專題5.7平行線的性質(zhì)與判定中的三種常用輔助線

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對平行線的性質(zhì)與判定中的三種常

用輔助線的理解！

【題型1過“拐點”作平行線】

1.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知4A=90。+a,zC=90°-a,且2BED=135。.若

/-ABE=70°,求乙。的度數(shù).

圖I圖2圖3

⑴【基礎(chǔ)問題】如圖1,試說明：乙4GD="+4O.（完成下面的填空部分）

證明：過點G作直線MNII4B,

yABWCD,

???①IICD.

:.②=AMGA.

*：MNIICD,

?"O=?（?.

Z.AGD=Z.AGM+乙DGM=z/l+zD.

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點G在線段EF延長線上時，請寫出乙怙0、41、△。三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

(3)【應(yīng)用拓展】如圖3,點￡1與點A重合，AH平分4GA8,且4/7DF=22。，LAFC=72°,那么乙”的度數(shù)為

3.(2023下?浙江杭州?七年級統(tǒng)考期末)已知？1811c。，點E在AB上，點尸在CD上，點Q為射線EF上一點.

(1)如圖1,若乙4=22°,4c=35°,貝ij乙4QC=_.

(2)如圖2,當(dāng)點Q在線段E尸的延長線上時，請寫出乙力、NC和242c三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,4,平分“力氏CH交AH于點H.

①若C"平分NQCD,求N4QC和乙的數(shù)量關(guān)系.

②若NQC從4OCH=1:3,Z.HCD=33°,Z.AHC=25%直接寫出乙力QC的度數(shù)為

4.(2023下?遼寧鞍山?七年級?？计谀?如圖I,點A在直線MN上，點4在直線ST上，點C在MN,ST之

間，且滿足乙MAC+~1C8+4S8C=360°.

圖1圖2圖3

(1)證明:MN||ST；

(2)如圖2,若乙4c8=45。，ADWCB,點￡在線段上，連接力￡R^DAE=3/.CBT,試判斷乙乙4E與2(L4N

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,若乙1。8=36。，點E在線段8。上，連接力E,若匕MAE=54CBT,直接寫出N&4E：4。1N的值.

5.(2023下?黑龍江哈爾濱?七年級校考期末)已知直線4B||CD,直線EF交力B于點M,交CO于點N,MH平

分ZBMN交CD于點H,Z.MHN=72°.(本潁不允許直接使用三角形內(nèi)角和定理)

(1)如圖I,求心CNM的度數(shù);

(2)如圖2,若NG平分乙MND,交MH于點、G,求證：NG1MH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點尸在EF上，“P平分NOHM,NG延長線交HP于點Q,連接MQ,若乙HMQ=

3人MPQ,求心MQN的度數(shù).

6.(2023下?廣西來賓.七年級統(tǒng)考期末)己知：直線alh點A和點3是直線a上的點，點。和點。是直線匕上

的點，連接AD,BC,設(shè)直線力。和8c交于點E.

(1)在如圖1所示的情形下，若ADLBC,求4/18E+4COE的度數(shù)(提示：可過點E作)；

(2)在如圖2所示的情形下，若BF平分乙13。，。/平分/40C,且B尸與。尸交于點F,當(dāng)乙48C=64°,^ADC=72°

時，求乙的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點8在點力的右側(cè)時，若平分"IBC,D/呼分ZADC,且B/,DF交于點F,設(shè)〃BC=a,乙ADC=

。，用含有a,。的代數(shù)式表示乙8/。的補角.(直接寫出結(jié)果即可)

7.(2023下?河北石家莊?七年級統(tǒng)考期末)已知：點。是N408的。4邊上一點(點。不與點。重合)，點。是

內(nèi)部一點，射線CO不與OB相交.

B

圖1

o

(1)如圖1,^AOB=90t^OCD=120°,過點。作射線0E,使得COIIOE.(其中點E在乙4。8內(nèi)部).

①依據(jù)題意，補全圖I;

②直接寫出N80E的度數(shù).

（2）如圖2,點F是射線08上一點，且點F不與點。重合，當(dāng)乙4。2=或0°＜戊工180。）時，過點F作射線廠”,

使得尸"IICD（其中點”在N40B的外部），用含a的代數(shù)式表示NOCZ）與的數(shù)量關(guān)系，并證明.

8.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級?？计谥校┮阎褐本€與直線CD內(nèi)部有一個點P,連接BP.

（2）如圖2,當(dāng)點E在直線AB與直線G）的內(nèi)部，點H在直線CD上，連接EH,若乙ABP+乙PEH=+乙EHD,

求證：AB||CD；

（3）如圖3,在（2）的條件下，BG、EF分別是ZABP、±PEH的角平分線，BG和E9相交于點G,E尸和直線48相

交于點F,當(dāng)BP_LPE時，若乙BFG=^EHD+10。,Z.BGE=36°,求4E7/O的度數(shù).

9.（2023下?湖北荊州?七年級?？计谥校┤鐖D，4BIICD,點4E,B,C不在同一條直線上.

（1）如圖1,求證：4E+乙C一44=180°

（2）如圖2,直線凡4,CP交于點P,K^BAF=^BAE,乙DCP乙DCE.

①試探究NE與NAPC的數(shù)量關(guān)系；

②如圖3,延長CE交射線PF于點Q,若4EIIPC,血Q=a（0。VaV22.5。）,則"QC的度數(shù)為」用含a的式

子表示）.

10.（2023下?江蘇連云港?七年級統(tǒng)考期中）已知48||CD.

［知識回顧］（I）如圖1,點E在兩平行線之間，試說明：^BED=^ABE+^EDC.

［知識應(yīng)用］（2）如圖2,BP、0P分別平分4力8E、乙EDC,利用⑴中的結(jié)論，試說明：乙BPD=3乙BED；

（3）如圖2,直接寫出NBP。、乙BED、”BE、NPDE四個角之間的數(shù)量關(guān)系.

［知識拓展］（4）如圖3,若乙BEF=145°,乙EFD=135°,8P、CP分別平分〃8E、4CDF,那么乙8PD=

°;（只要直接填上正確結(jié)論即可）

（5）如圖4,若乙BEF、乙EFG、三彳、角的和是"，BP、分別平分乙48乜、ZCDG,那么4=

.（用含n的式子表示）

⑴若點尸在48、CD之間，

①求證：Z-P=/-AEP+Z-CFPx

②若"二75。，"E8與”尸0的平分線交于點M,求乙EMF的度數(shù).

（2）若點P在的上方，立尸瓦4與NPFC的平分線交于點G,若NP=a,用含a的代數(shù)式表示NG.

12.（2023下?河南駐馬店?七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖LAB\\CD,4PA8=130。，乙PCD=120°,

求〃PC度數(shù).

小明的思路是：過P作PEIIA8,通過平行線性質(zhì)來求N4PC.

（1）按小明的思路，易求得4/lPC的度數(shù)為度；（直接寫出答案）

（2）問題遷移：如圖2,48|￡。，點P在射線OM上運動，記乙P4B=a,乙PCD=B，當(dāng)點P在5、。兩點之間

運動時，問乙APC與a、/?之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

⑶在（2）的條件下，如果點P在3、。兩點外側(cè)運動時（點P與點。、8、。三點不重合），請直接寫出乙APC與

a、夕之間的數(shù)量關(guān)系.

【題型2連接兩點】

1.（2023下?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖，己知

AGIIEF,ABIIDE,若乙DEF=120°,則〃的度數(shù)為()

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.(2023下?浙江?七年級期末)如圖，已知LAFC=120°,LEAF=-^.EAB,^ECF=-Z.ECD,

33

貝/EC=()

A.60°B.80°C.90°D.100°

3.(2023上?河南平頂山?七年級統(tǒng)考期末)如圖，ZkCEF中，ZE=7O°,ZF=50°,且AB〃CF,AD/7CE,

連接BC,CD,則NA的度數(shù)是()

A.40°B.45°C.50°D.60°

4.：2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AB||CD,BE平分凡乙DCF=

乙ECF,已知2F-Z,E=15°,貝此/1BE+乙DCF=度.

AE

B

5.（2023上?四川眉山?七年級期末）已知，直線AHIIC'。，=90".

（1）如圖1,點尸在43上，尸G與CO交于點N,若乙EFB=71°,則乙FNC=°：

（2）如圖2,點尸在力B與CC之間，E"與4B交于點M,FG與CD交于點N,且心力的平分線與4CN『的平

分線NH交于點H.

①若NEMB=。，求乙FNC（用含B的式子表示）；

②求4MHN的度數(shù).

【題型3延長線段使相交】

1.：2023下?山東臨沂?七年級統(tǒng)考期中）如圖，"IIC。，將一副直角三角板作如下擺放，NGEF=60。,4MNP

=45°.下列結(jié)論:①GEIIMP：②/E/W=135。；③N8E/=75。：?/AEG=/PMN.其中正確的結(jié)論有（寫

出所有正確結(jié)論的序號）.

2.（2023下?遼寧鞍山?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,8尸,。尸分別平分N/18E和NCOE,BF//DE,ZF

與NA4K互補，則NF的度數(shù)為

FE

AB

CD

A.30°B.35°C.36°D.45°

3.（2023上?江西宜春?七年級江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，ABIICD,F為AB上一點,FD||EH,

且FE平分過點尸作/G1EW于點G,R^AFG=2zD,則下列結(jié)論:

①/D=40°；

②2乙。+乙EHC=90°；

③FO平分乙HF8；

④,”平分乙GFD.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3個D.4個

4.（2023下?遼寧營口?七年級校考期中）如圖,已知AB||CD,Z.BEH=Z.CFG,EI、FK分別為44E，、乙CFG

的角平分線，F(xiàn)KLFJ,則下列說法正確的有（）個.

?LCFK=(H

③"平分4G/O

?LAEl+乙GFK=90°

A.4B.3C.2D.1

5.（2023下?廣東深圳?七年級?？计谥校┤鐖D，E在線段44的延長線上,Z-EAD=匕0,乙B=Z.D,EF||HC,

連FH交AD于G,4"G力的余角比2DGH大16。，K為線段8c上一點，連CG,使乙CKG=cCGK,在/AGK內(nèi)

部有射線GM,GM平分4FGC.則下列結(jié)論：?AD||BC；②GK平分41GC；?^FGA=42°：④乙MGK=21°.其

中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（2023下?廣東廣州?七年級?？计谥校┤鐖D，直線MN〃0Q,點A在直線MN與。。之間，點4在直線

MN上,連接A從NA4用的平分線4C交PQ于點C,連接AC,過點A作AO_LPQ交PQ于點。，作

交PQ于點尸，4七平分/D4F交PQ于點￡若NC4E=45。，ZACB=^ZDAE,則NACO的度數(shù)是.

7.（2023上?遼寧沈陽?七年級統(tǒng)考期末）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱。4垂直地面。氏支架

CD與。4交于點A,支架CG_LC。交。力于點G,支嗯DE平行地面0B,籃筐EF與支架在同一直線上，04=

2.5米,2。=0.8米.^AGC=32c.

圖1圖2

（1）求：支架點。到立柱。力的距離；

⑵某運動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上

籃網(wǎng)嗎?請通過計算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin32°?0.53,cos32°?0.85,tan32°?0.62）

8.（2023下七年級課時練習(xí)）如圖是一個漢字“互”字，其中，AB\\CD,HF\\GE,乙HGE=LHFE,M、H、

G三點在同一直線上，N、E、尸三點在同一直線上.

求證:

⑴GH||斯；

(2)LCMH=乙BNE.

9.（2023下?江蘇南京?七年級南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校階段練習(xí)）某模具廠生產(chǎn)一種鋼板，如圖所

示，已知該模具的邊A8〃CRCD//AE,按生產(chǎn)規(guī)定，邊A8和邊。。的延長線必須成80。的角才算合格,

因交點不在模板上，不便測量，這時，李師傅告訴徒弟只需測一個角，便可知道鋼板是否符合規(guī)定，你知

道需要測量哪個角嗎？請說明理由.

10.（2023上.重慶渝北.七年級校考開學(xué)考試）如圖1,43110,點￡廠分別在直線CO,AB上上BEC=2乙BEF,

過點A作AG18E的延長線交于點G,交CD于點N,AK平分NZL4G,交EF于點、H,交BE于點、M.

（1）直接寫出N4/7E,4FAH,NKEH之間的關(guān)系：.

（2）若NBEF求乙AHE.

（3）如圖2,在（2）的條件下，將AKHE繞著點￡以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/,當(dāng)KE邊與射

線ED重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AKHE的其中一邊與AENG的某一邊平行時，直接寫出此時，的值.

11.（2023下?浙江寧波?七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線/QIIMN,一副三角尺（乙=々C0E=90。,乙4cB=

3OC,^BAC=60°,zDCF=zDEC=45°)按如圖①放置，其中點E在直線PQ上，點8,。均在直線MN上,

且CE平分乙力CN.

⑴求乙DEQ的度數(shù).

(2)如圖②，若將三角形4?。繞點E以每秒4度的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)(4C的對應(yīng)點分別為F,G),設(shè)旋轉(zhuǎn)

時間為t(S)(0<t<45)；

①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊8GlicD,求￡的值；

②若在三角形ABC繞點B旋轉(zhuǎn)的同時，三角形CDE繞點￡以每秒3度的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)(C,D的對應(yīng)點為

H,K)請求出當(dāng)邊BGII"K時t的值.

12.(2023上?重慶九龍坡?七年級重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試)如圖1,4BIICO,點E、F分別在48、CD

上，點。在直線4B、CD之間，E.LEOF=80°.

圖1圖2圖3

(1)求4BE。+40"。的值；

(2)如圖2,直線MN分別交/BE。、NOFC的角平分線于點M、N,直接寫出zEMN-zFNM的值；

(3)如圖3,EG在N4E。內(nèi)，^AEG=m^0EG；在NDF。內(nèi)，乙DFH=m乙OFH,直線MN分別交EG、FH分

別干點M、N,且乙FMN—乙ENM=80。,直接寫出m的值.

13.(2023下?福建福州?七年級統(tǒng)考期中)如圖48IIC0,一個含45。的直角三角板的直角頂點在這兩條平行

線之間，另兩個頂點均在這兩條平行線的外部，設(shè)乙1=%。，Z2=y°,則%與)，的數(shù)量關(guān)系為

專題5.7平行線的性質(zhì)與判定中的三種常用輔助線

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題,題型針對性較高，覆蓋面廣.選題有深度,可加強學(xué)生對平行線的性質(zhì)與判定中的三種常

用輔助線大題型的理解！

【題型1過“拐點”作平行線】

1.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知々1=90。+a,4c=90。一a,月/BED=135。.若

/.ABE=70°,求乙。的度數(shù).

【答案】LD=65°

【分析】過點E作“||AB,由題意可判定￡7FCD,從而得NBEF=Z48E=70。，再利用平行線性質(zhì)求解

即可.

【詳解】如下圖，過點￡作"II/1B,

???Z.A=90°+a,Z.C=90°-a,

:.z/14-zC=90°+a4-90°-a=180°,

???AB||CD,

又?；EF||AB,

:,EF||CD,

v/.ABE=70°,

:.乙BEF=乙ABE=70°,

又??乙BED=135°,

-DEF=135°-70°=65°,

zD=乙DEF=65°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及證明

EFf/CD.

2.(2023上?吉林長春?七年級統(tǒng)考期末)已知力點E在上，點尸在。。上，點G為射線EF上一點.

⑴【基礎(chǔ)問題】如圖1，試說明：^AGD=^A+AD.(完成下面的填空部分)

證明：過點G作直線MNIMB,

二IICD.

*：MN\\AB,

，②=/.MGA.

?:MN||CD,

:,乙D=③(④).

/.^AGD=Z.AGM+Z.DGM=z/14-Z.D.

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點G在線段延長線上時，請寫出N4G。、ZA、N。三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

(3)【應(yīng)用拓展】如圖3,點E與點A重合，平分乙G4B,且乙HDr=22。，Z.AFC=72°,那么乙H的度數(shù)為

【答案】(1)MN：乙4乙DGM；兩直線平行，內(nèi)錯角相等

(2)乙4G。=LA-LD,理由見解析

(3)32°

【分析】（1）過點G作直線MNII4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求解.；

（2）過點G作直線MNII48,同理可得乙4=乙46"，乙D=^DGM,^AGD=LAGM-LDGM=^A-LD,

（3）利用平行線的性質(zhì)求出ZGA8的值，再利用平行線的性質(zhì)進行計算即可；

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).

【詳解】（1）過點G作直線MMI4B，

*：AB\\CDt

：.MN\\CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），

???MN||力8,

；?乙4=Z.MGA,

TMNIIC。，

AzZ）=^DGM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

/.Z.AGD=Z.AGM+乙DGM=Z.A+Z.D；

故答案為：MN；乙4乙DGM；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

（2）如圖所示，過點G作直線MNI48,

XV4BHCD,

：.MN\\CD,

\'MN\\AB,

?"4=Z.AGM,

*：MN\\CD.

:.乙D=乙DGM,

：.LAGD=LAGM-乙DGM=LA-LDx

（3）如圖所示,

//

'：￡AFC=72°,

.??〃MB=180°-72°=108。，

1/I//平分）GAB,

:?乙HAB=-Z-GAB=-x108°=54°,

22

?:DC||ABt

：.LHQC=54°,

???/，=乙HQC-乙HDF=54°-22°=32°.

3.（2023下?浙江杭州?七年級統(tǒng)考期末）已知力8IICD,

(1)如圖1,若iA=22。，LC=35°,則iAQC=_.

(2)如圖2,當(dāng)點Q在線段的延長線上時，請寫出匕小NC和N4?C三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,4,平分4QAB,CH交AH于點H.

①若CH平分NQCD,求N/QC和乙4HC的數(shù)量關(guān)系.

②若4QC”：NQC”=1:3,^HCD=33°,Z-AHC=25°,直接寫出N4QC的度數(shù)為

【答案】(1)57。

(2)數(shù)量關(guān)系：乙力一乙。二44QC,理由見解析

⑶①Z.AHC=1，4QC,?Z.AQC=72°

【分析】(1)過點Q作Q"IIAB,進而利用兩直線平行，內(nèi)錯隹相等解答即可;

（2）過點Q作MN||CD,進而利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答即可；

（3）①過點H作尸HIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可;

②根據(jù)①的結(jié)論，利用角的關(guān)系解答即可.

【詳解】（1）解：過點Q作QHIIAB,

QH||ABIICD,

zC=Z.CQH=35°,LA=LHQA=22°,

Z.AQC=Z.CQH+UfQA=35°+22°=57°,

故答案為：57°；

(2)數(shù)量關(guān)系：^A-z.C=^AQC,

vAB||CD,

AB||MN,

二Z.NQC=ZC,Z.MQA=1800-乙力，

???Z.AQC=180°-Z.NQC-LMQA=4力一zT.

(3)①過點H作PGIICD,

VABIICD,

AAB||PH,

.??乙PHC=乙HCD,Z.GHA=180。一乙”48,

:,乙AHC=AHAB—乙HCD.

又.；AH平4)?2C48,CH^^z.QCD,

:.Z.HAB=Z.QAB,乙HCD=["CD

???￡AHC=1(“4B-“CD)

由(2)可得\Z-AQC.

②"QC=72。,理由如下:

---/.QCHz/.DCH=1:3,/.HCD=33°.Z.AHC=25°,

:.“CH=11°,Z.DCH=33°,

???448=33。+25。=58。，

???/AQC=58°x2-44°=72°,

故答案為:72°.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是添加輔助線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答.

4.（2023下?遼寧鞍山?七年級?？计谀┤鐖DI,點A在直線MN上，點8在直線5r上，點C在MN,5TZ

間，且滿足/M/1C+乙優(yōu)8+ZS8C=360。.

圖1圖2圖3

(1)證明:MN||57':

(2)如圖2,若44cB=45。，40ICB,點七在線段上，連接力E,且N/ME=34CBT,試判斷NC4E與4G4N

的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；

(3)皿圖3,若-1。8=36。，點E在線段8C上，連接力E,若4M/E=54。8兀直接寫出N&4E：4&4N的值.

【答案】(1)見解析

(2)LCAE=2Z.CAN,理由見解析

(3)4

【分析】(1)如圖：作CaIIMN,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙以4c+^ACH=180。.再結(jié)合/MAC+/-ACB+

/SBC=360?？傻?/SBC=180°,即CH||ST,最后根據(jù)平行公理即可證明結(jié)論；

(2)如圖：作C7MIST,設(shè)乙CBT=a,則々OAE=3a.由平行線的性質(zhì)可得乙8。/=NCBT=*進而得到

Z.ACF=45°-a：再說明MN||CF可得乙CAN=Z.ACF=45°-a；然后根據(jù)力0||8。得到乙ZMC+乙4cB=

180。，最后根據(jù)等量代換和角的和差即可解答；

(3)設(shè)乙CBT=0,根據(jù)乙M力￡=5±C8T,表示出/MAE=50,LACF=^CAN=36°-/7,4CAE=

4(36°-/?),求C6E：“A拉的值即可.

【詳解】(1)證明：如圖：作CHIIMN

：.LMAC+Z.ACH=180°.

*：LMAC+^ACB+乙SBC=360°,

:?乙HCB+乙SBC=180°,

：.CH||ST

，MN||ST.

(2)解：￡CAE=2Z.CAN,理由如下:

如圖：作C"IIST,

設(shè)4C8T=a,則4ZZ4E=3a.

VCFIIST

:?乙BCF=Z.CBT=a,

'：LACB=45°

：,LACF=45°-a

*：CF||ST,MN||ST

:.MN||CF

：,/.CAN=Z.ACF=45°-a

'：AD\\BCt

：.LDAC^LACB=180°

：.WAC=180°-Z-ACB=180°-45°=135°,

J.LCAE=/LDAC-4DAE=135c-3a=3(45°-a)

：,LCAE=3乙CAN.

(3)解：如圖：作CFIIST,

MAN

SBT

設(shè)乙CBT=p,

'：LMAE="CBT,

：.￡MAE=50,

*：CF||ST,MN||ST

:,MN||CF

:,乙CBT=LBCF=0,

：,LACF=乙CAN=36。-0,

/.CAE=180°-/-MAE-Z.CAN=180°-5￡-(36°—0)=144°-=4(36°-/7),

?"SE：皿N=4(36。-/7)：(36。一￡)=4.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，根據(jù)角度的靈活轉(zhuǎn)換、構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.

5.(2023下?黑龍江哈爾濱?七年級?？计谀?已知直線48||CD,直線EF交點M,交CO于點N,MH平

分乙BMN交CD于點H,^MHN=72°.(本題不允許直接使用三角形內(nèi)角和定理)

三A

/

4B4.

C4/\DC

?圖1”圖:2圖3

(1)如圖I,求心CNM的度數(shù);

(2)如圖2,若NG平分乙MND,交MH于點G,,求證：NG1MH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點P在E戶上，HP平分NDHM,NG延長線交HP于點Q,連接MQ,若4HMQ=

34MPQ,求NMQN的度數(shù).

【答案】⑴乙CNM=144°

(2)見解析

⑶乙MQN=36°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=乙BMH=72°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出2cAM的度數(shù)；

(2)作GRIIA8,根據(jù)(1)所求，OVM=144。，可求得/MNH=36。，^^NG^-^Z-MND,AB||CD,

證明NG1M”；

(3)作P。IICO,得出zNP。=乙PNH,乙HPO=4PHD,根據(jù)已知條件求得=108°,根據(jù)HP平分NDHM

和/，MQ=3NMPQ,根據(jù)已知角度求出4BMQ=18。，再作QKIICO,根據(jù)以上證明方式求出NMQN的度

數(shù).

【詳解】(1)解：???ABIICD,且4MHN=72。

工人MHN=乙BMH=72°,乙CNM=乙BMN

平分乙BMN

二.乙BMN=2乙BMH=144°；

:4NM=乙BMN=144°；

(2)證明：V^GRIIAB,如下圖所示，

■:乙CNM=144°,

:.乙MNH=180°-144°=36°,

???/VG平分/MND,

?"GNH=18°,

：,LMGR=乙BMH=72°,

*：AB||CD,

:.GR〃CD,

:.乙RGN=Z-GNH=18°,

:.乙MGN=乙MGR+乙RGN=90S

:?NG1MH；

(3)解：作P。IICD,如下圖所示,

二乙NPO=LPNH,Z.HPO=/.PHD,

?:乙PNH=36°,

工乙NPO=36°,

■:乙MHN=72°,

???上=180°-乙MHN=108°,

?/HP平分4DHM,

:?乙PHD=540=乙HPO,

工乙MPQ=乙HPO-乙NPO=54°-36°=18。，

■:乙HMQ=34MpQ,

:,乙HMQ=54°,

.:乙BMH=乙CHM=72°,

工乙BMQ=乙BMH-乙HMQ=18°,

作QKIICD,如上圖所示，

同理可證4MQN=乙BMQ+乙HNQ=36°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2023下?廣西來賓?七年級統(tǒng)考期末)已知：直線Q||b,點A和點8是直線Q上的點，點C和點。是宜線人上

的點，連接AD,BC,設(shè)直線40和8C交『點E.

圖2圖3

(1)在如圖1所示的情形下，若4DJ.BC,求NA8E+2CDE的度數(shù)(提示：可過點E作EGIICD)；

⑵在如圖2所示的情形下，若BF平分產(chǎn)平分N40C,且與。戶交于點F,當(dāng)418。=64。,〃。。=72°

時，求NBF。的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點8在點A的右側(cè)時，若B尸平分乙ABC,D尸平分4WC,且。尸，0/交于點F,設(shè)418。=a,^ADC=

B，用含有Z，0的代數(shù)式表示48F0的補角.(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】(1)90。

(2)68°

⑶;a-/

【分析】(1)過點(作EGIL4B,根據(jù)Qllb,可得EGIICD,得乙ABE+乙CDE=^BED=90。；

(2)過點尸作FHIIAB,結(jié)合(I)的方法，根據(jù)"平分乙1BC,。戶平分4AOC,即可求N8FD的度數(shù)；

(3)過點尸作FQII/18,結(jié)合(1)的方法，根據(jù)平分Z/18C,。產(chǎn)平分41。。，設(shè)乙/8C=a,LADC=p,

即可用含有a，/?的代數(shù)式表示"FD的補角.

【詳解】(1)過點E作EGIIA8,

Vallb,

：.EG\\CDt

Z.ABE=乙BEG,Z-CDE=乙DEG,

Z.ABE+Z.CDE=乙BEG+Z.DEG=乙BED,

vAD1BC,

Z.ABE+Z-CDE=乙BED=90°；

(2)如圖，過點尸作FHIIA8,

BA

圖2

Valid,

：.FH\\CD,

：.Z.ABF=Z.BFH,乙CDF=CDFH,

:.乙BFD=乙BFH+Z.DFH=Z.ABF+乙CDF,

vBF平分iABC,DF平分乙4DC,乙ABC=64°,4ADC=72°,

Z.ABF=-2Z,ABC=32°,2乙CDF=-LADC=36°,

:，ABFD=乙ABF十乙CDF=68°；

(3)如圖,過點尸作尸QIMB,

Talib,

：.FQ\\CD,

/.ABF4-Z-BFQ=180°,Z.CDF=zDFQ,

???乙BFD=Z-BFQ+LDFQ=180°-4ABF+乙CDF

...B戶平分ZL4BC,0尸平分N/IDC,Z-ABC=a,Z-ADC=/?,

￡ABF=-2^2ABC=-a,2Z.CDF=-^ADC=-p,

AZ.BFD=1800-AABF+/.CDF=180°--2a+-/?,

:./BFO的補角=；1一3/7.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).

7.（2023下?河北石家莊?七年級統(tǒng)考期末）已知：點。是乙4。3的。4邊上一點（點C不與點。重合），點。是

匕/WB內(nèi)部一點，射線CO不與08相交.

圖1圖2

（1）皿圖I,4108=90。,△。。0=120。，過點。作射線。E,使得CDIIOE.（其中點E在-108內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補全圖1;

②直接寫出N80E的度數(shù).

（2）如圖2,點F是射線08上一點，且點F不與點。重合，當(dāng)410B=a（0°VaW180。）時，過點F作射線FH,

使得尸"IIG）（其中點H在乙力。8的外部），用含a的代數(shù)式表示N0C。與的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴①見解析②30°

（1）LOCD+LBFH=360°-a,證明見解析

【分析】（1）①根據(jù)題意補圖即可；

②根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可；

（2）過點。作。MIIC0IFH,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出兩個角的度數(shù)關(guān)系;

【詳解】（1）①依據(jù)題意，補全圖1如下：

②1SII0E,

：,LOCD+Z.COE=180°,

?:乙0CD=120°,

:?乙COE=60°,

??Z0B=90°,

：.LBOE=90°-乙COE=90°-60°=30。；

(2)(2)乙。CO+48尸，=360。-a,

證明:過點。作。MIICDIIFH

圖2

：,Z.OCD+Z.COM=180°,乙MOF=^OFH,

又?：乙BFH+乙OFH=180°,

/.180°-乙OCD+180°-乙BFH=a,

：.LOCD+LBFH=360°-a.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校考期中）己知：直線力B與直線CD內(nèi)部有一個點尸，連接BP.

（1）如圖1,當(dāng)點E在直線C。匕連接尸E,若乙B+乙PEC=^P,求證：AB||CD；

（2）如圖2,當(dāng)點￡在直線4B與直線CD的內(nèi)部，點H在直線CD匕連接EH,若乙ABP+乙PEH=+乙EHD,

求證:ABIICD；

（3）如圖3,在（2）的條件下，BG、EF分別是N4BP、4PEH的角平分線，8G和E尸相交于點G,EF和直線48相

交于點F,當(dāng)BP_LPE時，若N8FG=+10。，Z-BGE=36°,求/EHO的度數(shù).

【答案】（I）證明見解析；

⑵證明見解析；

（3）18°.

【分析】（1）過點P作P/14B,推;l"PEC=4EPF,進而得PFIICC,根據(jù)平行公理的推論即匕得證;

（2）分別過點。和點E作PFIL4B,EM||CD,推llUPEM=4/叩已進而得PF||EM,根據(jù)平行公理的推論即

可得證；

（3）過點￡作￡77||48,同（1）（2）理證明4F￡77=乙FEN+乙NEH=乙BFE+乙EHD,設(shè)乙￡7/0=a,乙PBG=/?,

匕PEG=y,則MFG=a+10°,結(jié)合角平分線得20+2y=90°+a,用含a的式子代替口，y,代入20+2y=

90。+a即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，過點P作PFII力氏

工/8=乙BPF,

?:乙B+乙PEC=乙BPE=乙BPF+乙EPF,

;?乙PEC=乙EPF,

：.PF\\CD,

：.AB\\CDi

(2)證明:如圖，分別過點P和點E作P/II4B,EMIICD,

，4ABP=￡BPF,乙MEH=LEHD,

?/4ABp+乙PEH=NP+乙EHD,^LABP+乙PEM+乙MEH=Z-BPF+乙FPE+乙EHD,

?LPEM=d'PE,

???PWIEM,

：,EM||AB,

：.ABKDi

（3）如圖，過點E作ENIL48,

AB

G

N------------

CHD

由(2)得4BIICD,

：.EN\\CD,乙BFE=AFEN,乙NEH=LEHD,

:SFEH=乙FEN+乙NEH=乙BFE+乙EHD,

設(shè)/EHO=a,乙PBG=B，4PEG=y,則NBFG=a+10。，

VBG、EF分別是乙48P、NPEH的角平分線,

,"ABP=20,乙PEH=2y

■:BP1PE,

???"=90°,

由(2)得N4BP+乙PEH=NP+乙EHD,

A2/?+2K=90°+a,

■:2FEH=乙FEN+乙NEH=Z.BFE+乙EHD,

：.y=a+10°+a=2a+10°,

*：LBGE=36°,LFGB=180°-(Z.BFG+zFFG),Z.FGB=1800-Z.BGE,

：,LBFG+乙FBG=乙BGE=36°,

/.a+10°+/?=36°,

：?￡=26°-a

/.2(26°-a)+2(2a+10°)=90°+a,

Aa=18°,

即/￡77。的度數(shù)為18。.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，平角定義等知識，添加輔助線,

靈活運用平行公理的推論是解題的關(guān)鍵.

9.(2023下?湖北荊州?七年級?？计谥?如圖,9BIIC。，點4E,B,C不在同一條直線上.

p

(1)如圖1,求證：zf+zC-z/l=180°

(2)如圖2,直線尸/,CP交于點P,H.Z.BAF=^BAE,乙DCP=*cDCE.

①試探究NE與41PC的數(shù)量關(guān)系；

②如圖3,延長CE交射線PF于點Q,若4EIIPC,ZF/1Q=a(00<a<22.5°),則乙PQC的度數(shù)為一(用含a的式

子表示).

【答案】(1)見解析

(2)①4E=180。-34APC：(2)180°-8a

【分析】(1)過E作￡77148,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)①設(shè)=Z-BAE=3%,zDCP=y,^DCE=3y,由(1)知，zF=180°-Z-C+LA=180°-

3(>-x),過P作PGIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②過P作PG||CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖1,過E作EFII4B,

vABKD,

AB^EFWCD,

AZ.AEF=44，Z,C+Z,FEC=180°,

：,LE=Z.AEF+Z,FEC=乙4+180°-(C,即if+4。一乙4=180°；

(2)解：???LBAF二二4BAE,乙DCP=+^DCE,

33

???設(shè)4=Z,BAE=3%,乙DCP=y,Z,DCE=3y,由(1)知,

乙E=180°一4C+匕力=180°-3(y-x),

圖2

VABWCD,

4BIIPG,

:.Z.GPA=Z.BAF=無，Z.GPC=4PCD=y,

"PC=y-x,即"=1800-3(y-%)=180°-3^APC：

②如圖3,過尸作PG||CD,

圖3

vZ.BAQ=a,

:.Z.QAE=2a,

vAE\\PC,

:.Z.QAE=LAPC=2a,由①知，Z.AEC=180°-3Z.APC=180°-6a,

Z.PQC=Z.AEC-Z,QAE=180°-6a-2a=180°-8a,

故答案為：180°-8a.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的計算，三角形的外角性質(zhì)，熱練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.(2023下?江蘇連云港?七年級統(tǒng)考期中)已知48||CD.

ffil圖2圖3用4

［知識回顧］(1)如圖1,點￡在兩平行線之間，試說明：乙BED=UBE+乙EDC.

［知識應(yīng)用］(2)如圖2,BP、DP分別平分乙EDC,利用⑴中的結(jié)論，試說明：乙BPD=3乙BED；

(3)如圖2,直接寫乙BED、乙PBE、"DE四個角之間的數(shù)量關(guān)系.

［知識拓展］(4)如圖3,若NBE/=145%zFFD=135°,8P、DP分另ij平分Z/18E、4CDF,那么匕BPD=

°；(只要直接填上正確結(jié)論即可)

(5)如圖4,若tBEF、(EFG、4FGD三個角的和是儲BP、DP分別平分/4BE、(CDG,那么4BPD=

.(用含n的式子表不)

【答案】⑴見解析；⑵見解析；⑶50；(4)1n-18D°

【分析】(1)過點E作EM||48,利用豬腳模型進行計算，即可解答;

(2)利用(1)的結(jié)論可得得：Z.BED=^ABE+^CDE,乙BPD=UBP+乙CDP,再利用角平分線的定義可得

Z.ABP=^Z-ABE,乙CDP=：“DE,然后進行計算即可解答；

(3)根據(jù)角平分線的定義可得="DP=、CDE,再利用(1)的結(jié)論，從血進行計算可得

乙PBE+乙PDE=^BED,再利用(2)的結(jié)論可得/BPD=^BED,然后進行計算即可解答；

(4)過點E作EM〃力8,過點F作打V||AB,從而可得力8||EM||FN||CD,然后利用平行線的性質(zhì)可得NMEF+

乙NFE=180°,從而可得4BEM+乙OFN=100。，再利用平行線的性質(zhì)可得乙4BE=乙BEM,乙CDF=乙DFN,

從而可得乙48E+/CD尸=100。，最后利用角平分線的定義可得乙ABP=亞48￡\乙CDP乙CDE,從而利

用⑴的結(jié)論可得4BPO=Z.ABP+乙CDP=^ABE+乙CDE),進行計算即可解答；

(5)過點E作EM||AB,過點尸作尸NIIAB,過點G作GH||AB,利用(4)的解題思路進行計算即可解答.

【詳解】解：(1)過點E作EM||AB.

Z.ABE=乙BEM,

vAB||CD,

ACDIIEM,

???乙CDE=乙DEM,

V乙BED=乙BEM卜乙DEM,

:.乙BED=Z.ABE+Z.CDE；

(2)由(1)得：乙BED=乙ABE+乙CDE,

乙BPD=乙ABP+乙CDP,

?：BP、DP分另ij平分乙EDC,

/.ABP=\z-ABE,乙CDP=〃CDE,

22

???28PD=乙ABP+乙CDP

=-2Z-ABE2+-Z.CDE

=^(Z.ABE+Z.CDE)

=4ED,

2

即/BP。="ED；

2

⑶乙BPD+4PBE+乙PDE=乙BED,

理由：?：BP、DP分別平分N力BE、乙EDC,

i1

/.EBP=-/-ABE,乙EDP=+乙CDE,

22

:.￡P(guān)BE+乙PDE=-2Z.ABE+-2Z-CDE

=^ABE+Z-CDE)

=4ED,

2

由(2)得：乙BPD=+乙BED,

：.￡BPD+乙PBE+乙PDE=J乙BED+:々BED=乙BED,

22

即48PD+乙PBE+乙PDE=乙BED；

(4)過點E作EM||AB,這點尸作用V||AB,

圖3

vABIICD,

-.AB||EM||FN||CD,

vEM||FN,

???Z.MEF+乙NFE=180°,

???/BEF=145%Z-EFD=135%

:.ABEM+乙DFN=cBEF+乙EFD-(zMEF+乙NFE)=100°,

'：ABIIEM,FNIICD,

Z.ABE=Z-BEM,乙CDF=LDFN,

Z.ABE4-Z.CDF=100°,

vBP.。。分別平分乙4BE、乙CDF,

Z.ABP=-Z-ABE,LCDP=-Z-CDE,

22

???iBPD=乙ABP+乙CDP

=^ABE+^CDE

年(NABE+NCDE)

=-x100°

2

=50°,

故答案為：50：

(5)過點￡作EM||AB,過點F作FN||AB,過點G作GH||AB,

'AB||CD,

?.AB||EM||FN||GH||CD,

：EM||FN,FN||GH,

??ZMEF+乙NFE=180°,zJVFG+Z.HGF=180°,

:乙BEF+Z-EFG+乙FGD=n,

??/BEM+乙DGH=乙BEF+乙EFG+乙FGD-QMEF+乙NFE+乙NFG+乙HGF)=n-360°,

??BP、勿分別平分44BE、乙CDG,

Z.ABP=-^.ABE,乙CDP=^z_CDG,

22

???/BPD=Z.ABP+Z.CDP

=沁叫皿

=^ABE+^CDG)

=^(n-3600)

=9—180。,

故答案為：1n-180°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

11.（2023下?浙江宇波?七年級校考期中）口知直線/WIICD,點E、F分別是直線AB、C。上的點.

（1）若點P在/8、CD之間,

①It證