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第23章圖形的相似23.4

中位線問題1

怎樣由平行線判定兩個三角形相似？問題2相似三角形有哪些方面的應用？你會解決

下面的問題嗎？觀察與思考導入新課ABC測出

MN的長，就可知

A、B兩點的距離.MN在

AB外選一點

C，使

C能直接到達

A和

B.連接

AC和

BC，并分別找出

AC和

BC的中點

M、N.若

MN=36m，則

AB=2MN=72m如果

M、N兩點之間還有阻隔，你有什么解決辦法？ABCEF..D.中位線中線什么是三角形的中線？（連接頂點與對邊中點的線段）設疑：如果連接兩邊中點的線段呢？三角形的中位線及其性質(zhì)新課講授ABCDEDE是△ABC的中位線.

什么叫三角形的中位線呢？連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.畫出△ABC中所有的中位線.畫出三角形的所有中線并說出中位線和中線的區(qū)別.FABCDE理解三角形的中位線定義的兩層含義：②如果

DE為△ABC的中位線，那么D、E分別為

AB、AC的

.①如果

D、E分別為

AB、AC的中點，那么

DE為△ABC的

；CBAED中位線中點

在△ABC中，中位線

DE和邊

BC什么關(guān)系？DE和邊

BC的關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：DE∥BCABCDE結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖：在△ABC中，D是

AC的中點，E是AB的中點.則有：DE∥BC，能說出理由嗎？ABCDEDABCE

F用不同的方法證明如圖在△ABC中，D是

AC的中點，E是

AB的中點.求證：DE∥BC，EABCD

F證明：如圖，延長

DE至

F，使

EF=DE，連接

CF.∵AE=CE，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE.∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴CF∥AB.∵AD=BD，∴四邊形

DBCF是平行四邊形.∴BD=CF.∴DF∥BC，∴DE∥BC，DE=BC.DF=BC=

2DE.三角形中位線性質(zhì)：

三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.用符號語言表示EABCD∵DE是△ABC的中位線，歸納總結(jié)∴DE∥BC，如圖1，DE是△ABC中位線（1）若∠ADE=60°，則∠B=

度，為什么？（2）若

BC=8cm，則

DE=

cm，為什么？圖1604ABCDE練一練圖2BACDEF如圖2，在△ABC中，D、E、F分別是各邊中點

AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，則△DEF的周長=

cm12如圖，△ABC中，D、E分別是邊

BC、AB的中點，AD、CE相交于

G．求證：證明：連接

ED，

∵D、E分別是邊

BC、AB的中點，∴△ACG∽△DEG.三角形的重心∴DE∥AC，∴

∴

三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的.如果取

AC的中點

F，假設

BF與

AD交于

G′，如下圖，那么我們同理有.所以有，即兩圖中的點

G與

G′

是重合的.于是我們有以下結(jié)論：ABCDFAG′歸納1.如圖，EF是△ABC

的中位線，BC=20，則

EF=____；10ABCEF當堂練習2.在△ABC中，中線

CE、BF相交點

O，M、N分別是

OB、OC的中點，則

EF和

MN的關(guān)系是__________.平行且相等ABCEFMNO3.求證：順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形是平行四邊形.已知，在四邊形

ABCD中，E、F、G、H分別是

AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形

EFGH是平行四邊形.ABCEFGDH證明：連接

AC.∵AH=HD，CG

=GD，∴HG∥AC，HG

=AC.同理EF∥AC，EF

=AC.∴HG∥EF，HG

=EF.∴四邊形

EFGH是平行四邊形.ABCEFGDH1.三角形的中位線定義：連接三角形兩