1/62025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何+直線。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過，兩點(diǎn)的直線傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩點(diǎn)間斜率公式可得斜率，再由傾斜角與斜率關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，所以，因，所以，故選：D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案.【詳解】由點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱，可得，所以.故選：A.3．已知，則（

）A．-1 B．1 C．0 D．-2【答案】A【分析】由向量的加法，乘法的坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,，則，故選：A4．若兩平行直線與之間的距離是，則（

）A． B． C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)直線平行求出，再利用平行線距離公式即可求出，則得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，即，因?yàn)橹本€與直線的距離為，所以，即，解得或（舍去），故．故選：C5．在平行六面體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上靠近的三等分點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】選一組基底，利用空間向量基本定理即可求解.【詳解】由題意有，所以，所以，所以，故選：B.6．過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】

設(shè)直線的傾斜角為，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)，，，則，，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，因?yàn)?，又，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.7．已知點(diǎn)，直線l：，則A到l的距離的最大值為（

）A．3 B． C． D．5【答案】D【分析】先求出定點(diǎn)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最大，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.【詳解】將直線l的方程變形為，由，得，所以直線l過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最大，故最大距離為.故選：D.8．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得證為等腰三角形，于是建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，根據(jù)與直線AC與BD所成角為建立方程，求得，然后找出外接球球心，根據(jù)相關(guān)數(shù)量關(guān)系，建立外接球半徑的等式關(guān)系，求出半徑，應(yīng)用球的表面積公式即可得解【詳解】由題意可得，因?yàn)闉榈冗吶切危?，又，且所以，所?取的中點(diǎn)，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，令，所以，因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)橹本€AC與BD所成角為，所以，解得，即，如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的投影為，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱錐外接球表面積為，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；2.若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體求解；3.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．4.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長．5.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，則下列說法正確的是（

）A．是平面的一個(gè)法向量 B．四點(diǎn)共面C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)向量垂直，即可結(jié)合法向量定義求解A，根據(jù)共面定理即可求解B，根據(jù)向量共線即可求解C，由模長公式即可求解D.【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量，故A正確；設(shè)，則，無解，所以四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：AD.10．已知直線，直線，下列說法正確的是（

）A．直線在軸上的截距等于直線在軸上的截距B．若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)也在直線上C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)直線的截距、直線與直線平行與垂直關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】直線在軸上的截距為，直線在軸上的截距為2，不相等，故A錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線上，則，所以點(diǎn)在直線上，故B正確；當(dāng)時(shí)，與重合，故C錯(cuò)誤；若，則，故D正確.故選：BD11．在棱長為2的正方體中，點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（

）

A．若，則面B．若，則C．若，則到平面的距離為D．若時(shí)，直線與平面所成角為，則【答案】ACD【分析】利用面面平行判斷線面平行，即可判斷A，建系后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于B，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，利用空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可：對(duì)于D，由條件求得，利用線面角的向量求法得到，借助于函數(shù)的單調(diào)性即可求得的范圍.【詳解】連結(jié)，由可知，點(diǎn)在線段上，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理平面，且，且平面，所以平面平面，平面，所以平面，故A正確；

如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于A，，則，得，則，，A正確：對(duì)于B，由A分析可得，故不與垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，，又，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，又，則到平面的距離為，故C正確：對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，又由C已得平面的法向量為，則當(dāng)，當(dāng)，因在上單調(diào)遞減，則，則有，則，則當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，則.【答案】【分析】根據(jù)夾角公式算出，進(jìn)而求出正弦值.【詳解】根據(jù)夾角公式，，注意到，則，于是.故答案為：13．已知，、、三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)．若，且、、、四點(diǎn)共面，則．【答案】【分析】根據(jù)空間共面定理得到若，，，四點(diǎn)共面，則，且，從而得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共面，則，且，又，即，即，所以，解得.故答案為：14．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】4【分析】根據(jù)所求式子，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對(duì)稱性，即可求最小值.【詳解】，表示直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和，如圖，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)重合時(shí)，最小，最小值為4.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知，.(1)若()∥()，求x，y的值；(2)若，且，求x的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出和的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；（2）先根據(jù)向量垂直得，進(jìn)而，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】（1）∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.（2）由，得，∴，∴，即，∴，解得.16．（15分）據(jù)下列條件分別寫出直線的方程．并化為一般式方程．(1)求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；(2)已知點(diǎn)，．求線段的垂直平分線的方程；(3)求經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程．【答案】(1)(2)(3)和【分析】根據(jù)題給條件設(shè)直線方程即可.（1）設(shè)與直線平行的直線方程為，代點(diǎn)即可求解.（2）根據(jù)點(diǎn)求中點(diǎn)坐標(biāo)及其斜率，與線段的垂直的直線的斜率與，點(diǎn)斜式寫直線方程即可.（3）設(shè)截距，考慮截距為和不為的情況，根據(jù)點(diǎn)斜式寫直線方程即可.【詳解】（1）設(shè)與直線平行的直線方程為，過，則，則，所以直線的一般方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)，，中點(diǎn)為，，則垂直平分線的斜率，則，直線方程為，所以直線的一般方程為.（3）設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為，即直線過當(dāng)截距時(shí)，直線過，，則，即；當(dāng)截距時(shí)，直線斜率，則，即.所以在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為和.17．（15分）如圖在平行六面體中，，．

(1)求證：直線平面；(2)求直線和夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得出，，，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出，，從而得出，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明直線平面；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得出，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求得和，，最后根據(jù)異面直線的夾角公式，即可求出直線和夾角的余弦值.【詳解】（1）設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，且，，，因?yàn)椋?，則，，可得，，即，且，平面，所以平面.（2）由（1）得，則，，即，則，即，設(shè)與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為.18．（17分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．求：(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)，使四邊形ABCD是平行四邊形；(2)點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求的面積．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）由ABCD為平行四邊形知可求；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得出，解方程即可得出答案.（3）求出和點(diǎn)到直線AB的距離即可求出面積.【詳解】（1）設(shè)，由ABCD為平行四邊形知，即，則，解得，即.（2）直線AB的方程為，即，點(diǎn)關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得：，故C關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3），直線AB的方程，點(diǎn)到直線AB：的距離為，∴.19．（17分）如圖1，在四邊形中，，，，如圖2，把沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)處，且平面平面，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，且【分析】（1）在平面圖形中證得，，取的中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（3）由（2）中信息，利用點(diǎn)到平面的距離的向量公式計(jì)算得解.【詳解】（1）在圖1中，由，，得，則，所以，由，得，即，在圖2中，，取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，則，由，得，而，平面，則平面，又平面，所以.（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，于是平面，直