高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（）A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的虛部為，即虛部為.故選：B.2.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，若，則，即.故選：C.3.有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），其中，，，則這塊菜地的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖1所示，過點(diǎn)A作AE垂直于BC于點(diǎn)E，，，，四邊形是正方形，則，，將斜二測直觀圖還原成圖2所示直角梯形，其中,所以這塊菜地的面積為.故選：D.4.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組對古塔AB進(jìn)行測量，AB與地面垂直，從地面C點(diǎn)看塔頂A的仰角為，沿直線BC前行20米到點(diǎn)D此時(shí)看塔頂A的仰角為，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得古塔AB的高為（）米.A. B.20 C.10 D.【答案】A【解析】設(shè)古塔AB的高為米，在中，可得；在中，可得；由題意可知：，即，解得，所以古塔AB的高為米.故選：A.5.圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)圖象可看到函數(shù)為奇函數(shù)，并且與x軸交點(diǎn)不止一個(gè)，而是偶函數(shù)，只有唯一根，其圖象與x軸交點(diǎn)只有一個(gè)，由此可排除B，D;當(dāng)時(shí)，，由此可排除C;故選:A.6.唐代是我國古代金銀器制造最為成熟與發(fā)達(dá)的時(shí)期.強(qiáng)盛的國力?開放的心態(tài)?絲綢之路的暢通，使得唐代對外交往空前頻繁.走進(jìn)陜西歷史博物館珍寶館，你會看到“東學(xué)西漸”和“西風(fēng)東來”，各類珍寶無不反映出唐人對自我文化的自信.素面高足銀杯（如圖1）就是其中一件珍藏.銀杯主體可以近似看作半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁光滑，杯壁厚度可忽略），如圖2所示.已知球的半徑為，酒杯容積為，則其內(nèi)壁表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓柱的高為，內(nèi)壁的表面積為，由題意可知：，解得，內(nèi)壁的表面積等于圓柱的側(cè)面積，加半球的表面積，即.故選：D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的單位圓與銳角的終邊交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與銳角的終邊交于點(diǎn)，如圖所示，的面積小于扇形的面積，扇形的面積小于的面積，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】根據(jù)題意，的面積為，扇形的面積為，的面積為，依題意可得，即，都成立，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)為銳角時(shí)，也為銳角，，都成立，所以，；，，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D8.在銳角三角形中，角的對邊分別為.若，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則的最大值為.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由正弦定理可知，推不出，故A錯(cuò)誤；由，設(shè)，則，故A為銳角，，，故C為鈍角，，，故B為銳角，,故，故B正確；由上面分析可知，，故C錯(cuò)誤；又，故，故D正確，故選：BD10.已知函數(shù)，則（）A.若函數(shù)的周期為，則B.若，則函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到C.若且直線是函數(shù)的一條對稱軸，則在上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】，對于A，若函數(shù)的周期為，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，故函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，故B正確；對于C，若且直線是函數(shù)的一條對稱軸，則且，解得，則，由，得，故在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則，又，則，故D正確.故選：BCD.11.如圖，已知均為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)．，下列說法正確的是（）A.延長交于，則B.若，則為的重心C.若，則點(diǎn)的軌跡是一條線段D.的最小值是【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)橐阎鶠榈冗吶切危謩e為的中點(diǎn)，連接CD，AE，BF，延長BE交AC于點(diǎn)M，則，所以，則，，A正確；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，由A選項(xiàng)可知：，設(shè)邊長為1，則，則直線，直線：，聯(lián)立直線與，求得：，所以，直線：，聯(lián)立直線與，求得：，所以，聯(lián)立直線與，求得：，所以，因?yàn)?，則為的重心，則，即，而的重心為，即，故為的重心，B正確；設(shè)，，結(jié)合B選項(xiàng)中建立的坐標(biāo)系，可知：，即，解得：若，則，整理得：，因?yàn)闉閮?nèi)一點(diǎn)(含邊界)，所以點(diǎn)的軌跡是一條線段，C正確；結(jié)合C選項(xiàng)，可知，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，向量，則在上的投影向量是__________（注：本題答案用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】由向量，可得且，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.13.已知在中，的角平分線交線段于，則___________.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，所以，由于，在直角三角形中，.故答案為：14.已知是平面內(nèi)三個(gè)非零向量，且，，則當(dāng)與的夾角最小時(shí)，__________．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以是邊長為的等邊三角形，因?yàn)椋砸詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，則，則，可得，所以，因?yàn)?，所以，則，要使得與的夾角最小，則需取得最大值，且，，令，則，設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值，此時(shí)與的夾角最小，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知、是非零向量，，且、．（1）求與的夾角；（2）求．（1）解：因?yàn)椋?，即，即，所以，因?yàn)?，所以；?）解：16.設(shè)為虛數(shù)單位，，復(fù)數(shù).且___________.請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題目的橫線上，并作答.①；②；③在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限的角平分線上.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）解：（1）若選①：由，得，解得.若選②：由，解得.若選③：由得.（2），由，解得.17.已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中內(nèi)角的對邊分別為，若，，求面積的取值范圍．（1）解：由向量，可得，，令，得；又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.（2）解：由（1）可得，即，因?yàn)?，所以，所以，則，又由正弦定理得，則，，則．，因?yàn)闉殇J角三角形，可得由，即，得，所以，所以，則，所以的取值范圍為，所以，即面積的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由函數(shù)，因?yàn)椋傻?（2）任取，且，則．因?yàn)?，可得，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．（3）因?yàn)?，所以可化為，由?）可知，在上單調(diào)遞增，所以，即，要存在，使得不等式成立，只要存在，使得成立，因?yàn)?，所以，令，只要存在，使得成立，即，令，設(shè)且，，當(dāng)且時(shí)，，則，可得時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以（當(dāng)時(shí)取等號），所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.據(jù)報(bào)道，2024年4月15日，正值全民國家安全教育日，田灣核電8號機(jī)組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1）），標(biāo)志著國內(nèi)最重核電機(jī)組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成，有力推動了我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)的調(diào)整，助力“雙碳”目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn).報(bào)道中提到的球冠是一個(gè)空間幾何概念，它是指球面被一個(gè)平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓（過球心的截面圓）周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應(yīng)的幾何體叫球缺，它是指球體被一個(gè)平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當(dāng)球缺的高小于球半徑時(shí)，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點(diǎn)的圓錐所構(gòu)成的體，稱作“球錐”（如圖（2））當(dāng)一個(gè)四面體各頂點(diǎn)都在“球錐”表面上時(shí)，稱這個(gè)四面體內(nèi)接此“球錐”.如圖（2），設(shè)一個(gè)“球錐”所在球的半徑為，其中球冠高為.（1）類比球體積公式的推導(dǎo)過程（可參考圖（3）），寫出“球錐”的體積公式；（2）在該“球錐”中，當(dāng)球缺的體積與圓錐的體積相等時(shí)，求的值；（3）已知一個(gè)棱長為的正四面體內(nèi)接此“球錐”，并且有一個(gè)頂點(diǎn)與球心重合，若滿足條件的有且只有一個(gè)，求的取值范圍.解：（1）把“球錐”切割成無數(shù)個(gè)小錐體，由題意得球冠面積為，所有小錐體的底面積之和即球冠面積，結(jié)合錐體體積公式得“球錐”的體積為.（2）設(shè)圓錐半徑為，則，當(dāng)球缺的體積與圓錐的體積相等時(shí)，，即，消去，得，整理得，因?yàn)椋?（3）設(shè)正四面體內(nèi)接“球錐”，頂點(diǎn)與球心重合，棱長為，則外接圓半徑為，正四面體的高為，顯然不滿足條件.注意到，當(dāng)頂點(diǎn)在圓錐底面圓周上時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，作平行于圓錐底面的平面截正四面體，所得棱長小于的正四面體均可內(nèi)接該“球錐”.因此，若要存在棱長唯一的正四面體內(nèi)接該“球錐”，則，且頂點(diǎn)在球冠上.即，且.又因?yàn)?，所?浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（）A.2 B.-2 C. D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的虛部為，即虛部為.故選：B.2.已知向量，若，則（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則，即.故選：C.3.有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），其中，，，則這塊菜地的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖1所示，過點(diǎn)A作AE垂直于BC于點(diǎn)E，，，，四邊形是正方形，則，，將斜二測直觀圖還原成圖2所示直角梯形，其中,所以這塊菜地的面積為.故選：D.4.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組對古塔AB進(jìn)行測量，AB與地面垂直，從地面C點(diǎn)看塔頂A的仰角為，沿直線BC前行20米到點(diǎn)D此時(shí)看塔頂A的仰角為，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得古塔AB的高為（）米.A. B.20 C.10 D.【答案】A【解析】設(shè)古塔AB的高為米，在中，可得；在中，可得；由題意可知：，即，解得，所以古塔AB的高為米.故選：A.5.圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)圖象可看到函數(shù)為奇函數(shù)，并且與x軸交點(diǎn)不止一個(gè)，而是偶函數(shù)，只有唯一根，其圖象與x軸交點(diǎn)只有一個(gè)，由此可排除B，D;當(dāng)時(shí)，，由此可排除C;故選:A.6.唐代是我國古代金銀器制造最為成熟與發(fā)達(dá)的時(shí)期.強(qiáng)盛的國力?開放的心態(tài)?絲綢之路的暢通，使得唐代對外交往空前頻繁.走進(jìn)陜西歷史博物館珍寶館，你會看到“東學(xué)西漸”和“西風(fēng)東來”，各類珍寶無不反映出唐人對自我文化的自信.素面高足銀杯（如圖1）就是其中一件珍藏.銀杯主體可以近似看作半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁光滑，杯壁厚度可忽略），如圖2所示.已知球的半徑為，酒杯容積為，則其內(nèi)壁表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓柱的高為，內(nèi)壁的表面積為，由題意可知：，解得，內(nèi)壁的表面積等于圓柱的側(cè)面積，加半球的表面積，即.故選：D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的單位圓與銳角的終邊交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與銳角的終邊交于點(diǎn)，如圖所示，的面積小于扇形的面積，扇形的面積小于的面積，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】根據(jù)題意，的面積為，扇形的面積為，的面積為，依題意可得，即，都成立，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)為銳角時(shí)，也為銳角，，都成立，所以，；，，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D8.在銳角三角形中，角的對邊分別為.若，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則的最大值為.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由正弦定理可知，推不出，故A錯(cuò)誤；由，設(shè)，則，故A為銳角，，，故C為鈍角，，，故B為銳角，,故，故B正確；由上面分析可知，，故C錯(cuò)誤；又，故，故D正確，故選：BD10.已知函數(shù)，則（）A.若函數(shù)的周期為，則B.若，則函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到C.若且直線是函數(shù)的一條對稱軸，則在上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】，對于A，若函數(shù)的周期為，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，故函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，故B正確；對于C，若且直線是函數(shù)的一條對稱軸，則且，解得，則，由，得，故在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則，又，則，故D正確.故選：BCD.11.如圖，已知均為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)．，下列說法正確的是（）A.延長交于，則B.若，則為的重心C.若，則點(diǎn)的軌跡是一條線段D.的最小值是【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)橐阎鶠榈冗吶切危謩e為的中點(diǎn)，連接CD，AE，BF，延長BE交AC于點(diǎn)M，則，所以，則，，A正確；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，由A選項(xiàng)可知：，設(shè)邊長為1，則，則直線，直線：，聯(lián)立直線與，求得：，所以，直線：，聯(lián)立直線與，求得：，所以，聯(lián)立直線與，求得：，所以，因?yàn)椋瑒t為的重心，則，即，而的重心為，即，故為的重心，B正確；設(shè)，，結(jié)合B選項(xiàng)中建立的坐標(biāo)系，可知：，即，解得：若，則，整理得：，因?yàn)闉閮?nèi)一點(diǎn)(含邊界)，所以點(diǎn)的軌跡是一條線段，C正確；結(jié)合C選項(xiàng)，可知，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，向量，則在上的投影向量是__________（注：本題答案用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】由向量，可得且，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.13.已知在中，的角平分線交線段于，則___________.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，所以，由于，在直角三角形中，.故答案為：14.已知是平面內(nèi)三個(gè)非零向量，且，，則當(dāng)與的夾角最小時(shí)，__________．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，所以是邊長為的等邊三角形，因?yàn)?，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，則，則，可得，所以，因?yàn)?，所以，則，要使得與的夾角最小，則需取得最大值，且，，令，則，設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值，此時(shí)與的夾角最小，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知、是非零向量，，且、．（1）求與的夾角；（2）求．（1）解：因?yàn)?，所以，即，即，所以，因?yàn)?，所以；?）解：16.設(shè)為虛數(shù)單位，，復(fù)數(shù).且___________.請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題目的橫線上，并作答.①；②；③在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限的角平分線上.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）解：（1）若選①：由，得，解得.若選②：由，解得.若選③：由得.（2），由，解得.17.已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中內(nèi)角的對邊分別為，若，，求面積的取值范圍．（1）解：由向量，可得，，令，得；又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.（2）解：由（1）可得，即，因?yàn)?，所以，所以，則，又由正弦定理得，則，，則．，因?yàn)闉殇J角三角形，可得由，即，得，所以，所以，則，所以的取值范圍為，所以，即面積的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由函數(shù)，因?yàn)椋傻?（2）任取，且，則．因?yàn)?，可得，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．（3）因?yàn)?，所以可化為，由?）可知，在上單調(diào)遞增，所以，即，要存在，使得不等式成立，只要存在，使得成立，因?yàn)椋?，令，只要存在，使得成立，即，令，設(shè)且，，當(dāng)且時(shí)，