第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年湖南省岳陽市頤華高級中學高二（上）入學數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=2?i20251?i，則zA.12 B.12i C.32.已知函數(shù)f(x)=xln2+x2?x，則不等式f(x+1)>f(2x?1)的解集為(

)A.(0,1) B.(0,2) C.(?12,0)3.已知tanθ=3，則cos(θ+π2A.65 B.?35 C.?4.已知向量a,b滿足，|a+bA.1 B.2 C.3 5.已知△ABC的面積等于1，且BC=1，則△ABC的外接圓的半徑R的最小值為(

)A.1617 B.1716 C.1786.若4，2，1，4，5的第p百分位數(shù)是4，則p的取值范圍是(

)A.(40,80] B.[40,80) C.[40,80] D.(40,80)7.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件A=“取出的兩球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一個黃球”，事件C=“取出的2球至少有一個白球”，事件D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是(

)A.P(A+B)=P(A)+P(B) B.P(C)+P(D)=1

C.P(C∪E)=1 D.P(B)=P(C)8.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且2S=a2?(b?c)2，則A.(4315,5915) B.[2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若x>2，則函數(shù)y=x+1x?1的最小值為3

B.若x>0，y>0，3x+1y=5，則3x+4y的最小值為5

C.若x>0，則xx2+1的最大值為12

10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6A.當ω=3時，f(x)在(4π9,7π9)上單調(diào)遞增

B.若|f(x1)?f(x2)|=2，且|x1?x2|min=π2，則函數(shù)f(x)的最小正周期為π

C.11.已知點M為△ABC所在平面內(nèi)一點，則(

)A.若AM=13AB+23AC，則BC=3BM

B.若(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若C=2A，則2c+ba的取值范圍是______．13.如圖所示的圖形是由六個直角邊均為1和3的直角三角形組成的，則該圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為______．14.已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的菱形且∠DAB=π3，AA1⊥底面ABCD，AA1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在銳角△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，...已知sinA?sinB3a?c=sinCa+b．

(1)求角B的值；

(2)若16.(本小題15分)

象棋作為中華民族的傳統(tǒng)文化瑰寶，是一項集科學競技，文化于一體的智力運動，可以幫助培養(yǎng)思維能力，判斷能力和決策能力.近年來，象棋也繼圍棋國際象棋之后，成為第三個進入普通高校運動訓練專業(yè)招生項目的棋類項目.某校象棋社團組織了一場象棋對抗賽，參與比賽的40名同學分為10組，每組共4名同學進行單循環(huán)比賽.已知甲、乙、丙、丁4名同學所在小組的賽程如表：第一輪甲?乙丙?丁第二輪甲?丙乙?丁第三輪甲?丁乙?丙規(guī)定：每場比賽獲勝的同學得3分.輸?shù)耐瑢W不得分，平局的2名同學均得1分，三輪比賽結束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學可以獲得獎勵.若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名(抽簽的勝者排在負者前面)，且抽簽時每人勝利的概率均為12，假設甲、乙、丙3名同學水平相當，彼此間勝負平的概率均為13，丁同學的水平較弱.面對任意一名同學時自己勝，負，平的概率都分別為16，12，13.每場比賽結果相互獨立．

(1)求丁同學的總分為5分的概率；17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

(1)求證：BC⊥AC；

(2)若PA=2，AC=BC=2，M是PB的中點，N，F(xiàn)分別在線段BC，AM上移動．

①求PB與平面PAC所成角的正切值；

②若FN//平面PAC，求線段FN長度取最小值時二面角F?BC?A平面角的正切值．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ae?x+ex，a∈R．

(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求a的值；

(2)若f(x)≥a+1在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)設19.(本小題17分)

如圖，設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成α(0<α<π)的兩條射線，e1,e2分別為Ox，Oy同向的單位向量，定義平面坐標系xOy為α?仿射坐標系，在α?仿射坐標系中，若OP=xe1+ye2，則記OP=(x,y)．

(1)在α?仿射坐標系中

①若a=(m,n)，求|a|；

②若a=(?1,3),b=(?3,1)，且a與b的夾角為π3，求cosα；

(2)如上圖所示，在π

參考答案1.A

2.A

3.A

4.C

5.B

6.D

7.C

8.C

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.(213.17π414.π315.解：(1)由已知可得(sinA?sinB)(a+b)=(3a?c)sinC，

由正弦定理可得(a?b)(a+b)=(3a?c)c，

所以a2+c2?b2=3ac，

由余弦定理可得：cosB=a2+c2?b22ac=32，

因為B∈(0,π2)，所以B=π6；

(3)由正弦定理可得asinA=bsinB=16.解：(1)根據(jù)題意，若丁同學總分為5分，則丁同學三輪比賽結果為一勝兩平，

記第k(k=1,2,3)輪比賽丁同學勝、平的事件分別為Ak，Bk，

丁同學三輪比賽結果為一勝兩平的事件為M，

則P(M)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=3×(132)×16=118，

即丁同學的總分為5分的概率為118．

(2)由于丁同學獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學是平局，

則在第二、三輪比賽中，丁同學對戰(zhàn)乙、甲同學均獲勝，

故丁同學的總分為7分，且同丁同學比賽后，甲、乙、丙三人分別獲得0分，0分、1分，

若甲同學獲得獎勵，則甲最終排名為第二名．

①若第一、二輪比賽中甲同學均獲勝，

則第三輪比賽中無論乙、丙兩位同學比賽結果如何，甲同學的總分為6分，排第二名，可以獲得獎勵，

此時的概率P1=13×13=19．17.解：(1)證明：作AH⊥PC，

因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AH?平面PAC，

所以AH⊥平面PBC，因為BC?平面PBC，所以BC⊥AH，

因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA，

因為AH∩PA=A，AH，PA?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以BC⊥AC；

(2)①由(1)得BC⊥平面PAC，

所以PC為PB在平面PAC的射影，∠BPC為PB與平面PAC所成角，

在△PAC中，PC=PA2+AC2=6，

在直角△PCB中，tan∠BPC=BCPC=26=63，

所以PB與平面PAC所成角的正切值為63；

②過F作AB的垂線，垂足為Q，過Q作QN//AC，交BC于N，

因為PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PA⊥AB，

又因為FQ⊥AB，PA，F(xiàn)Q?平面PAB，所以PA//FQ，

因為PA?平面PAC，F(xiàn)Q?平面PAC，所以FQ/?/平面PAC，同理NQ/?/平面PAC，

因為FQ∩NQ=Q，F(xiàn)Q，NQ?平面FQN，所以平面PAC//平面FQN，

因為FN?平面FQN，所以FN/?/平面PAC，設BN=λ,PA=2，

所以QN=λ，BQ=2λ，AQ=22?2λ，F(xiàn)Q=12AQ=2?22λ，

在直角△FQN中，F(xiàn)N2=FQ2+QN2=(2?22λ)2+λ2=32λ2?2λ+2(1≤λ≤2)，

當λ=1時，F(xiàn)N2min=32，F(xiàn)Nmin=62，

易證∠FNQ為二面角F?BC?A的平面角，其正切值為22．

18.解：(1)∵f(x)為奇函數(shù)，且定義域為R，

∴f(?x)=?f(x)，

∴aex+e?x=?ae?x?ex，

∴(a+1)(ex+e?x)=0，

∴a=?1;

(2)∵f(x)≥a+1恒成立，

∴ae?x+ex≥a+1恒成立，

∴a(ex?1)≤ex(ex?1)恒成立，

又∵x∈(0,+∞)，

∴ex?1>0，

∴a≤ex在(0,+∞)上恒成立，

又∵ex>1，

∴a≤1，即a的取值范圍是(?∞,1];

(3)∵g(x)=ex(aex?1)=ae2x?ex，

設?(x)=g(?x)+g(x)=ae2x?ex+ae?2x?e?x=a(e2x+e19.解：(1)①因為a=(m,n),a=me1+n