高中數(shù)學極值問題專題復(fù)習指導(dǎo)在高中數(shù)學的知識體系中，極值問題猶如一座連接函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與實際問題的橋梁，其重要性不言而喻。它不僅是函數(shù)研究的深化，也是高考數(shù)學考查的重點與難點。掌握極值問題的求解方法，不僅能夠提升我們分析和解決數(shù)學問題的能力，更能培養(yǎng)我們嚴謹?shù)倪壿嬎季S和抽象概括能力。本專題旨在通過系統(tǒng)梳理，幫助同學們夯實基礎(chǔ)，厘清思路，掌握技巧，最終能夠從容應(yīng)對各類極值問題的挑戰(zhàn)。一、基礎(chǔ)回顧與核心概念辨析在深入探討極值問題之前，我們首先需要重溫一些基本概念，確保對核心定義有準確的把握。1.1極值的定義函數(shù)的極值，通俗地講，是指函數(shù)在其定義域內(nèi)的某個局部范圍內(nèi)所能達到的最大值或最小值。嚴格來說，設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任意異于\(x_0\)的點\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），則稱\(f(x_0)\)是函數(shù)\(f(x)\)的一個極大值（或極小值），點\(x_0\)稱為函數(shù)\(f(x)\)的一個極大值點（或極小值點）。這里需要特別強調(diào)“局部”二字。極值是一個局部概念，它只與函數(shù)在某點附近的函數(shù)值有關(guān)，而與函數(shù)在整個定義域上的最值（最大值、最小值）有所區(qū)別。最值是一個整體概念，是函數(shù)在整個定義域或指定區(qū)間上的最大或最小函數(shù)值。一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可能有多個極值點，也可能沒有極值點；極大值不一定大于極小值，極小值也不一定小于極大值。1.2函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系函數(shù)的單調(diào)性是研究極值的重要基礎(chǔ)。我們知道，如果函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，那么它在這個區(qū)間上就不會有極大值點（除非在區(qū)間端點，但端點通常不視為極值點，除非特別定義）；同樣，如果函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，那么它在這個區(qū)間上也不會有極小值點。因此，極值點必然出現(xiàn)在函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變的地方。二、求解極值問題的常用方法針對不同類型的函數(shù)和問題情境，我們有多種求解極值的方法。熟練掌握這些方法，并能靈活運用，是解決極值問題的關(guān)鍵。2.1利用二次函數(shù)的性質(zhì)求極值對于二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其圖像是一條拋物線。當\(a>0\)時，拋物線開口向上，函數(shù)在頂點處取得最小值；當\(a<0\)時，拋物線開口向下，函數(shù)在頂點處取得最大值。頂點的橫坐標為\(x=-\frac{2a}\)，代入函數(shù)即可求得相應(yīng)的極值。這種方法直觀且計算簡便，是解決二次函數(shù)極值問題的首選。例如，對于函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，由于\(a=1>0\)，其最小值點在\(x=2\)處取得，最小值為\(f(2)=-1\)。2.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性和極值的強有力工具，適用于處理更廣泛的函數(shù)類型。其基本步驟如下：1.確定函數(shù)的定義域：這是任何函數(shù)問題的前提，忽略定義域可能導(dǎo)致錯誤。2.求導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)\)：根據(jù)基本求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則進行計算。3.求駐點：令\(f'(x)=0\)，解此方程得到的實根稱為函數(shù)的駐點。4.判斷駐點是否為極值點：*第一充分條件（一階導(dǎo)數(shù)符號變化法）：若在駐點\(x_0\)的左側(cè)鄰域內(nèi)\(f'(x)>0\)，右側(cè)鄰域內(nèi)\(f'(x)<0\)，則\(x_0\)為極大值點；若左側(cè)鄰域內(nèi)\(f'(x)<0\)，右側(cè)鄰域內(nèi)\(f'(x)>0\)，則\(x_0\)為極小值點；若左右兩側(cè)鄰域內(nèi)\(f'(x)\)符號相同，則\(x_0\)不是極值點。*第二充分條件（二階導(dǎo)數(shù)法）：若函數(shù)\(f(x)\)在駐點\(x_0\)處二階可導(dǎo)，且\(f''(x_0)\neq0\)，則當\(f''(x_0)<0\)時，\(x_0\)為極大值點；當\(f''(x_0)>0\)時，\(x_0\)為極小值點。若\(f''(x_0)=0\)，則此方法失效，需改用第一充分條件判斷。5.求出極值：將確定的極值點代入原函數(shù)，計算出相應(yīng)的函數(shù)值，即為極值。例如，求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值。定義域為\(\mathbb{R}\)，\(f'(x)=3x^2-3\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。當\(x<-1\)時，\(f'(x)>0\)；當\(-1<x<1\)時，\(f'(x)<0\)；當\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)。故\(x=-1\)為極大值點，極大值為\(f(-1)=2\)；\(x=1\)為極小值點，極小值為\(f(1)=-2\)。2.3利用均值不等式求極值均值不等式（基本不等式）是求一類具有“和”或“積”形式的函數(shù)極值的有效方法。其核心思想是“和定積最大，積定和最小”。常用的形式為：對于正數(shù)\(a,b\)，有\(zhòng)(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，當且僅當\(a=b\)時等號成立。使用均值不等式求極值時，需注意以下三個條件：1.“一正”：各項均為正數(shù)。2.“二定”：和為定值或積為定值。3.“三相等”：等號成立的條件存在。例如，當\(x>0\)時，求函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)的最小值。由于\(x>0\)，\(\frac{1}{x}>0\)，且\(x\cdot\frac{1}{x}=1\)為定值，故\(f(x)=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)，當且僅當\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x=1\)時等號成立，所以最小值為\(2\)。2.4利用換元法轉(zhuǎn)化為易求極值的函數(shù)對于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的函數(shù)，可以通過適當?shù)淖兞看鷵Q，將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的、易于求極值的函數(shù)類型，如二次函數(shù)、可以用均值不等式求解的函數(shù)等。換元的關(guān)鍵在于選擇合適的新變量，簡化原函數(shù)的結(jié)構(gòu)。三、典型問題與解題策略在高考中，極值問題往往不是孤立出現(xiàn)的，而是與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式乃至實際應(yīng)用問題相結(jié)合。以下是幾類典型問題及相應(yīng)的解題策略。3.1含參數(shù)函數(shù)的極值問題含參數(shù)的函數(shù)極值問題是高考的熱點和難點。由于參數(shù)的存在，函數(shù)的極值點個數(shù)、極值的大小都可能隨參數(shù)的變化而變化。解決這類問題，通常需要對參數(shù)進行分類討論。解題策略：1.求出導(dǎo)函數(shù)，并令其等于零，得到含參數(shù)的方程。2.分析該方程根的情況（有無實根、實根的個數(shù)、實根是否在定義域內(nèi)等），這往往需要結(jié)合判別式、二次函數(shù)圖像等進行。3.根據(jù)根的情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號變化，確定函數(shù)的極值點，并求出相應(yīng)的極值（可能是含參數(shù)的表達式）。4.針對題目要求（如極值點的個數(shù)、極值的正負性等），對參數(shù)進行分類討論，得出結(jié)論。例如，已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，討論其極值點的個數(shù)。對其求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，判別式\(\Delta=(2a)^2-4\cdot3\cdotb=4(a^2-3b)\)。當\(\Delta>0\)時，導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的零點，原函數(shù)有兩個極值點；當\(\Delta=0\)時，導(dǎo)函數(shù)有一個二重零點，此時需判斷該點是否為極值點（通常不是，除非函數(shù)在該點左右導(dǎo)數(shù)變號，但對三次函數(shù)而言，此時為拐點）；當\(\Delta<0\)時，導(dǎo)函數(shù)無零點，原函數(shù)無極值點。3.2實際應(yīng)用中的最值問題極值問題在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如成本最低、利潤最大、用料最省、效率最高等。解決這類問題的關(guān)鍵在于建立合適的數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值（最值）問題。解題步驟：1.審題：理解題意，明確問題的目標（是求最大值還是最小值）和限制條件。2.設(shè)元：選擇合適的自變量，并用其表示其他相關(guān)量。3.建模：根據(jù)題意，建立目標函數(shù)關(guān)系式。4.求解：確定函數(shù)的定義域，并運用適當?shù)姆椒ㄇ蟪龊瘮?shù)的最值。5.檢驗：將求得的結(jié)果回歸到實際問題中進行檢驗，看是否符合實際意義。在求解實際問題的最值時，要特別注意函數(shù)的定義域必須符合實際情況，并且最值點可能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部的極值點處，也可能出現(xiàn)在區(qū)間的端點處。四、易錯點警示與應(yīng)試技巧在解決極值問題時，同學們常因概念不清、考慮不周或方法不當而導(dǎo)致錯誤。以下是一些常見的易錯點及應(yīng)試建議：4.1易錯點警示1.混淆極值與最值：極值是局部概念，最值是整體概念。函數(shù)在某區(qū)間上的極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值。2.忽略函數(shù)的定義域：研究函數(shù)性質(zhì)必須在定義域內(nèi)進行，求極值也不例外。例如，函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在定義域\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)內(nèi)沒有極值，但如果忽略定義域，可能會得出錯誤結(jié)論。3.認為導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點：導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點取得極值的必要條件而非充分條件。例如，函數(shù)\(f(x)=x^3\)，在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為零，但該點不是極值點。4.使用均值不等式時忽略等號成立條件：這會導(dǎo)致求得的“極值”無法達到，從而得出錯誤結(jié)果。5.分類討論不徹底或邏輯混亂：在處理含參數(shù)問題時，若分類標準不明確或討論有遺漏，容易導(dǎo)致解題不完整。4.2應(yīng)試技巧1.夯實基礎(chǔ)，吃透概念：準確理解極值、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性等基本概念是正確解題的前提。2.注重通性通法，靈活選擇策略：導(dǎo)數(shù)法是通用方法，應(yīng)熟練掌握；同時，對二次函數(shù)、均值不等式等特殊方法也要了然于胸，根據(jù)題目特點選擇最簡便的方法。3.規(guī)范解題步驟，養(yǎng)成良好習慣：尤其是利用導(dǎo)數(shù)求極值時，求導(dǎo)、求駐點、判斷符號、下結(jié)論等步驟要清晰完整。4.重視數(shù)形結(jié)合：借助函數(shù)圖像的直觀性，可以幫助我們更好地理解函數(shù)的單調(diào)性、極值點的位置等，減少錯誤。5.多思多練，歸納總結(jié)：通過適量的練習，積累解題經(jīng)驗，總結(jié)不同類型問題的解題規(guī)律和技巧，提升應(yīng)變能力。五、總結(jié)與展望極值問題是高中數(shù)學函數(shù)部分的核心內(nèi)容之一，