試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題5.4

誘導公式與三角恒等變換（糾錯檔案）1.若，則等于（

）A.

B.C.

D.2.化簡：.3.已知，求的最小值和最大值.4.若，，且，為銳角，求的值.5.已知在中，，，求的值.類型一：三角恒等變換公式用錯【錯因解讀】不會運用誘導公式，二倍角公式，和差化積公式，積化和差公式與萬能公式等.公式掌握不熟練.【典例引導】若，則等于（

）A.

B.

C.

D.【錯誤解法】，故，故選A.【正確解法】.所以，因此，故選C.【補救措施】總結：1.在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如，，，，.2.注意公式的逆向使用、變形使用，特別是二倍角公式的變形公式及其三角函數(shù)值的變式：如，其中，，，，.3.，，這些二倍角公式，同學們一定要熟練掌握.【再練一個】（2027屆江西上饒高一下期期末）1．已知，則（

）A． B． C． D．類型二：將與混淆而忽略對n的討論【錯因解讀】錯在沒有對n進行分類討論，關鍵是對公式一沒有理解透徹.【典例引導】化簡：.【錯誤解法】原式.【正確解法】原式.（1）當n為奇數(shù)時，即，原式；（2）當n為偶數(shù)時，即，原式.故原式【補救措施】總結：化簡，時，需對n是奇數(shù)還是偶數(shù)分類討論，但對任意均成立.【再練一個】2．若，則的值為．類型三：換元后忽視元的范圍【錯因解讀】盲目套用二次函數(shù)求最值，沒有考慮三角函數(shù)的有界性【典例引導】已知，求的最小值和最大值.【錯誤解法】由得，即.所以此函數(shù)的最小值為，最大值不存在.【正確解法】令，則，又，則.所以當時，函教有最大值為7；當時，函數(shù)有最小值.【補救措施】總結：三角函數(shù)求最值的常用方法：（1）將函數(shù)式化為形式，利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性，特別要熟練掌握輔助角公式；（2）將函數(shù)式化成單一名稱三角函數(shù)的一元二次函數(shù)形式；（3）數(shù)形結合；（4）換元法；注意新元的范圍，如遇到與相關的問題.【再練一個】3．“”是“在上恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件類型四：忽略隱含條件【錯因解讀】方法不當導致運算量加大或忽視角的范圍限制而致錯.【典例引導】若，，且，為銳角，求的值.【錯誤解法】因為銳角，所以.又為銳角，所以.且.由于，.因為，故或.【正確解法】因為為銳角，屬于，又因為為稅角，所以，則，因為，為銳角，所以，故.錯解忽略了隱含條件，沒有注意角的范圍，導致求值錯誤.在解題中應挖掘出這個隱含條件.【補救措施】上述解法欠嚴密，僅由，，而得到或是正確的，但題設中，.使得，故上述結論是錯誤的.我們?nèi)羧〉挠嘞覄t易求得，又由于，故.這樣就避免了上述角的范圍的探求，因此在求角時一定要結合條件選擇角的合適的三角函數(shù)名稱，往往能化繁為簡.總結：利用三角函數(shù)值求值（角）的關鍵：（1）角的范圍的判斷；（2）盡量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范圍縮小.【再練一個】4．若，且為銳角，為鈍角，則類型五：化歸與轉化思想應用錯誤【錯因解讀】對中內(nèi)角的三角函數(shù)值的諸多限制認識不足，得到結論而不加檢驗，應用同角三角函數(shù)關系時，已知角的一個三角函數(shù)值求角的其他各三角函數(shù)值的基本要領沒有掌握.【典例引導】已知在中，，，求的值.【錯誤解法】錯解1：∵，又，∴，.∵，∴，即，∴.錯解2：∵，又.，∴.錯解3：∵，又，∴.【正確解法】在中，由知，∵，∴，則.【補救措施】錯解1應用兩角和公式與已知函數(shù)值，把問題轉化為關于的一元二次方程再求解，方法雖不簡捷卻是可行的，然而，由于對中內(nèi)角的三角函數(shù)值的諸多限制認識不足，對最后的解答沒有經(jīng)驗，從而結論錯誤.事實上，已知，表明了B是鈍角，由知，A為銳角，不合題意，應舍去.錯解2和錯解3都能夠發(fā)現(xiàn)并應用變量代換的思想化，使問題顯得十分簡明，但對三角形的三角函數(shù)值的諸多限制認識不足，導致錯誤結果，事實上，表明B取得，錯解3又得到而不加檢驗，反映在應用同角三角函數(shù)關系時，已知角的一個三角函數(shù)值求角的其他各三角函數(shù)值的基本要領沒有掌握.總結：三角函數(shù)的求值題型：（1）“給角求值”一般化為特殊角的三角函數(shù)，無法轉化的應設法恒等變形使其相消或相約；（2）“給值求角”注意根據(jù)條件求出角的某一三角函數(shù)值，再討論角的范圍（注意根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍）以便確定角的具體值；（3）“給值求值”的關鍵是找出已知式與欲求式之間的角、函數(shù)名稱的差異與聯(lián)系，主要方法有：①方程法，②比例性質(zhì)，③弦化切，注意利用代換.【再練一個】（2027屆河北高一下期期末）5．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.（易錯點：三角恒等變換公式用錯）（2027屆遼寧高一下期期末）6．已知，則（

）A． B． C． D．（易錯點：忽略隱含條件）（2027屆江蘇高一下期階段測試）7．設是銳角，，則（

）A． B． C． D．（易錯點：化歸與轉化思想應用錯誤）（2027屆江蘇徐州高一下期期末）8．在銳角中，，，則（

）A． B．C． D．（易錯點：將與混淆而忽略對n的討論）9．已知n為整數(shù)，化簡所得結果是.（易錯點：換元后忽視元的范圍）（2027屆江蘇常州高一下期階段測試）10．已知，求函數(shù)的值域.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《5.4誘導公式與三角恒等變換【錯題檔案】（我的錯題本）人教A必修一》參考答案：1．B【分析】利用誘導公式化為，再結合二倍角公式進一步化簡求值即可.【詳解】因為，所以.故選：B2．0【分析】根據(jù)特殊角對應的三角函數(shù)值，即可計算出結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查求三角函數(shù)值的問題，屬于基礎題型.3．B【分析】根據(jù)已知可求出“在上恒成立”的等價條件.原式可轉化為在上恒成立，令，，則只需即可.根據(jù)基本不等式，可求得，所以“在上恒成立”的等價條件時，即可得出結果.【詳解】當時，恒成立.所以在上恒成立，可轉化為在上恒成立，令，，則只需即可.又，當且僅當，且時，即時等號成立，所以.又是的必要不充分條件，所以，“”是“在上恒成立”的必要不充分條件.故選：B.4．【分析】利用配湊法將表示成,再去求解即可得到的值.【詳解】因為為銳角，，所以，又因為為鈍角，所以，所以,,所以,,所以,因為，所以.故答案為：.5．(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換得，再整體代換求解即可；（2）整體代換求解函數(shù)的值域即可.【詳解】（1）因為，由，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.（2）因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為：.6．A【分析】將兩邊平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案.【詳解】因為，所以，即得，則，故，故選：A7．C【分析】利用兩角和與差的余弦公式展開等式左邊，再結合正切函數(shù)的二倍角公式化簡等式右邊，然后通過化簡等式求解.【詳解】利用兩角和與差的余弦公式展開與可得：根據(jù)正切函數(shù)的二倍角公式.將、、代入原等式可得：因為是銳角，，等式兩邊同時除以得：，化為：等式兩邊同時乘以得：展開得：，則則因為是銳角，，所以都符合條件..故選：C.8．ABD【分析】對于選項A，將兩個等式利用和差的正弦公式展開，即可求得的值；對于選項B，根據(jù)條件求出的值，進而可得到的關系；對于選項C，根據(jù)先求出其余弦值，進而得到正切值；對于選項D，首先將展開，然后根據(jù)求出.【詳解】對于選項A：因為，所以①②，所以，所以A正確；對于選項B：因為，.所以，即，所以B正確；對于選項C：因為，所以.所以，所以C正確；對于選項D：因為，.又，所以，化簡得，所以解得.又是銳角，所以，所以，D正確.故選：ABD.9．tanα【解析】