恒成立題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.不等式$x^2+2x+a>0$對任意$x\inR$恒成立，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a>1$B.$a\geq1$C.$a<1$D.$a\leq1$2.若函數(shù)$f(x)=kx+3$在$R$上恒大于$0$，則$k$的取值范圍是（）A.$k>0$B.$k=0$C.$k<0$D.$k\geq0$且$k\neq0$3.已知函數(shù)$y=mx^2-6mx+m+8$的圖象恒在$x$軸上方，則$m$的取值范圍是（）A.$0\leqm\leq1$B.$0<m\leq1$C.$m\geq1$或$m=0$D.$m>1$4.不等式$ax^2+bx+2>0$的解集是$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，則$a+b$的值是（）A.$10$B.$-10$C.$14$D.$-14$5.若不等式$|x-3|+|x-4|<a$在$x\inR$上恒成立，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a>1$B.$a\geq1$C.$a<1$D.$a\leq1$6.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+a^2-1$，若對于任意的$x\in[0,1]$，都有$f(x)\geq0$恒成立，則$a$的取值范圍是（）A.$a\leq0$或$a\geq1$B.$0\leqa\leq1$C.$a\leq0$D.$a\geq1$7.不等式$x^2-2x+m\geq0$對任意$x\in[1,2]$恒成立，則實數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$m\geq0$B.$m\geq1$C.$m\leq0$D.$m\leq1$8.若函數(shù)$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$在區(qū)間$(-2,+\infty)$上單調遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a>\frac{1}{2}$B.$a\geq\frac{1}{2}$C.$a<\frac{1}{2}$D.$a\leq\frac{1}{2}$9.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(ax^2+2x+1)$，若$f(x)$的定義域為$R$，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a>1$B.$a\geq1$C.$a<1$D.$a\leq1$10.不等式$x^2-2ax+a^2-4<0$對任意$x\in[1,3]$恒成立，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$-1<a<5$B.$-1\leqa\leq5$C.$a<-1$或$a>5$D.$a\leq-1$或$a\geq5$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.對于不等式$x^2+bx+c\geq0$恒成立，下列說法正確的是（）A.當$b^2-4c\leq0$時成立B.當$b^2-4c>0$時成立C.若函數(shù)$y=x^2+bx+c$的圖象開口向上且與$x$軸最多有一個交點D.若函數(shù)$y=x^2+bx+c$的最小值大于等于$0$2.若不等式$ax^2+bx+c>0$的解集為$R$，則（）A.$a>0$B.$b^2-4ac<0$C.$a=0$，$b>0$D.$a<0$3.已知函數(shù)$f(x)=a^x+b$（$a>0$且$a\neq1$），若對任意$x\inR$，$f(x)>0$恒成立，則（）A.當$0<a<1$時，$b\geq0$B.當$a>1$時，$b\geq0$C.當$0<a<1$時，$b>-1$D.當$a>1$時，$b>-1$4.若不等式$|x-1|+|x-2|\geqa$對任意$x\inR$恒成立，則$a$的值可以是（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$5.對于函數(shù)$f(x)=x^2-2mx+m+2$，若$f(x)\geq0$在區(qū)間$[0,2]$上恒成立，則$m$的取值可能是（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$6.已知不等式$mx^2-2x+m-1<0$對一切實數(shù)$x$恒成立，則實數(shù)$m$的取值范圍是（）A.$m<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$B.$m<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$C.$m>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$D.當$m=0$時不滿足7.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{ax^2+4ax+5}$的定義域為$R$，則$a$的取值范圍是（）A.$0\leqa\leq\frac{5}{4}$B.$a>\frac{5}{4}$C.$a=0$D.$a<0$8.不等式$x^2-3x+2\geq0$恒成立的條件有（）A.$x\leq1$B.$x\geq2$C.$1\leqx\leq2$D.$x<1$或$x>2$9.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+a}$的定義域為$R$，則（）A.$a>1$B.$a\geq1$C.函數(shù)$y=x^2+2x+a$與$x$軸無交點D.函數(shù)$y=x^2+2x+a$的最小值大于$0$10.已知函數(shù)$f(x)=2^x+\frac{1}{2^x}+a$，若$f(x)>0$對任意$x\inR$恒成立，則（）A.$a>-2$B.$a\geq-2$C.函數(shù)有最小值$2+a$D.函數(shù)最小值大于$0$三、判斷題（每題2分，共10題）1.不等式$x^2-4x+4\geq0$對任意$x\inR$恒成立。（）2.若函數(shù)$f(x)=ax+1$在$[0,1]$上恒大于$0$，則$a>-1$。（）3.不等式$|x|\geq0$對任意$x\inR$恒成立。（）4.若不等式$ax^2+bx+c>0$的解集為$\varnothing$，則$a<0$且$b^2-4ac\leq0$。（）5.函數(shù)$f(x)=2^x+a$恒大于$0$，則$a\geq0$。（）6.不等式$x^2+2x+3<0$對任意$x\inR$恒不成立。（）7.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-2x+m}$的定義域為$R$，則$m\geq1$。（）8.不等式$3x-1\geq2x+1$對任意$x\geq2$恒成立。（）9.函數(shù)$f(x)=\log_3(x^2+1)$恒大于$0$。（）10.若不等式$x^2-ax+1\geq0$對任意$x\in[0,2]$恒成立，則$a\leq2$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知不等式$x^2-2x+m>0$對任意$x\in[0,3]$恒成立，求實數(shù)$m$的取值范圍。答案：令$f(x)=x^2-2x+m$，其對稱軸為$x=1$。在$[0,3]$上，$f(x)_{\min}=f(1)=m-1$，要使不等式恒成立，則$m-1>0$，解得$m>1$。2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+2ax+1$的圖象恒在$x$軸上方，求$a$的取值范圍。答案：當$a=0$時，$f(x)=1$，滿足圖象恒在$x$軸上方；當$a\neq0$時，函數(shù)為二次函數(shù)，需滿足$a>0$且$\Delta=(2a)^2-4a<0$，即$0<a<1$。綜上，$0\leqa<1$。3.不等式$|x-1|+|x-3|\geqa$對任意$x\inR$恒成立，求$a$的取值范圍。答案：根據(jù)絕對值不等式性質，$|x-1|+|x-3|\geq|(x-1)-(x-3)|=2$，所以$|x-1|+|x-3|$最小值為$2$，要使不等式恒成立，則$a\leq2$。4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+a}$的定義域為$R$，求$a$的取值范圍。答案：因為定義域為$R$，則分母$x^2-2x+a$恒不為$0$，即方程$x^2-2x+a=0$無實根，所以$\Delta=(-2)^2-4a<0$，解得$a>1$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論不等式$ax^2+bx+c\geq0$（$a\neq0$）恒成立的條件，并舉例說明。答案：當$a>0$且$\Delta=b^2-4ac\leq0$時，不等式恒成立。例如$x^2+2x+1=(x+1)^2\geq0$，這里$a=1>0$，$b=2$，$c=1$，$\Delta=2^2-4\times1\times1=0$。2.對于函數(shù)$f(x)=a^x+b$（$a>0$且$a\neq1$），討論在什么情況下$f(x)>0$對任意$x\inR$恒成立。答案：當$a>1$時，$a^x>0$，只要$b\geq0$，則$f(x)>0$恒成立；當$0<a<1$時，$a^x>0$，要使$f(x)>0$恒成立，需$b>-1$。3.討論不等式$|x-a|+|x-b|\geqc$（$a,b,c$為常數(shù)）恒成立的條件。答案：由絕對值不等式$|x-a|+|x-b|\geq|(x-a)-(x-b)|=|a-b|$，所以當$c\leq|a-b|$時，不等式$|x-a|+|x-b|\geqc$恒成立。4.已知函數(shù)$f(x)=\log_a(x^2-2x+3)$（$a>0$且$a\neq1$），討論當$x\inR$時，函數(shù)值恒為正的條件。答案：令$g(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\geq2$。當$a>1$時，要使$f(x)>0$恒成立，只要$g(x)>1$，因為$g(x)\geq2$，所以滿足；當$0<a<