/湖北省高中名校聯(lián)盟2026屆高三第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)高三年級(jí)8月階段測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合交集運(yùn)算求解，可判斷的元素個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以，所以的元素個(gè)數(shù)為5.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算求解即可.【詳解】由，得，所以，故選：A3.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用三角函數(shù)的平移伸縮變換即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為.故選：C．4.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)有，即可得.【詳解】令，又在R上單調(diào)遞減，所以要使在區(qū)間單調(diào)遞增，則在區(qū)間單調(diào)遞減，所以由的開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為得，解得.故選：D5.某貨船執(zhí)行從港口到港口的航行任務(wù)，港口在港口的正北方向，已知河水的速度為向東．若貨船在靜水中的航速為，船長(zhǎng)調(diào)整船頭方向航行，使得實(shí)際路程最短．則該船完成此段航行的實(shí)際速度為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用船實(shí)際航行速度與水流速度垂直，結(jié)合向量數(shù)量積求出夾角及模即可求解.【詳解】設(shè)船在靜水中的速度為，水流速度為，船實(shí)際航行速度為，則，且，設(shè)，由船需要準(zhǔn)確到達(dá)正北方向的B點(diǎn)，得，則，解得，而，于是，，所以該船完成此段航行的實(shí)際速度為.故選：B6.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，則（）A.3 B.2 C.1 D.0【正確答案】A【分析】由題意可得函數(shù)為奇函數(shù)，由代入計(jì)算可得，由代入計(jì)算可得，計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)榍?，所以函?shù)是奇函數(shù)且，即，所以，又，所以，所以，即.故選：A．7.已知一條直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)引的垂線，垂足的坐標(biāo)為，，則（）A. B. C.1 D.2【正確答案】B【分析】求出直線的斜率，得出直線的方程，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理寫(xiě)出的表達(dá)式，即可求出的值.【詳解】由題意，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)引的垂線，垂足的坐標(biāo)為，∴直線的斜率為，∴直線的斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立方程，得恒成立，∴，∵，點(diǎn)，在直線上，∴，，∴，解得.故選：B8.記銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和得，結(jié)合正弦定理計(jì)算，利用兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡(jiǎn)式子，結(jié)合銳角三角形角的范圍解得的取值范圍．【詳解】因?yàn)椋裕烧叶ɡ?，有所以．因?yàn)椋郑裕驗(yàn)槭卿J角三角形，所以所以，所以．所以，即取值范圍是，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，的前n項(xiàng)積為，則（）A. B.C. D.數(shù)列是等比數(shù)列【正確答案】ABD【分析】利用前項(xiàng)和和通項(xiàng)公式可知判斷B，求解建立方程求出判斷A，利用指數(shù)運(yùn)算和等差數(shù)列求和公式求得判斷C，再利用等比數(shù)列定義判斷D即可.【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，．又為等比數(shù)列，則，故B正確，對(duì)于A，則，所以，解得，故A正確，對(duì)于C，而，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，又，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，故D正確.故選：ABD10.如圖，在三棱錐中，側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且，P為底面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P到三個(gè)側(cè)面的距離分別為，，，直線OP和三條側(cè)棱所成的角分別為，，，直線OP和三個(gè)側(cè)面所成的角分別為α，β，γ，則（）A.該三棱錐的外接球半徑為 B.C. D.當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【正確答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體計(jì)算；選項(xiàng)B、C，過(guò)作三個(gè)側(cè)面的垂線，連接相應(yīng)的線段構(gòu)成長(zhǎng)方體，找到相應(yīng)角進(jìn)行計(jì)算；選項(xiàng)D，點(diǎn)的軌跡為以為球心，半徑為的球面被三角形面所截得的三段圓弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算.【詳解】對(duì)于A，由三條側(cè)棱兩兩垂直，則該三棱錐可補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示，該三棱錐的外接球也就是補(bǔ)成的長(zhǎng)方體的外接球，則外接球半徑，故A正確；對(duì)于B，過(guò)作三個(gè)側(cè)面的垂線，連接相應(yīng)的線段構(gòu)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則直線與所成角為記為，與所成角為記為，與所成角為記為，則，，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線與平面、平面、平面所成角分別為，則，故，故C正確；對(duì)于D，在該長(zhǎng)方體中，，則，故點(diǎn)的軌跡為以為球心，半徑為的球面被三角形面所截得的圓弧，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由，可得，解得，則截面圓半徑．設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則由，解得，因?yàn)椋攒壽E為三段圓弧，如圖，設(shè)、分別為其中一段圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)，則，由對(duì)稱性易得由正弦定理，的外接圓半徑，中由余弦定理，，即，解得或（由對(duì)稱性，此時(shí)，故舍去）所以，所以弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，其長(zhǎng)度為所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．故選：ACD.11.若，，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得，結(jié)合且，，再由導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而，即可得.【詳解】令且，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則，即，因且，，而，所以，設(shè)且，則，所以在單調(diào)遞減，由，得，則，所以.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，不共線，且向量與的方向相反，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________．【正確答案】##-0.5【分析】根據(jù)共線向量基本定理，列式求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由條件可知，，，所以，解得：（舍）或.故13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件得到向量，然后用坐標(biāo)表示出來(lái)，根據(jù)線段的長(zhǎng)度即可求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，由題意，又，所以，即，所以，所以，所以曲線C的方程為.故答案為.14.某學(xué)校高一年級(jí)6個(gè)班各派1名學(xué)生代表參加年級(jí)組織的課室衛(wèi)生檢查，若每個(gè)班隨機(jī)分配1位同學(xué)進(jìn)行檢查，則恰有2位同學(xué)檢查本班課室衛(wèi)生的概率是______．【正確答案】##【分析】將“恰有兩位同學(xué)檢查本班課室衛(wèi)生”轉(zhuǎn)化為“有4位同學(xué)不檢查自己所在班的課室”，記個(gè)同學(xué)不檢查自己所在班課室衛(wèi)生的情況總數(shù)為，利用計(jì)數(shù)原理得，進(jìn)而結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的應(yīng)用，利用古典概型概率公式求解即可．【詳解】“恰有兩位同學(xué)檢查本班課室衛(wèi)生”也就是“有4位同學(xué)不檢查自己所在班的課室”，記個(gè)同學(xué)不檢查自己所在班課室衛(wèi)生的情況總數(shù)為．任意一人可檢查的班有個(gè)，假設(shè)此人檢查i班；考慮i班的學(xué)生代表的選擇：如果i班的學(xué)生代表與此人交換檢查，那么剩余人不檢查自己所在班課室衛(wèi)生，情況總數(shù)為；如果i班的學(xué)生代表不與此人交換檢查，那么可以理解為人不檢查自己所在班課室衛(wèi)生，情況總數(shù)為，所以于是，所以恰有2位同學(xué)檢查本班課室衛(wèi)生的情況有種．又高一年級(jí)6個(gè)班各派1名學(xué)生代表參加年級(jí)組織的課室衛(wèi)生檢查共有種情況所以恰有兩位同學(xué)檢查本班課室衛(wèi)生的概率是．故四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹(shù)的胸徑（樹(shù)的主干在地面以上m處的直徑）越大，樹(shù)就越高.由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高.在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場(chǎng)收集了某種樹(shù)的一些數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)作出如下的散點(diǎn)圖.經(jīng)計(jì)算得，，，，.（1）推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到），并推斷它們的相關(guān)程度；（2）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立樹(shù)高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到），并預(yù)測(cè)胸徑為cm的樹(shù)高.附：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中，，.【正確答案】（1）兩個(gè)變量線性相關(guān)；相關(guān)性較強(qiáng).（2）；m.【分析】（1）根據(jù)樹(shù)高與胸徑的散點(diǎn)圖判斷它們是否線性相關(guān)，再通過(guò)相關(guān)系數(shù)判斷它們相關(guān)的程度；（2）根據(jù)最小二乘法估計(jì)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再用經(jīng)驗(yàn)回歸方程做出預(yù)測(cè).【小問(wèn)1詳解】根據(jù)樹(shù)高與樹(shù)的胸徑的散點(diǎn)圖，可判斷兩個(gè)變量是線性相關(guān).根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，得，，.所以.由于的值接近于1，故相關(guān)性較強(qiáng).故兩個(gè)變量線性相關(guān)，且相關(guān)程度較強(qiáng).【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，.所以，.所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，即樹(shù)高的預(yù)測(cè)值大約為m.故樹(shù)高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，預(yù)測(cè)胸徑為cm的樹(shù)高為m.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，E為PB中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，接著求證面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證.（2）根據(jù)幾何體的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量方法，求出面的法向量即可計(jì)算求出面與面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，作線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因底面為矩形，所以，因?yàn)椋?，面，所以面，因?yàn)槠矫?，所以平面?【小問(wèn)2詳解】如圖所示，作中點(diǎn)，連接，則由（1）可得，面，面，所以面，則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系；則，可得，設(shè)面的法向量為，則，得，令，解得，所以面的一個(gè)法向量為，易知面得一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知向量，，函數(shù)，的所有大于0的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．（1）寫(xiě)出的前6項(xiàng)；（2）記的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，令，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)可得或，取其中的正數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列可得結(jié)果；（2）由錯(cuò)位相減法求和可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意．由，得．所以或．即或，取其中的正數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列．知的前6項(xiàng)為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以．所以．①．②①－②，得．所以.18.已知雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在C上，A，B為C的左、右頂點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)M，N在C的右支上（M在第一象限），直線AM，BN分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，且．（?。┨骄浚褐本€MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ⅱ）設(shè)，分別為和的面積，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（?。┻^(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)，理由見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）由離心率和雙曲線上的點(diǎn)結(jié)合，解得，即可得出答案；（2）（?。┰O(shè)，方法一：由，設(shè)，得直線即的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得，寫(xiě)出直線的方程，進(jìn)而可得，分和兩種情況，得直線的方程即可得直線所過(guò)的定點(diǎn)；方法二：設(shè)直線的方程為，一方面，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到；另一方面，寫(xiě)出直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，再由得到.從而有，即可得到直線所過(guò)的定點(diǎn).（ⅱ）由（ⅰ）結(jié)合得到在雙曲線的右支上根據(jù)漸近線方程得到，通過(guò)換元并利用導(dǎo)數(shù)可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡x心率，所以，而，所以．所以雙曲線的方程為．將點(diǎn)代入雙曲線方程，得，所以．所以的方程為．【小問(wèn)2詳解】（?。┲本€過(guò)定點(diǎn)．由雙曲線的方程可知，設(shè)．方法一：由，可設(shè)，則直線即的方程為．聯(lián)立整理得.由題設(shè)知，且．由根與系數(shù)關(guān)系，得，所以．所以，即．又直線即的方程為，聯(lián)立得，由題設(shè)知，且．由根與系數(shù)關(guān)系，得，所以，所以.∴．當(dāng)時(shí)，直線的斜率．直線的方程為．化簡(jiǎn)整理得，直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，即，解得．直線也過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，則．所以．直線．令，得．直線，令，得．由，得，即，所以．即．因?yàn)?，所以．整理可得．所以，所以直線過(guò)定點(diǎn)．（ⅱ）由（ⅰ）知，直線過(guò)定點(diǎn)，則．由（?。┲啵贮c(diǎn)在雙曲線的右支上，雙曲線的漸近線方程為．所以．令，則，于是．令，，則，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．所以的取值范圍是．19.已知函數(shù)，，其中，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求a的值；（2）求的最小值；（3）設(shè)，若對(duì)恒成立，求b的最大值．【正確答案】（1）1（2）0（3）2【分析】（1）求導(dǎo)得，結(jié)合曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，求出.（2）由（1）知，求導(dǎo)得到，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，推出存在使得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，結(jié)合得出在上恒成立，從而推出在上單調(diào)遞增，故最小值為.（3）若對(duì)恒成立，令，則，