1第四節(jié)

定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法定積分的分部積分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution第六章定積分2定理1則有定積分換元公式假設函數(shù)定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法函數(shù)滿足條件:(1)(2)具有連續(xù)導數(shù),且其值域3例1.

解

在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要變.定積分的上、新的變量t,注定積分的換元法和分部積分法4或定積分的換元法和分部積分法換元一定要換積分限

不換元積分限不變

注5例2.

解

或提示：6例3.計算解:令則∴原式=且這是半徑為a的四分之一的圓的面積.7例4.

計算解:

令則∴原式=且8計算解：用定積分換元法.則x=t2，dx=2tdt，于是.3ln24-=[]|1|ln220+-=tt練習9

解

例5.

提示：10

幾個關于奇、偶函數(shù)的定積分的例子.換元積分由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來確定變換.通常定積分的換元法和分部積分法還可以證明一些定積分等式,奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)且有則則偶倍奇零11證明由于定積分的換元法和分部積分法作變換,則12奇函數(shù)例6.

計算解（2）原式偶函數(shù)在對稱區(qū)間上是奇函數(shù)，故（1）因為13解:練習14例7.

求解

利用對稱區(qū)間積分計算公式原式＝15定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法二、定積分的分部積分法設有連續(xù)的導數(shù),則definiteintegralbyparts定理2由不定積分的分部積分法及N--L公式.16分部積分過程：例1.

計算解:原式=17計算解:

原式=練習18解:

根據(jù)定積分的分部積分公式得例2.

計算.dln41xxxòxxxdln41òxxdln241ò=19例3.

計算解20證明三角函數(shù)的定積分公式例設定積分的換元法和分部積分法證畢.21例4.

證明定積分公式證明：設n為正偶數(shù)n為大于1的正奇數(shù)J.Wallis公式定積分的換元法和分部積分法22積分關于下標的遞推公式直到下標減到0或1為止因為定積分的換元法和分部積分法23所以,當n為正偶數(shù)時,當n為大于1的正奇數(shù)時,定積分的換元法和分部積分法24例

為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)上公式在計算其它積分時可以直接引用.注定積分的換元法和分部積分法25例5.解用公式n為正偶數(shù)定積分的換元法和分部積分法26例6.

計算解：第二項用換元積分法：令則一般：27例7.

定積分的換元法和分部積分法解一即{28例7.

定積分的換元法和分部積分法解二令則29定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法三、小結(jié)定積分的換元公式奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式30思考題解答定積分的換元法和分部積分法31

計算解：令

換元必換限不換元則不換限練習32解令原式練習定積分的換元法和分部積分法331.

解：原式定積分的換元法和分部積分法342.計算(1)解：易知因此且積分區(qū)間對稱于原點，奇函數(shù)35

解

例

分部積分過程：36例

解定積分的換元法和分部積分法原式=37例

解定積分的換元法和分部積分法原式=?38練習奇偶定積分的換元法和分部積分法39練習解用定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法40練習解被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應用對積分上限函數(shù)的導數(shù)的公式,應先作換元變換,則分析定積分的換元法和分部積分法41例

解無法直接求出所以因為沒有