七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》

專題與相交線有關(guān)的角度計(jì)算

題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度

題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度

【例題1】（2022秋?合川區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線A8,CDE”相交于點(diǎn)O,OG平分NBOC,ZDOF=90°.

（1）寫出NAOE的余角和補(bǔ)角；

（2）若NBOF=30。,求NAOE和NCOG的度數(shù).

CG

【變式1-1]（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線A8,C。相交于點(diǎn)O,。4平分/￡OC,若NEO。

=88°,求N8O。的度數(shù).

【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線A8與C。相交于點(diǎn)O,OE是N3OC的平分線，如

果N3OC：ZDOF：ZAOC=1：2：4.求N80E和尸的度數(shù).

【變式1-3】（2022秋?清水縣校級(jí)期末）如圖，直線48與儀）相交于點(diǎn)O,ZCOE=80°,

ZCOF：/A0C=2：3,射線OE平分N8OF,求NB。。的度數(shù).

cE

OB

D

【變式l-4］（2022春?華陰市期末）如圖，直線A/3與CO相交于點(diǎn)0,0E是NBOC的平分線，如果N4OC：

ZDOF：ZAOC=1：3：5.求NEOF的度數(shù).

【變式1-5】（2022秋?永興縣期末）如圖，直線A8和直線CZ）相交于點(diǎn)0,。8平分NE0D.

（1）若/EOC=UO。，求NBOD的度數(shù)；

（2）若/DOE：NEOC=2：3,求N4OC的度數(shù).

【變式1-6】（2022秋?夏邑縣期末）如圖，直線48、C。相交于點(diǎn)O,OE平分N80Q,OF平分匕COE,

ZAOD=2ZBOD.

【例題2】（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，直線A8與CO相交于點(diǎn)。，OErAB,OFLCD.

（I）圖中與NCOE互余的角是;（把符合條件的角都寫出來(lái)）

9

（2）如果求/EO尸的度數(shù).

【變式2-1】（2022春?惠州期末）如圖所示，.直線A8,C。相交于點(diǎn)O,射線OE、。尸在乙40。內(nèi),

且。。平分N8OE,OFA.CD,已知NAOC：ZAOD=1：5,求NEOF的度數(shù).

【變式2-2】（2022秋?綠園區(qū)期末）如圖：已知直線八8、CD相交于點(diǎn)O,EOLCD.

（I）若NAOC=34。,求N50E的度數(shù);

（2）若/BO。：NBOC=1：4,求NAOE的度數(shù).

A

【變式2-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，OB1O。，OC平分/AO。，ZBOC=40%求/4。8的

大小.

【變式2-4】（2022春?長(zhǎng)垣市期末）如圖，直線43與CD相交于點(diǎn)O,OE平分NAOD.

(1)如果如4。。=60。,求NDOE的度數(shù);

(2)如圖，作試說(shuō)明。川平分N30Q.

【變式2-5】(2022春?道外區(qū)期末)如圖，直線A3、CO相交于點(diǎn)O,OE平分NAOC.

(1)若/。。七=130。，求N80C的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。尸_LOE,請(qǐng)直接寫出和N8Ob互補(bǔ)的角.

【變式2-6】(2021秋?玄武區(qū)期末)如圖，直線A8、C。相交于點(diǎn)O,OE±CD,垂足為。，OA1平分

ZBOE,ZAOC=50°.

(1)求NOOM的度數(shù)；

(2)在NAOM的內(nèi)部畫射線OM使得NMON=45。，那么ON是NA。。的平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

M

E、//D

AB

O

【變式2-7】(2022春?蚌埠期末)已知，OM平分NAOC,ON平分NBOC

(1)如圖1,若。4_L0B,N80C=60。，求NMON的度數(shù)；

(2)如圖2,若NAOB=80。，NMON：NAOC=2：7,求NAON的度數(shù).

題型三通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩角的數(shù)量關(guān)系

【例題3】(2022春?渭城區(qū)期中)將下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整：

已知：如圖，直線A8,CO相交于點(diǎn)O,OE平分NAOF,NCOE=90。.試說(shuō)明：ZFOB=2ZAOC.

解：因?yàn)镺E平分NAOF,

所以NAOE=NEOF.()

因?yàn)镹COE=90。，

所以ZAOC+ZAOE=90°.

因?yàn)橹本€AB,CO相交于點(diǎn)。，

所以/￡OQ=1800-NCOE=90°,

所以NEOF+ZFOD=90°.

所以NAOC=().

因?yàn)橹本€4B,CQ相交于點(diǎn)O,

所以(),

所以NFOB=NFOD+NBOD=2NAOC.

D

A/OB

7C

【變式3-1】(2021秋?蓮都區(qū)期末)如圖，直線4E與C。相交于點(diǎn)B,BFLAE.

(I)若ND8E=60。,求/尸BO的度數(shù)；

(2)猜想NC8K與/08〃的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式3-2】如圖，直線AB與C。相交于0.。尸是N8OD的平分線，OE_LOF.

(i)若NB0E比NOO/大38。，求/。0/和NAOC的度數(shù)；

(2)試問NCOE與/BOE之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)/40石的余角是,NB0E的補(bǔ)角是

【變式3-3】直線AB、CO相交于點(diǎn)0,?！昶椒諲80D,OFLCD,垂足為O.

(1)若NEO尸=54。,求乙4。。的度數(shù)；

(2)①在NAOD的內(nèi)部作射線OG_LOE；

②試探索/AOG與NEO尸之間有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由.

c.

B

D

【變式3-4】(2022春?香坊區(qū)期末)如圖，直線A8、。。相交于點(diǎn)O,ZBOM=ZDON=90°.

(1)如圖1,若/COM=35。，求N80N的度數(shù)；

(2)如圖1,請(qǐng)直接寫出圖中所有互余的角；

(3)如圖2,若射線OE在NM0B的內(nèi)部，且［/MON-N8OE=45。，請(qǐng)比較/MOE與NDOE的大小并

說(shuō)明理由.

【變式3-5】已知：如圖，直線46,8相交于點(diǎn)。,￡0_1。。,垂足為0,。/平分/8。。,對(duì)/￡：。尸=2/80。

說(shuō)明理由.

oB

D

題型史通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩直線垂直

【例題4】(2022春?南昌期中)如圖，直線A3、CQ相交于點(diǎn)O,0。平分N8OE,0〃平分NAOE

(1)判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并證明；

(2)若N4OC=30。，求NEO廠的度數(shù).

【變式4-1】(2022秋?拱嬖區(qū)期末)如圖，直線人從C。相交于點(diǎn)O,OMLAB.

(I)若NI=N2,證明：ONLCD；

(2)若/1=^/8OC,求N8OD的度數(shù).

【變式4-2】（2022春?墨玉縣期末）如圖，直線A&C7）相交于點(diǎn)O./AOC=28。.OE平分NAO。,

平分

（1）求N3O尸的度數(shù)：

（2）判斷射線OE與O川之間的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由.

【變式4-3】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖，直線A8與。。相交于點(diǎn)0,OF、0。分別是NAOE、ZBOE

的平分線.

（1）若NOOE=28。，求NAO。的度數(shù)；

（2）請(qǐng)寫出射線。。與。尸之間有什么特殊的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

FE

\/D

A

B

C一

【變式4-4】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)0,乙4。。=20。，/DOF：/FOB=1：7,射線0E平分NBOF.

(1)求NE08的度數(shù)；

(2)射線OE與直線C。有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-5](2022春?沂水縣期中)直線A8,CD相交于點(diǎn)O.OE,OF,OG分別是NAOC,

ZBOD,N4OO的平分線.

(1)畫出這個(gè)圖形.

(2)射線O”在同一條直線上嗎？為什么？

(3)OE與OG有什么位置關(guān)系?說(shuō)明理由.

題型五與相交線有關(guān)的角度計(jì)算綜合題

【例題5】(2022秋?渠縣期末)若直線A8和直線E。相交于點(diǎn)。，。。為N8OE內(nèi)部的射線，OE平分

NAOC,。尸平分NBOC.

(1)若260/1—58。，求NAO尸和NEO尸的度數(shù)？

(2)若N4。。是任意角a(0。<01<9()。)，求/￡0/的度數(shù)？

(3)請(qǐng)猜想，/EOF度數(shù)會(huì)改變嗎？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不改變，則NEO”度數(shù)是多少？

[變式5-1](2022春?大足區(qū)期末)如圖，直線AB和CD交于點(diǎn)O,射線OE平分ZAOD,

NBOD=46°.

<1)求NCOE的度數(shù)；

(2)若射線于點(diǎn)O,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求NEOb的度數(shù).

B

【變式5-2】(2022春?潛山市月考)如圖，直線A8,CO相交于點(diǎn)O,OB平分NDOE,

(1)如圖1,若NCOE=110。，求N8OO的度數(shù)

(2)如圖2,若NBOE：ZCOE=\：3,求NAOC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，畫。F_CZ),請(qǐng)直接寫出NEOF的度數(shù).

圖1圖2備用圖

【變式5-3](2022春?顫麟?yún)^(qū)期末)直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OFLCD于點(diǎn)O,作射線OE,且OC

在/AOE的內(nèi)部.

(I)①當(dāng)?！辍F在如圖I所示位置時(shí)，若NBOD=20。,NBOE=13()。，求N￡O/的度數(shù):

②當(dāng)OE、OF在如圖2所示位置時(shí)，若O"平分NAOE,證明OC平分NAOE

(2)若NAOF=2NCOE,請(qǐng)直接寫出N8OE與NAOC之間的數(shù)量關(guān)系.

D

圖1圖2備用圖

【變式5-4】（2021秋?鄲州區(qū)期末）如圖，直線A8,CO相交于點(diǎn)O,OE平分N3OC.

【基礎(chǔ)嘗試】

（1）如圖1,若NAOC=40。，求NOOE的度數(shù)；

【畫圖探究】

（2）作射線。門.OC,設(shè)NAOC=x。，請(qǐng)你利用圖2畫出圖形，探究N4OC與NEO廠之間的關(guān)系，結(jié)果

用含x的代數(shù)式表示N上?！?

【拓展運(yùn)用】

（3）在第（2）題中，NEO尸可能和NQ0E互補(bǔ)嗎？請(qǐng)你作出判斷并說(shuō)明理由.

（備用圖）

【變式5-5】（2021秋?羅湖區(qū)期末）如圖①，直線A4與直線CO相交于點(diǎn)。，ZC0E=W,過(guò)點(diǎn)。作

射線OF.

（1）若射線。尸平分NAOC且N8。尸=130。，求N80E的度數(shù)；

（2）若將圖①中的直線CO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②，/COE=90。，當(dāng)射線OE平分/B。尸時(shí)，射線

OC是否平分NAOF,請(qǐng)說(shuō)明理曰；

⑶若NBOE=20。，/8OF=130。，將圖①中的直線C。繞點(diǎn)O按每秒5。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（0。<（1

<180°）,NCOE始終保持為90。，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為，秒，當(dāng)/AOC+NEO/=90。時(shí)，求/的值.

【變式5-6】如圖，直線CO與相交于點(diǎn)O,ZCOE=60%將一直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與。重

合，04平分NCOE.

(1)求/80。的度數(shù)；

(2)將三角尺AOB以每秒3。的速度繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線EF也以每秒9。的速度繞點(diǎn)0順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(0勺*0).

①當(dāng)/為何值時(shí)，直線石廠平分乙40米

②若直線石尸平分NBO。，直接寫出/的值.

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》

專題與相交線有關(guān)的角度計(jì)算

題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度

題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度

【例題1］（2022秋?合川區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線48,CD,E/相交于點(diǎn)。，OG平分N80C,

NQO尸=90°.

（I）寫出NA。石的余角和補(bǔ)角；

（2）若NBOF=30。,求NAOE和NCOG的度數(shù).

【分析】（1）如果兩個(gè)用的和等于90。（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角以為余角.如果兩個(gè)角的

和等于180。（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，由此即可判斷；

（2）由對(duì)頂角的性質(zhì)可得NAOE的度數(shù)，由角平分線的定義可求NCOG.

【解答】解：（1）NAOE的余角是NAOC,NBOD；補(bǔ)角是乙4。凡NEOB；

（2）NAOE=NBO尸=30。；

???ZDOF=9Q°,

???NCO尸=90。，

???NBOC=ZBOF+ZCOF,

.??/80C=900+30°=120°,

,rOG平分N8OC,

AZCOG=IZBOC=60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的甘算，余角，補(bǔ)角的概念，關(guān)鍵是掌握余角，補(bǔ)角的定義，角平分

線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì).

【變式1-1】（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB,CO相交于點(diǎn)O,OA平分NEOC,

若/￡。。=88。，求N5OO的度數(shù).

【分析】根據(jù)NEOQ=88。，求出NEOC,根據(jù)角平分線定義得到NAOC=aNEOC=*x82。

=41°,然后根據(jù)對(duì)頂角相等即可得解.

【解答】解：???/石。加=88。，

AZE（?C=180°-88°=92°,

〈OA平分N￡OC,NEOC=92。,

：.NAOC=|ZEOC=1X92°=46°,

：,ZBOD=ZAOC=46Q.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記對(duì)頂角相等.

【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線與CD相交于點(diǎn)O,OE是NBOC

的平分線，如果NBOC：NDOF：ZAOC=1：2：4.求/8OE和NOO/的度數(shù).

【分析】設(shè)NBOC=x。,則ND。尸=2x。,NAOC=4x。，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì),求出x的值，再

根據(jù)角平分線，計(jì)算出/COE的度數(shù)，計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)N30C=x。，則NOO〃=2J。，ZAOC=4x°,由題意得：

.r+4x=180,

解得：X=36,

???N8OC=36°,NOO尸=72°,ZAOC=144°,

???0E是N30c的平分線，

???ZBOE=ZC0E=1Z5OC=1x36°=18°.

乙乙

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了補(bǔ)角、垂直、以及角的計(jì)算，關(guān)鍵是理清圖中角之間的和差關(guān)系.

【變式1-3】(2022秋?清水縣校級(jí)期末)如圖，直線A8與CO相交于點(diǎn)O,NC0E=

8()。，NCOF：ZAOC=2：3,射線OE平分N8OF,求NBOD的度數(shù).

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及對(duì)頂角、平角的定義，列方程求解即可.

【解答】解：???射線OE平分/8。尺

ZBOE=ZFOE=^ZBOF,

由于NCOF：ZAOC=2：3,可設(shè)NCOF=2a,則/A0C=3a,

又???NCaE=80。,

???ZBOE=ZFOE=|zTOF=80°-2a,

???ZAOF+ZBOF=\SO0,

A5a+2(80°-2a)=180°,

解得a=20。，

JZBOD=NAOC=3a=60。，

答：N3。。的度數(shù)為60。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，鄰補(bǔ)角以及對(duì)頂角，理解對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角以及角平分線

的定義是正確解答的前提.

【變式1-4】（2022春?華陰市期末）如圖，直線4B與C。相交于點(diǎn)O,。七是N80C的

平分線，如果N8OC：NDOF：ZAOC=1：3：5.求NEO/7的度數(shù).

【分析】根據(jù)角的比例關(guān)系以及鄰補(bǔ)角的定義可求出N8OC,ZAOC,再根據(jù)角平分線的

定義求出N80E,ZCOE,求出NDO尸即可求出答案.

【解答】解:?:ZBOC：ZAOC=1：5.N50C+N40C=180。,

I5

/.ZBOC=180°x&=30。，ZAOC==180°x備=150°,

JLi-OJL?O

YOE是NBOC的平分線，

NBOE=ZCOE=^ZBOC=15。，

VZBOC：ZDOF=\z3,ZBOC=3（）Q,

???N。。尸=90。，

???NEO尸=90。-150=75。，

答：NEO廠的度數(shù)為75。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角以及角平分線，理解角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角、對(duì)頂

角的性質(zhì)是正確解答的前提.

【變式1-5］（2022秋?永興縣期末）如圖，直線45和直線。。相交于點(diǎn)0,08平分/七0。.

（1）若/EOC=110。,求NB。。的度數(shù)；

（2）若/DOE：ZEOC=2：3,求NAOC的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)平角的定義以及角平分線的意義進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出NQOE,再根據(jù)角平分線的定義求出N8O。的大小，再由對(duì)

頂角相等得出答案.

【解答】解：(1);直線48和直線。。相交于點(diǎn)O,ZEOC=\\()°t

JZD(7E=1800-NEOC=70。,

又YOB平分NEO。.

ZBOD=NBOE=iZDOE=35°；

乙

(2)VZDOE：ZEOC=2：3,ZDOE+ZEOC=\SO\

23

JZDOE=180°x==72°,ZEOC=180°x卷=108°,

KJO

又，：OB平分4E0D.

：.NBOD=NBOE=aNDOE=36。，

N4OC=N8OD=36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及角平分線，理解對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義是正確計(jì)算

的前提.

【變式1?6】(2022秋?夏邑縣期末)如圖，直線AH、CO相交于點(diǎn)O,OE平分/BOD,

。/平分NCOE,/AOD=2/BOD.

(1)求NOOE的度數(shù)；

(2)求N/3O”的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)侑的和等于180。求出N8O。的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義解

答；

(2)先求出NCOE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出NEOF,然后根據(jù)角的和差關(guān)系

即可得解.

【解答】解：(1)VZAOD=2ZHOD.ZAOD+ZBOD=,

/.ZB(9D=1xl80o=60°,

OE平分NBOD,

：.ND0E=ZBOE=^ZBOD=1x60°=30°；

(2)ZCOE=ZCOD-ZDOE=\SO0-30。=150°,

*.?"平分NCOS,

.../EOF=^ZCOE=5x15()Q=75°,

???ABOF=ZEOF+ZBOE=75°-30°=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，比較簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記性

質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵.

【變式1-7](2022秋?江夏區(qū)校級(jí)期末)如圖，直線相交于點(diǎn)O,OA平分NEOC.

(I)若NBO7)=38。，求NEO。的度數(shù)；

C

【分析】(1)根據(jù)對(duì)頂角相等求出N4OC,再根據(jù)角平分線的定義計(jì)算即可；

(2)根據(jù)題意求出NEOC=80。，再根據(jù)角平分線的定義、對(duì)頂角相等計(jì)算即可.

【解答】解：(1)VZBOD=38°,

???NAOC=NBOO=38。，

???。4平分NEOC,

???ZAOE=NAOC=38。，

:.ZEOD=180°-38°x2=104°；

4

(2)VZEOC+Z￡OD=180°,/EOC屋NEOD,

AZ￡OC=80°,

???Q4平分NEOC,

???ZAOC=|ZEOC=40\

???/8OD=/AOC=40。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，掌握對(duì)頂角相等是解題的關(guān)鍵.

【變式1-8】(2022秋?榮昌區(qū)期末)如圖，直線48與CO相交于點(diǎn)O,OC平分N40M,

且N4OM=90。，射線ON在NBOM內(nèi)部.

(1)求N4OQ的度數(shù)；

(2)若NBOC=5NNOB,求NMON的度數(shù).

C

A

M

TV

D

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出NAOC=45。，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可；

（2）由N8OC=5NNOB可求解NNOB=27。,結(jié)合/8OM=90。，利用角的和差可求解

NMON的度數(shù).

【解答】解1（1）VZA1OM=90a,OC平分NAOM,

???ZAOC=今NAOM=jx90°=45°,

ZAOC+ZAOD=180°,

/.ZAOD=1800-ZAOC=180°-45°=135。，

即NAOQ的度數(shù)為135。；

（2）VZBOC=ZAOD=\35°,NBOC=5NNOB,

???NNOB=27。，

NAOM=90。，

NBOM=90°,

???NMON=ZBOM-NNO8=90。-27°=63°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，此類題H熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是

解題的關(guān)鍵.

題型二利用垂線的性質(zhì)求角度

【例題2］（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，直線與CD相交于點(diǎn)O,OELAB,OF1CD.

（1）圖中與NCOE勺.余的角是;（把符合條件的角都寫出來(lái)）

7

（2）如果4OC=*EOF,求NEO/的度數(shù).

E

【分析】（I）若兩角之和為90。，則稱這兩個(gè)角“互為余角”，簡(jiǎn)稱“互余”.據(jù)此進(jìn)行求解：

（2）根據(jù)乙4。。+/片0F=180。進(jìn)行求解.

【解答】解：（1）VZAOC+ZCOE=9Q0,NAOC=/BOD,

???與ZCOE互余的角是ZAOC和ZBOD.

故答案為：NAOC和NBO。；

2

（2）VZEOF+ZAOC=ZAOE+ZAOF+ZAOC=ZAOE+ZCOF=180°,ZAOC="EOF,

2

，乙EOF+$^EOF=180。，

.,.ZEOF=I40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直的定義和余角的知識(shí)，注意結(jié)合圖形進(jìn)行求解.

【變式2-1】（2022春?惠州期末）如圖所示，直線4B,CO相交于點(diǎn)O,射線OF

在NA。。內(nèi)，且OD平分N4OE,OF1.CD,已知N40C：ZAOD=1：5,求/EOF

的度數(shù).

【分析】由N/1OC：ZAOD=I：5結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對(duì)頂角相等，可求出N8OO的度數(shù)，

根據(jù)0。平分N8OE,可求出NE。。，根據(jù)垂直的定義求出NOOF=90。，則NEO/可求.

【解答】解：VZAOC：ZAOD=1：5,ZAOC=ZBOD,

AZBOD：ZAOD=I：5.

*/NAOD+NBOD=180。，

：,ZBOD=30°,

平分N8OE,

???NBOO=N石。0=30。，

^OFLCD,

???ZDOF=90°,

???NEOF=60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，熟記概念并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂

角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角

而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩宜.線相交的前提下形成的.

【變式2-2】(2022秋?綠園區(qū)期末)如圖：已知直線A3、CO相交于點(diǎn)。，EOLCD.

(1)若N4OC=34。，求N80E的度數(shù)；

(2)若NBOD：NBOC=1：4,求NAOE的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)垂直定義可得NEOC=90。，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)根據(jù)平角定義和已知易得/80。=36。，從而利用對(duì)頂角相等可得NAOC=NBOO=

36。，然后再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)'：EO±CD,

???NEOC=90。,

VZAOC=34°,

???N4OE=180。-ZAOC-NCOE=56。,

???NBOE的度數(shù)為56。；

(2)VZBOD：NBOC=1：4,ZBOD+ZBOC=180\

???NBOO=180°x占=36。，

1+4

???ZAOC=ZBOD=36°.

ZCOE=90°,

ZAOE=N40C+NC0E=126。，

:.NAOE的度數(shù)為126°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)題目的己知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是

解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末)如圖,OBLOD,。。平分NAOD,NBOC=40。，

求NAOB的大小.

【分析】根據(jù)垂直的定義及角的和差關(guān)系求出NCOQ=55。，再根據(jù)角平分線的定義求出

ZAOB即可.

【解答】解：?.?0乩LOD

???/80。=90。，

又???NBOC=40。,

.?.ZCOD=90°-40°=50°,

???0C平分NAO。，

???乙4。。=2/。。。=100。，

JZAOB=ZAOD-/BOD

=100°-90°

=10°,

即NAO8=10°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義，垂線，理解互相垂直、角平分線的定義是正確解答的

前提.

【變式2-4】(2022春?長(zhǎng)垣市期末)如圖，直線A/3與C。相交于點(diǎn)O,OE平分NAOO.

(I)如果NAOC=60。,求ND0E的度數(shù);

(2)如圖，作試說(shuō)明。/平分NBOD.

C

【分析】(1)根據(jù)平角的定義，角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)根據(jù)垂直的定義，平角以及角平分線的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)???NAOC+NAOO=180。，NAOC=60。，

???ZAOD=180o-60°=120°,

???OE平分NA。。，

/.ZDOE=ZAOE=忘/40。=60。，

答：NOOE的度數(shù)為60:

(2)VOFLOE,

：.ZEOF=90°,即/OOE+N。。r=90°,

???ZAOE+ZEOF+ZFOB=180°,

...ZAOE+ZFOB=\SO0-90°=90°,

又TOE平分NAO。，

AZDOE=ZAOE,

：?4D0F=4B0F,

即OF平分NB。。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，角平分線，理解末頂角、鄰補(bǔ)角以及角平分線的定義

是正確解答的前提.

【變式2-5](2022春?道外區(qū)期末)如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分2AOC.

(I)若NOOE=130。，求/BOC的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作Of\LOE,請(qǐng)直接寫出和N8O廣互補(bǔ)的角.

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義先求出NEOC,然后求出求出NAOC,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定

義求出N30C即可；

(2)因?yàn)镺F1OE,所以/FOC+ZEOC=90°,則ZBOF+ZAOF=90°，而NA0產(chǎn)=NEOC,

所以N8。尸=//。。，根據(jù)補(bǔ)角的定義寫出N8。尸的補(bǔ)角即可.

【解答】解：(1)VZDOE=130°,

???NEOC=5()。,

,?，OE平分NAOC,

:./AOC=2NEOC=2x50°=100°,

/.ZBOC=180°-100°=80°；

(2)VOFLOE,

???//OC+NEOC=90。，

JZBOF+ZAOF=9()0,

???NAOF=NEOC,

：.ZBOF=ZFOC,

與ZBOF互補(bǔ)的角是ZAOF和ZDOF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義，對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，理解鄰補(bǔ)角、補(bǔ)角余角以及角平分

線的定義是正確解答的前提.

【變式2-6]（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，直線A從相交于點(diǎn)O,OELCD,垂足

為O,OM平分N8OE,ZAOC=50°.

（I）求NOOM的度數(shù)；

（2）在NAOM的內(nèi)部施射線OM使得NMON=45。，那么ON是N4O。的平分線嗎？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)/人。。與/80。是對(duì)頂角，ZBOE=ZBOD+ZDOE,OM平分NBOE,

解答即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義求出N4。。的度數(shù)即可.

【解答】解：（1）???/4OC與N8O。是對(duì)頂角，

/.ZBOD=ZAOC=50°.

,?OELCD,

???NOOE=90。，

???ZBOE=ZBOD+ZDOE=900+50°=140°,

平分NBOE,

OM平分NBOE,

.*.ZBaW=|xl40o=70\

???ZDOM=/BOM-ZBOD=10°-50°=20°：

（2）ON平分N4OO,

???NQOM=20°,NMON=45°,

???ZDON=NQOM+NMON=450+20°=65°,

NAaCfO。，

:.NAOO=180。-NAOC=180°-50°=130。，

JZDON=^ZAOD,

：,ON平分NAOO.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握對(duì)頂角相等、

鄰補(bǔ)角之和等于180。是解題的關(guān)鍵.

【變式2?7】（2022春?蚌埠期末）已知，OM平分NAOC,ON平分/BOC.

(1)如圖1,若OALOB,ZBOC=60°,求NMON的度數(shù)；

(2)如圖2,若N4O6=80。，/MON：ZAOC=2：7,求NAON的度數(shù).

【分析】⑴根據(jù)角平分線的意義，得到NCCW=2/AOC,/CON二/BOC,再根據(jù)

角度的和或差求出答案；

(2)先求出NMOM再根據(jù)NMON：ZAOC=2：7,求出N4OC,再根據(jù)角平分線的意

義得出N4OM,進(jìn)而求出答案.

【解答】解：(1)???OA_LO8,

???NAO6=90。，

???ZAOC=NAOB+NBOC,NBOC=60。,

:.NAOC=900+60°=150。，

YOM平分NAOC,

/.ZCOM=1Z4OC=75°,

???ON平分乙BOC,

???NCON=^NBOC=ix60°=30°,

NMON=/COM-NCON=75。-30°=45°；

(2)VZCOM=^ZAOC,ZCON=^ZBOC,

???/MON=I(ZAOC-ZBOO=|zAOB=40°,

4M0N：ZAOC=2：7,

:.NAOS140。，

TOM平分NAOC,

???ZAOM=|ZAOC=70°,

:.ZAON=ZAOM+ZMON=70°+40°=110°

【點(diǎn)評(píng)】考查角平分線的意義，理清圖形中各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

題型三通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩角的數(shù)量關(guān)系

【例題3】（2022春?滑城區(qū)期中）將下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整：

己知：如圖，直線A從CO相交于點(diǎn)O,平分NAOF,ZCOE=90°.試說(shuō)明：/FOB

=2N4OC.

解：因?yàn)镺E平分NAOF,

所以NAOE=NEOF.()

因?yàn)镹COE=90。，

所以ZAOC+ZAOE=90°.

因?yàn)橹本€AB,C。相交于點(diǎn)O,

所以/EOO=180°?ZCOE=90°,

所以ZEOF+ZFOD=W.

所以NAOC=().

因?yàn)橹本€AB,CO相交于點(diǎn)O,

所以(),

所以/尸OB=NQOQ+NBOO=2N4OC.

【分析】根據(jù)角平分線的定義、對(duì)頂角相等、角平分線的定義解答即可.

【解答】解：因?yàn)镺E平分N4OR

所以4OE=NEOF.（角平分線的定義）

因?yàn)镹COE=90。，

所以ZAOC+ZAOE=90\

因?yàn)橹本€AB,CO相交于點(diǎn)O,

所以NEOO=180。-NCOE=90。，

所以NEOF+ZFOD=90。.

所以N4OC=NPO。（等角的余角相等）.

因?yàn)橹本€AB,C。相交于點(diǎn)O,

所以NAOC=N8。。（對(duì)頂角相等），

所以/廣OB=ZFOD+ZBOD=2ZAOC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，掌握對(duì)頂角相等、角平分線的

定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1】（2021秋?蓮都區(qū)期末）如圖，直線4石與CD相交于點(diǎn)8,BFA.AE.

（I）若NDBE=60°,求//的度數(shù)；

（2）猜想NC8E與/。B/的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

F

E

【分析】(1)由8FJ_AE得/石"=90。，即可計(jì)算；

(2)由NC8E=N4BO,NA8尸=90。，即可解決問題.

【解答】⑴解：???8凡LAE,

:?/EBF=NAB尸=90。,

,?NFBD=/EBF-NDBE,

.??NF8D=900?60°=30°；

(2)ZCBE-NDBF=90°.

證明：VZABD-ZFBD=^ABFf

AAABD-ZFBD=90°,

NCBE=NABD,

:?NCBE-NOB/=90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角度的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握垂直的定義，對(duì)頂角相等.

【變式3-2】如圖，直線A8與CO相交于O.。/是/3OO的平分線，。從LOF.

(1)若N30E比NOOF大38。，求/。0〃和NAOC的度數(shù)；

(2)試問NCOE與NBOE之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)N80E的余角是,N80E的補(bǔ)角是,

【分析】(1)設(shè)NBOF=a,根據(jù)角平分線的定義得出ZDOF=/BOF=a,得出方程38°+a+a

=90。，求出方程的解即可：

(2)求出NCOE=180。-ZDOE=9(Y)-ADOF,根據(jù)垂直求出N/3OE=90。-NBOF,即

可得出答案；

(3)根據(jù)余角和補(bǔ)角定義求出即可.

【解答】解：(1)設(shè)NBOF=a,

???。戶是N8OO的平分線，

：,4D0F=4B0F=a,

VZBOE比NOO/大38。，

ZBOE=38°+ZDOF=380+a,

,/OELOF,

???NEO/=90°,

???38°+a+a=90°,

解得：a=26。，

NDO產(chǎn)=26。，ZAOC=NBOD=ZDOF+ZBOF=26°+26°=52°：

(2)ZCOE=ZBOE,

理由是：V^COE=1800-ZDOE=180°-(90°+ZDOF)=90°-ZDOF,

???。/是N8O。的平分線，

???ZDOF=/BOF,

???NCOE=90。-4B0F,

VOEA.OF,

???NEOF=90。,

JNBOE=90。-NBOF,

:?/COE=/BOE；

(3)NBOF的余角是/BO/和NOOF,NBOE的補(bǔ)角是/4OE和NO。，

故答案為：ZBOF^IZDOF,NAOE和/。?！?/p>

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角、補(bǔ)角，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，能正確運(yùn)用

知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-3】直線A3、CD相交于點(diǎn)O,OE平分/BOD,OFLCD,垂足為O.

(1)若NEO尸=54。,求NAOC的度數(shù)；

(2)①在NAOO的內(nèi)部作射線OG1.OE：

②試探索NAOG與NEO尸之間有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由.

【分析】(1)依據(jù)ZWA-54",可得/。。上=9。廠54。=36。，再根據(jù)0上半

分N8OD,即可得出NBOQ=2NOOE=72。，依據(jù)對(duì)頂角相等得到NAOC=72。：

(2)依據(jù)OE平分NBOD,可得N30E=NQ0￡,再根據(jù)?？贚CO,OG±OE.即可得到

ZEOF+ZDOE=9()°,NAOG+N8OE=90。，依據(jù)等角的余角相等，可得NEOb=NAOG.

【解答】解：(1)yOF±CD,ZEOF=54°,

：.ZDOE=90°-54°=36°,

又VOE平分NBOD,

：.ZBOD=2ZDOE=12°,

???NAOC=72。；

(2)①如圖所示:

②NAOG=NEOF；

理由：???。七平分/8。。，

：./BOE=/DOE,

VOFLCD,OG±OE,

：?NEOF+NDOE=90。,NAOG+/BOE=90。，

:?/EOF=ZAOG.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂線，角平分線的定義以及余角的綜合運(yùn)用，當(dāng)兩條直線相交所

成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條

直線的垂線，解決問題的關(guān)鍵是掌握：等角的余角相等.

【變式3-4】（2022春?香坊區(qū)期末）如圖，直線AB、C。相交于點(diǎn)。，/BOM=/DON

=90°.

（1）如圖1,若/COM=35。，求N80N的度數(shù)；

（2）如圖1,請(qǐng)直接寫出圖中所有互余的角；

（3）如圖2,若射線OE在NMO8的內(nèi)部，且N8OE=45。，請(qǐng)比較NMOF與

/OOE的大小并說(shuō)明理由.

圖1圖2

【分析】（I）先求出NAOC,根據(jù)對(duì)頂角相等求出N4OD,已知//）ON=90。，可求得NBON

的度數(shù)；

(2)根據(jù)互余的定義判斷即可，互余的兩個(gè)角和為90度；

(3)可設(shè)NMOC=x,則NAOC=NBOO=90°-x,根據(jù)已知可得NBOE二分，

進(jìn)而得出/MOE和N。。七的大小.

【解答】解:(1)???BOM=90°,

:.NAOM=90。，

VZC(7M=35%

???ZAOC=55°,

：,ZBOD=55°f

VNDON=9。。,

???4B0N=ZBOD+ZDON=55°+90°=145°；

(2)???NAOC+NCOM=90°,

???NAOC與/COM互余，

V/AOC+NAON=90。，

???/AOC與/AON互余，

???Z13OD=ZAOC,

???N8O/)與/COM互余，NBOD與/AON互余;

(3)ZMOE=ZDOE,

VZBOM=ZDON=90C,

：.ZMOC=/AON,

設(shè)NMOC=x,則NAON=x,NAOC=NBOO=90。-工，

1

■:一/MON-/8OE=45°,

2

1、

A-(90°+x)-NBOE=45°,

2

???ZBOE=%,

???NMOE=90°一1r,

1i

ZDOE=NBOE+NBOE=90°-x+/=90。一軸

ANMOE=ADOE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)概念會(huì)判斷并靈活運(yùn)用，鄰補(bǔ)角、

對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩

個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形成的.

【變式3-5】已知：如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,EOLCD,垂足為O,OF平分4BOD,

（分析］根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得到/從OC=/BOD,由角平分線的定義得到』NBOD,

1

等量代換得至IJN8O/=*NAOC,由垂直的定義得到/COE=90。，等量代換得到/8。七=

NBOC-90。，于是得到結(jié)論.

【解答】解：???/A0C=N8。。（對(duì)頂角相等），

NBOF=g/BOD（平分線的定義），

ZBOF=（等量代換）

???NAOC=l80。-/BOC（平角的定義），

.*.ZBOF=90°-1ZBOC.

*：EOLCD（已知），

???NCOE=90。（垂直的定義）

VZBOE+ZCOE=ZBOC（兩角和的定義），

：,/BOE=/BOC-ACOE.

：.NBOE=ZBOC-9（）。（等量代換）

?；/EOF=NBOE+NBOF（兩角和的定義）

AZEOF=（N8OC-90。）+（90°-1zBOC）（等量代換）

1

:.ZEOF=掾NBOC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線以及角平分線的定義；弄清各個(gè)角之間的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

題型四通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩直線垂直

【例題4】（2022春?南昌期中）如圖，直線A8、CO相交于點(diǎn)O,OD平分NBOE,OF

平分NAOE.

（1）判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并證明;

(2)若N4OC=30。，求NEO/的度數(shù).

【分析】⑴根據(jù)角平分線的定義得到/￡。/=劣乙4。/,/EOD=〃BOE,根據(jù)鄰補(bǔ)角

的概念計(jì)算，證明結(jié)論；

(2)根據(jù)對(duì)頂角相等、余角的概念計(jì)算即可.

【解答】解：(1)O〃_LOO,

理由如下：：。。平分N8OE,。/平分NAOE,

/.ZEOF=^ZAOE,NEOD;NBOE,

,/NAOE+N“OE=180°,

工/EO尸+NEOO=90。，

???"_L。。；

(2)VZAOC=30°,

???NBOO=N4OC=30°，

???NEOO=N8OO=30。，

???ZEOF=90°-ZEOD=600.

【點(diǎn)評(píng)】本題考盒的是對(duì)頂角、角平分線的定義、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握角平分線的定義是

解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】(2022秋?拱墅區(qū)期末)如圖，直線A&CO相交于點(diǎn)O,OMLAB.

(I)若Nl=/2,證明：ONLCD；

(2)若/I=/BOC,求N80D的度數(shù).

【分析】(1)利用垂直的定義得出N2+NAOC=90。，進(jìn)而得出答案；

(2)根據(jù)題意得出N1的度數(shù)，即可得出N8O。的度數(shù).

【解答】證明：(1)V0A/1AB,

ZAOM=N8OM=9()c,

???N1+NAOC=90。，

VZ1=Z2,

???N2+NAOC=9()。,

即NCON=90。，

???ON_LC。；

1

（2）VZI=4ZBOC,

???N8OM=2Nl=90。，

解得：Zl=45°,

NBOD=90°-45°=45°

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂直的定義以及鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等知識(shí)，正確把握垂直的定義是

解題關(guān)鍵.

【變式4-2】（2022春?墨玉縣期末）如圖，直線八七C。相交于點(diǎn)0.40C=28。.0E

平分NAOO,OF平分/B0D.

（1）求N8O/的度數(shù)：

（2）判斷射線OE與0廣之間的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂侑相等和角平分線即可求出答案；

（2）求出求出NE0F的度數(shù)，根據(jù)垂直定義求出即可.

【解答】解：（1）ZBOD=ZAOC,NAOC=28。，

???/8。。=28。，

??,OF平分NBOD,

/.4B0F=建BOD=jX28°=14°；

（2）垂直，埋由如下：

???NAOC=28。，

:.ZAOD=1800-N40C=180°-28°=152。，

???0E平分NA0D,平分NB0。，

JZEOD=^ZAOD=|xl52o=76°,

ND0F=3NB0D=\x28°=14°,

ZEOF—ZEOD±ZDOF-760+14°—90°,

???OELOF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角的定義，熟記對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖，直線A3與。相交于點(diǎn)0,0足0。分別

是NAOE、N40E的平分線.

(I)若NDOE=28。,求NA0D的度數(shù);

（2）請(qǐng)寫111射線。。與。尸之間有什么特殊的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義、平角的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）???。0分別是NBOE的平分線.

???NBOD=ZDOE=*8OE=28。，

ZAOD=180°-ZBOD=180°-28°=152°；

（2）OD±OFf理由如下:

VOF.0/）分別是NAOE、NBOE的平分線.

???ZAOF=/EOF=/NAOE,ZBOD=/DOE=去NBOE,

JZDOF=ZEOF+ZDOE

=4（NAOE+NBOE）

=1xl80°

=90°,

即ODVOF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，掌握角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角是正確解

答的前提.

【變式4-4】如圖，直線A3與CO相交于點(diǎn)O,NAOQ=20。，/DOF：NFOB=1：7,

射線OE平分N8O凡

（1）求NEOB的度數(shù)；

（2）射線OE與直線CO有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)乙4。。=20。和NQOF：Z