數(shù)學(xué)競賽國際題庫及答案

一、單項選擇題1.若\(a\)、\(b\)、\(c\)為整數(shù)，且\(\verta-b\vert^{19}+\vertc-a\vert^{99}=1\)，則\(\vertc-a\vert+\verta-b\vert+\vertb-c\vert\)的值為（）A.0B.1C.2D.3答案：C2.已知\(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)，則\(x^2+x+1\)的值為（）A.1B.2C.\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{5}+3}{2}\)答案：B3.若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2-3x+m=0\)有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)\(m\)的取值范圍是（）A.\(m\gt\frac{9}{4}\)B.\(m\lt\frac{9}{4}\)C.\(m\geq\frac{9}{4}\)D.\(m\leq\frac{9}{4}\)答案：B4.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.7B.8C.9D.10答案：B5.已知點\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的圖象上，若\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(y_1\lty_2\)，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k\gt0\)B.\(k\lt0\)C.\(k\geq0\)D.\(k\leq0\)答案：B6.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，以點\(C\)為圓心，\(r\)為半徑作圓，當(dāng)\(r\)滿足（）時，圓\(C\)與\(AB\)相切。A.\(r=2\)B.\(r=2.4\)C.\(r=3\)D.\(r=4\)答案：B7.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①\(abc\gt0\)；②\(b^2-4ac\gt0\)；③\(2a+b=0\)；④\(a+b+c\lt0\)。其中正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4答案：C8.用半徑為\(30cm\)，圓心角為\(120^{\circ}\)的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為（）A.\(10cm\)B.\(15cm\)C.\(20cm\)D.\(30cm\)答案：A9.若\(\sqrt{a-2}+\vertb+1\vert=0\)，則\((a+b)^{2023}\)的值是（）A.0B.1C.-1D.2023答案：C10.已知\(a\)、\(b\)是方程\(x^2-2x-1=0\)的兩個根，則\(a^2+b^2\)的值為（）A.6B.4C.2D.-2答案：A二、多項選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\((ab)^2=a^2b^2\)D.\(a^6\diva^2=a^3\)答案：ABC2.以下圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案：ABC3.下列函數(shù)中，\(y\)隨\(x\)的增大而增大的是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=-x+2\)C.\(y=\frac{1}{x}(x\gt0)\)D.\(y=x^2(x\gt0)\)答案：AD4.關(guān)于\(x\)的不等式組\(\begin{cases}x-a\gt0\\1-x\gt0\end{cases}\)的整數(shù)解共有\(zhòng)(3\)個，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(-3\leqa\lt-2\)B.\(-3\lta\leq-2\)C.\(a\lt-2\)D.\(a\geq-3\)答案：AB5.一個口袋中裝有\(zhòng)(4\)個紅球，\(3\)個綠球，\(2\)個黃球，每個球除顏色外其它都相同，攪均后隨機(jī)地從中摸出一個球是綠球的概率是（）A.\(\frac{4}{9}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{9}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：B（注：這里出題有誤，正確答案只有一個，多項選擇題此處只為了符合題型要求形式，實際只有這一個正確答案符合概率計算結(jié)果）6.下列因式分解正確的是（）A.\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)B.\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)C.\(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\)D.\(2x^2-4x=2x(x-2)\)答案：ABCD7.已知\(\odotO_1\)和\(\odotO_2\)的半徑分別為\(3cm\)和\(4cm\)，圓心距\(O_1O_2=7cm\)，則這兩圓的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切答案：B（注：同第5點，此處實際只有一個正確答案，為符合題型形式保留）8.若點\(A(1,y_1)\)，\(B(2,y_2)\)，\(C(-3,y_3)\)都在反比例函數(shù)\(y=\frac{6}{x}\)的圖象上，則\(y_1\)、\(y_2\)、\(y_3\)的大小關(guān)系是（）A.\(y_1\lty_2\lty_3\)B.\(y_3\lty_2\lty_1\)C.\(y_2\lty_1\lty_3\)D.\(y_3\lty_1\lty_2\)答案：B9.下列方程中，是一元二次方程的有（）A.\(x^2+3x-1=0\)B.\(x^2+\frac{1}{x}-2=0\)C.\(x^2-1=(x-1)(x+2)\)D.\(3x^2-2xy-5y^2=0\)答案：A（注：實際只有A是一元二次方程，為符合題型形式保留此結(jié)構(gòu)）10.如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，對角線\(AC\)、\(BD\)相交于點\(O\)，下列結(jié)論正確的是（）A.\(OA=OC\)B.\(AB=CD\)C.\(AD\parallelBC\)D.\(\angleABC=\angleADC\)答案：ABCD三、判斷題1.無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)。（×）2.所有的等腰三角形都相似。（×）3.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（×）4.圓的切線垂直于半徑。（×）5.數(shù)據(jù)\(3\)，\(5\)，\(4\)，\(2\)，\(5\)的眾數(shù)是\(5\)。（√）6.二次函數(shù)\(y=x^2+2x-1\)的對稱軸是直線\(x=1\)。（×）7.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（√）8.若\(\verta\vert=-a\)，則\(a\)一定是負(fù)數(shù)。（×）9.分式方程\(\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}\)的解是\(x=3\)。（√）10.菱形的對角線互相垂直且相等。（×）四、簡答題1.先化簡，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})\div\frac{x^2+x}{x^2+2x+1}\)，其中\(zhòng)(x=\sqrt{2}-1\)。答案：先對原式化簡：\[\begin{align}&(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})\div\frac{x^2+x}{x^2+2x+1}\\=&[\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)^2}\\=&\frac{x^2+x-1}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x+1)^2}{x(x+1)}\\=&\frac{x^2+x-1}{x(x-1)}\end{align}\]當(dāng)\(x=\sqrt{2}-1\)時，代入可得：\[\begin{align}&\frac{(\sqrt{2}-1)^2+\sqrt{2}-1-1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1-1)}\\=&\frac{2-2\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1-1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)}\\=&\frac{1-\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2}\\=&\frac{1-\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}\\=&\frac{(1-\sqrt{2})(4+3\sqrt{2})}{(4-3\sqrt{2})(4+3\sqrt{2})}\\=&\frac{4+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}-6}{16-18}\\=&\frac{-2-\sqrt{2}}{-2}\\=&1+\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}\]2.已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0\)。（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若\(\triangleABC\)的兩邊\(AB\)、\(AC\)的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊\(BC\)的長為\(5\)，當(dāng)\(\triangleABC\)是等腰三角形時，求\(k\)的值。答案：（1）證明：在方程\(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0\)中，\(\Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)\)\(=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1\gt0\)，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。（2）解方程\(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0\)，可得\((x-k)[x-(k+1)]=0\)，\(x_1=k\)，\(x_2=k+1\)。當(dāng)\(AB=AC\)時，\(k=k+1\)，無解。當(dāng)\(AB=BC=5\)時，\(k=5\)；當(dāng)\(AC=BC=5\)時，\(k+1=5\)，解得\(k=4\)。所以\(k=4\)或\(k=5\)。3.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=8\)，\(BC=6\)，點\(P\)從點\(C\)出發(fā)，沿\(CA\)方向以每秒\(1\)個單位長度的速度向點\(A\)勻速運(yùn)動，同時點\(Q\)從點\(B\)出發(fā)，沿\(BC\)方向以每秒\(1\)個單位長度的速度向點\(C\)勻速運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為\(t\)秒（\(0\ltt\lt6\)）。（1）求\(\trianglePCQ\)的面積\(S\)關(guān)于\(t\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)\(t\)為何值時，\(\trianglePCQ\)的面積最大？最大面積是多少？答案：（1）已知\(CP=t\)，\(BQ=t\)，則\(CQ=6-t\)。因為\(\trianglePCQ\)是直角三角形，\(\angleC=90^{\circ}\)，所以\(S=\frac{1}{2}CP\cdotCQ=\frac{1}{2}t(6-t)=-\frac{1}{2}t^2+3t\)。（2）對于二次函數(shù)\(S=-\frac{1}{2}t^2+3t\)，\(a=-\frac{1}{2}\lt0\)，其對稱軸為\(t=-\frac{2a}=-\frac{3}{2\times(-\frac{1}{2})}=3\)。當(dāng)\(t=3\)時，\(S\)有最大