/2025～2026學年秋季學期高一入學考試試卷數(shù)學一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.2025的絕對值是（）A.2025 B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)絕對值的計算方法即可求解．【詳解】2025是正數(shù)，則它的絕對值是它本身，故選：A．2.2025年中國動漫電影《哪吒之魔童鬧?！坊鸨颍韵滤膱D是某校美術(shù)社團繪制的哪吒風火輪的簡筆畫，其中是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點就是這個圖形的對稱中心．【詳解】選項A、B、D都不能找到一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項C能找到這樣的一個點（圓心），使圖形繞這點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．3.某中學組織的全校師生迎“五四”詩詞大賽中，來自不同年級的26名參賽同學的得分情況如圖所示．這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.96分和98分 B.97分和98分 C.98分和96分 D.97分和96分【正確答案】B【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，結(jié)合圖象即可解答．【詳解】得98分的同學人數(shù)最多，故這些成績的眾數(shù)為98，因為一共有26名學生，所以這些成績的中位數(shù)應(yīng)該是把分數(shù)從低到高排列后排在第13位和第14位的成績的平均數(shù)．因為94分的有5人，96分的有8人，共13人，故成績排第13位的是96，則排在第14位的是98，故中位數(shù)為97．故選：B．4.若，根據(jù)不等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】舉反例排除A，B，D，結(jié)合不等式性質(zhì)證明C．【詳解】由，，考慮取，，，可得，A錯誤，可得，B錯誤，可得，D錯誤，因為不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，不等號不變，所以由可推出，C正確，故選：C．5.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、單項式乘多項式法則分別計算判斷即可．【詳解】A：與不是同類項，不能合并，故A錯誤；B：，故B錯誤；C：，故C錯誤；D：，故D正確.故選：D．6.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文：今有若干人乘車，若每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問人和車各是多少？設(shè)共有人，可列方程（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)兩種情況下車輛數(shù)相同列出方程即可.【詳解】兩種情況下車輛數(shù)相同，設(shè)共有人，根據(jù)題意可得：，故選：C7.如圖，在中，，，，把繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】把繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，利用勾股定理計算母線長，然后利用圓錐的側(cè)面展開圖為扇形和扇形面積公式計算即可.【詳解】把繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，因為在中，，，，所以圓錐底面圓半徑為1，母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為，故選：B8.如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（）A.B.當時，y的值隨x值的增大而增大C.點B的坐標為D.【正確答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)拋物線的性質(zhì)可直接判斷A、B；根據(jù)拋物線對稱性可求B點坐標，從而判斷C選項；根據(jù)圖象可知拋物線上的點在第一象限，其縱坐標為正，據(jù)此即可判斷D選項．【詳解】A：由圖可知：拋物線開口向下，，故選項A錯誤，不符合題意；B：拋物線對稱軸是直線，開口向下，當時，隨的增大而減?。划敃r，隨的增大而增大，故選項B錯誤，不符合題意；C：由，拋物線對稱軸是直線可知，坐標為，故選項C錯誤，不符合題意；D：拋物線過點，由可知：拋物線上橫坐標為2點在第一象限，，故選項D正確，符合題意；故選：D．9.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，C對應(yīng)點分別為點，，連接．則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由條件可得，由全等三角形性質(zhì)證明，判斷A，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)證明，由此證明，判斷B，由，，結(jié)合內(nèi)角和定理求，再求，由此判斷C，由，，結(jié)合內(nèi)角和公式求，判斷D.【詳解】由已知，所以，，，所以，，A正確，又，，，，所以，，故，所以，B正確，因為，，所以，所以，故與不垂直，C錯誤，因為，，所以，又，所以，D正確，故選：C.10.如圖，邊長為1的正六邊形放置于平面直角坐標系中，邊在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標為（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】首先，利用正六邊形的性質(zhì)和坐標系中的位置確定頂點D的初始坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和規(guī)律，計算經(jīng)過2025次旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標.【詳解】如圖，連接，在正六邊形中，易知，，在Rt中，，，，∴點的坐標為．∵將正六邊形繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，∴每旋轉(zhuǎn)六次回到原來位置，即旋轉(zhuǎn)具有周期性，次為一個周期，，∴經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點的坐標與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標相同，從D轉(zhuǎn)到共旋轉(zhuǎn)了，∴與關(guān)于原點對稱，∴經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點的坐標.故選：A二、填空題，本題共6小題，每題4分，共24分．11.已知水星的半徑約為24400000米，數(shù)據(jù)24400000用科學記數(shù)法表示為______．【正確答案】【分析】將一個數(shù)表示成（，n為整數(shù)）的形式即為科學記數(shù)法，據(jù)此解答即可．【詳解】，故．12.因式分解：__________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.【詳解】.故13.如圖，OA是⊙O的半徑，弦CD⊥OA于點P，已知，則弦CD＝______．【正確答案】8【分析】根據(jù)給定條件，利用垂徑定理及勾股定理求出弦長.【詳解】由OA是⊙O的半徑，弦CD⊥OA于點P，得是弦的中點，而，則，所以.故814.如圖，，若，則______°．【正確答案】60【分析】利用直線平行的性質(zhì)，可求出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠3的度數(shù)．【詳解】如圖，，，，故60．15.如圖為一節(jié)樓梯的示意圖，米．現(xiàn)要在樓梯上鋪一塊地毯（沿臺階從點鋪到點），則地毯的長度需要______米．【正確答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確進行計算是解題關(guān)鍵．利用正切定義求得，從而求出地毯的長度為．【詳解】米，（米），地毯的長度為（米）．故．16.如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點M，N．（1）若，則______°．（2）若，則的值是______．【正確答案】①.75②.【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，運用三角形外角的性質(zhì)即可計算；（2）過點M作于點K，設(shè)根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，證明，再結(jié)合，求得故，證明，得到，據(jù)此求出關(guān)系即可作答．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，故75；（2）如圖，過點M作于點K，∵，∵四邊形為正方形，在和中，∴，即與為兩個全等的等腰直角三角形，設(shè)由題意，知，，即解得（負值舍去），故．三、解答題（17題8分，其余每題12分）17.解下面不等式：，并將它的解集在數(shù)軸上表示出來．【正確答案】，圖象見解析【分析】先通過移項、合并同類項求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出解集．【詳解】移項及合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，其解集在數(shù)軸上表示如下：18.已知：．（1）化簡；（2）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先將除法化為乘法約分，再通分計算減法即可；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式求出，再結(jié)合分母不為0，代入求出的值即可.【小問1詳解】【小問2詳解】因為關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得或，由可得，，，所以，即，所以.19.在某次物理實驗中，需要在圖中的1、2、3個位置處安裝3個元件形成電路，現(xiàn)有三個元件，其中有一個元件在上一次實驗操作中被燒壞掉，現(xiàn)將三個元件分別任意安裝到1、2、3處；（1）位置1處安裝被燒壞的元件概率為______；（2）請用合適的方法分析并求出閉合開關(guān)后，小燈泡能亮的概率．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣即可得到答案；（2）根據(jù)并聯(lián)電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設(shè)中燒壞的元件為，由此列樹狀圖求解即可.【小問1詳解】因為燒壞的元件安裝到1、2、3處的概率一樣，所以位置1處安裝被燒壞的元件概率為，故【小問2詳解】根據(jù)并聯(lián)電路的特點可知，位置1處必須放完好的元件才能保證形成電路，假設(shè)中燒壞的元件為，列樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小燈泡能亮的結(jié)果數(shù)有2種，所以小燈泡能亮的概率為.20.實踐與探究（1）【問題情境】①如圖1，分別為邊上的點，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，則，所在直線較小夾角的度數(shù)為______．（2）【探究實踐】如圖3，矩形為邊上的動點，為邊上的動點，，連結(jié)，作于點，連結(jié)．當?shù)拈L度最小時，求的長．【正確答案】（1）；30°（2）2【分析】（1）①根據(jù)直線平行的性質(zhì)即可求解；②延長交于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得答案；（2）延長和交于點，利用平行性質(zhì)可得，根據(jù)可得在以為圓心，為半徑的圓上，從而可知當共線時，最小，再根據(jù)此時的幾何關(guān)系即可求出此時的長．【小問1詳解】①故；②延長交于，如圖：即所在直線較小夾角的度數(shù)為．故；【小問2詳解】延長和交于點，如圖：又∴在以為圓心，為半徑的圓上，∴當共線時，最小，在Rt中，，，∵，∴∴為等邊三角形，此時，∴，符合題意；．21.如圖，已知拋物線（）與軸交于，兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點D的坐標；（2）若四邊形BCEF為矩形，．點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E運動，同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點F運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似時，求運動時間t的值；（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點P，點G是點P關(guān)于點D的對稱點，點Q是x軸下方拋物線上的動點．若過點Q的直線l：（）與拋物線只有一個公共點，且分別與線段GA、GB相交于點H、K，求證：為定值．【正確答案】（1）拋物線的函數(shù)解析式為，點的坐標為，（2）或；（3）證明見解析.【分析】（1）將點，代入拋物線方程，可求，由此可得拋物線的函數(shù)解析式，將拋物線方程化為頂點式可求點的坐標；（2）由條件求的坐標，再求，由條件求，和的范圍，分情況結(jié)合相似三角形的性質(zhì)列方程求可得結(jié)論，（3）由條件求點的坐標，由此可求，證明，由三角函數(shù)定義可得，聯(lián)立方程與拋物線方程可得，求點的橫坐標，過點作軸的平行線交拋物線的對稱軸于點，過點作軸的平行線交拋物線的對稱軸于點，結(jié)合三角函數(shù)定義求，由此證明結(jié)論.【小問1詳解】因為拋物線與軸交于，兩點，所以，解得，所以拋物線的函數(shù)表達式為，因為，所以點的坐標為，【小問2詳解】由，取可得，所以點的坐標為，又，所以，，所以，因為點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E運動，又，所以，由已知，，故，因為點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點F運動，所以，由已知，，所以，因為以M、E、N為頂點的三角形與相似，所以或，若，則，所以，故，若，則，所以，故，所以或；【小