第11章彎曲內(nèi)力

當(dāng)作用在桿件上的載荷和支反力都垂直于桿件軸線時(shí)，桿件的軸線因變形由直線變成了曲線，這種變形稱為彎曲變形。

工程中以彎曲變形為主的桿件稱為梁縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對稱軸所構(gòu)成的平面對稱彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線?！?1-1

梁的計(jì)算簡圖一、桿件的簡化用梁的軸線來代替實(shí)際的梁折桿或曲桿用中心線代替二、載荷的分類

1.集中載荷

2.分布載荷

3.集中力偶三、支座的分類

根據(jù)支座對梁在載荷平面內(nèi)的約束情況，一般可以簡化為三種基本形式：1.固定鉸支座2.可動鉸支座3.固定端支座四、靜定梁的基本形式1.簡支梁2.外伸梁3.懸臂梁§11-2

剪力和彎矩M——BendingMoment

左上右下為正剪力的符號規(guī)定：彎矩

M

的符號規(guī)定：上壓下拉(上凹下凸)為正例：求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。解：由得由得§11-3

剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖AC段：CB段：AC

段：CB

段：§11-4

載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系:二、載荷集度、剪力和彎矩的積分關(guān)系作剪力圖，從左往右，看著上就上，看著下就下第12章彎曲應(yīng)力純彎曲：橫力彎曲：

在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素才能合成剪力

FS

。從三方面考慮：一、變形幾何關(guān)系用較易變形的材料制成的矩形截面等直梁作純彎曲試驗(yàn)變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系§12-1

純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)：梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。中性層中性軸二、物理關(guān)系

再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。三、靜力學(xué)關(guān)系中性軸過截面形心中性層的曲率公式正應(yīng)力計(jì)算公式中性軸過截面形心橫截面上的最大正應(yīng)力：若，若，若，鑄鐵梁應(yīng)如何放置才合理？當(dāng)中性軸是橫截面的對稱軸時(shí)：抗彎截面系數(shù)橫截面上的應(yīng)力分布圖：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~§12-2

橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力

上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實(shí)驗(yàn)證明在純彎曲情況下這是正確的。

對于橫力彎曲，由于剪力的存在,橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力但當(dāng)時(shí)，用公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，誤差很小，可滿足工程問題所需精度。梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度；②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸；③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。

例：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比(a)(b)解：由得

例：矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時(shí)，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？解：由公式可以看出，該梁的承載能力將是原來的2

倍。

例：主梁

AB，跨度為

l

，采用加副梁

CD

的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同,

則副梁的最佳長度

a

為多少？解：主梁

AB

的最大彎矩副梁

CD

的最大彎矩由即得

例：圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為和,則

y1

和

y2

的最佳比值為多少？（C為截面形心）解：得

例：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力，校核該梁的強(qiáng)度。解：由彎矩圖可見該梁滿足強(qiáng)度條件，安全。

例：圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)、全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟(jì)。解：由題意可知即3A2A1A矩形截面最經(jīng)濟(jì)。

例：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力，，校核此梁強(qiáng)度。解：C

截面：B

截面：滿足強(qiáng)度條件，安全。

例：簡支梁

AB，在

C

截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測得其應(yīng)變，材料的彈性模量，求載荷

F

的大小。解：C

點(diǎn)的應(yīng)力C

截面的彎矩由得

例：簡支梁承受均布荷載，在其

C

截面的下邊緣貼一應(yīng)變片,已知材料的彈性模量

,試問該應(yīng)變片所測得的應(yīng)變值為多大？解：C

截面下邊緣的應(yīng)力C

截面的彎矩應(yīng)變值

例：圖示簡支梁受均布載荷

q

作用，尺寸如圖，材料的彈性模量為

E，求梁下邊緣的縱向總伸長量。解：

例：在《營造法式》中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明:從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。證：得§12-3

橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的切應(yīng)力

橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上既有彎矩又有剪力，所以橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。一般來說彎曲正應(yīng)力是引起梁破壞的主要因素，可以不考慮切應(yīng)力。但在某些情況下，如跨度短、截面高的梁，腹板較薄的工字鋼梁，其橫截面上的切應(yīng)力可能達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，因此有必要對這類梁進(jìn)行切應(yīng)力校核。

彎曲切應(yīng)力在橫截面上并非均勻分布，方向也并非都與剪力相同，分布狀況與橫截面的形狀有關(guān)。一般情況下，最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面的中性軸上，其值為（推導(dǎo)從略）式中：——中性軸以下（或以上）部分對中性軸的靜矩?！麄€(gè)橫截面對中性軸的慣性矩；——中性軸處橫截面的寬度；——橫截面上的剪力；矩形截面圓形截面薄壁圓環(huán)形截面

中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力等于零，各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都是純剪切應(yīng)力狀態(tài)，故

彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為最大切應(yīng)力一般發(fā)生在最大剪力所在截面的中性軸上

例：圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的，，試求最小直徑。解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件由切應(yīng)力強(qiáng)度條件即得即得所以§12-4

提高梁彎曲強(qiáng)度的措施控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以作為梁設(shè)計(jì)的主要依據(jù)。因此應(yīng)使盡可能地小，使盡可能地大。一、合理安排梁的受力情況二、選擇梁的合理截面

合理的截面形狀應(yīng)使截面積較小而抗彎截面系數(shù)較大。﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌三、采用變截面梁或等強(qiáng)度梁

梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力時(shí)，稱為等強(qiáng)度梁。根據(jù)切應(yīng)力強(qiáng)度條件1.設(shè)，根據(jù)切應(yīng)力強(qiáng)度條件魚腹梁1.設(shè)，第13章彎曲變形§13-1

彎曲變形實(shí)例一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題

在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外,還要求變形不能過大,即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。

搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。

橋式起重機(jī)的橫梁變形過大，則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。

但在另外一些情況下,有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。

例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。1.撓曲線二、彎曲變形的基本概念撓曲線——梁的軸線變彎后的曲線2.撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定：向上的撓度為正；逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：§13-2

梁撓曲線的近似微分方程曲線的曲率為或梁的撓曲線近似微分方程:或式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定§13-3

用積分法求彎曲變形

例：已知梁的抗彎剛度為

EI。試求圖示簡支梁在均布載荷

q

作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定和。解：由邊界條件時(shí)，時(shí)，得，梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

例：已知梁的抗彎剛度為

E

I。試求圖示懸臂梁在集中力

F

作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定和。解：由邊界條件時(shí)，，得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

例：已知梁的抗彎剛度為

E

I。試求圖示簡支梁在集中力

F

作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定和。解：AC段由邊界條件時(shí)得由對稱條件時(shí)得AC

段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

例：已知梁的抗彎剛度為

E

I。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定和。解：由對稱性，只考慮半跨梁

A

C

D由連續(xù)條件時(shí)，，得由邊界條件時(shí)，得由對稱條件時(shí)，得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：§13-4

用疊加法求彎曲變形

在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下，載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。

當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的,互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。例：用疊加法求。解：=++

例：已知梁的

EI

為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值為多少？解：由梁的撓曲線近似微分方程知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有從彎矩圖可以看出

例：兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁Ⅰ、Ⅱ如圖所示，Ⅱ梁的最大撓度是Ⅰ梁的

倍？ⅠⅡ16

例：簡支梁在整個(gè)梁上受均布載荷q

作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加

倍？15

例：欲使

AD梁C點(diǎn)撓度為零，求

F

與

q

的關(guān)系。+?解：

例：若圖示梁

B

端的轉(zhuǎn)角，則力偶矩等于多少？解：+

例：求圖示梁C、D

兩點(diǎn)的撓度、。解：

例：求圖示梁B、D

兩點(diǎn)的撓度、。解：例：求圖示梁

C點(diǎn)的撓度。+||~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~||+

例：求圖示變截面梁B、C

截面的撓

度、。解：例：求圖示變截面梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。例：已知圖

(a)

梁

B

端的撓度，則圖

(b)

梁中點(diǎn)

C

的撓度為

。

解：例：求圖示梁

D

端的轉(zhuǎn)角和撓度。解：

例:求圖示梁跨中的撓度和

B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（

k

為彈簧系數(shù)）。解：彈簧縮短量例：圖示梁

B

處為彈性支座，彈簧剛度。求自由端

C

的撓度。解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的

C

點(diǎn)撓度為(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的

C

點(diǎn)撓度為(3)C

點(diǎn)總撓度為

例：用疊加法求圖示梁

B

端的撓度和轉(zhuǎn)角。|||梁的剛度計(jì)算剛度條件：

、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。

例：圖示工字鋼梁，。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷，并校核強(qiáng)度。解：由剛度條件得所以所以滿足強(qiáng)度條件?！?3-5

簡單超靜定梁

用多余約束力代替多余約束，就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。例：求圖示超靜定梁的約束力。解：將支座B

看成多余約束,變形協(xié)調(diào)條件為即再由靜力平衡條件可求得其余約束力。另解：即再由靜力平衡條件可得其余約束力。

將支座

A

對截面轉(zhuǎn)動的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為

例：為了提高懸臂梁

AB

的強(qiáng)度和剛度，用短梁

CD

加固。設(shè)二梁

EI

相同，試求

(1)二梁接觸處的壓力；

(2)加固前后梁

AB

最大彎矩的比值；

(3)加固前后

B

點(diǎn)撓度的比值。解:(1)變形協(xié)調(diào)條件為即(2)加固前后AB梁最大彎矩的比值

(3)加固前后B點(diǎn)撓度的比值

例：梁

ABC

由

AB、BC兩段組成，兩段梁的

EI

相同。試?yán)L制剪力圖與彎矩圖。 解：變形協(xié)調(diào)條件為即§13-6

提高彎曲剛度的一些措施

影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度

EI二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置第14章

應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論§14-1

應(yīng)力狀態(tài)的概念主平面：切應(yīng)力為零的平面主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力主方向：主平面的法線方向可以證明：通過受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的主平面。三個(gè)主應(yīng)力用表示,按代數(shù)值大小順序排序,即應(yīng)力狀態(tài)的分類：單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）：兩個(gè)主應(yīng)力不等于零三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）：三個(gè)主應(yīng)力皆不等于零單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)圓筒形薄壁壓力容器，平均直徑為

D、壁厚為

，承受內(nèi)壓

p

作用。圓桿受扭轉(zhuǎn)和拉伸共同作用§14-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、解析法:拉應(yīng)力為正:順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正:逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正

和都是的周期函數(shù)。利用上式便可確定正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值。若時(shí)，能使

，它們確定兩個(gè)互相垂直的平面，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面,另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在平面。用完全相似的方法可確定切應(yīng)力的極值：若時(shí)，能使

，它們確定兩個(gè)互相垂直的平面，分別作用著最大和最小切應(yīng)力。即：最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為即(1)(2)，得二、圖解法應(yīng)力圓

莫爾(Mohr)圓圓心坐標(biāo)為半徑為下面根據(jù)已知單元體上的應(yīng)力畫應(yīng)力圓：下面利用應(yīng)力圓求任意斜截面上的應(yīng)力：下面利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力及最大切應(yīng)力：例：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的

(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力; (2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上；

(3)最大切應(yīng)力值。應(yīng)力單位：M

Pa解：(一)使用解析法求解或(二)使用圖解法求解作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出：

例：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。解：低碳鋼鑄鐵若三個(gè)主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力:主單元體：六個(gè)平面都是主平面首先分析平行于主應(yīng)力之一（例如）的各斜截面上的應(yīng)力?！?4-3

特殊三向應(yīng)力狀態(tài)下的極值應(yīng)力

對斜截面上的應(yīng)力沒有影響。這些斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力和所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

同理，在平行于的各個(gè)斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力和所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

在平行于的各個(gè)斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力和所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。

這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個(gè)斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，可由三個(gè)應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。

至于與三個(gè)主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明,其應(yīng)力和可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。在三向應(yīng)力狀態(tài)下：

作用在與平行且與和的方向成角的平面上。例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。

(應(yīng)力單位為M

Pa)解：例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（應(yīng)力單位為M

Pa）解：例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。

(應(yīng)力單位為M

Pa)解：

這里所指的平面應(yīng)變狀態(tài)，實(shí)際上是平面應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)，它與彈性力學(xué)中所說的平面應(yīng)變狀態(tài)不同。補(bǔ)：平面應(yīng)變狀態(tài)分析

由于最大應(yīng)變往往發(fā)生于受力構(gòu)件的表面，而表面上的點(diǎn)一般都可按平面應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行分析。

伸長的線應(yīng)變和使直角增大的切應(yīng)變規(guī)定為正

設(shè)構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)變

、和皆為已知量?，F(xiàn)求和應(yīng)變的實(shí)測：

用應(yīng)變儀直接測出三個(gè)選定方向的線應(yīng)變，求出由下式直角應(yīng)變花由由求主應(yīng)變可求得§14-4

廣義胡克定律縱向應(yīng)變：橫向應(yīng)變：下面計(jì)算沿方向的應(yīng)變:引起的應(yīng)變?yōu)楫?dāng)三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)作用時(shí)引起的應(yīng)變?yōu)閺V義胡

克定律對于二向

應(yīng)力狀態(tài)下面考慮體積變化：單位體積的體積改變?yōu)椋阂卜Q為體積應(yīng)變。式中：體積彈性模量當(dāng)時(shí)，§14-5

強(qiáng)度理論強(qiáng)度失效的主要形式有兩種：斷裂失效，屈服失效相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也可分為兩類：一類是關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論；另一類是關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論。一、關(guān)于脆斷的強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度強(qiáng)度條件在單向拉伸時(shí)，極限應(yīng)力失效條件可寫為1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

它假定：無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的主應(yīng)力達(dá)到單向拉伸斷裂時(shí)極限應(yīng)力,材料就發(fā)生斷裂。令

試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響。2.最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）

它假定，無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的最大伸長線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸斷裂時(shí)應(yīng)變的極限值，材料就發(fā)生斷裂。若材料直到脆性斷裂都在線彈性范圍內(nèi)工作,則所以發(fā)生脆性斷裂的條件是由此導(dǎo)出失效條件的應(yīng)力表達(dá)式為令第二強(qiáng)度條件

煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時(shí)，如端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長線應(yīng)變的方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。二、關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論1.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）

它假定，無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的最大切應(yīng)力

達(dá)到單向拉伸屈服切應(yīng)力

時(shí),材料就發(fā)生屈服。屈服失效條件是用應(yīng)力表示的屈服破壞條件第三強(qiáng)度條件令

第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較簡單，故它在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力的影響,其帶來的最大誤差不超過15％,而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。2.畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）

它假定，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的畸變能密度達(dá)到單向拉伸時(shí)使材料屈服的畸變能密度時(shí)，材料就發(fā)生屈服。屈服失效條件是簡單拉伸時(shí)屈服失效條件是第四強(qiáng)度條件

此理論和許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果相符，用此理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式稱為相當(dāng)應(yīng)力

一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)采用第三、第四強(qiáng)度理論。

影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。無論是塑性材料或脆性材料：

在三向拉應(yīng)力接近相等的情況下，都以斷裂的形式破壞，所以應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；

在三向壓應(yīng)力接近相等的情況下，都可以引起塑性變形，所以應(yīng)該采用第三或第四強(qiáng)度理論。例：填空題。

冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，其原因是冰處于

應(yīng)力狀態(tài)，而水管處于

應(yīng)力狀態(tài)。三向壓二向拉

石料在單向壓縮時(shí)沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第

強(qiáng)度理論的論述基本一致。二

一球體在外表面受均布壓力作用，則在球體任意處的三個(gè)主應(yīng)力，，MPa。在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：(1)用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比(2)用第四強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比例：填空題。解：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)主應(yīng)力分別為第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為由此得剪切強(qiáng)度條件為按第三強(qiáng)度理論可求得或第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為由此得剪切強(qiáng)度條件為按第三強(qiáng)度理論可得或例：填空題。

三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個(gè)主應(yīng)力都等于，材料的彈性模量和泊松比分別為

E

和，則三個(gè)主應(yīng)變?yōu)?/p>

。例：填空題。

第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為及，對于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，恒有＿＿＿。

危險(xiǎn)點(diǎn)接近于三向均勻受拉的塑性材料,應(yīng)選用_______強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)，因?yàn)榇藭r(shí)材料的破壞形式為___________。例：填空題。第一脆性斷裂例：選擇題。純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料單元體的體積改變有四種答案：（A）變大（B）變?。–）不變（D）不確定√

例：圓軸直徑為

d，材料的彈性模量為

E，泊松比為，為了測得軸端的力偶之值，但只有一枚電阻片。

(1)試設(shè)計(jì)電阻片粘貼的位置和方向；

(2)若按照你所定的位置和方向，已測得線應(yīng)變?yōu)?，則外力偶？解：(1)將應(yīng)變片貼于與母線成

45°角的外表面上(2)

例：圖示鋼塊上開有寬度和深度均為的槽，槽內(nèi)緊密無隙地嵌入邊長為的正立方體鋁塊，鋁塊受壓力作用。設(shè)鋁塊與鋼塊間的摩擦力不計(jì)，鋼塊的變形不計(jì)，鋁的泊松比。試求鋁塊的三個(gè)主應(yīng)力。解：由得第15章組合變形§15-1

組合變形的概念和疊加原理

由兩種或兩種以上基本變形組合的情況稱為組合變形。所有由基本變形組合產(chǎn)生的桿件內(nèi)力稱為復(fù)合抗力。前面幾章研究了構(gòu)件的基本變形：軸向拉（壓）、扭轉(zhuǎn)、平面彎曲。

在復(fù)合抗力的計(jì)算中，通常都是由力作用的獨(dú)立性原理出發(fā)的。在線彈性

范圍內(nèi)，可以假設(shè)作用在體系上的諸載荷中的任一個(gè)所引起的變形對其它載荷

作用的影響可以忽略不計(jì)。

實(shí)驗(yàn)表明，在小變形情況下，這個(gè)原理是足夠精確的。因此，可先分別計(jì)算每一種基本變形情況下的應(yīng)力和變形，然后采用疊加原理計(jì)算所有載荷對彈性體系所引起的總應(yīng)力和總變形?！?5-2

軸向拉伸或壓縮與彎曲的組合

例：一折桿由兩根圓桿焊接而成，桿直徑，試求圓桿的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。解：1-1截面為危險(xiǎn)截面，其上橫截面x上的內(nèi)力：1-1截面為危險(xiǎn)截面，其上偏心拉伸或壓縮：任意橫截面上的內(nèi)力：下面求截面核心：若，則若，則下面求圓截面桿的截面核心：§15-3

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合A截面為危險(xiǎn)截面，其上132圓截面桿彎扭組合變形時(shí)的相當(dāng)應(yīng)力：§15-4

斜彎曲一、應(yīng)力計(jì)算中性軸的位置下面確定中性軸的位置：故中性軸的方程為設(shè)中性軸上某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則中性軸是一條通過截面形心的直線。二、位移計(jì)算斜彎曲概念為了計(jì)算梁在斜彎曲時(shí)的撓度，仍應(yīng)用疊加法中性軸斜彎曲梁彎曲后撓曲線所在平面與載荷作用面不重合，這種彎曲稱為撓度w

與中性軸垂直√例：選擇題偏心拉伸直桿中，各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有四種答案:(A)

單向應(yīng)力狀態(tài)；(B)

二向應(yīng)力狀態(tài)；(C)

單向或二向應(yīng)力狀態(tài)；(D)

單向應(yīng)力狀態(tài)或零應(yīng)力狀態(tài)。圓截面直桿一端鉸支于地面，另一端斜靠于光滑的鉛直墻上，在自重作用下，該桿的變形有四種答案：(A)

平面彎曲；(B)

斜彎曲；(C)

拉彎組合；(D)

壓彎組合?！?A)；(B)；(C)；(D)。

例：三種受壓桿件如圖所示，桿1、2、3中的最大壓應(yīng)力（絕對值）分別為、和。現(xiàn)有下列四種答案：√

例：圖示懸臂梁的橫截面為等邊三角形，C為形心，梁上作用有均布載荷

q

，其作用方向及位置如圖所示，該梁變形有四種答案：(A)平面彎曲； (B)斜彎曲；(C)純彎曲； (D)彎扭結(jié)合?！汤簣D示Z形截面桿，在自由端作用一集中力F

，該桿的變形設(shè)有四種答案：(A)平面彎曲變形；(B)斜彎曲變形；(C)彎扭組合變形；(D)壓彎組合變形?！汤壕哂星胁鄣恼叫文緱U，受力如圖。求：(1)m-m

截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；(2)此

是截面削弱前值的幾倍？

例：圖示偏心受壓桿。試求該桿中不出現(xiàn)拉應(yīng)力時(shí)的最大偏心距。解：

例：偏心拉伸桿，彈性模量為

E，尺寸、受力如圖所示。求：

(1)最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的位置和數(shù)值；

(2)AB長度的改變量。解：(1)最大拉應(yīng)力發(fā)生在

AB

線上各點(diǎn)最大壓應(yīng)力發(fā)生在

CD

線上各點(diǎn)(2)例：圖示框架，，求

截面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。解：m-m截面內(nèi)力：m-m截面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為：是非題：偏心拉伸直桿中的最大拉應(yīng)力必大于最大壓應(yīng)力。該論斷正確與否？解：危險(xiǎn)截面位于固定端，其上滿足強(qiáng)度條件，安全。

例：空心圓軸的外徑，內(nèi)徑，長度

。在端部有集中力，作用點(diǎn)為切于圓周的

A

點(diǎn)。，試用第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。解：危險(xiǎn)截面位于固定端由得

例：直徑為

的圓截面水平直角折桿，受垂直力

作用，已知。試用第三強(qiáng)度理論確定

a

的許可值。解：危險(xiǎn)截面在固定端得由

例：圖示圓截面折桿，各桿的直徑均為，，。試用第三強(qiáng)度理論確定許可載荷

[

F

]。

例：水平直角折桿ABC在自由端C

受鉛直集中力

F

作用。圓軸AB

的直徑d

=

100m

m，a

=

400m

m，E

=

200GPa，。在截面

D

頂點(diǎn)K處，測得軸向線應(yīng)變。試求該折桿危險(xiǎn)點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力。解：點(diǎn)

K，又則危險(xiǎn)截面在固定端A處第16章壓桿穩(wěn)定§16-1

壓桿穩(wěn)定的概念鋼板尺：一端固定 一端自由：臨界壓力球殼穩(wěn)定性問題卡門方程即令則§16-2

兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力附：求二階常系數(shù)齊次微分方程的通解。特征方程為①兩個(gè)不相等的實(shí)根，通解②兩個(gè)相等的實(shí)根，通解③一對共軛復(fù)根，通解通解邊界條件特征方程有一對共軛復(fù)根時(shí)：時(shí)：兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界壓力的歐拉公式I是取

Iy還是

Iz

？稱為長度因數(shù)§16-3

其它桿端約束條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

例：圓截面的細(xì)長壓桿，材料、桿長和桿端約束保持不變，若將壓桿的直徑縮小一半，則其臨界力為原壓桿的多少倍？若將壓桿的橫截面改變?yōu)槊娣e相同的正方形截面后還是細(xì)長桿，則其臨界力為原壓桿的多少倍？解：(1)(2)

例：圖示兩桁架中各桿的材料和截面均相同，設(shè)

F1和

F2

分別為這兩個(gè)桁架穩(wěn)定的最大載荷，則(A)

F1=F2；(B)

F1<F2

；(C)

F1>F2

；(D)

不能斷定

F1和

F2的關(guān)系。解：圖(a)中，AD

桿受壓圖(b)中，AB

桿受壓(a)(b)

例：長方形截面細(xì)長壓桿,b/h=1/2

；如果將

b

改為

h

后仍為細(xì)長桿,臨界力Fc

r

是原來的多少倍？ 解：

例：三種不同截面形狀的細(xì)長壓桿如圖所示。試標(biāo)出壓桿失穩(wěn)時(shí)各截面將繞哪根形心主慣性軸轉(zhuǎn)動。

例：五根直徑都為d的細(xì)長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系

ABCD,如各桿材料相同,彈性模量為E。求圖(a)、(b)

所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。解：(a)桿

BD

受壓，其余桿受拉(b)桿

BD

受拉，其余桿受壓

例：圖示結(jié)構(gòu),1、2

兩桿截面和材料相同，為細(xì)長壓桿。確定使載荷F

為最大值時(shí)的角（設(shè)）。解：欲使F最大,只有1、2

兩桿同時(shí)達(dá)到各自的臨界壓力得§16-4

歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式一、壓桿的臨界應(yīng)力則令壓桿的長細(xì)比或柔度計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式二、歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式

在推導(dǎo)歐拉公式時(shí),使用了撓曲線的近似微分方程

在推導(dǎo)該方程時(shí)，應(yīng)用了胡克定律。因此,歐拉公式也只有在滿足胡克定律時(shí)才能適用：或記歐拉公式的適用范圍滿足該條件的桿稱為細(xì)長桿或大柔度桿對于Q235鋼，取，,則所以，只有壓桿的長細(xì)比時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力。直線公式式中a、b

是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。

在工程上，一般采用經(jīng)驗(yàn)公式。

在我國的設(shè)計(jì)手冊和規(guī)范中給出的是直線公式和拋物線公式。

當(dāng)壓桿的長細(xì)比時(shí)，歐拉公式已不適用。下面考慮經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍：經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍對于塑性材料：即記則對于脆性材料：經(jīng)驗(yàn)公式中，拋物線公式的表達(dá)式為式中a1、b1

也是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，可在有關(guān)的設(shè)計(jì)手冊和規(guī)范中查到。對于的桿，不存在失穩(wěn)問題，應(yīng)考慮強(qiáng)度問題三、臨界應(yīng)力總圖1.細(xì)長桿（），用歐拉公式2.中長桿（），用經(jīng)驗(yàn)公式3.粗短桿（），用強(qiáng)度條件臨界應(yīng)力總圖§16-5

壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算穩(wěn)定性條件式中：——壓桿的臨界壓力

——壓桿的工作壓力

——規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)

例：非細(xì)長桿如果誤用了歐拉公式計(jì)算臨界力，其結(jié)果比實(shí)際＿＿＿＿＿；橫截面上的正應(yīng)力將超過＿＿＿＿＿。大，危險(xiǎn)比例極限

例：壓桿下端固定，上端與水平彈簧相連，如圖所示，則壓桿長度因數(shù)的范圍有4

種答案:(A)；(B)；(C)；(D)。

例：三根材料、長度均相同、兩端均為球鉸支座的細(xì)長桿結(jié)構(gòu)，各自的截面形狀如圖，求三根桿的臨界應(yīng)力之比以及臨界力之比。解：

例：圖示圓截面壓桿，。求可以用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力時(shí)的最小桿長。解：由得另解：

例：截面為的矩形壓桿兩端用柱形鉸聯(lián)接(在

x

y

平面內(nèi)彎曲時(shí)，可視為兩端鉸支；在

x

z

平面內(nèi)彎曲時(shí)，可視為兩端固定）。已知b=30m

m，h=50m

m，E=200GPa

，。試求壓桿的臨界載荷。解：在x

y平面內(nèi)在x

z平面內(nèi)因?yàn)?，所以桿首先在

x

y

平面內(nèi)失穩(wěn)§16-6

提高壓桿穩(wěn)定性的措施1.選擇合理的截面形狀2.改變壓桿的約束條件3.合理選擇壓桿的材料第17章

動載荷與疲勞強(qiáng)度簡介

實(shí)驗(yàn)證明，在動載荷作用下,如構(gòu)件的應(yīng)力不超過比例極限，胡克定律仍然適用。

構(gòu)件中因動載荷而引起的應(yīng)力稱為動應(yīng)力。

在動載荷作用下，構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)均有加速度。

靜載荷：載荷由零緩慢增加至最終值,然后保持不變。這時(shí),構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的加速度很小,可以忽略不計(jì)?！?7-1

構(gòu)件作等加速直線運(yùn)動時(shí)的動應(yīng)力計(jì)算

以礦井升降機(jī)以勻加速度

a

起吊一吊籠為例。

吊籠重量為

P；鋼索橫截面面積為

A，單位體積的重量為。求吊索任意橫截面上的應(yīng)力。動荷因數(shù)引入記號則

薄壁圓環(huán)，平均直徑為

D，橫截面面積為

A

，材料單位體積的重量為，以勻角速度轉(zhuǎn)動?！?7-2

構(gòu)件作勻速轉(zhuǎn)動時(shí)的動應(yīng)力計(jì)算強(qiáng)度條件

從上式可以看出，環(huán)內(nèi)應(yīng)力僅與和v有關(guān)，而與

A

無關(guān)。所以,要保證圓環(huán)的強(qiáng)度,應(yīng)限制圓環(huán)的速度。增加截面面積

A

,并不能改善圓環(huán)的強(qiáng)度?！?7-3

構(gòu)件受沖擊載荷作用時(shí)的應(yīng)力和變形

沖擊時(shí),沖擊物在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生很大的變化，其加速度

a

很難測出，無法計(jì)算慣性力,故無法使用動靜法。在實(shí)用計(jì)算中,一般采用能量法?，F(xiàn)考慮重為

P

的重物從距彈簧頂端為

h

處自由下落，在計(jì)算時(shí)作如下假設(shè)：1.沖擊物視為剛體,不考慮其變形;2.被沖擊物的質(zhì)量遠(yuǎn)小于沖擊物的質(zhì)量，可忽略不計(jì);3.沖擊后沖擊物與被沖擊物附著在一起運(yùn)動;4.不考慮沖擊時(shí)熱能的損失，即認(rèn)為只有系統(tǒng)動能與位