）

A.k<lB.k>2C.k>2^k<lD.1<Z:<2

2.（24-25高二下?湖南岳陽?開學考試）經過點P（0,-l）作直線/,若直線/與連接A（l,-2）,3（2,1）兩點的

線段總有公共點，求直線/的斜率左的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.（-1,1）C.（-%-1）u（l,+e）D.[1,+oo）

3.（24-25高二上?河北?月考）已知點4（—3,4）,點3（10,5）,直線/過點0（0,0）且與線段AB相交,則直線

/的斜率的取值范圍為（）

411C4

A-Fi,iJ

c.D.

4.（24-25高二上?重慶巫溪?期中）已知兩點A（-3,2）,B（2,l）,過點P（0,-l）的直線/與線段48（含端點）

有交點，則直線/的傾斜角的取值范圍為（）

「7171、I7r1711r兀Q3兀717171371

A.B.—C.~7^~rD.

|_42）|_42j|_444525。

【題型02：直線斜率的定義】

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東汕頭?期末）在平面直角坐標系中，直線x=l的斜率為（）

A.0B.1C.90D.不存在

2.（24-25高二下?云南文山?月考）已知直線/的斜率為無，則直線/的傾斜角為（）

3

7T7T2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

3.（24-25高二上?遼寧鞍山?期中）經過4（0,1）,3（-2,5）兩點的直線的斜率為（）

A.2B.—2C.—D.—

22

4.（24-25高二上?福建福州?月考）若經過兩點A（3,y+1）、8（2,-1）的直線的傾斜角為彳，則y等于（）

A.-3B.2C.0D.-1

5.（24-25高二上?山東?期中）過人"+2,加時兩點的直線/的傾斜角為45。，則根=（）

A.-2B.-1C.-2或一1D.2

6.（23-24高二上?四川綿陽?月考）已知直線/經過點尸（2,1）,。（4,5）兩點.直線機的傾斜角是直線/的傾斜

角的2倍，則直線m的斜率為（）

7.（24-25高二下?安徽淮北?開學考試）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉

索的合力方向與中央索塔一致?如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側對稱排列，已知拉索上端相鄰

兩個錨的間距|阜3|（力=1,2,3,-,9）均為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|44」（i=1,2,3,,9）均為

16m,最短拉索4A滿足用=60m,|04=96m,若建立如圖所示的平面直角坐標系，則最長拉索修”所

在直線的斜率為（）

2

BD.

5-3?

【題型03：直線斜率與直線的方向向量】

一、單選題

1.（24-25高二上?寧夏吳忠?期中）已知直線/的傾斜角為60。，方向向量〃=（3,y）.貝（J>=（）

A.3#>B.&C.1D.孚

2.（24-25高二下?云南昆明?月考）經過A（0,2）,B（a,O）兩點的直線的方向向量為w=（1,2）,則。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（24-25高二上?重慶?期中）已知點A（l,2括），網4,道），若.是直線/的方向向量，則直線/的傾斜角

為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

二、多選題

4.（24-25高二上?北京順義?期中）直線/：元+y+4=0的一個方向向量（）

A.（1,1）B.（-1,-1）

C.（1,-1）D.（-1.D

兀

5.（23-24高二上?廣東深圳?期中）已知直線/的傾斜角為2寧，貝的方向向量可能為（）

A.（L-石）B.（石,-1）

C.（-2,2^）D.（273,-2）

【題型04：直線的斜率與傾斜角間的變化關系】

一、單選題

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）下列說法正確的是（）

①直線的傾斜角a的取值范圍是［0,無）；

②平面直角坐標系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；

③直線的傾斜角越大，其斜率就越大.

A.①B.②③C.①③D.①②

2.（24-25高二上?天津紅橋?月考）如圖中的直線4，34的斜率分別為尢，白，％，則（）

A.kx<k2<k3B.k3<kx<k2C.k3<k2<kxD.kx<k3<k2

3.（24-25高二上?河北張家口?期中）如圖，直線乙，［4，4的斜率分別為左，右，/，&，貝U（）

A.kx<k2<k3<&B.女2<〈女3<%4

C.kx<k2<k4<k3D.k2<k[<k4<k3

4.（24-25高二上?福建?期中）已知直線/過點尸（1,若），。（2,機），若/的傾斜角的取值范圍是[30。,60。],則

機的取值范圍是（）

A.再當B.[孚,2目C.g,2回D.答㈤

64J|_3J3J|_3

5.（23-24高二上?江西九江?月考）已知直線/的斜率左￡[1,若],貝心的傾斜角的取值范圍為（）

兀3兀[「兀3兀[「八兀]「3兀、「八71~|「3兀、

A.B.C.0,-u—,7iD.0,-u—,7i

[34」[64」L3jL4）L6jL4）

6.（24-25高二上?河南駐馬店?期中）已知直線/的傾斜角a滿足60。4135。，則/的斜率％的取值范圍

是（）

A.[-1,5/3）B.[-^,1]

C.（-CO,-1]l（5^,+oo）D.（-co,-573]J（-1,4-00）

【題型05：直線與線段有交點問題】

一、單選題

1.（23-24高二上.江蘇.開學考試）已知點A（2,0）,3（0,4）,若過尸（-6,-8）的直線/與線段.相交，則直

線斜率上的取值范圍為（）

A.k<lB.k>2C.k?2或kWlD.1<^<2

2.（24-25高二下?湖南岳陽?開學考試）經過點尸（0,-1）作直線/,若直線/與連接A。,-2）,川2,1）兩點的

線段總有公共點，求直線/的斜率左的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.（-1,1）C.（so,-1）51,+力）D.[1,+8）

3.（24-25高二上?河北?月考）已知點4（-3,4）,點3（10,5）,直線/過點0（0,0）且與線段AB相交，則直線

/的斜率的取值范圍為（）

14

c.—,+ooD.—oo,-----

23

4.（24-25高二上?重慶巫溪?期中）已知兩點A（-3,2）,過點尸的直線/與線段A3（含端點）

有交點，則直線/的傾斜角的取值范圍為（）

71717171713兀7171713K

A.B.?C.D.5

42了1T4,22T

【題型06：斜率公式的應用（三點共線）】

一、單選題

1.（24-25高二上?福建莆田?期末）已知三點42,-1）,8（4,3）,C（5,4在同一條直線上，則％的值為（）

A.4B.5C.6D.7

2.（24-25高二上?浙江臺州?期末）臺州學子黃雨婷奪得巴黎奧運會10米氣步槍比賽1金1銀兩塊獎牌后，

10米氣步槍射擊項目引起了大家的關注.在10米氣步槍比賽中，瞄準目標并不是直接用眼睛對準靶心，而

是通過覘孔式瞄具來實現(xiàn).這種瞄具有前后兩個覘孔（覘孔的中心分別記為點AI）,運動員需要確保靶紙

上的黑色圓心（記為點C）與這兩個覘孔的中心對齊，以達到三圓同心的狀態(tài).若某次射擊達到三圓同心，

且點點喉，架則點C的坐標為（）

A.[10,3B.（10,5）C.D.（10,6）

3.（23-24高二上?江蘇鹽城?月考）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。2，CG，84，AA是舉，

02,OG，C5，%是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為^配黑=&,普=%.已知

UUX/J。]C￡>jD/\x

k2-kx=k3-k2,且直線。4的斜率為0.9,則履=（）

圖2

C.0.9D.0.8

二、填空題

4.（24-25高二上?河南周口?月考）已知。>0,平面內三點4（0,-°）,8（1,/）,（7（3,2，）共線，則。=.

5.（23-24高二?全國?課堂例題）已知在「"福），B（4,-l）,C（Y,TM）三點在同一條直線上，則實數(shù)m的

值為.

【題型07：斜率公式的幾何意義】

一、單選題

.—v—2

1.（23-24高二上?黑龍江大慶?月考）已知點A（-l-%,-1）,2（3,0）,若點"（x,y）在線段A5上，則2—的取

X+1

值范圍是（）

A.~,一；3后+8）B.

_j_1

[6,+8)

C.(-00,-1]|D.~2"2_

2.（2024高二.全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=log2（x+l）,B.c>b>a>0,則上④，里，幺。的大

abc

小關系是（）

A.)(嘰〃嘰A。)

D.------>------>------

abccba

“嘰于電

L.-/-(-/->-)>--/-(-?--)>--/-(-c--)D.

bacacb

3.（24-25高二上?上海?課堂例題）點在函數(shù)y=e，的圖象上，當玉e[0,l）時，汜可能等于（）

A.一1或一2B.一1或-3C.-2或-3D.0

二、填空題

4.（24-25高二上?山東青島?月考）已知A（2,3）,8（-1,2）,若點P（x,y）在線段AB上，則三的最小值為

x—3

5.（24-25高二上?河南?月考）己知實數(shù)蒼丁滿足x—3y+7=0,>-l<x<2,則二二的最小值為_______.

x-3

8串知識識框架

傾斜角的定義

一、直線的傾斜角傾斜角的范圍

兩個特殊的傾斜角

斜率的定義

直線的傾斜角與斜率二、直線的斜率斜率與傾斜角的公式

斜率與傾斜角變化間的關系

公式

三、兩點間的斜率公式公式代表的幾何意義

直線的方向向量與斜率間的關系

8過關測穩(wěn)提升

直線的斜率與傾斜角測試素材

一、單選題

1.（24-25高二上?云南西雙版納?期末）直線>=2025的傾斜角為（）

A.180B.0C.90D.45

2.（24-25高二上?湖北?期末）已知兩點A（2"）,8（l,0）JeR,直線相的傾斜角為120,則實數(shù)f等于（）

A.一且B.-73C.3D.百

33

3.（24-25高二上?福建寧德?月考）若直線A3的一個法向量是a=（0,-1）,則該直線的傾斜角為（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

4.（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）已知三點（2,-3）,（4,3）,（5,在同一條直線上，則實數(shù)上的值為（）

A.2B.4C.8D.12

5.（24-25高二上?廣東佛山?期末）已知點3（2,%）在斜率為6的直線/上，則%-％=（）

A.-73B.-且C.在D.百

33

6.（2024.新疆烏魯木齊.模擬預測）如圖，直線4、6、。中，斜率最小的是（）

7.（23-24高二上.江蘇連云港?期末）經過兩點4（1,機），現(xiàn)租-1,3）的直線的傾斜角是銳角，則實數(shù)根的范

圍是（）

A.（-00,-3）（-2,+oo）B.（-3,-2）

C.（2,3）D.（—8,2）U（3,+oo）

8.（24-25高二上?山東東營?期末）已知直線4的斜率為-1,直線，2的傾斜角比直線4的傾斜角小30。，則直

線4的斜率為（）

A.-2+73B.-2-73C.D.

22

9.（24-25高二上?北京?月考）已知直線4，4的斜率分別為L，k2,傾斜角分別為內,4,貝『代〉網"是

“%>%”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（24-25高二上?廣東?月考）已知且點“（2+/$-3）,P（0,-l）,則直線MP的傾斜角的取值

范圍是（）

7i7i"|「3兀［「兀3兀［「八兀］「3兀1

A,