2025年中考垂徑定理真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長為（）A.3B.4C.5D.6答案：A2.在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，若AB=\(2\sqrt{3}\)，則⊙O的半徑為（）A.\(\sqrt{3}\)B.2C.\(2\sqrt{3}\)D.4答案：B3.如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為5，OD=3，則弦AB的長是（）A.8B.4C.10D.6答案：A4.已知圓的半徑為13cm，弦AB的長為24cm，則弦AB到圓心的距離是（）A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm答案：A5.如圖，在⊙O中，弦CD垂直直徑AB于點(diǎn)E，若∠BAD=30°，且BE=2，則CD的長為（）A.\(4\sqrt{3}\)B.8C.\(8\sqrt{3}\)D.16答案：C6.若⊙O的半徑為10cm，弦AB=12cm，則圓心到弦AB的距離為（）A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm答案：A7.已知⊙O的半徑為5cm，弦AB長8cm，那么劣弧AB中點(diǎn)到弦AB的距離是（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm答案：B8.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB=10，AE=2，則弦CD的長是（）A.4B.6C.8D.10答案：C9.圓的半徑為5cm，圓心到弦的距離為4cm，則弦長為（）A.3cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：B10.在半徑為10的圓中有一條長為16的弦，那么這條弦的弦心距等于（）A.6B.8C.10D.12答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列關(guān)于垂徑定理的說法中，正確的有（）A.垂直于弦的直徑平分弦B.平分弦的直徑垂直于弦C.平分弦所對(duì)一條弧的直徑垂直平分弦D.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心答案：ACD2.已知⊙O的半徑為5，弦AB=6，CD=8，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離可能是（）A.1B.5C.7D.9答案：AC3.在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，下列條件中，能使得CD⊥AB的有（）A.\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)B.\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}\)C.點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)D.OC=OD答案：ABC4.如圖，在⊙O中，弦CD與直徑AB相交，以下說法正確的是（）A.若AB平分CD，則AB⊥CDB.若AB⊥CD，則\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)C.若AB平分弦CD所對(duì)的弧，則AB⊥CDD.若\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)，則AB垂直平分CD答案：BCD5.已知圓的半徑為R，弦長為L，弦心距為d，當(dāng)滿足以下關(guān)系時(shí)，正確的有（）A.\(L=2\sqrt{R^{2}-d^{2}}\)B.\(d=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{L}{2}\right)^{2}}\)C.\(R^{2}=d^{2}+\left(\frac{L}{2}\right)^{2}\)D.\(R=\sqrt{d^{2}+\left(\frac{L}{2}\right)^{2}}\)答案：ABCD6.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.平分弦的直徑垂直于弦B.垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的兩條弧C.弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)的兩條弧D.平分弦所對(duì)一條弧的直徑不一定平分這條弦答案：ABD7.在⊙O中，弦AB=8，半徑OC與AB相交于點(diǎn)D，若OD=3，OC=5，則下列說法正確的是（）A.CD=2B.AD=4C.點(diǎn)C是\(\overset{\frown}{AB}\)的中點(diǎn)D.OC垂直平分AB答案：ABC8.關(guān)于垂徑定理及其推論，以下說法正確的是（）A.一條直線如果滿足過圓心、垂直于弦，那么它平分弦B.一條直線如果滿足平分弦、平分弦所對(duì)的劣弧，那么它過圓心且垂直于弦C.一條直線如果滿足過圓心、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么它垂直平分弦D.垂徑定理中的弦不能是直徑答案：ABC9.已知⊙O中，弦AB和CD相交于點(diǎn)P，OP平分∠BPD，則（）A.AB=CDB.\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}\)C.OP⊥ABD.OP⊥CD答案：AB10.在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)M，下列結(jié)論成立的是（）A.若CM=MD，則\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)B.若\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)，則CM=MDC.若AB⊥CD，則AM=BMD.若AM=BM，則AB⊥CD答案：AB三、判斷題1.平分弦的直徑垂直于弦。（×）2.垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（×）3.弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心。（√）4.平分弦所對(duì)一條弧的直徑一定平分這條弦。（√）5.圓的兩條平行弦所夾的弧相等。（√）6.若圓的半徑為R，弦長為L，弦心距為d，則\(L=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\)。（×）7.過圓心且平分弦的直線一定垂直于弦。（×）8.垂直于弦且平分弦所對(duì)一條弧的直線一定經(jīng)過圓心。（√）9.在同一個(gè)圓中，兩條弦相等，則它們所對(duì)的弧也相等。（×）10.直徑是圓中最長的弦，并且垂直平分圓中的任意一條弦。（×）四、簡答題1.簡述垂徑定理的內(nèi)容。垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。具體來說，在圓中，如果一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑會(huì)將弦平均分成兩段，同時(shí)也會(huì)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧。它體現(xiàn)了圓的軸對(duì)稱性，是解決圓中與弦相關(guān)問題的重要依據(jù)，可用于求弦長、半徑、弦心距等。2.已知⊙O的半徑為10cm，弦AB=16cm，求圓心O到弦AB的距離。連接OA，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C。因?yàn)镺C⊥AB，根據(jù)垂徑定理，AC=BC=\(\frac{1}{2}\)AB=8cm。在Rt△OAC中，OA=10cm，AC=8cm，根據(jù)勾股定理\(OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100-64}=6\)cm，即圓心O到弦AB的距離為6cm。3.如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。設(shè)⊙O的半徑為R，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C。由垂徑定理可知，AC=\(\frac{1}{2}\)AB=4cm。在Rt△OAC中，OC=3cm，AC=4cm，根據(jù)勾股定理\(R=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=5\)cm，所以⊙O的半徑為5cm。4.已知在⊙O中，弦AB垂直于直徑CD于點(diǎn)E，若\(\overset{\frown}{AC}=120^{\circ}\)，求∠BOC的度數(shù)。因?yàn)橄褹B垂直于直徑CD于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}\)。已知\(\overset{\frown}{AC}=120^{\circ}\)，所以\(\overset{\frown}{BC}=120^{\circ}\)。而整個(gè)圓的圓心角是360°，那么\(\overset{\frown}{BOC}\)所對(duì)的圓心角就是120°，所以∠BOC=120°。五、討論題1.在圓中，一條弦所對(duì)的弧有兩條，當(dāng)我們運(yùn)用垂徑定理時(shí)，如何確定是平分哪條??？請(qǐng)舉例說明。垂徑定理中平分的弧是弦所對(duì)的兩條弧。比如在⊙O中，弦AB，直徑CD垂直AB于點(diǎn)E。此時(shí)CD平分弦AB，同時(shí)也平分弦AB所對(duì)的優(yōu)弧\(\overset{\frown}{ACB}\)和劣弧\(\overset{\frown}{ADB}\)。一般根據(jù)具體問題情境和需求來關(guān)注所用到的弧。若求劣弧長度相關(guān)，就關(guān)注劣弧；若求優(yōu)弧度數(shù)等，就關(guān)注優(yōu)弧。例如求陰影部分面積涉及劣弧對(duì)應(yīng)的扇形時(shí)，就用垂徑定理確定劣弧被平分的情況來計(jì)算。2.垂徑定理在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？請(qǐng)舉例并說明原理。在實(shí)際生活中，垂徑定理應(yīng)用廣泛。例如求圓柱形油桶內(nèi)油面寬度問題。已知油桶底面半徑和油面深度，可通過垂徑定理求解。原理是將油桶底面圓視為圓，油面可看作弦，圓心到油面距離、半徑和弦長一半構(gòu)成直角三角形。利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理就能求出弦長即油面寬度。又如修建弧形拱橋，要確定拱橋半徑等參數(shù)時(shí)，垂徑定理也能發(fā)揮作用，通過測(cè)量橋拱相關(guān)數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型求解。3.若圓中有兩條平行弦，如何利用垂徑定理求這兩條弦之間的距離？分情況討論。分兩種情況：一是兩條弦在圓心同側(cè)。設(shè)圓半徑為R，弦AB長為\(L_1\)，弦CD長為\(L_2\)，圓心到AB的距離為\(d_1\)，到CD的距離為\(d_2\)。根據(jù)垂徑定理，由弦長和半徑可求出\(d_1=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{L_1}{2}\right)^{2}}\)，\(d_2=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{L_2}{2}\right)^{2}}\)，兩弦距離為\(d_2-d_1\)。二是兩條弦在圓心兩側(cè)，同樣先求出\(d_1\)、\(d_2\)，此時(shí)兩弦距離為\(d_1+d_2\)。都是通過垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出弦心距，進(jìn)而得到兩弦間距離。4.在證明與圓中弦相關(guān)的問題時(shí)，垂徑定理常與哪些定理結(jié)合使用？請(qǐng)舉例說明。垂徑定理常與勾股定理結(jié)合使用。比如已知圓半徑和弦長，求弦心距。像在⊙O中，半徑為R，弦AB長為L，過圓心O作OC⊥AB于C，由