第

12

章

相關(guān)分析與回歸分析【學習目標】1.理解相關(guān)分析和回歸分析的概念、種類和特點；2.掌握相關(guān)關(guān)系的測定方法、相關(guān)系數(shù)的計算方法；3．理解相關(guān)分析與回歸分析的假設(shè)檢驗的方法；4．掌握直線回歸方程的估計方法，針對具體問題運用相關(guān)與回歸分析方法進行深入的定量、定性分析。

經(jīng)濟運行中，周期性出現(xiàn)經(jīng)濟擴張與經(jīng)濟緊縮的交替更迭、循環(huán)往復。在這個過程中，經(jīng)濟變量之間會表現(xiàn)出有規(guī)律的變動。例如，稅收收入會受到經(jīng)濟運行狀況的影響，可以認為稅收收入和GDP是兩個經(jīng)濟變量，這兩個變量會表現(xiàn)出有規(guī)律的關(guān)系，這樣的關(guān)系就是統(tǒng)計意義上的相關(guān)關(guān)系，是統(tǒng)計規(guī)律的重要表現(xiàn)形式。我們想知道的是它們的相關(guān)的形式、相關(guān)的密切程度、影響的結(jié)構(gòu)等等，這些需要運用相關(guān)分析與回歸分析。12.1相關(guān)分析1.

相關(guān)關(guān)系與相關(guān)分析（1）

函數(shù)關(guān)系

函數(shù)關(guān)系指現(xiàn)象之間存在著嚴格的依存關(guān)系，即當一個或幾個變量取一定的值時，另一個變量有確定值與之對應(yīng)，變量之間這種依一定的函數(shù)形式表現(xiàn)出來的一一對應(yīng)的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。比如商品的銷售數(shù)量和銷售額之間就是函數(shù)關(guān)系。（2）相關(guān)關(guān)系

相關(guān)關(guān)系又稱統(tǒng)計關(guān)系，是指兩個變量或兩個以上的變量之間存在某種依存關(guān)系，變量

X

與變量

Y

之間并不是嚴格意義上的函數(shù)關(guān)系，但是存在有規(guī)律的、某種“確定的”的關(guān)系。例如：商品的廣告費用與銷售量之間的關(guān)系，稅收收入與GDP

之間的關(guān)系等等。這樣的關(guān)系在經(jīng)濟領(lǐng)域中普遍存在，是我們認識經(jīng)濟現(xiàn)象的重要內(nèi)容。

需要指出的是，有些時候我們在相關(guān)分析中還要考慮邏輯關(guān)系或者因果關(guān)系。例如，在稅收收入與

GDP

之間的關(guān)系中，是

GDP

影響稅收收入，所以

GDP

是“自變量”，稅收收入是“因變量”。在經(jīng)濟現(xiàn)象中還存在雙向的邏輯關(guān)系，或者說互為因果關(guān)系，例如，某一種商品的供應(yīng)量和其價格之間就是這樣的關(guān)系。

相關(guān)分析（correlation

analysis）是研究現(xiàn)象之間是否存在某種依存關(guān)系，并對具體有依存關(guān)系的現(xiàn)象探討其相關(guān)方向以及相關(guān)程度，是研究隨機變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計方法。2.相關(guān)關(guān)系的種類

（1）按相關(guān)的程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)

當一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時，稱這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系為完全相關(guān)。例如：在價格不變的條件下，某種商品的銷售總額與其銷售量總是成正比例關(guān)系。在這種場合，相關(guān)關(guān)系便成為函數(shù)關(guān)系。因此也可以說函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一個特例。當兩個現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨立時，稱為不相關(guān)現(xiàn)象。

（2）按相關(guān)的方向可分為正相關(guān)和負相關(guān)

當一個現(xiàn)象的數(shù)量增加（或減少），另一個現(xiàn)象的數(shù)量也隨之增加（或減少）時，稱為正相關(guān)。例如：消費水平隨收入的增加而提高。當一個現(xiàn)象的數(shù)量增加（或減少），而另一個現(xiàn)象的數(shù)量向相反方向變動時，稱為負相關(guān)。例如商品流轉(zhuǎn)的規(guī)模愈大，流通費用水平則愈低。

（3）按相關(guān)的形式可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)

當兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時，稱之為線性相關(guān)。例如：人均消費水平與人均收入水平通常成線性關(guān)系。如果兩種相關(guān)現(xiàn)象之間，并不表現(xiàn)為直線的關(guān)系，而是近似于某種曲線方程的關(guān)系，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。例如產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品總產(chǎn)量就是一種非線性相關(guān)。

（4）按所研究的變量多少可分為簡單相關(guān)和復相關(guān)

兩個變量之間的相關(guān)，稱為簡單相關(guān)。當所研究的是一個變量對兩個或兩個以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時，稱為復相關(guān)。例如：某種商品的需求與其價格水平以及收入水平之間的相關(guān)關(guān)系便是一種復相關(guān)。3.相關(guān)分析方法（1）相關(guān)表

在定性判斷的基礎(chǔ)上，把具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的數(shù)值按照一定順序平行排列在一張表上，以觀察它們之間的相互關(guān)系，這種表就稱為相關(guān)表。根據(jù)《中國統(tǒng)計年鑒

2018》的數(shù)據(jù)，將

2000-2017年我國GDP

與稅收收入編制成相關(guān)表，見表

12-（數(shù)據(jù)1見Data12-1）。表

12-1我國稅收收入與

GDP

（單位：億元）年份GDP稅收收入年份GDP稅收收入2000100280.112581.512009349081.459521.592001110863.115301.382010413030.373210.792002121717.417636.452011489300.689738.39200313742220017.312012540367.4100614.32004161840.224165.682013595244.4110530.72005187318.928778.542014643974119175.32006219438.534804.352015689052.1124922.22007270232.345621.972016743585.5130360.72008319515.554223.792017827121.7144369.9

從表

12-1

我們可以比較直觀發(fā)現(xiàn)，2001-2010

年我國稅收收入與GDP呈現(xiàn)同向增加的正相關(guān)趨勢。（2）相關(guān)圖

相關(guān)圖又稱散點圖。它是以直角坐標系的橫軸代表變量

X，縱軸代表變量

Y，通過觀察或試驗我們可以得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)，每一組對應(yīng)數(shù)據(jù)記為(Xi

，Yi)（i=1，2，…，n），將每組數(shù)據(jù)(Xi

，Yi)變量值在坐標系中用點標出來而形成的散點圖，稱為相關(guān)圖。

根據(jù)表

12-1

的資料繪制的相關(guān)圖如圖

12-1

所示。圖

12-1

稅收收入與GDP

的散點圖

（3）線性相關(guān)系數(shù)線性相關(guān)系數(shù)簡稱為相關(guān)系數(shù)，或稱簡單相關(guān)系數(shù)，是對兩個變量之間線性相關(guān)程度的度量，刻畫了兩個變量之間線性相關(guān)密切程度和相關(guān)方向。如果相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的，則稱為總體相關(guān)系數(shù)，通常表示為

；如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，表示為

r。相關(guān)系數(shù)通常是指樣本相關(guān)系數(shù)?？傮w相關(guān)系數(shù)的計算公式為：（12-1）其中 Cov

(

X

,Y

)

—變量X

和Y

的協(xié)方差；Var

(

X

)

—變量X

的方差；Var

(Y

)

—變量Y

的方差。樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式是：（12-2）其中

—變量X

的平均數(shù)；

—變量Y

的平均數(shù)。公式（12-2）可化簡為:（12-3）其中 n—樣本容量。

需要指出的是，在測定簡單相關(guān)系數(shù)時，X

與

Y

兩個變量是對等的關(guān)系，即所研究的兩個變量不區(qū)分自變量和因變量；兩個變量只能算出一個相關(guān)系數(shù)，其值的大小、符號反映兩變量之間的密切程度和相關(guān)類型。

在公式（12-2）中，分子和分母都是離差形式，但分母總是為正，而分子的符號會隨離差的符號發(fā)生變化，所以相關(guān)系數(shù)r

的符號取決于分子的符號。我們以

x

x

為縱軸，以

y

y

為橫軸建立新的當坐標系，分別稱重新劃分的區(qū)域按逆時針方向為第一、二、三、四區(qū)域。如果散點圖中的散點比較一致地落在第一、三區(qū)域（如圖

12-2a所示），這時分子的符號為正，為正相關(guān)，且一致程度越高，相關(guān)程度的程度也越高，相關(guān)系數(shù)r

的絕對值越大；如果散點圖中的散點比較一致地落在第二、四區(qū)域（如圖

12-2b

所示），這時分子的符號為負，為負相關(guān)，且一致程度越高，相關(guān)程度的程度也越高，相關(guān)系數(shù)r

的絕對值越大；如果散點圖中的散點沒有規(guī)律地分布在各區(qū)域內(nèi)（如圖

12-2c

所示），由于離差的符號不斷變化，分子會正負抵消，相關(guān)系數(shù)r

的絕對值會很小，相關(guān)程度也很低。a)正相關(guān)圖

12-2相關(guān)系數(shù)的幾何意義b)負相關(guān)

c)無明顯相關(guān)

從上面的分析可以看出，公式（12-2）的分子已經(jīng)能夠描述兩個變量的相關(guān)程度和相關(guān)類型了，為什么還要除以分母的內(nèi)容呢？我們仔細考慮一下其分子，當兩個變量表現(xiàn)出高度正相關(guān)或高度負相關(guān)時，其絕對值可能會非常大，甚至趨于無窮大，這樣我們就無法給出一個確定兩個變量相關(guān)程度的標準，或者說這個分子的絕對值大到什么程度是高度相關(guān)。此外，由于我們計算的變量是有單位的，兩個變量的單位可能不同，這時分子的計算結(jié)果無實際意義。為了解決這些問題，在計算時除以分母的內(nèi)容，其意義是將離差標準化，然后再平均，就可以很好地表達線性相關(guān)的意義了。

可以證明，經(jīng)過以上處理后，樣本相關(guān)系數(shù)

r

的取值范圍為

1

r

1

。若r

為正，則表明兩變量為正相關(guān)；若r

為負，則表明兩變量為負相關(guān)；如果r

=1

或–1，則表示兩個現(xiàn)象完全直線性相關(guān)。如果r

=0，則表示兩個現(xiàn)象完全不相關(guān)（不存在直線相關(guān)，但不排除其他形式的相關(guān)）。相關(guān)系數(shù)r

的絕對值越接近于

1，表示相關(guān)系數(shù)越強；越接近于

0，表示相關(guān)系數(shù)越弱。實踐中，我們以以下標準判斷兩變量線性相關(guān)密切程度：

表

12-2

線性相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度相關(guān)系數(shù)的取值 相關(guān)程度微弱相關(guān)或不相關(guān)低度相關(guān)中度相關(guān)高度相關(guān)完全相關(guān)

相關(guān)系數(shù)的計算過程比較復雜，我們以一個實例來說明計算方法。【例

12-1】一家以大學生為服務(wù)對象的連鎖面館，在大學校區(qū)附近開設(shè)了多家分店。面館的經(jīng)營者認為各分店的銷售額與附近大學校區(qū)的學生人數(shù)有關(guān)，于是統(tǒng)計了

10

家分店一個月的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表

12-3

所示（數(shù)據(jù)見

Data12-2）。試計算學生人數(shù)與銷售額的相關(guān)系數(shù)。表

12-3學生人數(shù)與分店的銷售額序號學生人數(shù)(千人)銷售額(千元)1258261053888481185121176161377201578201699221491026202解：根據(jù)公式（12-2），相關(guān)系數(shù)的計算表如下：其中：

=14

，

=130。由公式（12-2）得：

由計算結(jié)果看，r=0.95012296，很接近

1，說明學生人數(shù)與銷售額存在高度的正的線性相關(guān)，即學生人數(shù)越多，對應(yīng)的銷售額也越高。實際計算中，樣本相關(guān)系數(shù)的計算量較大，我們可以利用

Excel進行計算，具體步驟和方法讀者可參閱其他相關(guān)資料。【例

12-2】根據(jù)表

12-2

中數(shù)據(jù)，用Excel

計算樣本相關(guān)系數(shù)。解：計算結(jié)果如下：其中列1和列2的交叉點上的數(shù)值就是相關(guān)系數(shù)。即：r=0.95012295。

列1列2列11

列20.9501229551

一般情況下，總體相關(guān)系數(shù)

是未知的，在實際的研究分析時，通常是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)測度樣本相關(guān)系數(shù)

r作為總體相關(guān)系數(shù)

的估計值。也就是說樣本相關(guān)系數(shù)

r是統(tǒng)計量，它會隨著樣本的不同而發(fā)生變化，是一個隨機變量。這樣，我們必須回答一個問題，當樣本相關(guān)系數(shù)

r表現(xiàn)為樣本中兩個變量相關(guān)時，能否代表總體中對應(yīng)的兩個變量也相關(guān)呢？或者說這個結(jié)果是偶然的嗎？這就需要對

進行相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗。

作為一個隨機變量，樣本相關(guān)系數(shù)

r具有一定的概率分布。可以證明，如果兩個變量都服從正態(tài)分布，在總體相關(guān)系數(shù)

=0

的條件下，樣本相關(guān)系數(shù)

r

服從自由度為(n-2)的

t分布：（12-4）其中

r—樣本相關(guān)系數(shù)；

n—樣本容量。顯著性檢驗的步驟如下：1）提出假設(shè)：

H0

:

0

，

H

1

:

0

；2）由公式（12-4）計算檢驗統(tǒng)計量；3）確定顯著性水平，根據(jù)給定的顯著性水平和自由度（n-2）查

t分布表查構(gòu)造拒絕域；4）決策判斷：若

，拒絕

H0,

表明總體的兩個變量之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。

【例

12-3】由上例的結(jié)果，對總體相關(guān)系數(shù)是否等于零做顯著性檢驗。解：取

r=0.95。1）提出假設(shè)：

H0

:

0

，

H

1

:

0

；2）計算檢驗統(tǒng)計量：由公式（12-3）得t=8.605305463）假

定

顯

著

性

水

平

為

0.05

，

查

t

分

布

表

得

：t

/

2

(n

2)

t0.025

(8)

2.306

；4）由于

t=8.60530546>

t0.025

(8)

2.306

，故拒絕原假設(shè)，說明總體的學生人數(shù)與銷售額之間存在相關(guān)關(guān)系12.2回歸分析

通過相關(guān)分析，如果我們得到兩個變量X

與

Y

之間存在某種形式的相關(guān)關(guān)系，比如線性相關(guān)關(guān)系。這時，其散點圖會表現(xiàn)出線性特征，即由（X、Y）決定的散點分布在某一條直線附近，以【例

12-1】為例繪制散點圖，就會發(fā)現(xiàn)這些散點分布在某條直線附近，如圖

12-3所示。圖

12-3

學生人數(shù)與銷售業(yè)務(wù)額的散點圖回歸分析（regression

analysis)是對兩個或兩個以上變量之間相互依賴關(guān)系進行定量分析的一種統(tǒng)計分析方法。其主要內(nèi)容和步驟是，首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學方程式（即回歸方程）描述變量間的關(guān)系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗；統(tǒng)計檢驗通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計、預測因變量。

回歸有不同種類。按照自變量的個數(shù)分，有一元回歸和多元回歸。只有一個自變量的稱為一元回歸，有兩個或兩個以上自變量的叫多元回歸；按照回歸曲線的形態(tài)分，有線性（直線）回歸和非線性（曲線）回歸。實際分析時應(yīng)根據(jù)客觀現(xiàn)象的性質(zhì)、特點、研究目的和任務(wù)選取回歸分析的方法。

相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量變化的相關(guān)程度。相關(guān)分析與回歸分析是有區(qū)別的，主要體現(xiàn)在以下三個方面：

（1）在相關(guān)分析中涉及的變量不存在自變量和因變量的劃分問題，變量之間的關(guān)系是對等的；而在回歸分析中，則必須根據(jù)研究對象的性質(zhì)和研究分析的目的，對變量進行自變量和因變量的劃分。因此，在回歸分析中，變量之間的關(guān)系是不對等的。

（2）在相關(guān)分析中所有的變量都必須是隨機變量；而在回歸分析中，自變量一般是給定的，因變量是隨機的，即將自變量的給定值代入回歸方程后，所得到的因變量的估計值不是惟一確定的，而會表現(xiàn)出一定的隨機波動性。

（3）相關(guān)分析主要是通過相關(guān)系數(shù)來反映變量之間相關(guān)程度的大小，由于變量之間是對等的，因此相關(guān)系數(shù)是惟一確定的。而在回歸分析中，對于互為因果的兩個變量

(如人的身高與體重，商品的價格與需求量)，則有可能存在多個回歸方程。1.

一元線性回歸分析

在回歸分析時，我們首先要清楚識別因變量和自變量。一般是將被預測或被估計的變量（結(jié)果）作為因變量，用

Y

表示；將用來預測或解釋因變量Y

的變量都稱為自變量,以X

表示；在這里我們理解自變量和因變量之間存在因果關(guān)系，其位置不能顛倒。一般來說，我們認為因變量Y

是隨機性變量，而自變量X

是確定性變量。

在一元線性回歸分析中，我們的目的是得到回歸方程，而一元線性回歸方程是由兩個系數(shù)決定的—截距項系數(shù)和斜率項系數(shù)，所以只需要確定這兩個系數(shù)就可以得到一元線性回歸方程。這兩個系數(shù)稱為一元線性回歸系數(shù)。

但是，確定這兩個系數(shù)需要數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)有總體和樣本之分，所以回歸方程也有總體回歸方程和樣本回歸方程。（1）總體回歸方程

在建立總體回歸方程之前，先要引入一個概念—總體回歸模型。假如我們已知總體的自變量和因變量所有的數(shù)據(jù)，并且它們存在程度較高的線性相關(guān)關(guān)系，但是它們之間并不是嚴格意義上的函數(shù)關(guān)系，數(shù)據(jù)的散點不在同一條直線，或者說散點與回歸直線之間是有誤差的，這些誤差是由隨機因素產(chǎn)生的，故稱為隨機誤差。如果考慮隨機誤差，則X

與Y

的關(guān)系可以表示為以下形式：Y

a

bX

（12-5）其中

Y—因變量；

X—自變量；

a——截距項系數(shù)；b——斜率項系數(shù)；

—隨機誤差項。

公式（12-5）稱為變量Y對X的一元線性理論回歸模型。

公式（12-5）表達了自變量X與因變量Y之間存在密切的線性相關(guān)，但密切的程度又沒有達到由X惟一確定Y的程度（除X以外，還有其他隨機因素影響Y），所以變量Y與X之間的關(guān)系用兩個部分描述。一部分是由于X的變化引起Y線性變化的部分，即a+bx；另一部分是隨機因素引起的誤差，隨機誤差項構(gòu)成。

由于

是隨機誤差，這些誤差可以為正，也可以為負，并且出現(xiàn)正誤差和負誤差的概率是相等的，所以我們有充分的理由認為

的數(shù)學期望為

0，即E

(

)

0

。

這樣，我們在式（12-5）兩邊取數(shù)學期望，得到以下關(guān)系式：

E

(Y

)

a

bX（12-6）

其中E(Y

)

—Y

的數(shù)學期望。

式（12-65）稱為總體一元線性回歸方程，它表達的是

X

的變化對Y

的均值的影響。

a

是回歸直線在Y

軸上的截距，是當X=0

時Y

的期望值；

b

是直線的斜率，表示當X

變動一個單位時，

E(Y

)

的平均變動值。a

和b

在一元線性回歸分析中有著重要的意義，例如：如果

X

代表收入，Y代表消費支出，則b

表示邊際消費傾向。

由式（12-5）和（12-6）顯然有：

=Y-

E(Y

) （12-7）

(2)樣本回歸方程在實際的分析工作中，總體的數(shù)據(jù)一般是不能全部掌握的，常用的方法是用對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)對總體進行估計。于是我們可以設(shè)定樣本回歸模型和樣本回歸方程。

樣本回歸模型為：Yi

a?

b?Xi

ei

（12-8）其中

a?

—總體a

的估計值；

b?

—總體b

的估計值；

ei

—總體

的估計值（殘差）。樣本回歸方程為：（12-9）（12-10）——總體E（Y）的估計值。

由式（12-7）和（12-8）顯然有：

一元線性回歸分析的基本方法是，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，運用最小二乘法得到樣本回歸方程，用樣本的a?

和b?

對總體的a

和b

進行估計。在這個過程中要注意的是，總體方程中的a

和b

是客觀存在的，是我們想要知道的參數(shù)，但往往是未知的；而樣本方程中的a?和b?

是可以通過樣本數(shù)據(jù)采用最小二乘法求得的，但它們會隨著樣本的變化而發(fā)生變化，即它們是樣本統(tǒng)計量，是隨機變量。（3）最小二乘法

進行一元線性回歸分析（確定a?

和b?

）時，最為簡便的方法是最小二乘法（Ordinaryleast

square

method，簡記為OLS）。最小二乘法的基本思想是：要使估計值Y?與實際觀測值Y

的偏差最小，由公式（12-10）可知，也就是使

ei

為最?。坏怯捎趀i

是可正可負的，可以證明是等于零的。所以，我們用（殘差平方和）作為衡量和偏差程度的標準，即要求。即：（12-11）

由于樣本數(shù)據(jù)中的所有

和是已知的，所以的值取決于和。也就是說是關(guān)于和的函數(shù)，記為：

（12-12）

由微積分知識可知，函數(shù)

有最小值的必要條件是對于和的兩個偏導數(shù)為零，即：

，整理得：（12-13）（12-14）其中：n—樣本容量。式（12-13）和（12-14）組成的方程組稱為正規(guī)方程組。解正規(guī)方程組可求得a?

和b?

：（12-15）（12-16）其中：n—樣本容量；X

—變量

X

的平均值；Y

—變量Y

的平均值。

可以證明，在滿足一定條件的前提下，用最小二乘法得到的估計量是最佳線性無偏估計量，這個結(jié)論稱為高斯-馬爾可夫定理?！纠?/p>

12-4】問題同【例

12-1】。用最小二乘法求樣本回歸方程。解：由式（12-14）和（12-15），可以得到如下計算表：表

12-5

最小二乘法計算表序號i

iX

YiX

22

i( X

)學生人數(shù)

X

(千人)銷售額

Y(千元)12581164--2610563036--388870464--4811894464--5121171404144--6161372192256--7201573140400--8201693380400--9221493278484--10262025252676--合計140130021040252819600平均14130------由式（12-14）得：由式（12-15）得：由此得線性回歸方程為：這個結(jié)果的意義是，當學生人數(shù)增加

1

個單位（1

千人）時，銷售額平均增加

5

個單位（5

千元）。回歸分析的計算量較大，我們可以運用

Excel

完成相關(guān)計算，具體步驟和方法讀者可參閱其他相關(guān)資料?！纠?/p>

12-4】運用Excel

進行一元線性回歸分析的結(jié)果如下：SUMMARY

OUTPUT回歸統(tǒng)計Multiple

R0.950123R

Square0.902734AdjustedR

Square0.890575標準誤差13.82932觀測值10方差分析dfSSMSFSignificance

F回歸分析1142001420074.248372.55E-05殘差81530191.25總計915730Coefficients標準誤差t

StatP-valueLower

95%Upper

95%Intercept609.2260356.5033360.00018738.7247381.27527XVariable

150.5802658.6167492.55E-053.6619066.338094Excel

輸出的回歸分析結(jié)果的解釋：第一部分是回歸分析的常用統(tǒng)計量：相關(guān)系數(shù)（Multiple）、判定系數(shù)（R

Square）、調(diào)整后的

R2（Adjusted

R

Square）、標準誤差和觀測值的個數(shù)。第二部分是方差分析：自由度(df)、平方和(SS)、回歸和殘差的均方(MS)、檢驗統(tǒng)計量（F）、F

檢驗的顯著性水平(significance)。

第三部分是參數(shù)估計：回歸方程的截距（Intercept）、斜率（X

Variable

1）、截距和斜率的標準誤差、回歸系數(shù)的

t

統(tǒng)計量(t

Stat)、P

值、截距和斜率的置信區(qū)間（Lower

95%和Upper

95%）。

通過表

12-6

Excel

輸出的回歸分析結(jié)果，得到估計的回歸方程有關(guān)結(jié)果：回歸方程的截距（Intercept）為

60，斜率（X

Variable1）為

5。

我們得到這樣的一個結(jié)果，是由樣本數(shù)據(jù)得到的結(jié)果，而樣本是隨機抽取的，所以由樣本得到的結(jié)果是隨機變量，即估計量a?

和b?是隨機就是。這樣，就要解決兩個問題，一是由樣本數(shù)據(jù)得到Y(jié)

與X

之間是線性關(guān)系，能不能推斷總體的

Y

與

X

之間是否也存在線性關(guān)系；二是如果能夠得到總體的

Y

與X

之間存在線性關(guān)系，那么怎樣用a?

和b?

估計總體的a

和b

。

第一個問題可以歸納為一個假設(shè)檢驗：H

0

：b

=

0

(不存在線性關(guān)系)

，

H1

：b

0

(存在線性關(guān)系)

做假設(shè)檢驗需要知道b?的分布，可以證明，在滿足一定條件和

b=

0

的情況下，

b?

標準化后的統(tǒng)計量服從自由度為n-2

的t

分布，于是我們用t

檢驗也時行假設(shè)檢驗。

如果經(jīng)過檢驗，得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論，則說明總體的

Y

與

X之間存在線性關(guān)系，我們設(shè)定線性模型是正確的。

如果通過了假設(shè)檢驗，我們可以利用a?

和b?

對估計總體的a

和b進行區(qū)間估計，還可以利用樣本回歸方程對Y

進行預測。2.多元線性回歸分析(1)多元線性回歸方程

經(jīng)濟現(xiàn)象是非常復雜的，在運行中會受到多種因素的影響。所以，在我們有必要考慮多元的線性回歸。

與一元線性回歸分析一樣，我們可以設(shè)定總體多元線性回歸模型和方程，以及樣本多元線性回歸模型和方程?？傮w多元線性模型為：Y

a

b1

X

1

b2

X

2

bk

X

k

(12-17)其中

Y—因變量；

X—自變量；

a

—截距項系數(shù)；

bk

—偏回歸系數(shù)；

—誤差項?？傮w多元線性方程為：E(Y

)

a

b1

X

1

b2

X

2

bk

X

k

(12-18)其中 E(Y

)

—因變量Y

的數(shù)學期望。

偏回歸系數(shù)bk

的意義是：當其它自變量保持不變時，

X

k

每增加一個單位，因變量Y

的變動值。同樣，樣本多元回歸模型和方程為：（12-19）（12-20）其中

a?

——總體a

的估計值；——總體的估計值；——總體的估計值（殘差）由式（12-18）和（12-19）顯然有：（12-21）

（2）多元線性回歸方程的估計

一般情況下，我們只能已知樣本數(shù)據(jù)，并利用最小二乘法得到樣本回歸方程，從而得到總體參數(shù)的估計值。多元線性回歸的最小二乘法在原理上與一元線性回歸相同，但回歸的結(jié)果在形式上比較復雜，在這里不做推導。多元線性回歸同樣可以用Excel

得到計算結(jié)果，操作過程與一元時相同，只是在輸入

X

值時，要同時將多個

X

變量的數(shù)據(jù)同時刷入；計算結(jié)果的意義與一元時也基本相同，只有兩個細微差別：一是判定系數(shù)用調(diào)整后的R2（Adjusted

R）；二是多個

X

的系數(shù)分別對應(yīng)于X

Variable

i。

【例

12-5】一家銷售家用電器的網(wǎng)店的管理人員希望了解影響配送成本的因素，搜集到過去

2

年的月度配送成本（萬元）、銷售額（萬元）和訂單數(shù)的數(shù)據(jù)如表

12-7

所示（數(shù)據(jù)見Data12-3）。以這些數(shù)據(jù)建立二元線性回歸模型估計銷售額和訂單數(shù)對配送成本的影響。表

12-7

配送成本、銷售額和訂單配送成本（萬元）銷售額（萬元）訂單數(shù)（單）配送成本（萬元）銷售額（萬元）訂單數(shù)（單）5.29538.640156.29837.239777.16644.638067.2332.844288.55851.253095.89940.839646.36940.142627.93849.145827.28145.742969.44452.755826.84445.840975.97444.434505.24630.132139.0562.350797.07748.448099.32459.657358.20351.752376.93346.34