2025年上海學(xué)考數(shù)學(xué)試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{3,4\}\)答案：B2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\leq1\)D.\(x\lt1\)答案：A3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：B4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,1)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.\((0,3)\)B.\((1,3)\)C.\((2,1)\)D.\((0,1)\)答案：A5.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：B6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)答案：B8.已知函數(shù)\(f(x)=x^2+2x+1\)，則\(f(2)\)的值為（）A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)答案：A9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動(dòng)，恰好選到\(1\)名男生和\(1\)名女生的概率是（）A.\(\frac{5}{14}\)B.\(\frac{15}{28}\)C.\(\frac{3}{7}\)D.\(\frac{2}{7}\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=2^x\)答案：ABC2.以下哪些是直線的方程形式（）A.點(diǎn)斜式B.斜截式C.兩點(diǎn)式D.截距式答案：ABCD3.在\(\triangleABC\)中，下列關(guān)系正確的有（）A.\(A+B+C=\pi\)B.\(\sin(A+B)=\sinC\)C.\(\cos(A+B)=-\cosC\)D.\(\tan(A+B)=-\tanC\)答案：ABCD4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)B.若\(m+n=p+s\)，則\(a_ma_n=a_pa_s\)C.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）D.\(S_n=na_1\)（\(q=1\)）答案：ABCD5.對(duì)于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)答案：ABCD6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列運(yùn)算正確的有（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)答案：ABCD7.下列不等式中，正確的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）D.\(x^2+y^2\geq2xy\)答案：ACD8.已知函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)f(b)\lt0\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)一定有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可能有多個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)一定有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)答案：AC9.對(duì)于圓的方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)B.半徑為\(r\)C.當(dāng)\(r=0\)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)\((a,b)\)D.該圓與\(x\)軸可能相切答案：ABCD10.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個(gè)數(shù)字中任取\(3\)個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.可以組成\(A_{5}^3\)個(gè)不同的三位數(shù)B.若三位數(shù)為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)字有\(zhòng)(3\)種選法C.若三位數(shù)能被\(3\)整除，則所選數(shù)字只能是\(1\)，\(2\)，\(3\)或\(2\)，\(3\)，\(4\)或\(3\)，\(4\)，\(5\)D.組成的三位數(shù)中，百位數(shù)字大于十位數(shù)字且十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的有\(zhòng)(C_{5}^3\)個(gè)答案：ABCD三、判斷題1.空集是任何集合的子集。（）答案：對(duì)2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）答案：錯(cuò)3.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）答案：錯(cuò)4.數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(\cdots\)是等差數(shù)列。（）答案：錯(cuò)5.橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點(diǎn)在\(x\)軸上。（）答案：錯(cuò)6.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）答案：錯(cuò)7.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）答案：對(duì)8.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）答案：對(duì)（\(B\neq0\)時(shí)），這里答案按正確計(jì)9.從\(n\)個(gè)不同元素中取出\(m\)個(gè)元素的組合數(shù)\(C_{n}^m\)與排列數(shù)\(A_{n}^m\)的關(guān)系是\(A_{n}^m=C_{n}^m\timesm!\)。（）答案：對(duì)10.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱。（）答案：對(duì)四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^2-3x+2\gt0\)，即\((x-1)(x-2)\gt0\)。解得\(x\lt1\)或\(x\gt2\)。所以函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域?yàn)閈((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，求其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。答案：首先求公差\(d\)，由\(a_n=a_1+(n-1)d\)可得，\(a_5=a_1+4d\)，即\(9=1+4d\)，解得\(d=2\)。然后根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)代入可得\(S_n=n\times1+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n^2\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)以及\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert\)。答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-3)+(-2)\times4=-3-8=-11\)。\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(1-3,-2+4)=(-2,2)\)，則\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\)。4.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：因?yàn)樗笾本€與直線\(2x-y+1=0\)平行，所以斜率相等，直線\(2x-y+1=0\)的斜率為\(2\)。由點(diǎn)斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)）可得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)性和最值。答案：首先將函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)化為頂點(diǎn)式\(y=(x-1)^2+2\)。函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為\(x=1\)。在對(duì)稱軸左側(cè)，即\(x\in(-\infty,1)\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；在對(duì)稱軸右側(cè)，即\(x\in(1,+\infty)\)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。因?yàn)楹瘮?shù)圖象開口向上，所以有最小值，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y_{min}=2\)。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，討論如何求\(c\)邊的長(zhǎng)度以及\(\triangleABC\)的面積。答案：根據(jù)余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，將\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)代入，可得\(c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\frac{1}{3}=9+16-8=17\)，則\(c=\sqrt{17}\)。求面積，先求\(\sinC\)，因?yàn)閈(\sin^2C+\cos^2C=1\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，所以\(\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，那么\(