§1.1集合1.1.1集合的含義與表示第1課時(shí)集合的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例了解集合的含義，并掌握集合中元素的三個(gè)特性(重點(diǎn)、難點(diǎn)).2.了解元素與集合間的“從屬關(guān)系”(重點(diǎn)).3.記住常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用．預(yù)習(xí)教材P2，完成下面問題：知識點(diǎn)1元素與集合的概念(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素組成的總體，簡稱集，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的．(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性．【預(yù)習(xí)評價(jià)】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)漂亮的花可以組成集合．()(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根組成的集合中有3個(gè)元素．()(3)元素1,2,3和元素3,2,1組成的集合是不相等的．()提示(1)ד漂亮的花”具有不確定性，故不能組成集合．(2)×由于集合中的元素具有互異性，故由兩方程的根組成的集合中有2個(gè)元素．(3)×集合中的元素具有無序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1組成的集合是同一集合．知識點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素，就說a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【預(yù)習(xí)評價(jià)】思考設(shè)集合A表示“1～10以內(nèi)的所有素?cái)?shù)”，3,4這兩個(gè)元素與集合A有什么關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)語言表示？提示3是集合A中的元素，即3屬于集合A，記作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不屬于集合A，記作4?A.知識點(diǎn)3常用數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR【預(yù)習(xí)評價(jià)】(1)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是()A．3.14 B．－2C．eq\f(7,8) D．eq\r(7)(2)若eq\r(2)<x<eq\r(10)，且x∈Z，則x＝________.解析(1)由選項(xiàng)知eq\r(7)是實(shí)數(shù)，但不是有理數(shù)，故選D．(2)大于eq\r(2)且小于eq\r(10)的整數(shù)為2和3，故x＝2或3.答案(1)D(2)2或3題型一集合的判定問題【例1】下列每組對象能否構(gòu)成一個(gè)集合：(1)我們班的所有高個(gè)子同學(xué)；(2)不超過20的非負(fù)數(shù)；(3)直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)；(4)eq\r(3)的近似值的全體．解(1)“高個(gè)子”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，因此不能構(gòu)成集合．(2)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x＞20或x＜0”，兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合；(3)“一些點(diǎn)”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以“eq\r(3)的近似值”不能構(gòu)成集合．規(guī)律方法判斷一組對象能否構(gòu)成集合的依據(jù)【訓(xùn)練1】給出下列說法：①中國所有的直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合；②高一(1)班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合；③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合；④大于2011且小于2017的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合．其中正確的有________(填序號)．解析②中由于“較胖”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合元素的確定性，所以②錯誤；④中的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，故④錯誤．答案①③題型二元素與集合的關(guān)系【例2】(1)給出下列關(guān)系：①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)?Q；③|－3|?N；④|－eq\r(3)|∈Q；⑤0?N.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．(2)集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．解析(1)①②正確；③④⑤不正確．(2)∵eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，∴當(dāng)x＝0時(shí)，eq\f(6,3－x)＝2∈N，∴x＝0滿足題意；當(dāng)x＝1時(shí)，eq\f(6,3－x)＝3∈N，∴x＝1滿足題意；當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(6,3－x)＝6∈N，∴x＝2滿足題意，當(dāng)x>3時(shí)，eq\f(6,3－x)<0不滿足題意，所以集合A中的元素為0,1,2.答案(1)B(2)0,1,2規(guī)律方法判斷元素與集合關(guān)系的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)判斷一個(gè)元素是否屬于一個(gè)集合，一要明確集合中所含元素的共同特征，二要看該元素是否滿足該集合中元素的共同特征．【訓(xùn)練2】設(shè)集合M是由不小于2eq\r(3)的數(shù)組成的集合，a＝eq\r(11)，則下列關(guān)系中正確的是()A．a(chǎn)∈M B．a(chǎn)?M C．a(chǎn)＝M D．a(chǎn)≠M(fèi)解析判斷一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合，關(guān)鍵是看這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合中元素的特征，若具有就是，否則不是．∵eq\r(11)<2eq\r(3)，∴a?M.答案B典例遷移題型三集合中元素的特性【例3】已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，試求實(shí)數(shù)a的值解因?yàn)椋?是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a－1，則a此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－4，－3，符合要求．綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.【遷移1】(變換條件)若把本例中的條件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范圍．解由集合元素的互異性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a【遷移2】(變換條件)若本例中的集合A含有兩個(gè)元素1和a2，且a∈A，則實(shí)數(shù)a的值是什么？解由a∈A可知，當(dāng)a＝1時(shí)，此時(shí)a2＝1，與集合元素的互異性矛盾，所以a≠1；當(dāng)a＝a2時(shí)，a＝0或1(舍去)．綜上可知a＝0.規(guī)律方法利用集合中元素的互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合中的元素的互異性對集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)．(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．課堂達(dá)標(biāo)1．下列能構(gòu)成集合的是()A．中央電視臺著名節(jié)目主持人B．我市跑得快的汽車C．上海市所有的中學(xué)生D．香港的高樓解析A，B，D中研究的對象不確定，因此不能構(gòu)成集合．答案C2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的數(shù)組成集合A，則下列表示正確的是()A．－1∈A B．－11∈A C．15 D．32解析－11＝3×(－4)＋1，故選B．答案B3．下列三個(gè)命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②－a?N，則a∈N；③a∈N，b∈N，則a＋b的最小值是2.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．解析根據(jù)自然數(shù)的特點(diǎn)，顯然①③不正確．②中若a＝eq\f(3,2)，則－a?N且a?N，顯然②不正確．答案A4．已知集合A中的元素x滿足x≥2，若a?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析由題意a不滿足不等式x≥2，即a<2.答案a<25．若集合A是由所有形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的數(shù)組成，判斷－6＋2eq\r(2)是不是集合A中的元素？解因?yàn)椋?∈Z且2∈Z，所以－6＋2eq\r(2)是形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的數(shù)，即－6＋2eq\r(2)是集合A中的元素．課堂小結(jié)1．考察對象能否構(gòu)成一個(gè)集合，就是要看是否有一個(gè)確定的特征(或標(biāo)準(zhǔn))，能確定一個(gè)個(gè)體是否屬于這個(gè)總體，如果有，能構(gòu)成集合，如果沒有，就不能構(gòu)成集合．2．元素a與集合A之間只有兩種關(guān)系：a∈A，a?A.3．集合中元素的三個(gè)特性(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬不屬于這