專題4.3角

考點(diǎn)1：鐘面上的角度計(jì)弓

考點(diǎn)2:方位角及垂耳

考點(diǎn)3：角的運(yùn)

考點(diǎn)4:與三角板最懦蠡若

考點(diǎn)5:與角平分線有關(guān)的證明與惠\

考點(diǎn)6:與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的證明與計(jì)算

◎目標(biāo)導(dǎo)航

1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫

做這個(gè)角的邊。或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。

2.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl，Z2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如Na，Zp,Zy,NO等。

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如NB,NC等。

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如/BAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

3.用一副三角板,可以畫出15°,30°,45°,60°,75°,90。，105。，120°,135。，150。，165。

4.角的度量

角的度量有如卜規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“?！北聿?，1度記作力?！?

n度記作“n。”。

把1。的角60等分,每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。

把I'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。

10=60',1'=60”

5.角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

（2）角的大小可以度顯，可以比較

（3）角可以參與運(yùn)算。

6.角的平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

7.余角和補(bǔ)角

①如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。用數(shù)

學(xué)語(yǔ)言表示為如果Na+Np=90。，那么/a與互余；反過(guò)來(lái)，如果Na與/p互余，那么Na+Np=90。

②如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。用數(shù)

學(xué)語(yǔ)言表示為如果/a+Np=180。，那么Na與/p互補(bǔ)；反過(guò)來(lái)如果Na與/口互補(bǔ)，那么Na+/p=180。

③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。

趣’考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1:鐘面上的角度計(jì)算

典例：16.（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）鐘表上的時(shí)針、分針和秒針都在繞鐘表中心做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

⑴鐘表從2點(diǎn)現(xiàn)在，經(jīng)過(guò)20分鐘后，分針和時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)了多少度？

⑵當(dāng)時(shí)間到3：20時(shí)，鐘表上時(shí)針和分針的夾角是多少度？

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考杳了鐘面角，熟練掌握分針與時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2021?河南開封?七年級(jí)期中）已知在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成一直角，則這時(shí)可能是（）

A.3：30B.6：15C.9：00D.12：45

【點(diǎn)睛】此題主要考查了鐘面角，解題關(guān)鍵是找出時(shí)鐘的時(shí)針與分針相差的大格數(shù).

2.（2022?黑龍江?大慶市慶新中學(xué)期末）時(shí)鐘7：30的分針與時(shí)針夾角度數(shù)是（）

A.55度B.45度C.35度D.60度

3.（2022?浙江麗水?七年級(jí)期末）如圖2是從圖1的時(shí)鐘抽象出來(lái)的圖形，已知三角形A8C是等邊三角形，

4=60。，當(dāng)時(shí)針OP正對(duì)點(diǎn)A時(shí)恰好是12：00,若時(shí)針。尸與三角形A8C一邊平行時(shí),時(shí)針?biāo)傅臅r(shí)間

不可能是（）

A

4.（2022.全國(guó).七年級(jí)專題練習(xí)）小明晚上放學(xué)到家時(shí)，鐘表的時(shí)間顯示為6點(diǎn)15分（如圖），此時(shí)時(shí)鐘的

分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是（）

A.90°B.92.5°C.97.5°D.102.5°

5.（2022?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)期末）鐘面上的時(shí)間為8點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為（）

A.90°B.45°C.50°D.75°

6.（2021?黑龍江?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）時(shí)間為7點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針形成的小于180。的

角為°

7.（2021?貴州畢節(jié)?七年級(jí)階段練習(xí)）（12小時(shí)的時(shí)鐘）時(shí)鐘是7點(diǎn)20分，這一時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針的夾

角（小于平角）是

8.（2022?山東?萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校期中）萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校上午第二節(jié)課的下課時(shí)間是9：40,此時(shí)時(shí)針與分針的夾

角是°.

9.12022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，從8點(diǎn)到8點(diǎn)40分，時(shí)針轉(zhuǎn)了

度，分針轉(zhuǎn)了度，8點(diǎn)40分時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘嵌?

10.（2022?河南?鄭州二七優(yōu)智實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）央視“新聞聯(lián)播”節(jié)目的結(jié)束時(shí)間一般是19：30,這一

時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針的夾角是度.

11.（2022?山東荷澤?七年級(jí)期中）北京時(shí)間2021年12月9日15點(diǎn)40分,“天宮課堂”第一課正式開講.在

時(shí)刻為15：40時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為.

12.（2022?山東臨沂?七年級(jí)期末）某同學(xué)走進(jìn)教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30,他想知道再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間分針

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）為基準(zhǔn)線，其夾角的度數(shù)即為某條射線的方位角.

鞏固練習(xí)

1.（2022?山東煙臺(tái)?期末）如圖，某海域中有A,8兩個(gè)小島,其中8在A的北偏東40。方向，那么小島A

相對(duì)了小島5的方向是（）

北偏東50°C.南偏西40°D.北偏西S0。

2.（2022?河北衡水?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，貨船A與港口3相距35海里，我們用有序數(shù)對(duì)（南偏西40。，35

海里）來(lái)描述貨船3相對(duì)港口A的位置，那么港口A相對(duì)貨船8的位置可描述為（）

A.（南偏西50。，35海里）B.（北偏西40。，35海里）

C.（北偏東50。，35海里）D.（北偏東40。,35海里）

3.（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，04是表示北偏東X。的一條射線，08是表示北偏西（如一丹。的一

條射線，若=則0C表示的方向是（)

B.北偏東（90+“，）。

C.北偏東（90+2.1-），）。D.北偏東（90一匯一y）。

4.（2022?陜西?西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，OB是北偏西50。方向的一條射線，若財(cái)OB=90。,

則射線。4的方向是（）

北

南

A.西偏北50。B.東偏北40。C.北偏東40。D.北偏西40。

5.（2022?黑龍江綏化?期末）小麗家在小華家的南偏西30。的方向上，那么小華家在小麗家的什么方向上？

（）

A.南偏西60°B.北偏東60°C.北偏東30°D.南偏西30°

6.（2022?黑龍江?哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校階段練習(xí)）如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

南

A.射線。4的方向是北偏東40°B.射線的方向是北偏西15。

C.射線OC的方向是南偏西30。D.射線0。的方向是東南方向

7.（2022?浙江麗水?七年級(jí)期末）如圖，射線OA表示北偏東30。方向，射線08表示北偏西50。方包則加。8的

度數(shù)是（）

C.90°D.100°

8.（2022?安徽淀遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖射線。4的方向是北偏東30。,在同一平面內(nèi)N4O8=70",

則射線的方向是（）

A.北偏東40。B.北偏西40?；驏|偏南80°

C.南偏東80。D.北偏西40?；蚰掀珫|80。

9.（2022?吉林?大安市樂(lè)勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，貨輪。在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60。

的方向上：同時(shí)，它又發(fā)現(xiàn)了客輪&仿照表示燈塔方位的方法，客輪B在貨輪的方向.

北

10.（2022?黑龍江省新華農(nóng)場(chǎng)中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖

北

⑴如果小明從公園到學(xué)校，請(qǐng)敘述一下他的行走路線.

⑵如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走幾分鐘？

考點(diǎn)3：角的運(yùn)算

典例：（2022?江蘇?江陰市敵山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：

（1）45°10,-21°35'20〃；

（2）48°39,+67°31,-21。17'：

（3）42°16,+18°23,x2.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查度分秒的計(jì)算，1。=60'，1'=60",掌握度分秒之間的進(jìn)率是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）把40。12’36"化為用度表示，下列正確的是（）

A.40.11°B.40.21°C.40.16°D.40.26°

2.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）下列換算中，正確的是（）

A.23。1236〃=23.48。B.22.25。=22。15'

C.1801830*=18.183°D.47.11。=47。7'36〃

3.（2022?黑龍江?蘭西縣崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）用度表示49。31'21"=.

4.（2022?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：108°42'36/z=

5.（2022?山東浦澤?七年級(jí)期末）角度換算：26。48'=—。.

6.（2022?山東?萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校期中）55.66°=度分秒；43°3224〃=度.

7.（2022?山東?泰山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）30.12°=—?！?—"；100。12'36"=—

8.（2022?黑龍江?哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校階段練習(xí)）把30.6?；啥确譃?

【答案】30。36'##30度36分

9.（2022?山東?高唐縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算13。53&3-32。5'31〃=.

10.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）27°14'24'=

11.（2022?河北滄州?七年級(jí)期末）如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船M位于北偏西54。12'36”的方向，同時(shí)輪船

N在北偏東16.12。的方向，那么團(tuán)MON的大小為.

12.（2022?河南平頂山?七年級(jí)期末）計(jì)算：89。45'+20。45'=.（結(jié)果用度表示）

13.（2022?河南省直轄縣級(jí)單位七年級(jí)期末）若N1=30.45,，N2=30”28',則N1Z2（用。

填空）.

14.（2022?黑龍江?大慶市慶新中學(xué)期末）計(jì)算題.

⑴34。27'36"+2

（2）58。32'21”-20°42'44"

考點(diǎn)4：與三角板有關(guān)的角度計(jì)算

典例：（2022?河南南陽(yáng)?七年級(jí)期末）將一副三角板放在一起.

⑴如圖1,已知Nl=13。，求N2的度數(shù);

⑵如圖2,已知N1=2N2,求N2的度數(shù);

⑶如圖3,已知N1=2N2,求N2的度數(shù).

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查了角的計(jì)算,利用角的和差列出算式是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2021?湖北?公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）用一副三角板不能拼畫出的角度是（）

A.15°B.125°C.150°D.75°

2.（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）將一副三角板按如圖所示的方式放置，則蜘CD的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

3.（2022?山東煙臺(tái)?期中）如圖，將一副三角板AO8與CO。的直角頂點(diǎn)。重合在一起，若400=440。,

?！隇?BOC的平分線，則NDOE的度數(shù)為（）

C.75°D.76°

4.（2022?河北邢臺(tái)?七年級(jí)期末）如圖所示是我們常用的一副直角三角板.用一副三角板不能拼出的角度是

D.105°

5.12022?山東FI照?七年級(jí)期末）用一副三角板拼成如圖所示的圖形，其中4、8、C三點(diǎn)在同一條直線上.則

圖中回DBE的大小為（）

C.105°D.135°

6.（2022山東青島?期中）如圖,將兩個(gè)三角尺的直角/408與/。。頂點(diǎn)。重合在一起,若乙4。。=4/80。,

0E為N8O。的平分線，則/的度數(shù)為（）

cE

D.72°

7.（2022?廣西河池?七年級(jí)期末）一副三角板撰放在一起的示意圖如下，若Nl=55。，則團(tuán)2的度數(shù)是

2.（2022.福建泉州?七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于4處（兩塊三角板可以在同一

平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)），給出以下結(jié)論：

①NB4石=ND4C；

（2）ZBAE+ZDAC=\80°；

③ZBAE-ZDAC=45°；

④/BADH/EAC.

其中不正確的是.（寫出序號(hào)）

c

9.（2021?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）兩塊三角板按如圖所示方式放置，則MCD=，m。84=

10.（2022?山東煙臺(tái)?期末）如圖，將直角三角板OM/V的直角頂點(diǎn)。放在直線A8上，射線OC平分44QV.

⑴當(dāng)—4ON=6（）。時(shí)，求NCOW的度數(shù)；

（2）若NAQW=2NCOM,求NAOV的度數(shù).

11.（2022.山東棗莊.七年級(jí)期中）如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)卷放在一起進(jìn)行探究.

⑴如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好是MCB的平分線，請(qǐng)你猜想此時(shí)C8

是不是比C。的平分線，并簡(jiǎn)述理由；

⑵如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在團(tuán)DCE的內(nèi)部，請(qǐng)猜想MCE與國(guó)DCB

是否相等，并簡(jiǎn)述理由.

12.（2022?河北保定?七年級(jí)期末）如圖，以直線48上一點(diǎn)。為端點(diǎn)作射線OC,使回80c=70°,將一塊直角

三角板DOE直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處.

E

EE

AODB0DBA0DB

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若直角三角板DOE的一邊OD放在射線0B上，貝皿COE=

(2)如圖2,將直角三角板。?！昀@點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若0C恰好平分如0E,求同B。。、0COE

的度數(shù);

(3)如圖3,將直角三角板。0E繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，如果。。始終在回B3的內(nèi)部，試猜想回80。和回COE有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

13.（2022?安徽?宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）以直線人4上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC,使4OC=30。,將

一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在。處，即NDOE=90。.

C

圖1圖2

⑴如圖1,若直角三角板OO石的一邊OE放在射線Q4匕則NC8=:

（2）如圖2,將直角三角板。。石繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，

①若。石恰好平分/AOC,貝ijNCOZ）=：

②若OD在NBOC內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出NBOD與NCOE的數(shù)量關(guān)系為；

⑶將直角三角板。OE繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（0。與08重合時(shí)為停止）的過(guò)程中，恰好布NCOD=gNAOE,

求此時(shí)/B0力的度數(shù).

14.（2022?福建福州?七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板A8C、4。石按如圖1

放置，點(diǎn)4、C、。在同一直線上，（NE4O=30。、ZBAC=45°）,并將三角板A8C繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定

角度，且始終保持0。＜/04。430。.

BB

圖1圖2圖3

⑴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2,當(dāng)點(diǎn)人C、E在同一直線上時(shí)，則2840=;

⑵在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3,當(dāng)N8AK=30°時(shí).請(qǐng)說(shuō)明AC平分/D4石；

⑶在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4.當(dāng)NBAE=4NC4D時(shí)，求此時(shí)NC4E的度數(shù).

15.（2022?江蘇鹽城?七年級(jí)期末）【閱讀理解】

如圖1,一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板C0D繞點(diǎn)。以每秒15。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.

DOBOB

圖1圖2

【解決I'可題】

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MO8、附02、團(tuán)B0C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說(shuō)明理由.

（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如圖2,形成的三個(gè)角：附。8、蜘0C、團(tuán)BOC,當(dāng)其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍

時(shí)，則稱射線0C是M08的"優(yōu)線

①第（2）問(wèn)中旋轉(zhuǎn)后的射線0C是"優(yōu)線〃嗎？為什么？

②在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t秒，當(dāng)射線0C是“優(yōu)線〃時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t值.

考點(diǎn)5：與角平分線有關(guān)的證明與計(jì)算

典例：（2022?四川省九龍縣中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，OE＞為040。的平分線，0COD--0FOC,BCOO—15。，

4

求：

⑴臼E0C的大?。?/p>

⑵兇OC的大小.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.如圖，已知NCO8=2/4OC,0。平分ZAO8,且NCOD=I8。，則N4Q8的度數(shù)為（

A.126°B.108°C.112°D.106°

2.（2021?云南?文山市薄竹鎮(zhèn)樂(lè)詩(shī)沖中心學(xué)校七年級(jí)期末）已知MO8=70。，胡0。=30。，OM平分西。氏ON

平分（3BOC,則（3MON=（）

A.50°B.20°C.20?；?0。D.不能確定

3.（2022?安徽?合肥市第六十八中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，若財(cái)O8=x。，OC是財(cái)08的平分線，是西0。

的平分線，OC2是4OC的平分線，是乙4。。1的平分線，則2021NAOC2sl與202240G。”大小關(guān)

系是（）

A.=B.<C.>D.無(wú)法確定

4.（2022?新疆?烏巾八中七年級(jí)期中）如圖，已知乙4OC:N/WC=I:5,OD平分NAO8,且NCQD=36。,

求/408的度數(shù).

5.（2021?山東?濟(jì)南市萊蕪區(qū)方下魯西學(xué)校期中）如圖，OB是Z4OC的平分線，。。是NCOE的平分線,

Z4OE=150°,ZAOB=40°.求Z4QQ的度數(shù).

6.（2022?新疆?庫(kù)車市第七中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，己知團(tuán)4（用=90。，0EOF=6O°,OE平分M08,O戶平分

0BOC,求（MOC和田。0/3的度數(shù).

7.（2021?重慶?巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，08是0Aoe的平分線，。。是［3COE的平分線.

⑴如果0408=50°,回。。氏35°,那么團(tuán)8。。是多少度？

⑵如果0AOE=16O。，回COA25。，那么財(cái)08是多少度？

8.（2021遼寧?朝陽(yáng)市第一中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知INAOB=90。，OE平分財(cái)O。，NEOF=,OF

平分（38OC.求回BOC和財(cái)。。的度數(shù).

9.[2022?山東?龍口市培基學(xué)校期中）如圖，I知OC是0AOB內(nèi)部任意的一條射線，OM、ON分別是財(cái)0C、

團(tuán)80C的平分線.

（1）若0AOM=2O。，0Z?aV=3O°,求OMON的度數(shù)；

（2）若M08=a,求回MON的度數(shù).

10.（2022?寧夏?景博中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，OC是財(cái)。。的平分線，O石是mOOB的平分線.

⑴如果NAO8=13（）。，那么回COE是多少度？

⑵在（1）的條件下，如果NCOQ=2。。，那么團(tuán)8OE是多少度？

11.（2022?河北?泊頭市教師發(fā)展中心七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是直線人8上的一點(diǎn)，NC8是直角，OE平

分/BOC.

1?11圖2

⑴如圖1,若NAOC=40。，求4X出的度數(shù);

（2）如圖2,若NCOE=g/DOB,求/AOC的度數(shù).

12.（2022?福建泉州?七年級(jí)期末）如圖，4408=100。，射線。。以2。朗的速度從。4位置出發(fā),射線。。以

10。人的速度從。8位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作.

⑴當(dāng)f=10時(shí)，求NCOD的度數(shù):

⑵若04Y15.

①當(dāng)三條射線。4、OC、。。構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于。。的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)，的值:

②在射線OO,OC轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，射線OE始終在N8O。內(nèi)部，且。產(chǎn)平分NAOC,當(dāng)NEOF=1100,求

NBOE

的值.

NAOD

13.（2021?江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，ZAOB=90°,ZBOC=a（0°<a<\80°）,OD,

OE分別是N8OC的平分線.

C

圖1備用圖

⑴如圖1,當(dāng)OC在04左側(cè)，且。=以）時(shí)，/少?！甑亩葦?shù)是；

（2）當(dāng)OC的位置不確定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究NDOE的大小與。的數(shù)量關(guān)系；

⑶當(dāng)NDOE的度數(shù)為36。時(shí)，請(qǐng)直接寫出。的度數(shù).

14.（2022?廣東?正德中學(xué)七年級(jí)期末）多多對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和多多一起探究下面問(wèn)題

吧.已知財(cái)08=100。，射線OE,。尸分別是0AOC和gCOB的角平分線.

EA

（1）如圖1,若射線OC在團(tuán)408的內(nèi)部，且因4OC=30。，求（3E。/的度數(shù)；

⑵如圖2,若射線0C在瓜的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，則同月。尸的度數(shù)_____；

⑶若射線0C在西0B的外部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中（MOC,胡0C均指小于180。的角），其余條件不變，請(qǐng)借

助圖3探究貼0〃的大小，請(qǐng)直接寫出田雙乃的度數(shù)（不寫探究過(guò)程）.

15.（2022?河南?鄭州市第四初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）【閱讀理解】

如圖①，射線。。在團(tuán)408內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角M0。、0Ao8、^BOC,若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1：

2,則稱射線OC為財(cái)08的"幸運(yùn)線".

⑴（MOB的角平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線"；（填"是"或"不是"）

⑵若園403=120。，射線0C為國(guó)4。4的"幸運(yùn)線"，則財(cái)0C=.

【問(wèn)題解決】

⑶如圖②，已知財(cái)08=150°,射線0P從04出發(fā),以20%的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),射線。。從08出發(fā),

以10力的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與財(cái)08的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停

止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為，（s）,當(dāng)『為何值時(shí)，射線。尸是以射線。4、。。為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說(shuō)明理由.

16.（2022?陜西?西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，04,0B,。。是以直線E尸上一點(diǎn)O為端

點(diǎn)的三條射線，且團(tuán)F。4=20。，慶60。，m8OC=10。，射線OP從。尸處開始出發(fā)，繞點(diǎn)。逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線。。從OC處開始出發(fā)，繞點(diǎn)。順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射

線。。旋轉(zhuǎn)至與射線。尸重合時(shí)，OP、OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒.（旋轉(zhuǎn)速度+旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時(shí)

間）

cB

⑵若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時(shí)，請(qǐng)求出當(dāng)團(tuán)POQ=60。時(shí)，射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；

⑶若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OQ,OP,08中的某一條射線是另

兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.（2022?福建?福州時(shí)代中學(xué)七年級(jí)期末）己知N4OB=I2（）°,0C、。。是過(guò)點(diǎn)。的射線，射線OM、ON分

別平分0Aoe和回。0民

圖①圖②

⑴如圖①，若OC、。。是財(cái)。3的三等分線，則NM0N=。

⑵如圖②，若NCOO=40。，ZAOC豐/DOB,則°

（3）如圖③，在MOB內(nèi)，若/。00=。（0。<。<60。），則ZMO/V=°

⑷將（3）中的回C。。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到園408的外部（0<ZAOC<180°,0<ZBOD<180°）,求此時(shí)

團(tuán)MON的度數(shù).

考點(diǎn)6：與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的證明與計(jì)算

典例；（2022.山西運(yùn)城七年級(jí)期中）如圖（甲），上ZOC和/比比>都是直角.

D

C

（1）如果/Z）OC=32。，那么/AOB的度數(shù)為度.若NDOC越來(lái)越小，則NA08如何變化？

⑵找出圖（甲）中相等的角.如果NQOC工32。，他們還會(huì)相等嗎？

（3）在圖（乙）中利用能夠畫直角E勺工具再畫一個(gè)與NAO?相等的角.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查余角與補(bǔ)角，正確觀察并分析圖形，熟練掌握余角和補(bǔ)角的意義是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2020?安徽安慶?八年級(jí)期中）如果一個(gè)角的度數(shù)比它補(bǔ)角的2倍多30。，那么這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.50B.70C.130D.150

2.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.N4是余角B.NA和NB是補(bǔ)角

C.NA的余角是NBD.如果/A和NB互補(bǔ)，則NA和能拼成直角

3.（2022?甘肅?臨澤縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）已知N4與N8互余，N8與NC互補(bǔ)，若/A=50。，則/C

的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

4.：2022?遼寧?丹東市第十七中學(xué)七年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若NA與N4的兩邊分別垂直，且N4比-4

的3倍少20°,則/A的度數(shù)為（）

A.10°B.50°C.10°或130。D.10。或50。

5.（2021?貴州畢節(jié)?七年級(jí)期末）若的補(bǔ)角與“的余角相等，則/。-//等于（）

A.90°B.60°C.180°D.270°

6.（2022?四川?大竹縣文星中學(xué)七年級(jí)期中）NA的補(bǔ)角是125。,則它的余角是（）

A.54。B.35°C.25°D,以上均不對(duì)

7.（2022?浙江?永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）將?個(gè)含有45。角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)

45。角的頂點(diǎn)落在直線。上，含90。角的頂點(diǎn)落在直線上.若Z2=Z15°,貝IJN3的度數(shù)為°

o

b

8.（2021?山東?濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）若一個(gè)角的余角為65。.則這個(gè)角的補(bǔ)角為.

9.（2022?廣東?普寧市普師高級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）已知Na與夕互補(bǔ)，Za=150°,則的余角的度數(shù)是

【答案】60°##60度

10.（2022?安徽?宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如果一個(gè)角的補(bǔ)角是136。，那么這個(gè)角的余角是.

11.（2022?廣東?佛山市順德區(qū)勒流育賢實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）已知Na是鈍角，Na與N/?互補(bǔ)，N0與Ny

互余，則Na與Ny的關(guān)系式為

12.（2021嘿龍江?肇源縣第五中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線A8,CD相交于點(diǎn)0,且“D0E=3/C0E,/

EOB=90。，則力0。=.

13.（2022.全國(guó)?七年級(jí)開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)A、O、B在一條直線上，ZCOD=90°,OE平分NAOC,

OF平分4B0D,求NE0F的度數(shù).

14.（2022.湖南懷化?七年級(jí)期末）如圖，直線C。相交于點(diǎn)0,OMLAB.

M

AWo

ND

⑴若N1=N2,則ON,CO是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若Nl=g/4OC,求N8。。的度數(shù).

15.（2021?浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，8。是乙4BC的平分線，ZABE+ZBCF=]S00

（1）若NABC=80。，求N3Cr的度數(shù)：

（2）若C3是NAC尸的平分線，/ADB=k/ABD,求女的值.

16.（2022.陜西?西安輔輪中學(xué)七年級(jí)期末）已知：O是直線A8上的一點(diǎn)，NCOD是直角，OE平分N8OC.

⑴如圖I,當(dāng)N/IOC=40。時(shí)，求的度數(shù)；

（2）如圖2,OF平分NBOD,求NEOF的度數(shù)；

（3）如圖3,ZAOC=36°,此時(shí)/COO繞點(diǎn)。以每秒6。沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)/秒（0&<60）,請(qǐng)直接寫出NAOC

和NOOE之間的數(shù)量關(guān)系

M能力提升

二T單選題一（每題3^）

1.（2022?陜西渭南?七年級(jí)期末）用度、分、秒表示31.21。為（）

A.31。12'36"B.31。21'C.31。12'23"D.31。20T

2.（2022?新疆鳴市八中七年級(jí)期中）如圖，下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.N1與/AO8是同一個(gè)角B.Na與NCOB是同一個(gè)角

C.NAOC可以用NO來(lái)表示D.圖中共有三個(gè)角：NAOB,NBOC,ZAOC

3.（2021?河北?石家莊市長(zhǎng)安區(qū)陽(yáng)光未來(lái)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）下列各度數(shù)的角，能借助一副三角尺畫出的

是（）

A.55°B.65°C.75°D.85°

4.（2020?山東淄博?期中）如圖，公園、學(xué)校、圖書館在平面上的標(biāo)志分別用A,B,C三點(diǎn)表示，學(xué)校在公

園的正東方向，圖書館在公園的南偏西35。方向上，則平面圖上的NC/V?等于（）

5.（2022?山東泰安?期末）如圖，已知射線。8,OM,ON在ZAQD內(nèi)部，0M平分/AO8,ON平分/BOD.

若ZAOD=156。，NDQN=48°,則NAQW的度數(shù)為（）

6.12022?廣東?豐順縣東海中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）已知/4Q8=4N8OC,若N8OC=20°,則ZAOC=（）

A.60°B.80?；?0。

C.80°D.100?；?0。

二、填空題（每題3分）

8.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，圖中共有個(gè)小于180。的角，其中最大的角是.

9.（2022?河北唐山?七年級(jí)期末）已知4=25。12',Z2=25.12°,Z3=24°75\則Nl、N2、N3的大小關(guān)

系是（用“>”連接）.

10.（2022?山西大同?七年級(jí)期末）用一副三角板按如圖方式放置，恰好與/AO8重合，則/AO8的大小為

11.（2021?湖北?公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）若乙4的度數(shù)為20。21',且NB與NA互余，則N8的度數(shù)

為?

12.（2022糊南長(zhǎng)沙?七年級(jí)期末）如圖，在射。8的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE,若她OC=70。，0BOE=-

n

團(tuán)80C,^BOD=-^AOB,則回DOE=（用含〃的代數(shù)式表示）

n

三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）

13.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖，分別確定四個(gè)城市相應(yīng)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)赡甑亩葦?shù).

（2）每經(jīng)過(guò)lh,時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？每經(jīng)過(guò)Imin,分針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？

（3）當(dāng)時(shí)鐘指向上午10：10,時(shí)針與分針的夾角是多少度？

（4）請(qǐng)你的同伴任意報(bào)一個(gè)時(shí)間（精確到分），你來(lái)確定時(shí)針與分針的夾角.

14.（2022?福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級(jí)期末）如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合.

D

E

A<T(j)八\

⑴寫出以C為頂點(diǎn)的相等的角；

⑵若Z4C8=150。，求NOCE度數(shù)；

(3)寫出4cB與NDCE之間所具有的數(shù)量關(guān)系；

⑷當(dāng)三角板NACO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，你所寫出的(3)中的關(guān)系是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(2021?湖北?十堰市郵陽(yáng)區(qū)教學(xué)研究室七年級(jí)期末)已知4408=130。，ZCOD=80°,OM,ON分別是

ZAOB和/COD的平分線.

(1)如圖1,如果。4OC重合，且。。在/AO8的內(nèi)部，求NMQV的度數(shù)；

(2)如圖如固定NAOB,將圖1中的NCW繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°(0<n<90).

①NMQV與旋轉(zhuǎn)度數(shù)〃。有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；

②當(dāng)。為多少時(shí)，/MON為宜隹?

⑶如果/AOB的位置和大小不變，NC8的邊0。的位置不變，改變NC8的大??；將圖1中的0C繞著。

點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃式(0<,n<100),如圖3,請(qǐng)直接寫出NMON與旋轉(zhuǎn)度數(shù)〃2。之間的數(shù)量關(guān)系：.

專題43角

考點(diǎn)1：鐘面上的角度計(jì)急釐.

考點(diǎn)2:方位角及惠

考點(diǎn)3：角的運(yùn)算

考點(diǎn)4:與三角板霰溫贏

考點(diǎn)5:與角平分線有關(guān)的證明與惠'

考點(diǎn)6:與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的證明與計(jì)算

?目標(biāo)導(dǎo)航

1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn),

這兩條射線叫做這個(gè)角的邊。或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平

角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。

2.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,N2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如Na,Zp,Zy,NO等。

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如NB,NC等。

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如NBAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

3.用一副三角板,可以畫出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°

4.角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是I度的角，單位是度，用“?！北硎?，

1度記作“1°”，n度記作“n?！?。

把1。的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作

把r的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。

1°=60\1'=60”

5.角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

27/107

（2）角的大小可以度量，可以比較

（3）角可以參與運(yùn)算。

6.角的平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分

線。

7.余角和補(bǔ)角

①如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角

的余角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為如果Na+/p=90。，那么Na與互余；反過(guò)來(lái)，如果Na與N

P互余，那么Na+Np=90。

②如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角

的補(bǔ)角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為如果Na+NB=180。，那么NQ與Np互補(bǔ)；反過(guò)來(lái)如果Na與N0

互補(bǔ)，那么Na+Np=180。

③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角用等。

&考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1:鐘面上的角度計(jì)算

典例：16.（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）鐘表上的時(shí)針、分針和秒針都在繞鐘表中心做旋轉(zhuǎn)

運(yùn)動(dòng).

⑴鐘表從2點(diǎn)現(xiàn)在，經(jīng)過(guò)20分鐘后，分針和時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)了多少度？

⑵當(dāng)時(shí)間到3：20時(shí)，鐘表上時(shí)針和分針的夾角是多少度？

【答案】＜1）分針轉(zhuǎn)動(dòng)120。，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)10°;（2）20°

【分析】（1）根據(jù)鐘表上每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30。，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要60分鐘，

分別得出時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)1分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度，據(jù)此即可求得答案；

（2）3：20時(shí),根據(jù)時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）???時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周的度數(shù)為36。。，需要的時(shí)間為60分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)

動(dòng)60分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度為30。，

???時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時(shí)的度數(shù)為：360*60=6。，

時(shí)針旋轉(zhuǎn)一分鐘時(shí)的度數(shù)為：30^60=0.5°,

，分針經(jīng)過(guò)20分鐘旋轉(zhuǎn)了6°x20=120°,

時(shí)針經(jīng)過(guò)20分鐘旋轉(zhuǎn)了0.5°x20=10o：

（2）當(dāng)時(shí)間到3：20分時(shí),鐘表上時(shí)針和分針的夾角是

（6-0.5）x20-30x3=110-90=20?.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了鐘面角，熟練掌握分針與時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的用度是解題的關(guān)鍵.

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鞏固練習(xí)

1.（2021?河南開封?七年級(jí)期中）已知在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成一直角，則這時(shí)可

能是（）

A.3：30B.6：15C.9：00D.12：45

【答案】C

【分析】根據(jù)鐘面角的定義進(jìn)行判斷即可.

t詳解】解：由鐘面角的定義可知，鐘面一L每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為360%春

=30°,

當(dāng)時(shí)間為900時(shí),時(shí)針指向數(shù)字9,分針指向數(shù)字12,這時(shí)分針與時(shí)針的夾角為30b（12

-9）=90°,

其余選項(xiàng)均不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了鐘面角，解題關(guān)鍵是找出時(shí)鐘的時(shí)針與分針相差的大格數(shù).

2.（2022?黑龍江?大慶市慶新中學(xué)期末）時(shí)鐘7：30的分針與時(shí)針夾角度數(shù)是（）

A.55度B.45度C.35度D.60度

【答案】B

【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30。，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：30°+1x300

=30°+15°

=45°,

即時(shí)鐘7：30的分針與時(shí)針夾角度數(shù)是45°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面用，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30。是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?浙江麗水?七年級(jí)期末）如圖2是從圖1的時(shí)鐘抽象出來(lái)的圖形，已知三角形A8C是

等邊三角形，NA=60。，當(dāng)時(shí)針OP正對(duì)點(diǎn)A時(shí)恰好是12：00,若時(shí)針OP與三角形ABC一

邊平行時(shí)，時(shí)針?biāo)傅臅r(shí)間不可能是（）

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B

圖Iffi2

A.1：00