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第四章微分中值定理與導數(shù)的應用

因為導數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時變

所以可借助導數(shù)來研究函數(shù).

但每一點的導數(shù)僅僅是與局部有關的一點的變化性態(tài),要用導數(shù)來研究函數(shù)的全部性態(tài),還需架起新的“橋梁”.中值定理(meanvaluetheorem)化率,2Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理第一節(jié)微分中值定理3定義極大值(或極小值),

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點.一、Fermat引理函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點x0(自變量)稱為4

函數(shù)的極大值、極小值

是局部性的.

在一個區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個極大值.只是一點附近的5函數(shù)極限局部保號性6Fermat引理如果函數(shù)可導,處取得極值,那么.0)(0=￠xf

費馬Fermat,(法)1601-1665稱為駐點)證:

設則證畢.7費馬(1601–1665)法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好.在數(shù)學上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的Fermat大定理:Fermat大定理1994年得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.微分中值定理8Rolle定理(1)(2)(3)羅爾Rolle,(法)1652-1719使得二、羅爾(Rolle)定理微分中值定理證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=m,則因此9如,微分中值定理若M>m,則M

和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使則由費馬引理得Rolle定理(1)(2)(3)使得10(1)定理條件不全具備,注微分中值定理結(jié)論不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]1,0[,)(?=xxxf11例1證(1)(2)定理的假設條件滿足結(jié)論正確驗證Rolle定理的正確性.Rolle定理肯定了的存在性,一般沒必要知道究竟等于什么數(shù),只要知道存在即可.,)2,1(內(nèi)可導在-微分中值定理12例2證

零點定理即為方程的小于1的正實根.(1)

存在性微分中值定理13(2)

唯一性滿足Rolle定理的條件.矛盾,故假設不真!14例3試證方程分析注意到:微分中值定理15證設且

Rolle定理即試證方程微分中值定理16注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813

拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上連續(xù)在閉區(qū)間ba;),(內(nèi)可導在開區(qū)間ba17幾何解釋:微分中值定理思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.證畢18作輔助函數(shù)Lagrange中值公式微分中值定理證分析:弦AB方程為19它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明.在微分學中占有極重要的地位.與導數(shù)間的關系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)微分中值定理20例4證

如果f(x)在某區(qū)間上可導,要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關系,通常就想到微分中值定理.記利用微分中值定理,得微分中值定理21Lagrange公式可以寫成下面的各種形式:

它表達了函數(shù)增量和某點的注但是增量、這是十分方便的.由(3)式看出,導數(shù)之間的直接關系.導數(shù)是個等式關系.Lagrange中值定理又稱Lagrange中值公式又稱有限增量公式.有限增量定理.微分中值定理22推論證有由條件,即在區(qū)間I中任意兩點的函數(shù)值都相等,所以,Lagrange中值定理(1)(2)使得;],[上連續(xù)在閉區(qū)間ba;),(內(nèi)可導在開區(qū)間ba23例5證由推論自證說明欲證只需證在上且使,)(0Cxf=,0)(o￠xf微分中值定理24例6證由上式得設由

關鍵

滿足拉氏定理的條件,微分中值定理25柯西Cauchy(法)1789-1859Chauchy中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理廣義微分中值定理26柯西(1789–1857)法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析的發(fā)展.復變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,微分中值定理27柯西定理的幾何意義:弦的斜率切線斜率注：柯西定理變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?28例7證分析結(jié)論可變形為即微分中值定理滿足柯西中值定理29羅爾定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理

羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之間的關系:推廣推廣

這三個定理的條件都是充分條件,換句話說,滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能30四、小結(jié)微分中值定理

常利用逆向思維,構(gòu)造輔助函數(shù)注意利用Lagrange中值定理證明不等式的步驟.三個微分中值定理成立的條件;各微分中值定理的關系;

證明存在某點,使得函數(shù)在該點的導數(shù)滿足一個方程.運用羅爾定理.Lagrange中值定理的各種形式,其關系;311.

微分中值定理的條件、結(jié)論及關系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關中值問題的結(jié)論關鍵:

利用逆向思維設輔助函數(shù)Fermat引理微分中值定理32思考與練習1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足Lagrange定理條件,則中值2)設有個根,它們分別在區(qū)間上.方程微分中值定理提示：最多有三個實根，由Rolle定理可得，33343.

設且在內(nèi)可導,證明至少存在一點使由結(jié)論可知,只需證即微分中值定理分析證:設輔助函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且顯然

由羅爾定理得,至少存在一點使故原結(jié)論成立。354.

設在內(nèi)可導,且證明至少存在一點使上連續(xù),在證:設輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點問題轉(zhuǎn)化為證分析?0)(2)(=+￠xxxff練習設在上連續(xù),在內(nèi)可導,且證明存在一點使證明:

令且即由已知條件知

在上連續(xù),在內(nèi)可導，故由羅爾定理知,使3637

分析微分中值定理且內(nèi)可導在上連續(xù)在設,),(,],[)(babaxf5.38證即微分中值定理且內(nèi)可導在上連續(xù)在設,),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfaf?1==定理由Rolle39例1.

若可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足Rolle定理條件.微分中值定理40例3分析將結(jié)論交叉相乘得輔助函數(shù)F(x)微分中值定理)()()()()()(),,(xxxxxgfbggfafba￠￠=--?$使得)()()()()()()()(bgfgfgfgafxxxxxx￠-￠=￠-￠0)()()()()()()()(=￠+￠-￠-￠bgfgfgfgafxxxxxx0)]()()()()()()()([=￠+￠-￠-￠=xxbgxfxgxfxgxfxgaf41證設輔助函數(shù)因此F(x)滿足Rolle定理的條件.微分中值定理)()()(xgafxF￠=￠)()(bgxf￠+)()(xgxf￠-)()(xgxf￠-42即得證畢.微分中值定理)()()(xgafxF￠=￠)()(bgxf￠+)()(xgxf￠-