16.3角的平分線角平分線的性質(zhì)定理1.(2025重慶萬(wàn)州區(qū)月考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,若AC=10,AD=7,則點(diǎn)D到AB的距離為 ()A.6 B.5 C.4 D.32.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,對(duì)角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為 ()A.8 B.7.5 C.15 D.無(wú)法確定3.如圖,OP平分∠AOB,PD⊥OA于點(diǎn)D,點(diǎn)E是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若PD=3,則PE的最小值是.

4.如圖,已知BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別是M,N.求證:PM=PN.角平分線性質(zhì)定理的逆定理5.小明發(fā)現(xiàn),只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線.如圖,一把直尺壓住射線OB,另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P.小明說(shuō):“射線OP就是∠BOA的平分線.”他這樣說(shuō)的依據(jù)是 ()A.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上B.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D.以上均不正確角平分線的尺規(guī)作圖6.如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,以點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以M,N為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)O,作射線AO交BC于點(diǎn)D.若CD=3,P為AB上一動(dòng)點(diǎn),則PD的最小值為.

1.在正方形網(wǎng)格中,∠AOB的位置如圖所示,到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是 ()A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q2.如圖,在△ABC中,AD是角平分線,S△ABD=10,AB=5,則點(diǎn)D到邊AC的距離為 ()A.6 B.4C.3 D.23.如圖,在△ABC中,AD是角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,△ABC的面積為15,AB=6,DE=3,則AC的長(zhǎng)是.

4.(2025高碑店期末)如圖,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°,則根據(jù)作圖痕跡,可知∠BAD的度數(shù)為,∠DAE的度數(shù)為.

5.(2025霸州月考)圖1是一個(gè)平分角的儀器,其中OD=OE,DF=EF.(1)如圖2,將儀器放置在△ABC上,使點(diǎn)O與頂點(diǎn)A重合,D,E分別在邊AB,AC上,沿AF畫(huà)一條射線AP,交BC于點(diǎn)P.AP是∠BAC的平分線嗎?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.(2)如圖3,在(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,若PQ=6,AC=9,△ABC的面積是60,求AB的長(zhǎng).微專題6與角平分線有關(guān)的常規(guī)輔助線在有關(guān)角平分線的問(wèn)題中,一條常用的常規(guī)輔助線是過(guò)角平分線的交點(diǎn)作邊的垂線,由此構(gòu)造出滿足角平分線性質(zhì)的基本圖形,從而為利用角平分線的性質(zhì)提供了方便.1.如圖所示,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),BO平分∠ABC,OD⊥BC于點(diǎn)D,連接OA,若OD=5,AB=20,則△AOB的面積是.

2.如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M為BC邊上的一點(diǎn),且AM平分∠BAD.(1)如果DM平分∠ADC,求證:AM⊥DM.(2)如果M為BC的中點(diǎn),求證:DM平分∠ADC.

【詳解答案】基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.D2.B3.34.證明:∵BD為∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,AB∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.∵點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.5.A6.3能力提升1.A解析:從題圖上可以看出點(diǎn)M在∠AOB的平分線上,其他三點(diǎn)不在∠AOB的平分線上.所以點(diǎn)M到∠AOB兩邊的距離相等.故選A.2.B解析:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵S△ABD=10,AB=5,∴12×5DE=10.∴DE=4.∵AD是∠CAB的平分線,∴點(diǎn)D到邊AC的距離=DE3.4解析:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=3,∴S△ABC=12×6×3+12AC·3=15,解得4.40°25°解析:由作圖痕跡,得DF垂直平分AB,∴∠DFA=∠DFB=90°,FA=FB.∵FD=FD,∴△ADF≌△BDF(SAS).∴∠BAD=∠B=40°.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°-40°-50°=90°.∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°.由作圖痕跡,得AE平分∠DAC,∴∠DAE=12∠DAC5.解:(1)AP是∠BAC的平分線,理由如下:在△ADF和△AEF中,AD∴△ADF≌△AEF(SSS).∴∠DAF=∠EAF,∴AP平分∠BAC.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G.∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,∴PG=PQ=6.∵S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PQ+12AC·∴12AB×6+12×9×6=60,解得微專題61.50解析:過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,如圖所示,∵BO平分∠ABD,OD⊥BC于點(diǎn)D,∴OD=OE=5,∴△AOB的面積=12AB·OE=12.證明:(1)∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,即∠MAD+∠ADM=90°.∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.(2)作NM⊥AD交AD