第頁專題03數(shù)列的通項公式【題型歸納目錄】題型1：觀察法題型2：疊加法題型3：疊乘法題型4：待定系數(shù)法題型5：同除以指數(shù)題型6：取倒數(shù)法題型7：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題題型8：周期數(shù)列題型9：前n項積型題型10：因式分解型求通項【題型預測】類型Ⅰ觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．類型Ⅱ公式法：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．類型Ⅲ累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．類型Ⅳ累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出㈡形如型的遞推式：⑴當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出⑵當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決．⑶當為任意數(shù)列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．類型Ⅵ對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．類型Ⅷ形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式【典例例題】題型1：觀察法例1．，，，，，的一個通項公式是__________．例2．數(shù)列1，3，7，15，…的一個可能的通項公式為=_____例3．將正奇數(shù)排列如下表，其中第i行第j個數(shù)表示，例如，若，則______．變式1．2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．若第1個圖形中的三角形的邊長為2，則第4個圖形的周長為______．變式2．猜想數(shù)列，，，，，，…的通項公式___________.題型2：疊加法例4．若數(shù)列滿足且，則數(shù)列的第100項為（

）A．2 B．3 C． D．例6．數(shù)列滿足，且，則(

)A．－1 B．20 C．21 D．22變式3．在數(shù)列中，，，則（

）A．959 B．967 C．977 D．997題型3：疊乘法例7．設數(shù)列的前n項和為，且為常數(shù)列，則（

）A． B． C． D．例8．已知數(shù)列滿足，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項（

）A． B．C． D．變式5．已知中，，，則數(shù)列的通項公式是（）A． B． C． D．變式6．已知數(shù)列的前項和為，，，則（

）A． B． C． D．題型4：待定系數(shù)法例12．已知數(shù)列中，，，，求（

）A．B．C．D．變式7．數(shù)列滿足，前項和為，，則的值為（

）．A． B． C． D．題型5：同除以指數(shù)例13．已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．例15．在數(shù)列中，，，則的值為(

)A． B． C． D．無法確定題型6：取倒數(shù)法例16．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________例17．數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．例18．已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10題型7：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題例19．已知數(shù)列滿足：．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，數(shù)列的前項和為．對恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．例20．設數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，且.(1)求的通項公式；(2)若，的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.例21．已知有一系列雙曲線：，其中，，記第條雙曲線的離心率為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：.變式9．已知數(shù)列的前項和為，滿足：，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對于正整數(shù)，已知三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.變式10．已知數(shù)列的前n項和為,,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,數(shù)列的前n項和為,若存在且,使得成立,求實數(shù)的最小值.變式11．為數(shù)列的前n項和，已知記數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列{an}的通項公式(2)求:(3)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型8：周期數(shù)列例23．在數(shù)列中，已知，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式12．已知數(shù)列滿足，則的前10項的和為（

）A． B．6 C．5 D．變式13．在數(shù)列中，，，則等于（

）．A． B． C． D．2變式14．在數(shù)列中，，，，，則（

）A．0 B．1 C． D．變式16．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項的值不可能為（

）A． B． C． D．題型9：前n項積型例25．已知數(shù)列的各項均不為0，其前項的乘積.(1)若為常數(shù)列，求這個常數(shù)；(2)若，設，求數(shù)列的通項公式.變式17．數(shù)列的前n項積.數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列、的通項公式.(2)求數(shù)列的前n項和.變式18．記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和Sn．變式19．已知等比數(shù)列的各項均為