考點(diǎn)16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精練）限時(shí)檢測(cè)1：最新各地模擬試題（50分鐘）1．（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．2．（2025·河北邢臺(tái)·?？家荒＃┤鐖D，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．由?、诳梢耘袛喑?B．?、酆突、芩趫A的半徑相等C．由弧①可以判斷出 D．的內(nèi)心和外心都在射線上3．（2025·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖是一把圓規(guī)的平面示意圖，是支撐臂，是旋轉(zhuǎn)臂，已知，使用時(shí)，以點(diǎn)為支撐點(diǎn)，筆芯端點(diǎn)可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)作出圓．若支撐臂與旋轉(zhuǎn)臂的夾角，則圓規(guī)能畫(huà)出的圓的半徑長(zhǎng)度為(

)

A． B． C． D．4．（2025·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．兩名同學(xué)提供了如下方案：方案Ⅰ方案Ⅱ如圖1，①分別作，的垂直平分線，交于點(diǎn)P；②選擇，，．如圖2，①以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；②連接，．對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說(shuō)法正確的是（

）．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行5．（2025·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．36．（2025·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．107．（2025·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．56 B． C． D．8．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，點(diǎn)，在線段上，且滿足，點(diǎn)在射線上，且，則滿足上述條件的點(diǎn)有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上9．（2025·浙江溫州·統(tǒng)考二模）在中，比較與的大小關(guān)系時(shí)，小明同學(xué)用圓規(guī)設(shè)計(jì)了如圖的方案，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧，分別交，于點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)為．

10．（2025·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為．11．（2025·湖南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．12．（2025·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為的外心，過(guò)點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點(diǎn)．（1）若，則的度數(shù)為；（2）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，則的周長(zhǎng)為．

13．（2025·山東·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是的斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接、，若，，則線段的長(zhǎng)為．

14．（2025·廣東江門(mén)·統(tǒng)考三模）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，．當(dāng)且點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，的長(zhǎng)為．15．（2025·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)D，E．(1)求證：；(2)連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

16．（2025·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)為射線上的定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），作線段的垂直平分線，分別交，于C，D，連接，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：；(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段，和的關(guān)系，并證明．

17．（2025·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在與中，，與相交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)連接，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為M，線段的中點(diǎn)分別為N，直線與相交于點(diǎn)F．求證：F，N，E，M四點(diǎn)共線．

18．（2025·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：線段及射線．求作：等腰，使得點(diǎn)C在射線上．作法一：如圖1，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接．作法二：如圖2．①在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)E，連接；②以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；④作射線交射線于點(diǎn)C．作法三：如圖3，①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P，Q；②作直線，交射線于點(diǎn)C，連接．根據(jù)以上三種作法，填空：由作法一可知：______，∴是等腰三角形．由作法二可知：______，∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．由作法三可知；是線段的______．∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．

19．（2025·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在邊，上，滿足，與交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)以C為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，連接．①依題意補(bǔ)全圖形；②若，求k的值．

20．（2025·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是等邊三角形，．(1)觀察猜想：如圖1，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，交的外角平分線于點(diǎn)，求線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是_________；(2)類(lèi)比探究：如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，寫(xiě)出此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為邊，在的下方作等邊，連接，直接寫(xiě)出的最小值．

限時(shí)檢測(cè)2：最新各地中考真題（60分鐘）1.（2025·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2025·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．若，則的面積為（

）

A．13 B． C．8 D．4．（2025·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，重合），連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．（2025·浙江湖州·中考真題）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．6．（2025·湖北宜昌·中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，．作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．25 B．22 C．19 D．187．（2025·湖南湘潭·中考真題）（多選題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是等邊三角形B．C．D．8．（2025·云南·中考真題）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，則△ABC的頂角度數(shù)是____．9．（2025·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．10．（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則．（結(jié)果保留根號(hào)）

11．（2025·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．

12．（2025·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．13．（2025·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋輪得到，在、上分別截取、，使，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

14．（2025·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

15．（2025·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

16．（2025·江蘇無(wú)錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是________．17．（2025·廣東江門(mén)·校考一模）在學(xué)習(xí)完勾股定理后，小芳被“弦圖”深深地吸引了，她也設(shè)計(jì)了一個(gè)類(lèi)似“弦圖”的圖案（如圖），主體是一個(gè)菱形，把菱形分割成四個(gè)兩兩全等的直角三角形和一個(gè)矩形，這四個(gè)直角三角形中有兩個(gè)是等腰直角三角形，另兩個(gè)三角形的兩直角邊分別是和，那么中間的矩形的面積是_____________．18．（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與分別交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．

19．（2025·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段的長(zhǎng)為；（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）．20．（2025·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精練）限時(shí)檢測(cè)1：最新各地模擬試題（50分鐘）1．（2024·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊對(duì)等角，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，由等邊對(duì)等角得出，從而得出，進(jìn)而是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故選：C．2．（2025·河北邢臺(tái)·?？家荒＃┤鐖D，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．由弧②可以判斷出 B．?、酆突、芩趫A的半徑相等C．由弧①可以判斷出 D．的內(nèi)心和外心都在射線上【答案】C【分析】利用基本作圖可對(duì)選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用基本作圖可得到平分，從而可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形的內(nèi)心和外心的定義可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．由弧可得，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．由弧和弧可得到，即弧和弧所在圓的半徑相等，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C．由弧可判斷為的平分線，而由弧不可以判斷出，故C選項(xiàng)正確，符合題意；D．∵平分，∴的內(nèi)心在射線上，∵垂直平分，∴的外心在射線上，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心與外心．3．（2025·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖是一把圓規(guī)的平面示意圖，是支撐臂，是旋轉(zhuǎn)臂，已知，使用時(shí)，以點(diǎn)為支撐點(diǎn)，筆芯端點(diǎn)可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)作出圓．若支撐臂與旋轉(zhuǎn)臂的夾角，則圓規(guī)能畫(huà)出的圓的半徑長(zhǎng)度為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】先作交于點(diǎn)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可表示出．【詳解】解：作交于點(diǎn)，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2025·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．兩名同學(xué)提供了如下方案：方案Ⅰ方案Ⅱ如圖1，①分別作，的垂直平分線，交于點(diǎn)P；②選擇，，．如圖2，①以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；②連接，．對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說(shuō)法正確的是（

）．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出結(jié)論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可判斷和的特征，然后根據(jù)等腰三角形的判定說(shuō)明即可得到答案.【詳解】解：∵點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴（垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等），同理，得，∴，∴都是等腰三角形．連接，∵，∴．∵，∴，∴，∴是頂角為的等腰三角形．∵，∴，∴是頂角為的等腰三角形．∵，∴，∴，∴，∴，∴是頂角為的等腰三角形，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2025·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】先求出，再求出，根據(jù)所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，∴，∵，為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練利用相應(yīng)的定理進(jìn)行推理．6．（2025·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題意推出，在中，，即可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．7．（2025·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．56 B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)至，使，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證，得，，再證，得，，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，進(jìn)而求出，再利用即可解決問(wèn)題．【詳解】解：延長(zhǎng)至，使，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：為的中點(diǎn)，，

在和中，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，點(diǎn)，在線段上，且滿足，點(diǎn)在射線上，且，則滿足上述條件的點(diǎn)有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上【答案】B【分析】分為兩種情況：①當(dāng)P在線段上時(shí)，②當(dāng)P在上時(shí)，分別求出或的值，再根據(jù)判斷即可．【詳解】解：分為兩種情況：①當(dāng)P在線段上時(shí)，作E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接交于點(diǎn)O，則，

連接交于P，過(guò)作于H，∵E，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴的最小值為線段的長(zhǎng)度，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)P在點(diǎn)A處時(shí)，，當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，連接，過(guò)C作于M，

∵，∴∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，在中，，∴，當(dāng)P在C處時(shí)，，∴當(dāng)P在AC邊上時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)P使，②當(dāng)P在邊上時(shí)，作F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)G，則，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接，交于P，連接，如圖：∵F與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴的最小值為線段的長(zhǎng)度．∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴當(dāng)P在邊上時(shí)，不存在，綜上所述，點(diǎn)P在直角邊上，且滿足，則這樣的P點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30°的直角三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．9．（2025·浙江溫州·統(tǒng)考二模）在中，比較與的大小關(guān)系時(shí)，小明同學(xué)用圓規(guī)設(shè)計(jì)了如圖的方案，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧，分別交，于點(diǎn)，，若，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)題意可得：，先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出，從而可得是等邊三角形，進(jìn)而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：連接，

由題意得：，，，，是等邊三角形，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2025·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)為．【答案】/106度【分析】由作圖可知，是的垂直平分線，則為的中點(diǎn)，如圖，連接，則，，，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由作圖可知，是的垂直平分線，∴為的中點(diǎn)，如圖，連接，∵，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2025·湖南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出、根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，是角平分線，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∵的垂直平分線交于點(diǎn)F，∴，∴的垂直，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．（2025·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為的外心，過(guò)點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點(diǎn)．（1）若，則的度數(shù)為；（2）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，則的周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，從而有，，由三角形內(nèi)角和定理，從而由可求得結(jié)果；（2）連接，由已知可得點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，則可得；再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，，最后可求得周長(zhǎng)的值．【詳解】（1）∵點(diǎn)O為中的外心，，，∴、是的垂直平分線，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2）連接，∵是邊的垂直平分線，是邊的垂直平分線，∴，，∴，∴點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，∵，∴，∵，，∴的周長(zhǎng)．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵．13．（2025·山東·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是的斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接、，若，，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可證()，從而可得，，可證為等腰直角三角形，可得，可證，可求，由即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在和中，，()，，，，，，即，，，為等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，．故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，并能根據(jù)題意t添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2025·廣東江門(mén)·統(tǒng)考三模）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，．當(dāng)且點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，根據(jù)勾股定理求出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，推出點(diǎn)一定在線段上，利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，在為等邊三角形，，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)一定在直線上；當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，如圖所示，，在中，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．15．（2025·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)D，E．(1)求證：；(2)連接，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)可求得，在中，由直角三角形的性質(zhì)可證得即可證明結(jié)論；掌握垂直平分線和直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵；（2）由直角三角形的性質(zhì)可得，且，可證明為等邊三角形．掌握直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，

∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，∴；（2）解：是等邊三角形，理由如下：如圖：連接．∵是的垂直平分線，∴D為中點(diǎn)，∵，∴，∵，∴是等邊三角形．16．（2025·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)為射線上的定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），作線段的垂直平分線，分別交，于C，D，連接，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：；(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段，和的關(guān)系，并證明．

【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）先逐步根據(jù)提示畫(huà)圖，再證明，設(shè)，證明，可得，從而可得答案；（2）如圖，過(guò)F作于H，證明，，，可得，，，證明，，可得，從而可得結(jié)論，同理可得當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)的結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，補(bǔ)全圖形如下：

∵，，∴，，∴設(shè)，∵，，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，而，∴．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作于H，∵，，∴，，∵，∴，∴，，，∴，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，過(guò)F作于H，同理可得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．17．（2025·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在與中，，與相交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)連接，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為M，線段的中點(diǎn)分別為N，直線與相交于點(diǎn)F．求證：F，N，E，M四點(diǎn)共線．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，得出，則可證出結(jié)論；（2）連接，，，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得為的垂直平分線，平分，平分，由，為的垂直平分線，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴；（2）證明：連接，，，

∵，∴，，∴，又∵為的中點(diǎn)，則∴為的垂直平分線，平分，∵，∴為的垂直平分線，∴E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∵，，∴，∵N為的中點(diǎn)，∴平分，∵平分，∴N在上，∴F，N，E，M四點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．18．（2025·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：線段及射線．求作：等腰，使得點(diǎn)C在射線上．作法一：如圖1，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接．作法二：如圖2．①在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)E，連接；②以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線段于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；④作射線交射線于點(diǎn)C．作法三：如圖3，①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P，Q；②作直線，交射線于點(diǎn)C，連接．根據(jù)以上三種作法，填空：由作法一可知：______，∴是等腰三角形．由作法二可知：______，∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．由作法三可知；是線段的______．∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．

【答案】；；等角對(duì)等邊；垂直平分線；線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【分析】由作法一可知，由作法二可知：，由作法三可知；是線段的垂直平分線．根據(jù)作圖結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．由作法二可知：，∴（等邊對(duì)等角）∴是等腰三角形．由作法三可知；是線段的垂直平分線．∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）【點(diǎn)睛】本題考查了作線段，作一個(gè)角等于已知角，作垂直平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．19．（2025·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在邊，上，滿足，與交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)以C為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，連接．①依題意補(bǔ)全圖形；②若，求k的值．

【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）證明，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可；（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；②延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使，連接，證明，得出，，證明，得出，延長(zhǎng)至點(diǎn)P使得，連接，，證明，得出，，說(shuō)明為等邊三角形，得出，根據(jù)，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴．（2）解：①如圖所示：②延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使，連接，如圖所示：

∵N是的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∵繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，延長(zhǎng)至點(diǎn)P使得，連接，，由（1）可知，，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．20．（2025·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是等邊三角形，．(1)觀察猜想：如圖1，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，交的外角平分線于點(diǎn)，求線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是_________；(2)類(lèi)比探究：如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，寫(xiě)出此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為邊，在的下方作等邊，連接，直接寫(xiě)出的最小值．

【答案】(1)(2)不成立，結(jié)論，理由見(jiàn)詳解(3)1【分析】（1）可證是等邊三角形，可得，從而可證，可得，由即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)，,可得，由即可得證；（3）連接，可證，可得，當(dāng)時(shí)，最小，即可求解．【詳解】（1）解：；是等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形，，，，是外角平分線，，，，，，，在和中，（），，．故答案：．（2）解：不成立，結(jié)論：，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)，

是等邊三角形，，，，是外角的平分線，，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，(),，，．（3）解：連接，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，()，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．限時(shí)檢測(cè)2：最新各地中考真題（60分鐘）1.（2025·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．【詳解】解：，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的等邊對(duì)等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．2．（2025·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則，可得，由此即可得到．【詳解】解：∵在等腰中，，，∴，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．若，則的面積為（

）

A．13 B． C．8 D．【答案】D【分析】依據(jù)題意，連接，然后先證明，從而，又由等腰可得，從而在中可以求得，又，從而可得的值，進(jìn)而可以得解．【詳解】解：如圖，連接．

在中，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，，，，．．，，，．．又，，．，．在中，．在中，．又在中，，．．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．4．（2025·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，重合），連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明PD是否是BC的垂直平分線，判斷即可．【詳解】因?yàn)锳B=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則A是真命題；因?yàn)镻B=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分線，所以AB=AC，則B是真命題；因?yàn)锳B=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC，則C是真命題；因?yàn)镻B=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判斷AP是BC的垂直平分線，所以AB和AC不一定相等，則D是假命題．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2025·浙江湖州·中考真題）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)三線合一可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)∠EBC＝45°，可得為等腰直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，，，∠EBC＝45°，，為等腰直角三角形，，，則△EBC的面積是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．（2025·湖北宜昌·中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，．作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)得BD＝CD，由△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【詳解】解：由作圖的過(guò)程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵，，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2025·湖南湘潭·中考真題）（多選題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是等邊三角形B．C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：由作圖可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，故A選項(xiàng)正確∵等邊三角形三線合一，由作圖知，CD是線段AB的垂直平分線，∴，故B選項(xiàng)正確，∴，，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-基本作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．8．（2025·云南·中考真題）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，則△ABC的頂角度數(shù)是____．【答案】40°或100°【分析】分∠A為三角形頂角或底角兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：當(dāng)∠A為三角形頂角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)是40°；當(dāng)∠A為三角形底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)是180°-40°-40°=100°；故答案為：40°或100°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類(lèi)題目，難點(diǎn)在于要分情況討論．9．（2025·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，由題意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．10．（2025·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/【分析】如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2025·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】分兩種情況當(dāng)在延長(zhǎng)線上和當(dāng)在上討論，畫(huà)出圖形，連接，過(guò)點(diǎn)作于，利用勾股定理解題即可【詳解】解：當(dāng)在線段上時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，

當(dāng)在線段上時(shí)，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，，，，，，，當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，則，

是線段的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2025·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在內(nèi)，，連接交于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】由題意易得，，，，則可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，，∵，，∴，故①正確；∴，∴，，故③正確；∵，，，∴，；故②錯(cuò)誤；∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，故④正確；故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2025·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋輪得到，在、上分別截取、，使，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】/【分析】根據(jù)題干條件可得，所以≌，得到，又證明得≌，，所以≌，；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，列雙勾股方程解得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)∽，即可求出答案．【詳解】解：由題意可得，≌，，,，、是等腰直角三角形，；連接、,≌，，連接，，，≌，，，又，，≌，，連接、，，，≌，，設(shè)，，，，，，，，，得，，解得（舍），，，，，又∽，，，故答案是．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等，勾股定理的運(yùn)用，三角形相似計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，利用條件推理證明、列出雙勾股方程計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵．14．（2025·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫(huà)出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，當(dāng)時(shí)，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；當(dāng)時(shí)，，，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，∴；

綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．15．（2025·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先求出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后歸納類(lèi)推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，當(dāng)時(shí)，，即，，，是等邊三角形，，，，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，歸納類(lèi)推得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（為正整數(shù)），則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．16．（2025·江蘇無(wú)錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是________．【答案】

80

##【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．【點(diǎn)睛】本題考