/高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】，所以，故選：A.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)集合的表示與集合交集運(yùn)算即可；【詳解】對(duì)于集合中的元素，滿足的有3，4，5，7，8，9，所以所以．故選：D.3.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】D【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算參數(shù)．【詳解】由題意知，因?yàn)?，解得或，由，得，因?故選:D.4.已知，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)基本不等式性質(zhì)以及充分與必要條件的判斷即可.【詳解】取，則，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，一定有，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若上一點(diǎn)到軸的距離為，則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的方程與幾何性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式計(jì)算.【詳解】由題意知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入得，又，所以的面積為.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換以及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，所以，故．故選：B.7.已知是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】A【分析】由，求，再由為偶函數(shù)求，由此可求，再根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，可求，由此可求.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，故，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，即，故．故選：A.8.如圖，棱長(zhǎng)為2的正八面體內(nèi)部有一個(gè)圓柱，正八面體的一條對(duì)角線與圓柱的軸重合，且正八面體的每個(gè)面均與圓柱的上底面或下底面的圓周相切，則這個(gè)圓柱的體積的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征用圓柱底面半徑表示出其體積，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.【詳解】如圖，將正八面體看作上、下兩個(gè)正四棱錐，考慮上面的正四棱錐，設(shè)頂點(diǎn)為A，圓柱上底面圓心為B，正四棱錐的底面中心為C，四棱錐一條底邊的中點(diǎn)為D，與圓柱上底切于點(diǎn)E，設(shè)該圓柱的底面半徑，高，依題意，，則，又，即，解得，則該圓柱的體積，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，所以這個(gè)圓柱的體積的最大值為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是遞增的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，（）A. B.C. D.是等比數(shù)列【正確答案】ACD【分析】設(shè)的公比為，則由，遞增，得，結(jié)合題中條件解得公比和首項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列定義判斷各個(gè)選項(xiàng)；【詳解】設(shè)的公比為，則由，遞增，得，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），?duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于D，，，所以是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，故D正確．故選：ACD.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)D.將的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象【正確答案】ABD【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)，再逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，而，則，函數(shù)，對(duì)于A，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，由，得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，因此函數(shù)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，將該函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得的圖象，D正確．故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.在上具有單調(diào)性 B.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根C.對(duì)任意 D.存，使得【正確答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，計(jì)算函數(shù)的最值進(jìn)而判斷各個(gè)選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)根據(jù)的圖象，可知存在唯一的，滿足，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方程即，因?yàn)榈淖畲笾迭c(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，從0遞增到，當(dāng)時(shí)，從遞減趨向于0，所以直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，故B正確；對(duì)于C，由A可知，的最大值為，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，從而，故C正確；對(duì)于D，由前面的分析可知取，為最大值，由可得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，所以，易知不存在，使得，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)（且），若，則_______．【正確答案】4【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意知，所以，故．故4.13.拋物線有這樣的光學(xué)性質(zhì)：與拋物線的對(duì)稱軸平行的光線經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，由光路是可逆的，可知從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線的對(duì)稱軸平行．如圖，雷達(dá)接收器的截面曲線可看作拋物線，光信號(hào)沿著直線入射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射到點(diǎn)，反射光線與x軸交于的焦點(diǎn)，則光信號(hào)經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線所在直線的方程為_______．【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)解析即可．【詳解】易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，代入，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故光信號(hào)經(jīng)B點(diǎn)反射后，反射光線所在直線的方程為．故答案為.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)處的切線為，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，若與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則的最小值為______．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出的方程，得到與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入，化簡(jiǎn)可得其最小值.【詳解】令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．；，令，可得，，所以．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A為銳角，且．（1）求A；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，若，且，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊角互化，再由余弦兩角和差公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）由余弦定理和三角形面積公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由條件及正弦定理得，整理得，所以．所以，即．又A為銳角，．所以，故．【小問(wèn)2詳解】在中由余弦定理得，即①在中由余弦定理得②由①②消去a，得，即．因?yàn)?，所以，所以?6.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的發(fā)射和接收都有A，B兩種模式，若發(fā)射與接收的模式相同，則接收的信號(hào)與發(fā)射的信號(hào)相同，若發(fā)射與接收的模式不同，則接收的信號(hào)與發(fā)射的信號(hào)也不同，每次發(fā)射和接收信號(hào)時(shí)，選擇A模式的概率均為，選擇B模式的概率均為，每次發(fā)射和接收相互獨(dú)立．（1）求一次信號(hào)傳輸中，接收的信號(hào)與發(fā)射的信號(hào)相同的概率；（2）信號(hào)發(fā)射器從2個(gè)0和3個(gè)1中隨機(jī)選擇3個(gè)信號(hào)依次發(fā)射，記發(fā)射信號(hào)1的個(gè)數(shù)為X．（i）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）當(dāng)時(shí)，求接收的信號(hào)是2個(gè)0和1個(gè)1的概率．【正確答案】（1）（2）（i）分布列見(jiàn)解析，（ii）【分析】（1）由相互獨(dú)立乘法公式、互斥加法公式可得答案；（2）（i）求出X的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率可得X的分布列，再代入期望公式即可；（ⅱ）分這3個(gè)信號(hào)發(fā)射與接收的均不同、其中1個(gè)1被接收為0，另外2個(gè)信號(hào)發(fā)射與接收相同的兩種情況計(jì)算可得答案.【小問(wèn)1詳解】一次信號(hào)傳輸中，接收的信號(hào)與發(fā)射的信號(hào)相同的概率為；【小問(wèn)2詳解】（i）由題意知X的所有可能取值為1，2，3，且，所以X的分布列為X123P所以；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，發(fā)射的信號(hào)為1個(gè)0和2個(gè)1．要使接收的信號(hào)為2個(gè)0和1個(gè)1，有下列兩種情況：①這3個(gè)信號(hào)發(fā)射與接收的均不相同：；②其中1個(gè)1被接收為0，另外2個(gè)信號(hào)發(fā)射與接收的信號(hào)相同：，故接收的信號(hào)為2個(gè)0和1個(gè)1的概率為.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，，．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用面面垂直、線面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】側(cè)面為矩形，，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】連接，如圖，由（1）易知，所以由已知可得，在中由余弦定理可得，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以在中，由?）易知兩兩互相垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)a變化時(shí)，曲線過(guò)定點(diǎn)，證明：；（3）若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）兩個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）分別求出，，即可求出切線方程；（2）由可得曲線的恒過(guò)點(diǎn)且，令，可得在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理可得，即可證明結(jié)論；（3）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到，結(jié)合值域分析即可求解..【小問(wèn)1詳解】若，則，所以，，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)榍€過(guò)定點(diǎn)，所以，從而．令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以．所以，即．【小問(wèn)3詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個(gè)數(shù)；由．令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此．當(dāng)時(shí)，，且．由（2）可知，存在，滿足，又當(dāng)且時(shí)，，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，故有兩個(gè)零點(diǎn)．19.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)A且相互垂直，交C于另一點(diǎn)P，交C于另一點(diǎn)Q．（1）求C的方程；（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（3）先將C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到橢圓E，若與E的一個(gè)交點(diǎn)為R，且，求E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程可求，由此可得橢圓方程；（2）先說(shuō)明的斜率存在且不為，設(shè)，聯(lián)立方程組解方程求的坐標(biāo)，討論，求直線的方程，結(jié)合方程證明結(jié)論；（3）先求橢圓的方程，根據(jù)條件利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)的橢圓方程化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)性質(zhì)可求結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃過(guò)點(diǎn)，所以，又，故，因?yàn)镃的離心率為，所以，得．所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】若直線的斜率為0，