/2026屆新高三開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.的實(shí)部為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式即可求解.【詳解】由，所以實(shí)部為，故選：B.2.某汽車零件質(zhì)檢員對一批汽油機(jī)電火花零件進(jìn)行質(zhì)檢，記錄數(shù)據(jù)（單位：毫米）為3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，對于這五個(gè)數(shù)據(jù)，其第70百分位數(shù)為（）A.3.59 B.3.95 C.3.77 D.4.03【正確答案】B【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】由，所以第70百分位數(shù)為.故選：B.3.若橢圓的短軸長為焦距的倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意得，又，利用離心率的公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意有，所以.故選：B.4.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，，解得，因此，?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.5.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求和，代入即可求解.【詳解】由銳角滿足，即，所以，所以，所以，故選：C.6.如圖，在棱長為2的正方體中，均為頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，若平面，且均在平面內(nèi)，則平面截正方體所得圖形的面積為（）A. B.4 C. D.【正確答案】C【分析】作出平面，即為平面，即證平面，在正方體中計(jì)算，即可求解.【詳解】如圖：為所在棱的中點(diǎn)，連接，則平面為平面，由四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又正方體棱長為2，所以，，，所以，所以平行四邊形為矩形，所以.故選：C.7.某戶外探險(xiǎn)俱樂部組織10名成員（6名男性，4名女性）前往某無人島進(jìn)行野外生存挑戰(zhàn)．為了便于管理和保障安全，需將這10人平均分成兩組（不區(qū)分兩組的順序），且4名女性不能在同一組，則不同的分組方法共有（）A.60種 B.120種 C.180種 D.720種【正確答案】B【分析】由題意可知分兩種情況：一種是2名女性和3名男性一組，剩下5人一組，另一種情況是1名女性和4名男性一組，剩下5人一組，然后由分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知分兩種情況：一種是2名女性和3名男性一組，剩下5人一組，則有種方法另一種情況是1名女性和4名男性一組，剩下5人一組，則種方法，由分類加法原理可知共有種不同的分組方法.故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，注意到，則，解得，所以的最大值為1.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知冪函數(shù)，則（）A. B.為奇函數(shù)C.方程有3個(gè)不相等的實(shí)根 D.【正確答案】BC【分析】利用冪函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)判斷A，利用冪函數(shù)性質(zhì)得到為奇函數(shù)判斷B，結(jié)合題意得到，求解出實(shí)根判斷C，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷D即可.【詳解】對于A，因?yàn)閮绾瘮?shù)，所以，解得，故A錯(cuò)誤，對于B，由已知得，則，由冪函數(shù)的性質(zhì)得為奇函數(shù)，故B正確，對于C，令，可得，則，解得或，得到方程有3個(gè)不相等的實(shí)根，故C正確，對于D，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞增，由已知得，則，又，可得，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.無人機(jī)的飛行速度向量、風(fēng)速向量會影響其實(shí)際飛行軌跡．無人機(jī)不受風(fēng)影響時(shí)的飛行速度對應(yīng)的向量稱為空速向量，實(shí)際觀測到的飛行速度對應(yīng)的向量稱為地速向量，其為空速向量與風(fēng)速向量之和．無人機(jī)搭載的設(shè)備可監(jiān)測線路缺陷，當(dāng)無人機(jī)相對線路的橫向偏移量（垂直線路方向的向量分量）超過2m/s或縱向偏移量（沿線路方向的向量分量，其標(biāo)準(zhǔn)值為4m/s）超過標(biāo)準(zhǔn)值1m/s時(shí)，需調(diào)整飛行姿態(tài)．已知某區(qū)域風(fēng)速穩(wěn)定，某次無人機(jī)計(jì)劃沿軸正方向?yàn)榫€路巡檢時(shí)，空速向量為（單位：m/s），風(fēng)速向量為（單位：m/s），則（）A.地速大小為5m/s B.地速向量的方向與空速向量方向相同C.縱向偏移量與標(biāo)準(zhǔn)值無偏差 D.該無人機(jī)需要調(diào)整飛行姿態(tài)【正確答案】ACD【分析】設(shè)空速向量為，風(fēng)速向量為，地速向量為，由題意有即可求，進(jìn)而逐一判斷即可求解.【詳解】設(shè)空速向量為，風(fēng)速向量為，地速向量為，則，所以，所以，所以地速大小為，故A正確；由可知地速向量的方向與空速向量方向不相同，故B錯(cuò)誤；由于縱向偏移量為，與標(biāo)準(zhǔn)值無偏差，故C正確；由于無人機(jī)計(jì)劃沿軸正方向?yàn)榫€路巡檢時(shí)，而地速向量為，所以需要調(diào)整飛行姿態(tài)，故D正確.故選：ACD.11.記拋物線的焦點(diǎn)為，直線與相交于兩點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn)，則（）A.當(dāng)，點(diǎn)在上時(shí)，B.當(dāng)，點(diǎn)在上時(shí)，C.當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，D.當(dāng)，四邊形的外接圓圓心坐標(biāo)為時(shí)，【正確答案】ACD【分析】將拋物線方程和直線方程聯(lián)立，解出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件和兩點(diǎn)坐標(biāo)公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立，根據(jù)對稱性不妨令，，則，同理可得，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即，，則，A說法正確；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即，，則，解得，此時(shí)，則，B說法錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以，解得，此時(shí)，，所以，C說法正確；當(dāng)時(shí)，，解得，由對稱性可得四邊形的外接圓圓心在軸上，設(shè)圓心為，因?yàn)?，所以，將代入整理得，因?yàn)?，所以，所以，D說法正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，且、、依次成等比數(shù)列，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)題意得出，結(jié)合題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可得出的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為公差為的等差數(shù)列，由題意可得，即，解得，故.故答案為.13.已知底面圓直徑為的圓錐的表面積與其側(cè)面積之比為，則該圓錐的高為__________．（用含的式子表示）【正確答案】【分析】由圓錐的表面積和側(cè)面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑和母線長分別為，所以表面積為，側(cè)面積為，所以，所以圓錐的高為，故答案為.14.中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則長度的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)已知條件表示，再用正弦定理分別在和中建立等式，進(jìn)而得到和的關(guān)系，再利用余弦定理得到關(guān)于關(guān)于和的關(guān)系，再在中利用余弦定理，然后得到和的關(guān)系，最后利用換元法和基本不等式求解即可得到答案.【詳解】設(shè)，則，，又，即，因?yàn)闉檫吷峡拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè)，在中，根據(jù)正弦定理，即，變形得：①，在中，根據(jù)正弦定理，即，變形得：②，又，由①②得，，在中，由余弦定理,在中，由余弦定理,又，有，代入得：，在中，由余弦定理，，整理得：，又，所以，令，則，，而對勾函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，那么，則即，那么線段故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.某校以“和經(jīng)典相伴，與書香同行”為主題舉行學(xué)習(xí)活動．為了解男女同學(xué)對該活動的感興趣程度，對該校多位同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果整理為如下列聯(lián)表，其中為正整數(shù)．參加不參加合計(jì)男生女生合計(jì)（1）當(dāng)足夠大時(shí)，估計(jì)該校任一不參加活動的學(xué)生是男生的概率；（2）若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否參加該活動與性別有關(guān)，求的最小值．附：0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510828【正確答案】（1）（2）【分析】（1）用頻率估計(jì)概率即可得出答案；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)得到即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)事件為“該校任一不參加活動的學(xué)生是男生”，由調(diào)查數(shù)據(jù)可知當(dāng)足夠大時(shí)，以頻率估計(jì)概率可知該校任一不參加活動的學(xué)生是男生的概率．【小問2詳解】零假設(shè)為：是否參加活動與性別無關(guān)．由題意可得，若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否參加該活動與性別有關(guān)，即不成立，則，解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，則的最小值為10．16.如圖，三棱錐中，平面，，為棱上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面垂直的判定定理結(jié)合題意得到平面，再利用面面垂直的判定定理求解即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)和關(guān)鍵平面的法向量，最后利用線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】因?yàn)槠矫?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，設(shè)，則，設(shè)，可得，，因?yàn)?，所以，可得，解得，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，可得平面的一個(gè)法向量為．又，設(shè)與平面所成的角為，則．17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求的最值．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）的最小值為，無最大值【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解.（2）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，可先根據(jù)與的關(guān)系，用表示出，再通過變形得到與的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明.（3）先根據(jù)（2）求出的的通項(xiàng)公式，再結(jié)合求出的表達(dá)式，最后通過分析的單調(diào)性來確定其最值.【小問1詳解】已知，則當(dāng)時(shí)，有.，，即，解得．【小問2詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，.得.，，即，進(jìn)一步變形可得.當(dāng)時(shí)，.又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問3詳解】由（2）可知，則，即.，，則.由于，所以是遞增數(shù)列，的最小值為，無最大值.18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：．【正確答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間（3）證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再求切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出切線方程.（2）由得增區(qū)間，由得減區(qū)間．（3）將函數(shù)解析式代入得，對求導(dǎo)得單調(diào)區(qū)間，求出最小值，得的關(guān)系，最后判斷在定義域內(nèi)是否都成立.【小問1詳解】，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.于是，故，在上單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間．【小問3詳解】設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.于是．對于，有，即.當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí).當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí).綜上，.19.過點(diǎn)的直線與雙曲線：的右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求的漸近線方程；（2）記的左頂點(diǎn)為，求的取值范圍；（3）若分別以點(diǎn)、為圓心的兩圓有公共點(diǎn)（在軸上），它們與軸的另一交點(diǎn)分別記作點(diǎn)、，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由得出在上即可求出后得出漸近線方程；（2）設(shè)直線與雙曲線聯(lián)立，首