3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.了解拋物線的實(shí)際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.數(shù)學(xué)抽象直觀想象知識(shí)點(diǎn)1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？不一定是，若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線．②定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．【即學(xué)即練1】設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A．4 B．6C．8 D．12【解析】由拋物線的方程得eq\f(p,2)＝eq\f(4,2)＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.故選B【即學(xué)即練2】已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0等于()A．1B．2C．4D．8【解析】∵eq\f(1,4)＋x0＝eq\f(5,4)x0，∴x0＝1.知識(shí)點(diǎn)2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：1、拋物線方程的推導(dǎo)：我們?nèi)〗?jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.設(shè)|KF|＝p(p>0)，那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線l的方程為x＝－eq\f(p,2).設(shè)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點(diǎn)的集合P＝{M||MF|＝d}．則M到F的距離為|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直線l的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y2＝2px(p>0)．2、p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項(xiàng)變量(x或y)的取值范圍．3、四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．4、（1）通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.（2）拋物線（）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.【即學(xué)即練3】求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；(2)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；(3)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；(4)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.(1)由題設(shè)，，則，而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.(2)由題設(shè)，，則，而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.(3)由題設(shè)，，則，而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.(4)由題設(shè)，，故，則，而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.【即學(xué)即練4】拋物線2y2－5x＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________，準(zhǔn)線方程為________．【解析】將2y2－5x＝0變形為y2＝eq\f(5,2)x，∴2p＝eq\f(5,2)，p＝eq\f(5,4)，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(5,8).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))x＝－eq\f(5,8)【即學(xué)即練5】如果拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線是直線x＝－2，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x＝－2＝－eq\f(p,2)，即p＝4，所以焦點(diǎn)為(2,0)．【即學(xué)即練6】經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝8x B．x2＝y(tǒng)C．y2＝8x或x2＝y(tǒng) D．無(wú)法確定【解析】由題設(shè)知拋物線開口向右或開口向上，設(shè)其方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，將(2,4)代入可得p＝4或p＝eq\f(1,2)，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x或x2＝y(tǒng)，故選C.【即學(xué)即練7】焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．【解析】設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解題方略：1、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程注：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡(jiǎn)化討論過(guò)程．2、用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟【例1-1】求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過(guò)點(diǎn)M(－6,6)；(2)焦點(diǎn)F在直線l：3x－2y－6＝0上．【解析】(1)由于點(diǎn)M(－6,6)在第二象限，∴過(guò)M的拋物線開口向左或開口向上．若拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為y2＝－2px(p>0)，將點(diǎn)M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴拋物線的方程為y2＝－6x.若拋物線開口向上，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)，將點(diǎn)M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴拋物線的方程為x2＝6y.綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直線l與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，∴拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝8x.②∵直線l與y軸的交點(diǎn)為(0，－3)，即拋物線的焦點(diǎn)是F(0，－3)，∴eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝－12y.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝8x或x2＝－12y.變式1：拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2ax(a≠0)，點(diǎn)A(m，－3)．由拋物線的定義得|AF|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))＝5，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±2x或y2＝±18x.變式2：若拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)與橢圓eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1的上焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－1 B．y＝1C．y＝－2 D．y＝2【解析】∵橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1的上焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－2，故選C.考點(diǎn)二拋物線定義的應(yīng)用解題方略：拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題．(2)解決最值問(wèn)題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問(wèn)題．（一）利用拋物線的定義解決軌跡問(wèn)題【例2-1】若動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是()A．x＋4＝0 B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x【解析】依題意可知，點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線x＝－4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p＝8，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以其方程為y2＝16x，故選D.變式1：若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2).求點(diǎn)M的軌跡方程．【解析】由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，所以動(dòng)點(diǎn)M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離與它到直線l：x＝－eq\f(1,2)的距離相等．由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式，而eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)．變式2：動(dòng)圓P與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且與直線l：x＝1相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．【解析】如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心P(x，y)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥l于點(diǎn)D，作直線l′：x＝2，過(guò)點(diǎn)P作PD′⊥l′于點(diǎn)D′，連接PA.設(shè)圓A的半徑為r，動(dòng)圓P的半徑為R，可知r＝1.∵圓P與圓A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1.又∵圓P與直線l：x＝1相切，∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.∵|PA|＝|PD′|，即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線l′的距離相等，∴點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以l′為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)拋物線的方程為y2＝－2px(p＞0)，可知p＝4，∴所求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為y2＝－8x.變式3：已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_____________．【解析】設(shè)直線，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：（二）利用拋物線的定義求距離或點(diǎn)的坐標(biāo)【例2-2】設(shè)拋物線C：y2＝4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)的距離是()A．4 B．5C．6 D．7【解析】拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，|PF|＝d(d為點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.故選B變式1：若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，且點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解析】由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(p,2).設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，解得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y0，由點(diǎn)M(－9，y0)在拋物線上，得y0＝±6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6)．（三）與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問(wèn)題【例2-3】已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值．【解析】由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離．由圖可知，點(diǎn)P，點(diǎn)(0,2)和拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以最小距離d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq\f(\r(17),2).變式1：已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到A(3,2)的距離與P到焦點(diǎn)的距離之和的最小值．【解析】將x＝3代入y2＝2x，得y＝±eq\r(6).所以點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部．設(shè)點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線(設(shè)為l)x＝－eq\f(1,2)的距離為d，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由圖可知，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值是eq\f(7,2).即|PA|＋|PF|的最小值是eq\f(7,2).變式2：已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線3x－4y＋eq\f(7,2)＝0的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值．【解析】如圖，作PQ垂直于準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.|A1F|的最小值為點(diǎn)F到直線3x－4y＋eq\f(7,2)＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋－42))＝1.即所求最小值為1.變式3：已知P為拋物線x2＝12y上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓(x－4)2＋y2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到x軸距離之和的最小值是()A．4B．3C．2D．1【解析】由拋物線的方程可知焦點(diǎn)F(0,3)，則準(zhǔn)線方程為y＝－3，如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)A，延長(zhǎng)PA交準(zhǔn)線于點(diǎn)B，設(shè)圓(x－4)2＋y2＝1的圓心為點(diǎn)C.根據(jù)拋物線的定義可得|PA|＝|PB|－|AB|＝|PF|－|AB|，∴|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，∴當(dāng)|PA|＋|PQ|最小時(shí)，則|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之間)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PQ|最小，∴(|PF|＋|PQ|)min＝|FC|－|QC|＝eq\r(32＋42)－1＝4，∴(|PA|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.故選D變式4：已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．6 D．10【解析】取的中點(diǎn)為，過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，連接.點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由定義可知，，，所以（當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.故選：D考點(diǎn)三拋物線的實(shí)際應(yīng)用解題方略：1、涉及拱橋、隧道的問(wèn)題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解．2、求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問(wèn)：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？【解析】如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，－5)在拋物線上，故p＝eq\f(8,5)，得x2＝－eq\f(16,5)y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－eq\f(16,5)yA，得yA＝－eq\f(5,4).又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航．變式1：某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過(guò)此孔，該貨船水下寬度不超過(guò)18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度，問(wèn)：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過(guò)該橋孔？為什么？【解析】如圖所示，以拱頂為原點(diǎn)，過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．因?yàn)楣绊斁嗨?米，橋墩高出水面4米，所以A(10，－2)．設(shè)橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p>0)，則102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以拋物線方程為x2＝－50y，即y＝－eq\f(1,50)x2.若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當(dāng)x＝8時(shí)，y＝－eq\f(1,50)×82＝－1.28，即船體在x＝±8之間通過(guò)點(diǎn)B(8，－1.28)，此時(shí)B點(diǎn)距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船體高為5米，所以無(wú)法通行．又因?yàn)?－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(噸)，所以若船通過(guò)增加貨物通過(guò)橋孔，則要增加1050噸，而船最多還能裝1000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過(guò)橋孔．變式2：如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m．水位下降1m后，水面寬________m.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)，則點(diǎn)(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時(shí)，x2＝6，所以水面寬為2eq\r(6)m.答案：2eq\r(6)題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1、根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5；(2)焦點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)A(m，－2)在拋物線上，且|AF|＝3.【解析】(1)由題意知p＝5，則2p＝10.因?yàn)闆](méi)有說(shuō)明焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和開口方向，所以四種類型的拋物線都有可能，故標(biāo)準(zhǔn)方程可為y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.(2)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p＞0)．由|AF|＝3，得eq\f(p,2)＋2＝3，所以p＝2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y.2、已知拋物線的焦點(diǎn)為F(a,0)(a＜0)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝2ax B．y2＝4axC．y2＝－2ax D．y2＝－4ax【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(a,0)(a＜0)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4ax，故選B.3、若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________．【解析】由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(p,2).設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.由點(diǎn)M(－9，y)在拋物線上，得y＝±6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6)．4、拋物線y＝12x2上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為________．【解析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是x2＝eq\f(1,12)y，因?yàn)?p＝eq\f(1,12)，所以p＝eq\f(1,24).故到焦點(diǎn)的距離最小值為eq\f(1,48).5、過(guò)點(diǎn)A(3,0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為()A．圓B．橢圓C．直線D．拋物線【解析】由題意可知，動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)A的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，滿足拋物線的定義，故應(yīng)選D.6、已知拋物線C：4x＋ay2＝0恰好經(jīng)過(guò)圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______，準(zhǔn)線方程為________．【解析】圓M的圓心為(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得y2＝4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.答案：(1,0)x＝－17、設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq\r(15))，點(diǎn)P在拋物線y2＝8x上移動(dòng)，P到直線x＝－1的距離為d，則d＋|PA|的最小值為()A．1B．2C．3D．4【解析】由題意知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－2的距離為d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值為|AF|－1＝4－1＝3.題組B能力提升練8、對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)．其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號(hào))【解析】拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)在x軸上，②滿足，①不滿足；設(shè)M(1，y0)是y2＝10x上一點(diǎn)，則|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，過(guò)該焦點(diǎn)的直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k＝－2，此時(shí)存在，所以④滿足．答案：②④9、設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上的一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝________.【解析】如圖，∠AFE＝60°，因?yàn)镕(2,0)，所以E(－2,0)，則eq\f(|AE|,|EF|)＝tan60°，即|AE|＝4eq\r(3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4eq\r(3))，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.10、已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，M，N是該拋物線上兩點(diǎn)，|MF|＋|NF|＝8，則MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．5 B．4C．3 D.eq\f(5,2)【解析】∵F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，∴F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∴線段MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3＋1＝4.故選B11、已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x2－eq\f(y2,a)＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a＝________.【解析】根據(jù)拋物線的定義得1＋eq\f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，則AM的斜率為2，由已知得－eq\r(a)×2＝－1，故a＝eq\f(1,4).12、已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2B．3C.eq\f(11,5)D.eq\f(37,16)【解析】易知直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的長(zhǎng)度，其中F(1,0)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)．由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝eq\f(|4＋6|,\r(42＋－32))＝2.13、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程．【解析】法一：如圖所示，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，準(zhǔn)線l：y＝eq\f(p,2)，作MN⊥l，垂足為N，則|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋eq\f(p,2)，所以3＋eq\f(p,2)＝5，即p＝4.所以拋物線方程為x2＝－8y，準(zhǔn)線方程為y＝2.由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq\r(6).法二：設(shè)所求拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵M(jìn)(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝±2\r(6).))∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2eq\r(6)，準(zhǔn)線方程為y＝2.14、設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離為d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．【解析】(1)依題意，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線的定義，知|PF|＝d，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PF|的最小值．如圖，連接AF，交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)|PA|＋d最小，最小值為eq\r(22＋12)＝eq\r(5).(2)把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2＝4x中，得y＝±2eq\r(3)，因?yàn)?eq\r(3)>2，所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部．過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1(如圖)．由拋物線的定義，知|P1Q|＝|P1F|，則|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值為4.15、如圖，吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線，寬7m，高0.7m，求這條拋物線的方程．【解析】根據(jù)題意，設(shè)該拋物線的方程為，將點(diǎn)代入可得，于是該拋物線的方程為.題組C培優(yōu)拔尖練16、設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝________.【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．由eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋eq\f(3,2)p＝6.17、已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________．【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，即的最小值為3.18、(多選)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直于l且交l于點(diǎn)Q，若∠PFx＝60°，則()A．△PQF為等邊三角形 B．|PQ|＝4C．S△PQF＝4eq\r(