課時3兩角和與差的三角函數(shù)1.【答案】C【解析】因為tanα＝－3eq\r(3)，所以tan＝eq\f(tanα－tan\f(π,6),1＋tanαtan\f(π,6))＝eq\f(－3\r(3)－\f(\r(3),3),1－3\r(3)×\f(\r(3),3))＝eq\f(5\r(3),3).故選C.2.【答案】B【解析】，，，相除可得，．故選B.3．【答案】D【解析】因為sin＝－3cos，即eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα＝－3，整理得2sinα＝－eq\r(3)cosα，所以tanα＝－eq\f(\r(3),2)，所以sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝＝－eq\f(4\r(3),7).故選D.4.【答案】A【解析】eq\f(1－cos210°,cos80°\r(1－cos20°))＝eq\f(sin210°,sin10°\r(1－（1－2sin210°）))＝eq\f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq\f(\r(2),2).故選A.5.【答案】B【解析】當時，即，則，當時，兩邊都除以，得，即．當時，不能得出，所以由甲不一定推出乙．當時，即，兩邊都乘以，得，兩邊都加上，得，即．所以由乙可推出甲．所以甲是乙的必要不充分條件．故選B．6.【答案】D【解析】因為，，所以，故..又，即，所以．故選D．7.【答案】ABC【解析】因為eq\f(tan15°＋1,tan15°－1)＝－eq\f(tan15°＋tan45°,1－tan15°tan45°)＝－tan60°＝－eq\r(3)，故A正確；cos422.5°－sin422.5°＝(cos222.5°＋sin222.5°)(cos222.5°－sin222.5°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，故B正確；sin15°sin45°sin75°＝sin15°cos15°sin45°＝eq\f(1,2)sin30°·sin45°＝eq\f(\r(2),8)，故C正確；因為tan60°＝tan(37°＋23°)＝eq\f(tan37°＋tan23°,1－tan37°tan23°)＝eq\r(3)，所以tan37°＋tan23°＋eq\r(3)tan37°tan23°＝eq\r(3)，故D錯誤．故選ABC.8.【答案】AD【解析】因為sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，所以sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝eq\f(1,4)，解得cosα＝±eq\f(1,2).又α∈，所以cosα＝eq\f(1,2)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(3),2)，則tanα＝eq\r(3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\r(3).故選AD.9．【答案】BD【解析】由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinγ＝sinα－sinβ，,cosγ＝cosβ－cosα，))所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sinα－sinβ)2＋(cosβ－cosα)2＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝eq\f(1,2).因為α，β，γ∈，則－eq\f(π,2)<β－α<eq\f(π,2).因為sinγ＝sinα－sinβ>0，函數(shù)y＝sinx在上單調(diào)遞增，則α>β，則－eq\f(π,2)<β－α<0，故β－α＝－eq\f(π,3).故選BD.10.【答案】eq\f(π,4)【解析】因為α，β均為銳角，所以－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，所以－eq\f(π,2)<α－β<0，所以cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).又sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×＝eq\f(\r(2),2).所以β＝eq\f(π,4).11.【答案】118°(不唯一)【解析】因為tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tan62°(1－tanαtanβ)，又eq\f(tanα＋tanβ＋tanγ,tanαtanβtanγ)＝1，所以tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ，即tan62°(1－tanαtanβ)＋tanγ＝tanαtanβtanγ，化簡可得，tan62°＋tanγ＝tanαtanβ(tan62°＋tanγ)，所以tan62°＋tanγ＝0或tanαtanβ＝1，又α＝1°，β＝61°，故tanαtanβ≠1，所以tan62°＋tanγ＝0，故γ＝118°滿足題意．12.【答案】【解析】方法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯(lián)立，解得.方法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則13.【解】（1）因為6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝eq\f(6sin2α＋sinαcosα－2cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(6tan2α＋tanα－2,tan2α＋1)＝0，即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tanα＝－eq\f(2,3)或tanα＝eq\f(1,2)，因為α∈，所以tanα＝－eq\f(2,3).（2）因為sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝－eq\f(12,13)，cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(5,13)，所以sin＝sin2αcoseq\f(π,3)＋cos2αsineq\f(π,3)＝－eq\f(12,13)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3)－12,26).14．【解】(1)因為α，β∈，所以cosα>0，cosβ>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosα＝2\r(2)cosβ，,cosαcosβ＝\f(3\r(2),5)，))解得cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(10),10)，則cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).因為α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq\f(π,4).(2)【證明】因為α＋β＝eq\f(π,4)，sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)>sinα＝eq\f(\r(5),5)>sinβ＝eq\f(\r(10)